\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \ln(e^{-x} + 1)\) et \(\mathscr{C}\) sa représentation graphique.
  1. Justifier que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\).
    1. Étudier les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
    2. En déduire l'existence d'une asymptote horizontale.
    1. Déterminer la fonction dérivée \(f'\).
    2. En déduire le sens de variation de \(f\).
    1. Montrer que, pour tout \(x\), \(f(x) = -x + \ln(1 + e^x)\).
    2. Soit la droite \(d\) d'équation \(y = -x\). Déterminer la limite de \(f(x) + x\) en \(-\infty\) et en déduire une interprétation graphique.
    3. Étudier la position de \(\mathscr{C}\) par rapport à \(d\).

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