Limites de suites

Limite infinie d'une suite

Définition Limite égale à $+\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle du type $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Illustration graphique

Illustration graphique
Aussi grand que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n > A$.
En termes imagés « aussi haute que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement au-dessus ».

Exemple

Les suites $(n)$, $(n^2)$, $(\sqrt{n})$ et $(e^n)$ ont pour limite $+\infty$.

Définition Limite égale à $-\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle du type $]-\infty ; A[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Illustration graphique

Illustration graphique
Aussi négatif que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n < A$.En termes imagés « aussi basse que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement en-dessous ».

Exemple

Les suites $(-2n)$, $(-n^2)$ et $(-5\sqrt{n})$ ont pour limite $-\infty$.

Limite finie et convergence

Définition Limite égale à un réel $\ell$

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit :$$\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$$On dit alors que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou que $\ell$ est la limite de la suite $(u_n)$).

Définition Suite divergente

On distingue deux types de suites :

Les suites convergentes qui possèdent une limite finie ;
Les suites divergentes qui n'en possèdent pas (soit parce qu'elles tendent vers l'infini, soit parce qu'elles n'admettent aucune limite).

Exemple

La suite définie par $u_n = (-1)^n$ n'admet aucune limite. Elle alterne entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une valeur fixe. C'est donc une suite divergente.

Opérations sur les limites

Proposition Somme et produit

Soient $\ell$ et $\ell'$ deux nombres réels.

Somme

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI

Produit

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	FI

FI signifie Forme Indéterminée : on ne peut pas conclure immédiatement, il faut transformer l'expression.

Proposition Quotient de deux suites

Soit $(v_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $v_n \neq 0$.

Cas où $\lim v_n = \ell' \neq 0$ ou $\pm\infty$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Cas où $\lim v_n = 0$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $-$	$0$ en restant $-$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Proposition Limites des suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $\boldsymbol{r > 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{r < 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Preuve

Une suite arithmétique est définie par son terme général : $u_n = u_0 + n \times r$.
On utilise les règles opératoires sur les limites :

Cas $r > 0$ :
- On sait que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ (limite de référence).
- Comme $r$ est une constante strictement positive, par produit : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n \times r) = +\infty$$
- En ajoutant la constante $u_0$, par somme : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = +\infty$$
Cas $r < 0$ :
- On sait que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$.
- Comme $r$ est une constante strictement négative, par produit : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n \times r) = -\infty$.
- En ajoutant la constante $u_0$, par somme : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_0 + nr) = -\infty$.

Exemple

Soit $u_n = 5 + 3n$. Comme $r=3 > 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Soit $v_n = 10 - 2n$. Comme $r=-2 < 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.

Limites et comparaison

Theorem Théorème de comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang $n_0$, on a $u_n \ge v_n$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$,
alors :$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Remarque : De même, si $u_n \le v_n$ et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

Theorem Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang, $\textcolor{colordef}{v_n} \leqslant \textcolor{olive}{u_n} \leqslant \textcolor{colorprop}{w_n}$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$,
alors la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\ell$.

Exemple

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Correction

Pour tout $n \ge 1$, on a $-1 \le (-1)^n \le 1$.
Comme $n > 0$, on peut diviser les membres de l'inégalité par $n$ :$$-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$$On a :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$$

Limites des suites géométriques

Proposition Limites des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel. La limite de la suite $(q^n)$ dépend de la valeur de $q$ :

Si $\boldsymbol{q > 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{-1 < q < 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $\boldsymbol{q = 1}$, alors la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
Si $\boldsymbol{q \le -1}$, alors la suite n'a pas de limite.

Preuve

($q > 1$):
On utilise l'inégalité de Bernoulli : pour tout $a > 0$, $(1+a)^n \ge 1 + na$.
On pose $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$.
Alors $q^n = (1 + a)^n \ge 1 + na$.
Comme $a > 0$, on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (1 + na) = +\infty$.
Par le théorème de comparaison, on en déduit $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
($-1 < q < 1$):
Si $q = 0$, la limite est nulle.
Si $0 < |q| < 1$, on pose $Q = \frac{1}{|q|}$. Alors $Q > 1$.
D'après la démonstration précédente, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} Q^n = +\infty$.
Comme $|q|^n = \frac{1}{Q^n}$, par inverse, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |q|^n = 0$.
Par le théorème des gendarmes ($-|q|^n\leq q^n\leq |q|^n$), on en déduit donc que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

Exemple

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1 {,}05^n = +\infty$ car $1{,}05 > 1$.
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ car $-1 < 0.5 < 1$.
La suite $((-2)^n)$ n'admet pas de limite car $-2 \le -1$.

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)\)	\(\ell+\ell'\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	FI	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)\)	\(\ell\ell'\)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(\ell' \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(\frac{\ell}{\ell'}\)	\(0\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI