Diagonalisation de matrice

Dans ce chapitre, nous étudions des vecteurs \(X\) dont la direction n'est pas modifiée par une matrice \(A\). Après multiplication par \(A\), le nouveau vecteur \(AX\) reste sur la même droite passant par l'origine que le vecteur initial (il peut être plus long, plus court, ou même pointer dans la direction opposée). Un tel vecteur s'appelle un vecteur propre, et le nombre \(\lambda\) qui indique comment la longueur (et éventuellement la direction) change s'appelle la valeur propre.

Soit \(A\) une matrice carrée. Un vecteur propre de \(A\) est un vecteur non nul \(X\) tel que :$$ AX = \lambda X $$où \(\lambda\) est un scalaire appelé valeur propre associée au vecteur propre \(X\).

Pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice \(A\) :

1. Trouver les valeurs propres (\(\lambda\)) : Résoudre l'équation caractéristique $$ \det(A - \lambda I) = 0, $$ où \(I\) est la matrice identité. Les solutions sont les valeurs propres.
2. Trouver les vecteurs propres (\(X\)) : Pour chaque valeur propre \(\lambda\), la substituer dans $$AX = \lambda X\text{ ou } (A - \lambda I)X = 0 $$ et résoudre pour le vecteur non nul \(X\).

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants de la matrice$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. $$

Une matrice carrée est dite diagonale si les éléments qui ne sont pas sur sa diagonale principale sont nuls.
Une matrice diagonale \(2 \times 2\) est de la forme :$$ D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} $$

Une matrice carrée \(A\) est diagonalisable s'il existe une matrice inversible \(P\) telle que$$ D = P^{-1}AP $$soit une matrice diagonale. On dit que \(P\) diagonalise \(A\).
On peut aussi écrire de manière équivalente :$$ A = PDP^{-1}. $$

D'après la définition de la diagonalisation, nous partons de la relation :$$ D = P^{-1}AP $$Nous pouvons réarranger cette équation pour isoler \(A\). Cette forme spécifique est particulièrement utile pour calculer les puissances de matrices (comme nous le verrons dans la section suivante).
Pour isoler \(A\), nous multiplions par \(P\) à gauche et par \(P^{-1}\) à droite :$$\begin{aligned}D &= P^{-1}AP \\ PD &= \underbrace{PP^{-1}}_{I}AP && \text{(multiplier par } P \text{ à gauche)} \\ PD &= AP \\ PDP^{-1} &= A\underbrace{PP^{-1}}_{I} && \text{(multiplier par } P^{-1} \text{ à droite)} \\ A &= PDP^{-1}\end{aligned}$$

Si \(A\) est une matrice \(2 \times 2\) avec des valeurs propres réelles distinctes \(\lambda_1, \lambda_2\) et des vecteurs propres correspondants \(X_1, X_2\), alors la matrice \(P\) formée par ces vecteurs propres diagonalise \(A\) :$$\text{Si } P = (X_1 \mid X_2)\text{ alors }P^{-1}AP =\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$$Ici, \(P = (X_1 \mid X_2)\) est la matrice dont la première colonne est \(X_1\) et la seconde colonne est \(X_2\).

La matrice$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$a pour valeurs propres \(\lambda_1 = 5\) et \(\lambda_2 = 2\) avec les vecteurs propres correspondants$$X_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$$Montrer que \(P = (X_1 \mid X_2)\) diagonalise \(A\).

Calculer les puissances d'une matrice \(A\) (comme \(A^{10}\)) par multiplication répétée est fastidieux. Cependant, si l'on diagonalise d'abord la matrice, le processus devient beaucoup plus simple.
Si \(A\) est diagonalisable, on peut écrire$$ A = PDP^{-1}, $$où \(D\) est diagonale. Pour calculer \(A^n\) :$$\begin{aligned}A^n &= \underbrace{AA\dots A}_{n \text{ fois}}\\ &= \underbrace{(PDP^{-1}) (PDP^{-1}) \dots (PDP^{-1})}_{n \text{ fois}} && \text{(on remplace } A = PDP^{-1})\\ &= PD(P^{-1}P)D (P^{-1}P)\dots DP^{-1} && \text{(on regroupe les termes)}\\ &= PDIDI\dots DP^{-1} && \text{(car } P^{-1}P = I)\\ &= P(DD\dots D)P^{-1}\\ &= PD^nP^{-1}.\end{aligned}$$Il est facile d'élever une matrice diagonale à une puissance. Si$$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix},$$alors$$\begin{aligned}D^2 &=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 0 \\ 0 & \lambda_2^2 \end{pmatrix},\\ D^3 &= D^2D= \begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 0 \\ 0 & \lambda_2^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda_1^3 & 0 \\ 0 & \lambda_2^3 \end{pmatrix},\\ &\vdots\\ D^n &= \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix}.\end{aligned}$$

Pour calculer une puissance élevée \(A^n\) d'une matrice diagonalisable \(A\) :

1. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).
2. Former \(P\) à partir des vecteurs propres et \(D\) à partir des valeurs propres de sorte que \(A = PDP^{-1}\).
3. Calculer \(D^n\) en élevant chaque élément diagonal à la puissance \(n\).
4. Utiliser $$ A^n = PD^nP^{-1}. $$

La matrice$$ P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$diagonalise$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$avec$$ P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. $$Calculer la matrice \(A^5\).