Modélisation et Optimisation

L'optimisation est l'une des applications les plus importantes du calcul différentiel. Elle consiste à trouver la plus grande ou la plus petite valeur qu'une fonction puisse prendre sous certaines conditions. Dans de nombreux problèmes, cela revient à rechercher le maximum ou le minimum global de cette fonction sur un domaine donné.

L'optimisation est le processus de recherche d'une valeur maximale ou minimale d'une fonction, appelée fonction objectif, soumise à un ensemble de contraintes. La solution qui réalise cette valeur est appelée la solution optimale.

En apprentissage automatique, un objectif clé est de minimiser une fonction de perte (d’erreur) en ajustant les paramètres du modèle. Ce processus d’optimisation est au cœur de l’entraînement des réseaux de neurones.

1. Modéliser : Identifier la quantité à optimiser et l'exprimer comme une fonction d'une seule variable, par exemple \(f(x)\). Utiliser les contraintes données pour éliminer les autres variables. Déterminer le domaine possible de \(x\) (le domaine de définition retenu compte tenu du contexte).
2. Dériver : Calculer la dérivée première de la fonction, \(f'(x)\).
3. Trouver les points stationnaires : Résoudre \(f'(x)=0\) pour \(x\) dans le domaine.
4. Tester et justifier : Utiliser le test de la dérivée première (tableau de signes) ou le test de la dérivée seconde pour confirmer si chaque point stationnaire est un maximum local, un minimum local ou aucun des deux.
5. Vérifier les bornes : Si le domaine est un intervalle fermé \([a, b]\), évaluer la fonction aux points stationnaires ainsi qu'aux bornes, \(f(a)\) et \(f(b)\), pour trouver l'extremum global sur cet intervalle.
6. Conclusion : Énoncer clairement la réponse finale dans le contexte du problème, en incluant les unités.

Un rectangle a un périmètre de 12 cm. Trouver ses dimensions pour maximiser l'aire.

La dérivée d'une fonction mesure son taux de variation instantané. Ce concept est fondamental pour décrire comment une quantité change par rapport à une autre. Par exemple, la vitesse est le taux de variation de la position par rapport au temps, et l'accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps.

Pour une fonction \(y=f(x)\) :

• Le taux de variation moyen sur l'intervalle \([x_1, x_2]\) est la pente de la droite sécante :$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}. $$
• Le taux de variation instantané en \(x=a\) est la dérivée de la fonction en ce point :$$ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a} = f'(a). $$

Dans de nombreuses situations réelles, plusieurs quantités varient avec le temps, et leurs taux de variation sont liés. Par exemple, le volume, le rayon et la surface d'un ballon sphérique qui gonfle sont tous des fonctions du temps, et leurs taux de variation sont liés. Les problèmes de taux de variation liés consistent à trouver le taux de variation d'une quantité en la reliant à d'autres quantités dont les taux de variation sont connus.

1. Modéliser : Identifier toutes les quantités qui changent avec le temps et leur assigner des variables. Noter les taux de variation donnés et le taux à trouver (à un instant précis).
2. Équation : Trouver une équation qui relie les variables.
3. Dériver : Dériver les deux côtés de l'équation par rapport au temps (\(t\)), en utilisant la règle de la chaîne.
4. Substituer et résoudre : Substituer toutes les valeurs connues (y compris la valeur des variables à l'instant considéré) dans l'équation dérivée et résoudre pour le taux inconnu.

De l'air est pompé dans un ballon sphérique de sorte que son volume augmente à un taux de 100 cm\(^3\)/s. À quelle vitesse le rayon du ballon augmente-t-il lorsque le diamètre est de 50 cm ?