\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Produit Vectoriel

Alors que le produit scalaire de deux vecteurs donne un scalaire, il existe une seconde forme de produit, définie uniquement en dimension 3, appelée produit vectoriel (ou produit croisé). Cette opération prend deux vecteurs dans l'espace tridimensionnel et produit un troisième vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine. Le produit vectoriel est un outil fondamental en physique (par exemple pour le couple et le moment cinétique) et en mathématiques (pour calculer des aires, des volumes et décrire des orientations géométriques).

Définition


Le produit vectoriel découle du problème consistant à trouver un vecteur qui soit simultanément perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Contrairement au produit scalaire, le produit vectoriel est défini exclusivement pour des vecteurs dans l'espace tridimensionnel.
Supposons que nous voulions trouver un vecteur \(\Vect{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) qui soit perpendiculaire à la fois à \(\Vect{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) et à \(\Vect{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\). Cette condition géométrique signifie que leurs produits scalaires doivent être nuls :$$\begin{cases}\Vect{a} \cdot \Vect{x} = a_1x + a_2y + a_3z = 0 \\ \Vect{b} \cdot \Vect{x} = b_1x + b_2y + b_3z = 0\end{cases}$$La résolution de ce système d'équations linéaires (en tenant compte des conditions géométriques de norme et d'orientation) permet de retrouver la formule des composantes du produit vectoriel.

Définition Produit Vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace \(\Vect{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) et \(\Vect{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\) est défini par :$$\Vect{a} \times \Vect{b} =\begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}$$Le vecteur \(\Vect{a} \times \Vect{b}\) est un vecteur de l'espace tridimensionnel, perpendiculaire à la fois à \(\Vect{a}\) et à \(\Vect{b}\).
Une façon pratique de mémoriser la formule du produit vectoriel consiste à l'exprimer sous la forme d'un déterminant symbolique \(3 \times 3\) en utilisant les vecteurs de la base canonique \(\Vect{i}\), \(\Vect{j}\) et \(\Vect{k}\) :$$\begin{aligned}\Vect{a} \times \Vect{b} &= \begin{vmatrix} \Vect{i} & \Vect{j} & \Vect{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} \\ &= \Vect{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \Vect{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \Vect{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\ &= (a_2b_3 - a_3b_2) \Vect{i} - (a_1b_3 - a_3b_1) \Vect{j} + (a_1b_2 - a_2b_1) \Vect{k} \\ &= \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Interprétation géométrique

Proposition Règle de la main droite
La direction du produit vectoriel \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}} \times \textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\) est déterminée par la règle de la main droite. Si l'on enroule les doigts de la main droite dans le sens allant du vecteur \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}}\) vers le vecteur \(\textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\), le pouce pointe dans la direction de \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}} \times \textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\).
Proposition Formules de la norme
  • La norme (ou longueur) du produit vectoriel est donnée par :$$|\textcolor{colordef}{\Vect{a}} \times \textcolor{colorprop}{\Vect{b}}|= |\textcolor{colordef}{\Vect{a}}|\,|\textcolor{colorprop}{\Vect{b}}| \sin\textcolor{orange}{\theta}$$où \(\textcolor{orange}{\theta}\) est l'angle entre les vecteurs \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}}\) et \(\textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\).
  • Géométriquement, la norme du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}}\) et \(\textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\) :$$|\textcolor{colordef}{\Vect{a}} \times \textcolor{colorprop}{\Vect{b}}|= \textcolor{olive}{\text{Aire}}.$$Par conséquent, l'aire du triangle formé par \(\textcolor{colordef}{\Vect{a}}\) et \(\textcolor{colorprop}{\Vect{b}}\) est\(\dfrac12 |\textcolor{colordef}{\Vect{a}} \times \textcolor{colorprop}{\Vect{b}}|\).