Approximations et erreurs

En sciences et en mathématiques, il est souvent impossible d'obtenir des valeurs exactes, soit à cause des limites de mesure, soit parce que certains nombres (comme \(\pi\) ou \(\sqrt{2}\)) ne peuvent pas s'écrire exactement sous forme décimale finie. Nous travaillons donc fréquemment avec des approximations.
Dans ce chapitre, on apprend à arrondir correctement, à quantifier l'erreur introduite par une approximation, à relier la précision d'une mesure à la plus petite graduation d'une échelle, et à déterminer des bornes (un intervalle de valeurs possibles pour la valeur réelle).

On peut arrondir les nombres de deux manières principales :

• Décimales (dp) : le nombre de chiffres conservés après la virgule.
• Chiffres significatifs (cs) : le nombre de chiffres conservés à partir du premier chiffre non nul.

Règle d'arrondi (au plus proche) : on regarde le premier chiffre supprimé. S'il vaut \(0,1,2,3,4\), on arrondit à l'inférieur ; s'il vaut \(5,6,7,8,9\), on arrondit au supérieur.

Considérons le nombre \(N = 1204{,}5678\).

• Arrondi à 2 décimales (2 dp) : \(1204{,}57\) (la 3ième décimale est \(7\), donc on arrondit au supérieur).
• Arrondi à 3 chiffres significatifs (3 cs) : \(1{,}20 \times 10^3\) (le chiffre suivant est \(4\), donc on arrondit à l'inférieur).
  (On peut écrire \(1200\), mais \(1{,}20\times 10^3\) explicite clairement les ``3 cs''.)

L'estimation consiste à obtenir une valeur suffisamment proche du résultat correct en effectuant des calculs plus simples. Cela permet de vérifier qu'un résultat à la calculatrice est raisonnable (ordre de grandeur, taille, cohérence).

Une stratégie courante :

1. Arrondir chaque nombre à 1 chiffre significatif.
2. Effectuer le calcul avec les nombres arrondis.
3. Interpréter le résultat comme un contrôle (et non comme une valeur exacte).

Un repas au restaurant coûte \(9{,}90\) euros par personne. Estimer le coût total pour \(5\) personnes.

Soit \(V_{\text{exact}}\) la valeur réelle et \(V_{\text{approx}}\) la valeur approximative.

• L'erreur signée est \(e = V_{\text{approx}} - V_{\text{exact}}\).
• L'erreur absolue est \(|e| = |V_{\text{approx}} - V_{\text{exact}}|\).
• L'erreur relative (si \(V_{\text{exact}}\neq 0\)) est $$ r = \left|\frac{V_{\text{approx}} - V_{\text{exact}}}{V_{\text{exact}}}\right|. $$
• Le pourcentage d'erreur est $$ \epsilon = r \times 100\pourcent = \left|\frac{V_{\text{approx}} - V_{\text{exact}}}{V_{\text{exact}}}\right|\times 100\pourcent. $$

La longueur estimée d'une table est de \(150\) cm, alors que la longueur réelle est de \(145\) cm. Calculer l'erreur absolue et le pourcentage d'erreur.

Lorsque nous prenons des mesures, nous lisons généralement une échelle (une règle, un thermomètre, une balance, \(\dots\)). Souvent, la valeur réelle se situe entre deux graduations. On note la graduation la plus proche : la valeur notée est donc une approximation.
Si la plus petite graduation de l'échelle est \(u\), alors l'erreur de lecture maximale est de \(\pm \dfrac{u}{2}\).

Si la plus petite graduation de l'échelle est \(u\), alors :$$ \text{précision} = \pm \frac{u}{2}. $$On parle aussi d'erreur de lecture ou d'incertitude absolue.

Une règle a des graduations tous les \(1\) cm (donc \(u=1\) cm). Un crayon est mesuré à \(14\) cm.

1. Déterminer la précision de la mesure.
2. Donner l'intervalle dans lequel se trouve la longueur réelle.

Lorsqu'une valeur est arrondie à l'unité \(u\) la plus proche, la valeur exacte vérifie :$$ \text{Valeur arrondie} - \frac{u}{2} \le x < \text{Valeur arrondie} + \frac{u}{2}. $$(Exemples : au cm près \(\Rightarrow u=1\) ; au dixième près \(\Rightarrow u=0{,}1\) ; à \(2\) dp \(\Rightarrow u=0{,}01\).)

Pour une valeur arrondie :

• La borne inférieure (BI) est la plus petite valeur possible.
• La borne supérieure (BS) est la plus grande valeur possible (généralement non incluse) : on écrit souvent ``\(<\)'' pour la borne supérieure.

La longueur d'un livre est donnée par \(L = 12\) cm, arrondie au cm près (\(u=1\)).

1. Calculer la borne inférieure et la borne supérieure de la longueur.
2. Écrire l'inégalité représentant les valeurs possibles de la longueur réelle.

Lors de calculs avec des valeurs arrondies (aire, périmètre, vitesse, \(\dots\)), les erreurs se propagent.
Soient \(A\) et \(B\) deux quantités positives avec \(A\in[A_{\min},A_{\max}]\) et \(B\in[B_{\min},B_{\max}]\) (avec \(B_{\min}>0\) si l'on divise par \(B\)).

Opération	Valeur maximale	Valeur minimale
\(A + B\)	\(A_{\max} + B_{\max}\)	\(A_{\min} + B_{\min}\)
\(A - B\)	\(A_{\max} - B_{\min}\)	\(A_{\min} - B_{\max}\)
\(A \times B\)	\(A_{\max} \times B_{\max}\)	\(A_{\min} \times B_{\min}\)
\(A \div B\)	\(A_{\max} \div B_{\min}\)	\(A_{\min} \div B_{\max}\)

Un rectangle a une longueur \(l = 10\) cm et une largeur \(w = 5\) cm, toutes deux mesurées au cm près. Calculer l'aire maximale et minimale possible.