\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
  1. Triplets de nombres premiers :
    1. Soit \(p\) un entier naturel. Montrer qu'un seul des trois nombres \(p\), \((p + 10)\) et \((p + 20)\) est divisible par 3.
    2. Les entiers naturels \(a, b\) et \(c\) sont dans cet ordre les trois premiers termes d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers.
  2. Soit \(E\) l'ensemble des triplets d'entiers relatifs \((u; v; w)\) tels que : $$3u + 13v + 23w = 0$$
    1. Montrer que pour un tel triplet \(v \equiv w \pmod{3}\).
    2. On pose \(v = 3k + r\) et \(w = 3k' + r\) où \(k, k'\) et \(r\) sont des entiers relatifs et \(0 \le r \le 2\). Montrer que les éléments de \(E\) sont de la forme : $$(-13k - 23k' - 12r, 3k + r, 3k' + r)$$

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