\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(p_n\) le \(n\)-ième nombre premier (\(p_1 = 2, p_2 = 3, \dots\)).
Le but de cet exercice est de démontrer que pour tout entier \(n \geq 2\) :$$p_{n+1} < p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n$$Soit \(n \geq 2\) et considérons l'entier \(M = (p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n) - 1\).
  1. Justifier que \(M\) admet au moins un diviseur premier \(q\).
  2. Montrer que pour tout \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\), le nombre \(p_k\) ne divise pas \(M\).
  3. En déduire que \(q > p_n\).
  4. En utilisant la définition de \(p_{n+1}\), montrer que \(p_{n+1} \leq q\).
  5. Conclure la démonstration de l'inégalité.

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