Suites monotones
Suites bornées
Définition Bornes supérieure et inférieure
Soit \((u_n)\) une suite.
- La suite \((u_n)\) est majorée s'il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n\), \(\boldsymbol{u_n \le M}\). On dit que \(M\) est un majorant.
- La suite \((u_n)\) est minorée s'il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(n\), \(\boldsymbol{m \le u_n}\). On dit que \(m\) est un minorant.
- Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple
Considérons la suite \(u_n = 1+\dfrac{2}{n}\) pour \(n\ge 1\).
- Démontrer que \((u_n)\) est majorée par \(3\).
- Démontrer que \((u_n)\) est minorée par \(1\).
- En déduire que \((u_n)\) est bornée.
- Pour \(n \ge 1\), on a $$ \begin{aligned} n &\ge 1 \\ \frac{n}{n} &\ge \frac{1}{n} \\ 1 &\ge \frac{1}{n} \\ 2 &\ge \frac{2}{n} \\ 1+2 &\ge 1+\frac{2}{n} \\ 3 &\ge u_n, \end{aligned} $$ donc \(u_n \le 3\). Ainsi, la suite \((u_n)\) est majorée par \(3\) (c’est-à-dire que \(3\) est un majorant).
- Pour \(n \ge 1\), on a $$ \begin{aligned} n &\ge 1 \\ n &> 0 \\ \frac{1}{n} &> 0 \quad (\text{le réciproque a le même signe})\\ \frac{2}{n} &> 0 \\ 1+\frac{2}{n} &> 1 \\ u_n &> 1, \end{aligned} $$ Ainsi, la suite \((u_n)\) est minorée par \(1\) (c’est-à-dire que \(1\) est un minorant).
- Donc la suite \((u_n)\) est bornée.
Monotonie et convergence
Proposition Suites monotones non bornées
- Si une suite est croissante et non majorée, alors elle diverge vers \(+\infty\).
- Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle diverge vers \(-\infty\).
Theorem Théorème de convergence monotone
- Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge.
- Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.
Attention !
Ce théorème permet de prouver l'existence d'une limite mais n'en donne pas explicitement la valeur.
Exemple
Soit \((u_n)\) la suite définie pour \(n \ge 0\) par \(u_{n}=\dfrac{n-1}{n+4}\).
- Démontrer que \((u_n)\) est majorée par \(1\).
- Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
- En déduire que \((u_n)\) converge.
- Majoration par \(1\) : $$\begin{aligned}1 - u_n &= 1 - \dfrac{n-1}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{n+4}{n+4} - \dfrac{n-1}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{n+4 - (n-1)}{n+4}\\ 1 - u_n&= \dfrac{5}{n+4}\\ 1 - u_n&>0\\ 1 &>u_n\\ \end{aligned}$$ Donc, la suite \((u_n)\) est majorée par \(1\).
- Croissance : $$ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{(n+1)-1}{(n+1)+4}-\frac{n-1}{n+4}\\ &= \frac{n}{n+5}-\frac{n-1}{n+4}\\ &= \frac{n(n+4)-(n-1)(n+5)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{n^2+4n-\bigl(n^2+5n-n-5\bigr)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{n^2+4n-(n^2+4n-5)}{(n+5)(n+4)}\\ &= \frac{5}{(n+5)(n+4)}\\ &>0 \end{aligned} $$ Donc, \((u_n)\) est croissante.
- Conclusion :
La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) ; d’après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.
