\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Intérêts

Qu'est-ce que l'intérêt ?


Nous avons tous entendu parler des taux d’intérêt — par exemple pour un prêt immobilier, un crédit à la consommation ou un livret d’épargne. Mais que signifie réellement l’intérêt ?
L'intérêt correspond essentiellement au « loyer » que tu paies pour emprunter de l'argent. C'est le montant supplémentaire versé pour utiliser l'argent de quelqu'un d'autre pendant une certaine durée. Le pourcentage utilisé pour calculer ce montant supplémentaire chaque année s'appelle le taux d'intérêt.
Exemple d'intérêt :
Imagine que tu empruntes \(\dollar 100\) aujourd'hui et que tu t'engages à le rembourser dans un an. Si tu rends exactement \(\dollar 100\) après un an, il n'y a pas d'intérêt. Cependant, le prêteur peut demander une compensation pour t'avoir prêté cet argent.
Il peut réclamer un pourcentage du montant initial. Par exemple, avec un taux d'intérêt de \(10\pourcent\) par an, l'intérêt payé se calcule ainsi :$$\begin{aligned}\text{Intérêt payé} &= \text{Pourcentage du montant initial} \\ &= \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant initial} \\ &= 10\pourcent \times 100 \\ &= \frac{10}{100} \times 100 \\ &= 10~\text{dollars}\end{aligned}$$Ainsi, après un an, tu devras rembourser :$$\begin{aligned}\text{Montant après 1 an} &= \text{Montant initial} + \text{Intérêt payé} \\ &= 100 + 10 \\ &= 110~\text{dollars}\end{aligned}$$Dans cet exemple, tu rembourseras donc \(\dollar 110\) au lieu de \(\dollar 100\). Les \(\dollar 10\) supplémentaires représentent l'intérêt, c'est-à-dire le coût de l'emprunt pour une année.

Définition Principal
Le principal est le montant initial d'argent qui est soit investi, soit prêté.
Définition Intérêt
L'intérêt est le coût payé pour emprunter de l'argent ou le montant gagné en prêtant ou en investissant de l'argent.

Intérêt simple


Supposons que tu empruntes \(\dollar 100\) avec un taux d'intérêt de \(10\pourcent\) par an. Avec l'intérêt simple, l'intérêt est calculé uniquement sur le montant initial chaque année.
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 1 an} &= 10\pourcent \times 100 \\&= \frac{10}{100} \times 100 \\&= 10~\text{dollars}\end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 2 ans} &= 2 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 2 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 20~\text{dollars}\end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 3 ans} &= 3 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 3 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 30~\text{dollars}\end{aligned}\)
Ces observations mènent à la formule de l'intérêt simple :$$\text{Intérêt simple} = \text{Nombre d'années} \times \text{Taux d'intérêt} \times \text{Principal}$$

Définition Intérêt simple
L'intérêt simple est calculé chaque année comme un pourcentage fixe du principal (montant initial) emprunté ou investi. Avec l'intérêt simple, le même montant d'intérêt est ajouté chaque année.
Proposition Formule de l'intérêt simple
L'intérêt simple, noté \(I\), se calcule ainsi :$$I = t \times r \times P$$où :
  • \(P\) est le principal (montant initial)
  • \(r\) est le taux d'intérêt annuel (sous forme décimale, par exemple \(3\pourcent = 0{,}03\))
  • \(t\) est la durée (en années)
Le montant final, noté \(A\), est :$$A = P + I$$On peut donc aussi écrire :$$A = P(1 + rt)$$
Exemple
Calcule l'intérêt simple sur un principal de \(\dollar 500\) avec un taux de \(3\pourcent\) par an sur une durée de \(5\) ans. Puis détermine le montant final.

On écrit le taux sous forme décimale : \(3\pourcent = 0{,}03\).$$\begin{aligned}[t]I &= t \times r \times P \\ &=5 \times 0{,}03 \times 500 \\ &= 5 \times 15 \\ &= 75~\text{dollars}\end{aligned}$$Le montant final est :$$\begin{aligned}[t]A &= P + I\\ &= 500 + 75\\ &= 575~\text{dollars}\end{aligned}$$

Intérêts composés


Si tu laisses de l'argent à la banque pendant un certain temps, les intérêts gagnés sont automatiquement ajoutés à ton compte. Une fois ajoutés, ces intérêts commencent eux aussi à générer des intérêts lors de la période suivante. Ce processus s'appelle les intérêts composés.
Exemple d'intérêts composés :
\(1\,000\dollar\) sont placés sur un compte qui rapporte un intérêt de \(10\pourcent\) par an, et les intérêts sont capitalisés pendant trois ans. Cela signifie que le compte génère \(10\pourcent\) d'intérêts composés par an.
Nous pouvons illustrer cela dans un tableau :
Année Montant Intérêts gagnés
0 \(1\,000\dollar\) \(10\pourcent\) de \(1\,000\dollar = 100\dollar\)
1 \(1\,000\dollar + 100\dollar = 1\,100\dollar\) \(10\pourcent\) de \(1\,100\dollar = 110\dollar\)
2 \(1\,100\dollar + 110\dollar = 1\,210\dollar\) \(10\pourcent\) de \(1\,210\dollar = 121\dollar\)
3 \(1\,210\dollar + 121\dollar = 1\,331\dollar\) ---
Après 3 ans, il y aura un total de \(1\,331\dollar\) sur le compte, ce qui signifie que tu as gagné \(331\dollar\) en intérêts composés.
On peut aussi calculer le montant final d'une autre façon :
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 1 an}&= \text{Montant initial} + \text{Intérêts sur le montant initial} \\&= \text{Montant initial} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant initial} \\&= 1\,000 + 0{,}1 \times 1\,000 \\&= 1\,000 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1\end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 2 ans}&= \text{Montant après 1 an} + \text{Intérêts sur le montant après 1 an} \\&= \text{Montant après 1 an} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant après 1 an} \\&= 1\,000 \times 1{,}1 + 0{,}1 \times 1\,000 \times 1{,}1 \\&= 1\,000 \times 1{,}1 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2\end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 3 ans}&= \text{Montant après 2 ans} + \text{Intérêts sur le montant après 2 ans} \\&= \text{Montant après 2 ans} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant après 2 ans} \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2 + 0{,}1 \times 1\,000 \times 1{,}1^2 \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1^3\end{aligned}\)
Ces observations mènent à la formule des intérêts composés (avec capitalisation une fois par an) :$$\text{Montant final} = \text{Montant initial} \times (1 + \text{taux d'intérêt})^{\text{nombre d'années}}$$où le taux d'intérêt est écrit sous forme décimale (par exemple \(10\pourcent = 0{,}10\)).

Définition Intérêt composé
L'intérêt composé est l'intérêt qui s'accumule à la fois sur le principal (le montant initial) et sur les intérêts déjà accumulés.
Proposition Formule de l'intérêt composé annuel
Le montant final \(A\) d'un investissement avec un intérêt composé annuellement est :$$A = P (1 + r)^t$$où :
  • \(P\) est le principal (montant initial),
  • \(r\) est le taux d'intérêt annuel (sous forme décimale),
  • \(t\) est la durée (en années).
Exemple
Calcule le montant final pour un intérêt composé sur un principal de \(500\dollar\) avec un taux de \(3\pourcent\) par an sur une durée de \(5\) ans.

$$\begin{aligned}[t]A &= P (1 + r)^t \\ &= 500 \times (1 + 0{,}03)^5 \\ &= 500 \times 1{,}03^5 \\ &\approx 579{,}64\end{aligned}$$Le montant final est donc d'environ \(579{,}64\dollar\).

Intérêts composés par période


L'intérêt composé peut être calculé plus fréquemment qu'une fois par an, par exemple mensuellement ou trimestriellement. Dans ces cas :
  • le taux d'intérêt annuel est divisé par le nombre de périodes de capitalisation par an ;
  • l'exposant (le temps) est multiplié par le nombre de périodes de capitalisation.

Proposition Formule de l'intérêt composé par période
Le montant final \(A\) après \(t\) années avec un intérêt composé \(c_y\) fois par an est :$$A = P \left(1 + \frac{r}{c_y}\right)^{c_y t}$$où :
  • \(P\) est le principal,
  • \(r\) est le taux d'intérêt annuel (sous forme décimale),
  • \(c_y\) est le nombre de périodes de capitalisation par an,
  • \(t\) est la durée en années.
Le nombre total de périodes de capitalisation est \(n = c_y t\).
Exemple
Calcule le montant final sur un principal de \(1\,000\dollar\) à un taux annuel de \(5\pourcent\), composé trimestriellement sur \(2\) ans.

$$\begin{aligned}[t]A &= 1\,000 \left(1 + \frac{0{,}05}{4}\right)^{4 \times 2} \\ &= 1\,000 \left(1 + 0{,}0125\right)^{8} \\ &= 1\,000 \times (1{,}0125)^8 \\ &\approx 1\,104{,}49\dollar\end{aligned}$$Le montant final est d'environ \(1\,104{,}49\dollar\).

Utiliser du solveur financier

Méthode Calculer une valeur avec un solveur TVM
Le solveur TVM (Time Value of Money) peut être utilisé pour calculer une variable inconnue lorsque toutes les autres sont connues.
  • \(PV\) est le principal (valeur actuelle), considéré comme une sortie d'argent ; on le saisit comme une valeur négative (\(PV = -P\)).
  • \(FV\) représente le montant final (\(FV = A\)).
  • \(I\pourcent\) est le taux d'intérêt annuel \(r\) exprimé en pourcentage (par exemple \(5\pourcent\)).
  • \(C/Y\) est le nombre de périodes de capitalisation par an (\(C/Y = c_y\)).
  • \(n\) est le nombre total de périodes de capitalisation, et non le nombre d'années (\(n = c_y \times t\)).
  • \(PMT\) et \(P/Y\) ne sont pas utilisés dans ce cas. On prend \(PMT = 0\) et \(P/Y = C/Y\).
Exemple
Calcule le montant final pour un principal de \(23\,000\dollar\), avec un taux d'intérêt de \(3{,}45\pourcent\), composé trimestriellement sur une durée de \(6\) ans.

En utilisant le solveur TVM avec :$$n = 6 \times 4 = 24,\quad I\pourcent = 3{,}45,\quad PV = -23\,000,\quad C/Y = 4,\quad (PMT = 0,\ P/Y = 4)$$on obtient le montant final :$$FV \approx 28\,264{,}50\dollar$$

Inflation


L'inflation est le taux auquel le niveau général des prix des biens et services augmente et, par conséquent, le pouvoir d'achat diminue. Les banques centrales tentent de limiter l'inflation — et d'éviter la déflation — afin de maintenir l'économie en bon fonctionnement.

Définition Taux d'Inflation
Le taux d'inflation est l'augmentation en pourcentage du niveau général des prix d'une période à une autre, généralement mesurée annuellement.
Le prix futur d'un bien ou service, en tenant compte de l'inflation, peut être calculé à l'aide d'une formule similaire à celle des intérêts composés. Cela reflète la manière dont les prix augmentent au fil du temps lorsqu'ils sont soumis à un taux d'inflation constant.
Proposition Effet de l'Inflation sur les Prix
Le prix des biens augmente au fil du temps en raison de l'inflation :$$FV = P \left(1 + r\right)^t$$où :
  • \(P\) est le prix actuel,
  • \(r\) est le taux d'inflation par période (souvent par an),
  • \(t\) est la durée en périodes (généralement en années).
Exemple
Si le taux d'inflation est de \(2\pourcent\) par an, quel sera le prix d'un article coûtant \(100\dollar\) après \(5\) ans ?

$$\begin{aligned}[t]FV &= 100 \left(1 + 0{,}02\right)^5 \\ &= 100 \times (1{,}02)^5 \\ &\approx 110{,}41\dollar\end{aligned}$$Le prix sera d'environ \(110{,}41\dollar\) après \(5\) ans.

Définition Valeur Réelle d'un Investissement
La valeur réelle d'un investissement est son montant final (nominal) ajusté pour l'inflation afin de l'exprimer en termes de pouvoir d'achat actuel. Autrement dit, elle indique ce que vaut réellement une somme future en monnaie d'aujourd'hui.
Pour obtenir la valeur réelle, on inverse la formule de l'inflation : au lieu de projeter une valeur actuelle dans le futur, on actualise une valeur future pour l'exprimer en pouvoir d'achat actuel.
Proposition Formule de la valeur réelle d'un investissement
La valeur réelle \(VR\) d'un montant final \(A\) après \(t\) années à un taux d'inflation \(r\) par an est :$$VR = \frac{A}{(1 + r)^t}$$
Exemple
Un investissement atteint \(10\,000\dollar\) après \(5\) ans. Si le taux d'inflation est de \(2\pourcent\) par an, calcule la valeur réelle de l'investissement en dollars actuels.

$$\begin{aligned}[t]VR &= \frac{10\,000}{(1 + 0{,}02)^5} \\ &= \frac{10\,000}{(1{,}02)^5} \\ &\approx 9\,057{,}31\dollar\end{aligned}$$La valeur réelle est d'environ \(9\,057\dollar\).

Prêts


Imagine que tu contractes un prêt de \(10\,000\dollar\) avec un taux d'intérêt annuel de \(5\pourcent\). Tu acceptes de faire un remboursement régulier de \(1\,000\dollar\) à la fin de chaque année.
L'intérêt est calculé sur le montant que tu dois encore (le solde) avant que ton paiement ne le réduise.
Suivons le solde du prêt :
  • Après un an :
    • Intérêts facturés : \(5\pourcent \text{ de } 10\,000 = 0,05 \times 10\,000 = 500\dollar\).
    • Solde avant paiement : \(10\,000 + 500 = 10\,500\dollar\).
    • Solde après paiement : \(10\,500 - 1\,000 = 9\,500\dollar\).
  • Après deux ans :
    • Intérêts facturés (sur le nouveau solde) : \(5\pourcent \text{ de } 9\,500 = 0,05 \times 9\,500 = 475\dollar\).
    • Solde avant paiement : \(9\,500 + 475 = 9\,975\dollar\).
    • Solde après paiement : \(9\,975 - 1\,000 = 8\,975\dollar\).
Nous pouvons résumer cela dans un tableau :
Année Solde Début Intérêt (\(5\pourcent\)) Remboursement Solde Fin
1 \(10\,000\dollar\) \(500\dollar\) \(1\,000\dollar\) \(9\,500\dollar\)
2 \(9\,500\dollar\) \(475\dollar\) \(1\,000\dollar\) \(8\,975\dollar\)
Remarque que le montant des intérêts diminue chaque année car le solde devient plus petit. Cela signifie qu'une plus grande partie de ton paiement de \(1\,000\dollar\) sert à rembourser le principal du prêt lors de la deuxième année par rapport à la première.

Définition Loan
Une méthode courante pour financer de gros achats comme des maisons ou des voitures est le prêt. L'institution financière prête de l'argent à l'emprunteur, qui rembourse le montant plus les intérêts par des paiements réguliers sur une période donnée. Ce processus s'appelle l'amortissement.
Les intérêts sont calculés sur le solde restant dû du prêt, ce qui signifie que tu ne paies des intérêts que sur le montant que tu dois encore.$$\text{Intérêts Payés} = \text{Total des Remboursements} - \text{Principal}$$
Méthode Calculer les remboursements de prêt avec un solveur TVM
Nous pouvons utiliser le solveur TVM pour calculer le montant du paiement régulier (\(PMT\)) nécessaire pour rembourser un prêt.
  • \(N\): Nombre total de paiements (\(N = \text{nombre d'années} \times \text{paiements par an}\)).
  • \(I\pourcent\): Taux d'intérêt annuel en pourcentage.
  • \(PV\): Valeur Actuelle. C'est le montant du prêt. Comme tu reçois cet argent, il est positif.
  • \(PMT\): Montant du paiement. Comme tu paies cela à la banque, il est négatif.
  • \(FV\): Valeur Future. Pour rembourser le prêt complètement, cela doit être \(\mathbf{0}\).
  • \(P/Y\): Paiements par An (ex: 12 pour mensuel).
  • \(C/Y\): Périodes de Capitalisation par An (généralement identique à \(P/Y\)).
Exemple

Erica contracte un prêt personnel de \(16\,500\dollar\) pour acheter une voiture. Le prêt est sur 4 ans à \(5,5\pourcent\) par an, composé mensuellement.
  1. Calcule son remboursement mensuel.
  2. Calcule le montant total qu'elle rembourse sur les 4 ans.
  3. Calcule le total des intérêts qu'elle paie.

  1. En utilisant le solveur TVM :
    • \(N = 4 \times 12 = 48\)
    • \(I\pourcent = 5,5\)
    • \(PV = 16500\) (positif, argent reçu)
    • \(FV = 0\) (prêt remboursé)
    • \(P/Y = 12\), \(C/Y = 12\)
    En résolvant pour \(PMT\), on obtient \(PMT \approx -383,74\). Donc, le remboursement mensuel est de \(383,74\dollar\).
  2. Remboursement Total = Paiement Mensuel \(\times\) Total des Mois $$ 383,74 \times 48 = 18\,419,52\dollar $$
  3. Intérêts Totaux = Remboursement Total - Principal $$ 18\,419,52 - 16\,500 = 1\,919,52\dollar $$

Annuités


Imagine que tu as épargné \(300\,000\dollar\) pour ta retraite. Tu places cet argent sur un compte qui rapporte \(5\pourcent\) d'intérêts composés annuellement. Tu prévois de retirer \(25\,000\dollar\) à la fin de chaque année pour vivre.
Voyons ce qui arrive à tes économies :
  • Après un an :
    • Intérêts gagnés : \(5\pourcent \text{ de } 300\,000 = 0,05 \times 300\,000 = 15\,000\dollar\).
    • Solde avant retrait : \(300\,000 + 15\,000 = 315\,000\dollar\).
    • Solde après retrait : \(315\,000 - 25\,000 = 290\,000\dollar\).
  • Après deux ans :
    • Intérêts gagnés (sur le nouveau solde) : \(5\pourcent \text{ de } 290\,000 = 0,05 \times 290\,000 = 14\,500\dollar\).
    • Solde avant retrait : \(290\,000 + 14\,500 = 304\,500\dollar\).
    • Solde après retrait : \(304\,500 - 25\,000 = 279\,500\dollar\).
Nous pouvons résumer cela dans un tableau :
Année Solde Début Intérêt (\(5\pourcent\)) Retrait Solde Fin
1 \(300\,000\dollar\) \(15\,000\dollar\) \(25\,000\dollar\) \(290\,000\dollar\)
2 \(290\,000\dollar\) \(14\,500\dollar\) \(25\,000\dollar\) \(279\,500\dollar\)
Parce que tu retires plus (\(25\,000\dollar\)) que tu ne gagnes en intérêts (\(15\,000\dollar\)), le solde diminue. Finalement, l'argent s'épuisera. C'est ainsi que fonctionne une annuité.

Définition Annuity
Une annuité est essentiellement l'inverse d'un prêt. Au lieu d'emprunter une somme forfaitaire et de la rembourser, un individu dépose une somme forfaitaire sur un compte et effectue ensuite des retraits réguliers sur une période fixe. Le solde restant sur le compte continue de générer des intérêts.
Ceci est couramment utilisé pour les fonds de retraite (superannuation), où une personne épargne pendant sa vie active puis "transfère" cette somme forfaitaire dans une annuité pour se fournir un revenu régulier.
Méthode Calculer les annuités avec un solveur TVM
Lors des calculs d'annuités :
  • \(PV\): La somme forfaitaire initialement déposée. Comme tu mets cet argent sur le compte (loin de toi), elle est saisie comme négative.
  • \(PMT\): Le montant du retrait régulier. Comme tu reçois cet argent, il est positif.
  • \(FV\): Le montant restant sur le compte à la fin. Habituellement, on calcule combien de temps l'argent dure jusqu'à épuisement, donc \(FV = 0\).
Exemple

Heather prend sa retraite à 65 ans avec \(900\,000\dollar\) dans son fonds d'épargne. Elle transfère cet argent dans un fonds de rente gagnant \(4\pourcent\) par an, composé mensuellement. Elle souhaite retirer \(5\,400\dollar\) par mois pour vivre.
Combien de temps son argent durera-t-il ? Donne ta réponse en années et en mois.

En utilisant le solveur TVM :
  • \(I\pourcent = 4\)
  • \(PV = -900000\) (argent investi)
  • \(PMT = 5400\) (revenu mensuel)
  • \(FV = 0\) (l'argent s'épuise)
  • \(P/Y = 12\), \(C/Y = 12\)
En résolvant pour \(N\), on obtient \(N \approx 243,7\).Cela représente environ 243 retraits complets.Pour convertir en années et mois :$$ 243 \div 12 = 20 \text{ ans avec un reste de } 3 \text{ mois} $$Donc, l'argent durera 20 ans et 3 mois.