\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Un nombre parfait est un nombre dont la somme des diviseurs stricts est égale à lui-même.
Considérons le nombre \(28\). Ses diviseurs positifs sont \(1, 2, 4, 7, 14, 28\).
Ses diviseurs stricts sont \(1, 2, 4, 7, 14\).
Comme \(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28\), le nombre 28 est un nombre parfait.
Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :
« Si un nombre \(a\) s'écrit \(2^n(2^{n+1} - 1)\) et si \(2^{n+1} - 1\) est premier, alors \(a\) est parfait ».
  1. Trouver les trois premiers nombres parfaits.
  2. Soit \(a = 2^n(2^{n+1} - 1)\) avec \(q = 2^{n+1} - 1\) premier.
    1. Quelle est la décomposition de \(a\) en facteurs premiers ?
    2. En déduire la liste des diviseurs de \(a\).
    3. Démontrer alors que la somme des diviseurs stricts de \(a\) est égale à ce nombre \(a\).