\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Fonctions cosinus et sinus

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions réelles qui relient la mesure d’un angle dans un triangle rectangle aux rapports entre deux côtés de ce triangle. Elles jouent un rôle fondamental en géométrie et sont largement utilisées dans de nombreux domaines scientifiques, comme la navigation, la mécanique, l’astronomie, la géodésie, et bien d’autres. Les fonctions trigonométriques sont aussi parmi les exemples les plus simples de fonctions périodiques, ce qui les rend essentielles pour modéliser des phénomènes périodiques (comme les ondes) et pour des applications comme l’analyse de Fourier.

Fonctions Sinus et Cosinus

Définition Fonction périodique
Une fonction \(f\) est dite périodique s'il existe une constante \(P>0\) telle que :$$ f(x+P) = f(x), \quad \text{pour tout } x $$
Soit \(M(\cos x,\, \sin x)\) le point du cercle trigonométrique correspondant à un angle \(x\) (exprimé en radians).
  • L’angle \(x\) sur le cercle trigonométrique correspond à l’antécédent (l’« entrée ») de la fonction sinus.
  • L’ordonnée du point \(M\) sur le cercle, \(\sin x\), donne la valeur (l’« image ») de la fonction sinus.
Ainsi, représenter \(x \mapsto \sin x\) donne la courbe de la fonction sinus.
Voir par exemple : \href{https://www.geogebra.org/m/j7w29vj4}{démo Geogebra}.
Définition Fonction sinus
La fonction sinus, notée \(\sin\), est définie par \(x\mapsto \sin(x)\), où \(x\) représente un angle en radians.
Exemple
Complète le tableau suivant avec les valeurs de la fonction sinus aux principaux angles :
\(x\) 0 \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\sin(x)\)

\(x\) 0 \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\sin(x)\) 0 \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 1 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) 0

Si l’on projette les valeurs de \(\cos x\) à partir du cercle trigonométrique sur un graphique, on obtient la courbe de la fonction cosinus \(x \mapsto \cos x\).
Définition Fonction cosinus
La fonction cosinus, notée \(\cos\), est définie par \(x\mapsto\cos(x)\), où \(x\) représente un angle en radians.
Exemple
Complète le tableau suivant avec les valeurs de la fonction cosinus aux principaux angles :
\(x\) 0 \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\cos(x)\)

\(x\) \(0\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\cos(x)\) \(1\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)

Proposition Propriétés du sinus et du cosinus
  • Périodicité : Les deux fonctions sont périodiques de période \(2\pi\).
  • Domaine et ensemble image : Le domaine est \(\mathbb{R}\). L'ensemble image est \([-1, 1]\).
  • Symétrie : Le cosinus est une fonction paire (\(\cos(-x)=\cos(x)\)). Le sinus est une fonction impaire (\(\sin(-x)=-\sin(x)\)).
  • Amplitude : L'amplitude des fonctions de base est 1.

Résolution d'équations trigonométriques

Méthode Résoudre une équation trigonométrique
  1. Utiliser les identités pour simplifier l'équation sous une forme n'impliquant qu'une seule fonction trigonométrique, par ex., \(\sin(X)=k\).
  2. Trouver la valeur principale (la première solution) en utilisant une fonction réciproque, \(X = \arcsin(k)\).
  3. Utiliser la symétrie et la périodicité de la fonction pour trouver toutes les solutions dans une période.
  4. Ajouter des multiples de la période (\(2k\pi\) ou \(k\pi\)) pour trouver la solution générale ou toutes les solutions dans un domaine spécifié.
Exemple
Trouver la solution générale de l'équation \(2\sin(3x) = \sqrt{3}\), puis en déduire toutes les solutions dans l'intervalle \(0 \le x \le \pi\).

  1. Simplifier l'équation : D'abord, on isole la fonction trigonométrique. $$ \sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Soit \(u = 3x\). Nous résolvons maintenant \(\sin(u) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
  2. Trouver la valeur principale : La première solution pour \(u\) est : $$ u = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $$
  3. Trouver les solutions dans une période : Pour la fonction sinus, une deuxième solution existe en \(\pi - u\). $$ u = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$
  4. Trouver la solution générale pour \(u\) : La période de la fonction sinus est \(2\pi\). Soit \(k \in \mathbb{Z}\). $$ u = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $$
  5. Résoudre pour \(x\) : On substitue \(u=3x\) pour trouver la solution générale pour \(x\). $$ \boldsymbol{x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}} \quad \text{ou} \quad \boldsymbol{x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}} $$
  6. Trouver les solutions dans le domaine \(0 \le x \le \pi\) : On teste des valeurs entières de \(k\).
    • Pour \(k=0\): \(x = \frac{\pi}{9}\) et \(x = \frac{2\pi}{9}\).
    • Pour \(k=1\): \(x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}\) et \(x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}\).
    • Pour \(k=2\): \(x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{13\pi}{9}\) (hors du domaine).
    Les solutions dans l'intervalle sont \(\boldsymbol{\left\{\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}\right\}}\).
  7. On peut vérifier nos solutions en traçant les graphes de \(y=2\sin(3x)\) et \(y=\sqrt{3}\) sur le même repère pour le domaine \(0 \le x \le \pi\). Les abscisses des points d'intersection correspondent aux solutions de l'équation.

Dérivabilité

Proposition Limites trigonométriques fondamentales
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)-1}{x} = 0 $$
Proposition Dérivées de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :$$ \sin'(x) = \cos(x) \quad \text{et} \quad \cos'(x) = -\sin(x) $$

On démontre que \((\sin x)' = \cos x\) en utilisant la définition du nombre dérivé et la formule de transformation \(\sin(A)-\sin(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})\) :$$ \begin{aligned}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} &= \dfrac{2\cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{h} \\ &= \dfrac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \\ &= \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\end{aligned} $$Quand \(h \to 0\), on a \(x + \frac{h}{2} \to x\) et \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h/2)}{h/2} = 1\). D'où :$$ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) $$La démonstration pour \(\cos(x)\) est analogue.

Proposition Variations de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus étant \(2\pi\)-périodiques, leur étude peut être restreinte à un intervalle d'amplitude \(2\pi\), comme \([-\pi, \pi]\). Leurs variations sur cet intervalle sont données par les tableaux suivants :

Les variations sont déterminées par le signe des fonctions dérivées :
  • Pour le sinus : La dérivée est \(\sin'(x) = \cos(x)\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), \(\cos(x)\) est positif sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) et négatif sur \([-\pi, -\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{\pi}{2}, \pi]\). Ainsi, le sinus est croissant sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) et décroissant ailleurs.
  • Pour le cosinus : La dérivée est \(\cos'(x) = -\sin(x)\). Sur l'intervalle \([-\pi, \pi]\), \(\sin(x)\) est négatif sur \([-\pi, 0]\) (donc \(-\sin(x) > 0\)) et positif sur \([0, \pi]\) (donc \(-\sin(x) < 0\)). Ainsi, le cosinus est croissant sur \([-\pi, 0]\) et décroissant sur \([0, \pi]\).

Proposition Dérivation de fonctions composées
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
  • \((\sin(u(x)))' = u'(x)\cos(u(x))\)
  • \((\cos(u(x)))' = -u'(x)\sin(u(x))\)

Ces formules sont une application directe de la règle de dérivation des fonctions composées :
  • Pour le sinus : Soit \(f(x) = \sin(x)\). Comme \(f'(x) = \cos(x)\), on a : $$ (\sin(u(x)))' = f'(u(x)) \times u'(x) = \cos(u(x)) \times u'(x) $$
  • Pour le cosinus : Soit \(g(x) = \cos(x)\). Comme \(g'(x) = -\sin(x)\), on a : $$ (\cos(u(x)))' = g'(u(x)) \times u'(x) = -\sin(u(x)) \times u'(x) $$

Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = \sin(3x)\).

Soit la fonction intérieure \(u(x)=3x\). La dérivée est \(u'(x)=3\).$$\begin{aligned}f'(x) &= u'(x)\cos(u(x)) \\ &= 3\cos(3x)\end{aligned}$$