Polynômes réels

Les fonctions linéaires et quadratiques sont les deux premiers membres d'une classe plus large de fonctions appelées polynômes. Les polynômes sont fondamentaux en mathématiques et sont utilisés pour modéliser une vaste gamme de phénomènes, de la trajectoire d'un projectile aux tendances économiques complexes. Dans ce chapitre, nous explorerons l'algèbre des polynômes : leurs opérations, leur factorisation, leurs racines, ainsi que les principaux théorèmes qui régissent leur comportement.

Définitions

Définition Polynôme

Un polynôme en la variable $x$ est une expression algébrique de la forme $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0,$$où $n$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des constantes appelées les coefficients.
Une équation polynomiale en $x$ est une équation de la forme $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=0,$$avec $a_n\neq 0$ et $n\ge 1$.
Une fonction polynomiale est une fonction définie pour tout réel $x$ par $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0.$$

On exige que $a_n \neq 0$ :

Le degré du polynôme est la plus grande puissance de la variable $x$ dont le coefficient est non nul ; cet exposant est $n$.
Le coefficient dominant est le coefficient du terme de plus haut degré, $a_n$.
Le terme constant est le coefficient non associé à une variable, $a_0$.

Un polynôme réel est un polynôme dont tous les coefficients $a_i$ sont réels, c’est-à-dire $a_i \in \mathbb{R}$.

Exemple

Pour la fonction polynomiale $P(x)=2x^4+3x^2+5x+4$, déterminer le degré, le coefficient dominant, le coefficient de $x$ et le terme constant.

Correction

On peut imaginer le terme en $x^3$ manquant comme $0x^3$ et écrire$$P(x)=2x^4+0x^3+3x^2+5x+4.$$

Le degré est la plus grande puissance de la variable $x$ dont le coefficient est non nul. Dans $P(x)$, la plus grande puissance est 4.
Le coefficient dominant est le coefficient du terme de plus haut degré, ici $2x^4$. Par conséquent, le coefficient dominant est 2.
Le coefficient de $x$ est la constante qui multiplie le terme en $x$ (ou $x^1$). Ici, le terme est $5x$, donc le coefficient est 5.
Le terme constant est le terme sans variable. Ici, c'est 4.

Définition Noms des polynômes de bas degré

Les polynômes de bas degré ont des noms spéciaux :

Fonction polynomiale	Degré	Nom
$ax+b, \quad a \neq 0$	1	linéaire
$ax^2+bx+c, \quad a \neq 0$	2	quadratique
$ax^3+bx^2+cx+d, \quad a \neq 0$	3	cubique
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, \quad a \neq 0$	4	quartique

Définition Égalité de polynômes

Deux polynômes sont égaux s'ils ont les mêmes coefficients pour chaque puissance correspondante de la variable (c’est-à-dire le même coefficient devant $x^k$ pour tout $k$).

Ce principe est fondamental car il nous permet de déterminer des constantes inconnues en égalant les coefficients des termes de même puissance. Cette technique est appelée identification des coefficients.

Exemple

Déterminer les coefficients $a$ et $b$ sachant que $ax+b=2x-3$.

Correction

Par identification des coefficients des puissances de $x$ correspondantes :

Les coefficients du terme en $x$ doivent être égaux : $a=2$.
Les termes constants doivent être égaux : $b=-3$.

Opérations avec les polynômes

Méthode Opérations avec les polynômes

Les polynômes peuvent être additionnés, soustraits et multipliés. Le principe clé pour l'addition et la soustraction est de combiner les termes semblables : des termes qui ont la même puissance de la variable $x$.

Exemple

Pour $P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ et $Q(x) = x^3 - 3x^2 + 7$, trouver :

$P(x) + Q(x)$
$P(x) - Q(x)$

Correction

Addition : Nous regroupons les termes semblables. $$ \begin{aligned} P(x) + Q(x) &= (4x^3 + 2x^2 - 5x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 7) \\ &= (4x^3 + x^3) + (2x^2 - 3x^2) - 5x + (1 + 7) \\ &= 5x^3 - x^2 - 5x + 8 \end{aligned} $$
Soustraction : Attention aux signes lors de la distribution du signe moins. $$ \begin{aligned} P(x) - Q(x) &= (4x^3 + 2x^2 - 5x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 7) \\ &= 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1 - x^3 + 3x^2 - 7 \\ &= (4x^3 - x^3) + (2x^2 + 3x^2) - 5x + (1 - 7) \\ &= 3x^3 + 5x^2 - 5x - 6 \end{aligned} $$

Exemple

Pour $P(x) = x^3 - 2x + 4$ et $Q(x) = 2x^2 + 3x - 5$, trouver $P(x)Q(x)$.

Correction

Pour multiplier deux polynômes, on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second.$$ \begin{aligned} P(x)Q(x) &= (x^3 - 2x + 4)(2x^2 + 3x - 5) \\ &= x^3(2x^2 + 3x - 5) - 2x(2x^2 + 3x - 5) + 4(2x^2 + 3x - 5) \\ &= (2x^5 + 3x^4 - 5x^3) - (4x^3 + 6x^2 - 10x) + (8x^2 + 12x - 20) \\ &= 2x^5 + 3x^4 - 9x^3 + 2x^2 + 22x - 20 \end{aligned} $$Le degré du produit de deux polynômes non nuls, $P(x)$ et $Q(x)$, est la somme de leurs degrés. En effet, le terme dominant du produit $P(x)Q(x)$ est obtenu en multipliant le terme dominant de $P(x)$ par le terme dominant de $Q(x)$, et les exposants s’additionnent.
Dans ce cas précis, comme le degré de $P(x)$ est 3 et le degré de $Q(x)$ est 2, le degré de leur produit est $3 + 2 = 5$.

L'algorithme de la division euclidienne

Proposition Division Euclidienne

Si un polynôme $P$ est divisé par un polynôme non nul $D$, alors il existe un unique couple de polynômes $(Q, R)$ tel que$$ P = DQ + R \quad \text{avec } \deg(R)<\deg(D). $$On appelle $P$ le dividende, $D$ le diviseur, $Q$ le quotient et $R$ le reste. Le reste $R$ peut éventuellement être le polynôme nul.

Méthode Algorithme de division

La division d'un polynôme par un autre peut s'effectuer à l'aide d'un algorithme de division posée, analogue à la méthode utilisée pour la division des nombres entiers.

Exemple

$$\begin{array}{ccccccccl} \textcolor{olive}{x^2+3x+5} &=& \textcolor{colordef}{(x+1)}& \times& \textcolor{colorprop}{(x+2)}&+&\textcolor{orange}{3} & \text{ avec }& \deg(\textcolor{orange}{3})\lt \deg(\textcolor{colordef}{x+1})\\ \textcolor{olive}{\text{Dividende}}&=& \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}&\times&\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}&+&\textcolor{orange}{\text{Reste}}& \text{ avec }& \deg(\textcolor{orange}{\text{Reste}})\lt \deg(\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}) \end{array} $$

L'algorithme de la division décrit le résultat de n'importe quelle division de polynômes. Un cas particulier important est celui où la division est exacte, c'est-à-dire sans reste ($R=0$). Cela nous amène au concept de diviseur, ou facteur.

Définition Diviseur d'un polynôme

Soient $P$ et $D$ des polynômes. On dit que $D$ divise $P$ s'il existe un polynôme $Q$ tel que$$ P(x) = D(x)Q(x). $$Dans ce cas, $D$ est appelé un diviseur ou un facteur de $P$.

Proposition Condition de divisibilité

Un polynôme $D$ est un diviseur d'un polynôme $P$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $P$ par $D$ est le polynôme nul ($R=0$).

Preuve

Nous devons démontrer les deux sens de l'implication.

($\Rightarrow$) : Si $D$ est un diviseur de $P$, alors le reste est nul.
Supposons que $D$ est un diviseur de $P$.
Par définition d'un diviseur, cela signifie qu'il existe un polynôme $Q$ tel que$$ P(x) = D(x)Q(x). $$On peut réécrire ceci comme $P(x) = D(x)Q(x) + 0$.
L'algorithme de la division euclidienne garantit l'unicité du quotient et du reste. En comparant cette expression avec la forme générale $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$, on conclut par unicité que le reste $R(x)$ doit être nul.
($\Leftarrow$) : Si le reste est nul, alors $D$ est un diviseur de $P$.
Supposons que le reste de la division de $P$ par $D$ est nul.
D'après l'algorithme de la division, on peut écrire$$ P(x) = D(x)Q(x) + R(x). $$En remplaçant $R(x)$ par $0$, on obtient$$ \begin{aligned} P(x) &= D(x)Q(x) + 0 \\ &= D(x)Q(x). \end{aligned} $$Ceci est précisément la définition de $D$ comme étant un diviseur de $P$.

Théorèmes du reste et du facteur

Bien que l'algorithme de la division s'applique à tout diviseur polynomial, deux théorèmes puissants émergent lorsque nous considérons le cas spécifique de la division par un polynôme linéaire de la forme $(x-k)$.

Proposition Théorème du reste

Lorsqu'un polynôme $P$ est divisé par un polynôme linéaire de la forme $(x-k)$, le reste est la valeur constante $P(k)$.

Preuve

D'après l'algorithme de la division euclidienne, lorsqu'un polynôme $P$ est divisé par le diviseur $D(x) = x-k$, il existe un quotient unique $Q$ et un reste $R$ tels que$$ P(x) = (x-k)Q(x) + R(x). $$Nous savons que le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur. Comme le degré du diviseur $(x-k)$ est $1$, le degré du reste $R(x)$ doit être $0$. Cela signifie que le reste est une constante, que l'on note $r$.
L'équation de la division peut donc s'écrire$$ P(x) = (x-k)Q(x) + r. $$Cette identité est vraie pour toute valeur de $x$. En substituant $x=k$ dans l'équation, on obtient$$ \begin{aligned} P(k) &= (k-k)Q(k) + r \\ &= 0 \cdot Q(k) + r \\ &= r. \end{aligned} $$Ainsi, le reste $r$ est précisément la valeur du polynôme évalué en $k$, c’est-à-dire $P(k)$.

Définition Racine

Soit $P$ un polynôme.
Un nombre $\alpha$ est une racine (ou un zéro) de $P$ si $P(\alpha)=0$.

Proposition Théorème du facteur

Pour tout polynôme $P$, $(x-\alpha)$ est un facteur de $P$ si et seulement si $P(\alpha)=0$.

Preuve

Soit $P(x)$ un polynôme et $\alpha$ un nombre.$$\begin{array}{rll} & (x-\alpha) \text{ est un facteur de } P(x) & \\ \iff & \text{le reste de la division de } P(x) \text{ par } (x-\alpha) \text{ est } 0 & \text{(d'après la condition de divisibilité)} \\ \iff & P(\alpha) = 0 & \text{(d'après le théorème du reste, car le reste est } P(\alpha))\end{array}$$

Proposition Nombre de racines

Un polynôme $P$ de degré $n \ge 0$ admet au plus $n$ racines distinctes.

Preuve

On procède par récurrence sur le degré $n$ du polynôme.

Initialisation ($n=0$): Un polynôme de degré $0$ est une constante non nulle ($P(x) = a_0$ avec $a_0 \neq 0$). Il n'a aucune racine. Comme $0 \le 0$, la propriété est vraie.
Hérédité : Supposons que tout polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines. Soit $P$ un polynôme de degré $n+1$.
- Si $P$ n'admet aucune racine, alors $0 \le n+1$ et la propriété est vraie.
- Si $P$ admet au moins une racine $\alpha$, alors d'après le théorème du facteur, on peut écrire : $$ P(x) = (x - \alpha)Q(x) $$ où $Q$ est un polynôme de degré $n$. Par hypothèse de récurrence, $Q$ admet au plus $n$ racines. Les racines de $P$ sont $\alpha$ ainsi que les racines de $Q$. Par conséquent, $P$ admet au plus $n+1$ racines.
Conclusion : Par le principe de récurrence, un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.

Équations quadratiques à racines complexes

Le théorème du facteur relie les racines aux facteurs, mais il ne garantit pas qu'un polynôme réel ait des racines réelles (par exemple, $P(x)=x^2+1$). Pour comprendre pleinement les racines de tous les polynômes, nous devons considérer les solutions dans l'ensemble des nombres complexes, $\mathbb{C}$.

Proposition Résolution d'une équation de la forme $x^2 \equal k$

On considère l'équation $z^2 = k$, où $k$ est un nombre réel.

Si $k > 0$, alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$ z_1 = \sqrt{k} \quad \text{et} \quad z_2 = -\sqrt{k} $$
Si $k = 0$, alors l'équation admet une unique solution réelle : $$ z_0 = 0 $$
Si $k < 0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées (imaginaires pures) : $$ z_1 = i\sqrt{-k} \quad \text{et} \quad z_2 = -i\sqrt{-k} $$

Proposition Résolution dans $\mathbb{C}$ d'une équation du second degré à coefficients réels

On considère l'équation $az^2 + bz + c = 0$, avec $a, b$ et $c$ trois réels ($a \neq 0$).
Soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de cette équation.

Si $\Delta > 0$, alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$ z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Si $\Delta = 0$, alors l'équation admet une unique solution réelle : $$ z_0 = \frac{-b}{2a} $$
Si $\Delta < 0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $$ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$
Si $\Delta \neq 0$, alors $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$.

Théorème fondamental de l'algèbre

Proposition Théorème fondamental de l'algèbre

Tout polynôme non constant de degré $n \ge 1$ à coefficients complexes (en particulier réels) admet exactement $n$ racines dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, en comptant les racines avec leur multiplicité.

Remarque

La démonstration de ce théorème dépasse le cadre de ce cours, mais son résultat est fondamental. Il garantit qu'il n'est pas nécessaire d'inventer de nouveaux ensembles de nombres pour résoudre des équations polynomiales : les nombres complexes sont algébriquement clos à cet égard.

Proposition Théorème des racines conjuguées

Si un polynôme $P(x)$ a des coefficients réels, et si $z_0$ est une racine complexe de l'équation $P(x)=0$, alors son conjugué, $\conjugate{z_0}$, doit aussi être une racine.

Preuve

Soit $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ où tous les coefficients $a_k$ sont des nombres réels.
On suppose que $z_0$ est une racine, donc $P(z_0) = 0$. On veut montrer que $P(\conjugate{z_0})=0$.$$\begin{aligned} P(\conjugate{z_0}) &= a_n(\conjugate{z_0})^n + \dots + a_1\conjugate{z_0} + a_0 \\ &= a_n\conjugate{z_0^n} + \dots + a_1\conjugate{z_0} + a_0 && \text{(conjugué d'une puissance)} \\ &= \conjugate{a_n}\conjugate{z_0^n} + \dots + \conjugate{a_1}\conjugate{z_0} + \conjugate{a_0} && \text{(coefficients $a_k$ réels)} \\ &= \conjugate{a_n z_0^n} + \dots + \conjugate{a_1 z_0} + \conjugate{a_0} && \text{(conjugué d'un produit)} \\ &= \conjugate{a_n z_0^n + \dots + a_1 z_0 + a_0} && \text{(conjugué d'une somme)} \\ &= \conjugate{P(z_0)} \\ &= \conjugate{0} = 0.\end{aligned}$$Ainsi, si $z_0$ est une racine, alors $\conjugate{z_0}$ doit aussi être une racine.

Exemple

Étant donné que $x = 2+i$ est une racine de l'équation polynomiale $P(x) = x^3 - 7x^2 + 17x - 15 = 0$, trouver toutes les racines.

Correction

Soient les racines $r_1, r_2, r_3$. On nous donne $r_1 = 2+i$.

Étape 1 : Appliquer le théorème des racines conjuguées. Les coefficients de $P(x)$ sont réels. Puisque $r_1 = 2+i$ est une racine, son conjugué $r_2 = 2-i$ doit aussi être une racine.
Étape 2 : Former un facteur quadratique réel. Le facteur quadratique correspondant à ces deux racines est $(x - r_1)(x - r_2)$. $$ \begin{aligned} (x - (2+i))(x - (2-i)) &= ((x-2) - i)((x-2) + i)\\ &= (x-2)^2 - i^2 \\ &= x^2 - 4x + 4 + 1 \\ &= x^2 - 4x + 5. \end{aligned} $$
Étape 3 : Trouver le facteur restant. Puisque $P(x)$ est cubique, le facteur restant doit être linéaire. On peut écrire $P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x-k)$. En comparant les termes constants, on obtient $$5 \times (-k) = -15,$$ce qui implique $k=3$. La troisième racine est donc $r_3=3$.

Les racines sont $\{2+i, 2-i, 3\}$.

Théorème de la somme et du produit des racines

Il existe une relation directe et puissante entre les racines d'une équation polynomiale et ses coefficients. Nous pouvons découvrir cette relation en comparant la forme standard d'un polynôme avec sa forme factorisée.

Cas 1 : Équation quadratique ($n=2$)
Considérons une équation quadratique unitaire ($a_2=1$) avec les racines $r_1$ et $r_2$.$$ \begin{aligned} x^2 + a_1x + a_0 &= (x-r_1)(x-r_2) \\ &= x^2 - (r_1+r_2)x + (r_1r_2).\end{aligned} $$Par identification des coefficients, nous voyons que :
- La somme des racines est $r_1+r_2 = -a_1$.
- Le produit des racines est $r_1r_2 = a_0$.
Cas 2 : Équation cubique ($n=3$)
Considérons une équation cubique unitaire ($a_3=1$) avec les racines $r_1, r_2, r_3$.$$ \begin{aligned} x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 &= (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \\ &= [x^2 - (r_1+r_2)x + r_1r_2](x-r_3) \\ &= x^3 - (r_1+r_2+r_3)x^2 + (r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x - (r_1r_2r_3).\end{aligned} $$Par identification des coefficients, nous voyons que :
- La somme des racines est $r_1+r_2+r_3 = -a_2$.
- Le produit des racines est $r_1r_2r_3 = -a_0$.

À partir de ces exemples, un modèle général se dégage. La somme des racines est toujours liée au coefficient de la deuxième plus grande puissance, tandis que le produit est lié au terme constant. Ces relations sont formalisées par les formules de Viète.

Proposition Formules de Viète

Pour une équation polynomiale$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0,$$avec les racines $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ (dans $\mathbb{C}$) :

La somme des racines est $$\sum_{i=1}^n \alpha_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$
Le produit des racines est $$\prod_{i=1}^n \alpha_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}.$$

Exemple

Trouver la somme et le produit des racines de $2x^3 - 7x^2 + 8x - 1 = 0$.

Correction

Le polynôme est de degré $n=3$. Les coefficients sont $a_3=2, a_2=-7, a_1=8, a_0=-1$.

Somme des racines : $$ -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -\frac{a_2}{a_3} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}. $$
Produit des racines : $$ (-1)^n \frac{a_0}{a_n} = (-1)^3 \frac{a_0}{a_3} = (-1)\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}. $$