Géométrie vectorielle des droites et des plans

Géométrie vectorielle des droites

Définition Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires si l'un est un multiple scalaire de l'autre (même direction). C'est-à-dire s'il existe un nombre réel $k$ tel que :$$\Vect{u} = k \Vect{v}.$$

Proposition Alignement

Trois points $A, B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{AC}$ sont colinéaires.

Définition Caractérisation d'une droite

Une droite $d$ est définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\Vect{u}$ ($\Vect{u} \neq \Vect{0}$). On la note $d(A, \Vect{u})$.
Un point $M$ appartient à $d$ s'il existe un réel $k$ tel que $\Vect{AM} = k\Vect{u}$.

Proposition Position relative de deux droites

Soient $d(A, \Vect{u})$ et $d'(B, \Vect{v})$ deux droites de l'espace.

Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires, les droites sont parallèles (soit strictement parallèles, soit confondues).
Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ ne sont pas colinéaires :
- Elles sont sécantes si elles ont un point commun (elles sont alors coplanaires).
- Elles sont non coplanaires si elles n'ont aucun point commun.

Géométrie vectorielle des plans

Définition Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\Vect{u}, \Vect{v}$ et $\Vect{w}$ sont coplanaires si l'un est une combinaison linéaire des deux autres. C'est-à-dire, s'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :$$\Vect{w} = x \Vect{u} + y \Vect{v}.$$

Proposition Coplanarité de quatre points

Quatre points $A, B, C$ et $D$ appartiennent à un même plan si et seulement si les vecteurs $\Vect{AB}, \Vect{AC}$ et $\Vect{AD}$ sont coplanaires.

Définition Caractérisation d'un plan

Un plan $\mathscr{P}$ est défini par un point $A$ et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$. On le note $\mathscr{P}(A, \Vect{u}, \Vect{v})$. Un point $M$ appartient à $\mathscr{P}$ s'il existe des réels $x$ et $y$ tels que $\Vect{AM} = x\Vect{u} + y\Vect{v}$.

Proposition Position relative d'une droite et d'un plan

Soit $d(A,\Vect{u})$ une droite et $\mathscr{P}(B,\Vect{v},\Vect{w})$ un plan.

La droite $(d)$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$ si les vecteurs $\Vect{u}$, $\Vect{v}$ et $\Vect{w}$ sont coplanaires.
Sinon, la droite et le plan sont sécants en un unique point.

Proposition Position relative de deux plans

Deux plans sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de l'un sont des combinaisons linéaires des vecteurs directeurs de l'autre.
Sinon, ils sont sécants et leur intersection est toujours une droite.

Vecteurs normaux à un plan

Définition Vecteur normal

Étant donné un plan $\mathscr{P}$ défini par un point $A$ et deux vecteurs directeurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$, un vecteur non nul $\Vect{n}$ est dit normal au plan s’il est orthogonal à la fois à $\Vect{u}$ et à $\Vect{v}$.

De manière équivalente, $\Vect{n}$ est normal à $\mathscr{P}$ si, pour tout point $M$ du plan, les vecteurs $\Vect{AM}$ et $\Vect{n}$ sont orthogonaux.

Proposition Plans perpendiculaires

Deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux respectifs $\Vect{n_1}$ et $\Vect{n_2}$ sont orthogonaux.$$\mathscr{P}_1 \perp \mathscr{P}_2 \iff \Vect{n_1} \cdot \Vect{n_2} = 0$$

Exemple

Dans un cube $ABCDEFGH$, on considère les plans $\mathscr{P}(A,\Vect{AB},\Vect{AC})$ et $\mathscr{P}(A,\Vect{AD},\Vect{AE})$.

Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}(A,\Vect{AB},\Vect{AC})$ est $\Vect{AE}$ (car il est perpendiculaire à $\Vect{AB}$ et à $\Vect{AC}$).
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}(A,\Vect{AD},\Vect{AE})$ est $\Vect{AB}$ (car il est perpendiculaire aux arêtes $\Vect{AD}$ et $\Vect{AE}$).
Or, puisque $ABCDEFGH$ est un cube, on a $\Vect{AE}\cdot \Vect{AB}=0$.

Donc les plans $\mathscr{P}(A,\Vect{AB},\Vect{AC})$ et $\mathscr{P}(A,\Vect{AD},\Vect{AE})$ sont perpendiculaires.

Équation cartésienne d'un plan

Proposition Équation cartésienne

Dans un repère orthonormé, le plan passant par le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dont un vecteur normal est $\Vect{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la forme :$$ax + by + cz + d = 0$$où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ et $d$ est un nombre réel.

Preuve

Un point $M(x,y,z)$ appartient au plan si et seulement si $\Vect{AM}\cdot \Vect{n}=0$.$$\begin{aligned}\Vect{AM}\cdot \Vect{n}=0&\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\\ &\iff ax+by+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0.\end{aligned}$$En posant $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$, on obtient l’équation cartésienne sous la forme $ax+by+cz+d=0$.

Exemple

Déterminer l’équation cartésienne du plan passant par $A(-1,2,3)$ et de vecteur normal $\Vect{n}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

Correction

Méthode 1 : L’équation s’écrit $2x-3y+z+d=0$. Comme $A\in\mathscr{P}$ : $$\begin{aligned} 2(-1) - 3(2) + 3 + d &= 0\\ -2 - 6 + 3 + d &= 0\\ d &= 5\end{aligned}$$Donc l’équation du plan est : $2x-3y+z+5=0$.
Méthode 2 :$$\begin{aligned}\Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0 &\iff 2(x - (-1)) - 3(y - 2) + 1(z - 3) = 0\\ &\iff 2x - 3y + z + 5 = 0\end{aligned}$$

Distance d'un point à un plan

Définition Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur un plan $\mathscr{P}$ est le point $H$ défini comme l’intersection du plan et de la droite passant par $M$ et perpendiculaire à $\mathscr{P}$.

Définition Distance d'un point à un ensemble

La distance entre un point $M$ et un ensemble de points $\mathcal{S}$ est la plus petite longueur $MA$ parmi tous les points $A$ appartenant à $\mathcal{S}$.

Proposition Plus courte distance

La distance d’un point $M$ à un plan $\mathscr{P}$ est la longueur $MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{P}$.

Preuve

Soit $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $\mathscr{P}$, et soit $A$ un point quelconque appartenant au plan. On peut décomposer le vecteur $\Vect{MA}$ à l’aide de la relation de Chasles :$$\Vect{MA}=\Vect{MH}+\Vect{HA}.$$En calculant le carré de la norme (carré scalaire), on obtient :$$\begin{aligned}\|\Vect{MA}\|^2&=(\Vect{MH}+\Vect{HA})\cdot(\Vect{MH}+\Vect{HA})\\ &=\|\Vect{MH}\|^2+2(\Vect{MH}\cdot\Vect{HA})+\|\Vect{HA}\|^2.\end{aligned}$$Or, la droite $(MH)$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ et le vecteur $\Vect{HA}$ appartient au plan ; les vecteurs $\Vect{MH}$ et $\Vect{HA}$ sont donc orthogonaux. Leur produit scalaire est donc nul : $\Vect{MH}\cdot\Vect{HA}=0$. L’expression se simplifie alors en :$$\|\Vect{MA}\|^2=\|\Vect{MH}\|^2+\|\Vect{HA}\|^2.$$Comme $\|\Vect{HA}\|^2\ge 0$, on en déduit $\|\Vect{MA}\|^2\ge \|\Vect{MH}\|^2$, donc $MA\ge MH$.
Cela confirme que $MH$ est la distance minimale entre $M$ et tout point du plan.