\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0, +\infty[\) par :$$ f(x) = (\ln x)^2 - (1 + e)\ln x + e $$
  1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
    1. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = \dfrac{2\ln x - 1 - e}{x}\).
    2. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(]0, +\infty[\).
    3. En déduire le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = 0\) (les antécédents de 0).
    4. Retrouver ce résultat en résolvant l'équation, puis en déduire la valeur exacte des solutions.

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