\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Matrices

Les matrices sont des tableaux rectangulaires de nombres qui constituent un outil puissant pour résoudre des systèmes d'équations linéaires et représenter des transformations linéaires. Tout comme les nombres complexes étendent la droite réelle, les matrices peuvent être vues comme une extension du concept de nombre à des dimensions supérieures. Ce chapitre présente les fondements algébriques des matrices, leurs opérations et leur rôle fondamental dans diverses applications mathématiques et scientifiques. Sauf mention contraire, les coefficients des matrices sont réels.

Structure

Définition

Définition Matrice
Une matrice \(A\) de taille \(n\times p\) est un tableau de nombres à \(n\) lignes et \(p\) colonnes :$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np}\\ \end{pmatrix}.$$\(a_{ij}\) est appelé le coefficient de \(A\) de position \((i,j)\) (sur la \(i\)-ème ligne et la \(j\)-ème colonne).
Exemple
\(A=\begin{pmatrix}1&3&5 \\7&2&6\\ \end{pmatrix}\) a 2 lignes et 3 colonnes, donc sa taille est \(2\times 3\).
\(a_{\textcolor{colordef}{1}\textcolor{colorprop}{3}}\) est égal à \(5\). C'est le coefficient situé sur la ligne \(\textcolor{colordef}{1}\) et la colonne \(\textcolor{colorprop}{3}\).

Matrices particulières

Définition Matrice colonne
Une matrice à une colonne \(\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\ \vdots\\c_{n} \end{pmatrix}\) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne.
Exemple
\(C=\begin{pmatrix}1\\3 \\-1\\\end{pmatrix}\) a 3 lignes et 1 colonne. \(C\) est une matrice colonne de taille \(3\times 1\).
Définition Matrice ligne
Une matrice à une ligne \(\begin{pmatrix}r_{1}&r_{2}& \dots &r_{p} \end{pmatrix}\) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne.
Exemple
\(R=\begin{pmatrix}1&3 &-1\\\end{pmatrix}\) a 1 ligne et 3 colonnes. \(R\) est une matrice ligne de taille \(1\times 3\).
Définition Matrice carrée
Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée. Une matrice carrée de taille \(n \times n\) est dite d'ordre \(n\) :$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}.$$
Exemple
\(A=\begin{pmatrix}1&3 \\2&5\end{pmatrix}\) a 2 lignes et 2 colonnes. \(A\) est une matrice carrée d'ordre \(2\).
Définition Matrice nulle
Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle.
On la note \(0_{n,p}\) si elle a \(n\) lignes et \(p\) colonnes, ou simplement \(0\) s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Exemple
\(0_{2,3}=\begin{pmatrix}0&0&0 \\0&0&0\end{pmatrix}\).
Définition Matrice identité
La matrice identité, notée \(I_n\), est une matrice carrée d'ordre \(n\) dont les coefficients sur la diagonale principale sont égaux à \(1\) et les autres sont nuls :$$I_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\ 0&1&\ddots &\vdots \\ \vdots &\ddots &\ddots &0\\ 0&\cdots &0&1\end{pmatrix}.$$
Exemple
\(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0 & 0 &1 \\\end{pmatrix}\) est la matrice identité d'ordre \(3\).
Définition Matrice opposée
La matrice opposée de \(A\), notée \(-A\), est la matrice dont chaque coefficient est l'opposé du coefficient de même position de \(A\) :$$-A=\begin{pmatrix}-a_{11} & \cdots & -a_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ -a_{n1} & \cdots & -a_{np}\end{pmatrix}.$$
Exemple
Déterminer la matrice opposée de \(A=\begin{pmatrix}1&3&-5 \\7&-2&6\\ \end{pmatrix}\).

\(-A=\begin{pmatrix}-1&-3&5 \\-7&2&-6\\ \end{pmatrix}\)

Égalité

Définition Égalité des matrices
Deux matrices \(A\) et \(B\) sont égales, ce qu'on note \(A = B\), si elles ont :
  • le même nombre de lignes,
  • le même nombre de colonnes,
  • et leurs coefficients de même position sont égaux.
Exemple
$$\begin{pmatrix}1^2&2^2\\ 3^2&4^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\ 9&16\end{pmatrix}$$et$$\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$$

Calcul matriciel

Addition matricielle

Définition Addition matricielle
Soient deux matrices \(A\) et \(B\) de même taille \(n\times p\).
La somme \(A+B\) de \(A\) et \(B\) est la matrice dont chaque coefficient est la somme des coefficients de même position de \(A\) et de \(B\), c'est-à-dire :$$\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{np}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ b_{n1} & \cdots & b_{np}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1p}+b_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1}+b_{n1} & \cdots & a_{np}+b_{np}\end{pmatrix}.$$
Exemple
\(\begin{aligned}[t]\begin{pmatrix}0 &1 & 2 \\3 &4 & 5 \\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 &-1 & 1 \\0 & 1 & 0 \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0-2 &1-1 & 2+1\\3+0 & 4+1 & 5+0\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2 &0 & 3\\3 & 5 & 5\\\end{pmatrix}\end{aligned}\)
Proposition Propriétés de l'addition matricielle
Soient \(A,B,C\) trois matrices de même taille. L'addition matricielle possède les propriétés suivantes :
  • Commutativité : \(A+B=B+A\)
  • Associativité : \((A+B)+C=A+(B+C)\)
  • Élément neutre : la matrice nulle \(0\) est l'élément neutre : \(A+0=0+A=A\)
  • Élément symétrique : \(A+(-A)=0\).
Comme pour les nombres réels, on définit la soustraction comme l'addition de la matrice opposée, ce qui revient à soustraire les coefficients un à un.
Définition Soustraction matricielle
Soient deux matrices \(A\) et \(B\) de même taille \(n\times p\).
La différence \(A-B\) est la matrice dont chaque coefficient est la différence des coefficients de même position de \(A\) et de \(B\) :$$A - B = A + (-B).$$
Exemple
\(\begin{aligned}[t]\begin{pmatrix}0 &1 \\3 &4 \\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2 &-1 \\0 & 1 \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0-(-2) &1-(-1)\\3-0 & 4-1\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 &2\\3 & 3\\\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Multiplication par un scalaire

Définition Multiplication par un scalaire
Soit une matrice \(A\) de taille \(n\times p\) et \(\lambda\) un scalaire.
Le produit \(\lambda A\) de \(\lambda\) par \(A\) est la matrice obtenue en multipliant chaque coefficient de \(A\) par \(\lambda\) :$$\lambda \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{np}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda a_{11} & \cdots & \lambda a_{1p}\\ \vdots & & \vdots\\ \lambda a_{n1} & \cdots & \lambda a_{np}\end{pmatrix}.$$
Exemple
\(\begin{aligned}[t]2\begin{pmatrix}0 &1 & 2 \\3 &4 & 5 \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2\times 0 &2\times 1 & 2\times 2 \\2\times 3 &2\times 4 & 2\times 5 \\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0 &2 & 4 \\6 &8 & 10 \\\end{pmatrix}\end{aligned}\)
Proposition Propriétés de la multiplication par un scalaire
Soient deux matrices \(A,B\) de même taille et deux scalaires \(\lambda,\mu\).
Alors,
  • \(\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B\)
  • \((\lambda+ \mu)A = \lambda A + \mu A\)
  • \((\lambda \mu)A = \lambda(\mu A)\)
  • \(1\cdot A=A\)

Multiplication matricielle

Définition Produit matriciel
Soit une matrice \(A\) de taille \(n\times p\) et une matrice \(B\) de taille \(p\times q\).
Le produit matriciel \(A \times B\) est la matrice \(C\) de taille \(n\times q\) définie par$$c_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n,\; 1 \leqslant j \leqslant q.$$
Le produit n'est défini que si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). On omettra souvent le symbole \(\times\) dans les expressions : \(AB =A\times B\).
Exemple
\(\begin{aligned}[t]\begin{pmatrix}\color{orange}2 &\color{orange}3 \\\color{colordef}1 &\color{colordef}0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\color{colorprop}1 & \color{olive}2 \\\color{colorprop}3 &\color{olive}4 \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\color{orange}2\color{black}\times \color{colorprop} 1\color{black}+\color{orange}3\color{black}\times \color{colorprop} 3 \color{black}&\color{orange}2\color{black}\times \color{olive}2\color{black}+\color{orange}3\color{black}\times \color{olive}4 \color{black} \\\color{colordef}1\color{black}\times \color{colorprop} 1\color{black}+\color{colordef}0\color{black}\times \color{colorprop} 3 \color{black}&\color{colordef}1\color{black}\times \color{olive}2\color{black}+\color{colordef}0\color{black}\times \color{olive}4 \color{black}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}11 &16\\1 &2\\\end{pmatrix}\end{aligned}\)
En général, le produit matriciel n'est pas commutatif (\(AB \neq BA\)). Par exemple, si \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}\), on a \(A\times B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}\) tandis que \(B\times A = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}\).
De plus, le produit de deux matrices non nulles peut être la matrice nulle. Par exemple,$$\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}.$$
Proposition Propriétés de la multiplication matricielle
On suppose que tous les produits ci-dessous sont définis (les tailles sont compatibles).
  1. Associativité : $$ (AB)C = A(BC)$$
  2. Distributivité par rapport à l'addition :$$ ( A + B) C = AC + BC \quad\text{ et }\quad A(B+ C) = AB + AC $$
  3. Élément neutre : la matrice identité est l'élément neutre pour la multiplication.
    Pour toute matrice \(A\) de taille \(n \times p\), on a : $$I_n A =A I_p = A$$

Matrices inversibles

Terminologie et définition

On sait résoudre une équation \(ax = b\) à une inconnue, à coefficients réels. Si \(a\neq 0\), l'unique solution est \(x=a^{-1}b\). Pour déterminer la solution, on se pose donc la question de l'existence de l'inverse de \(a\). Pour les matrices, résoudre \(AX = B\) revient à se poser la même question sur l'existence de l'inverse de \(A\).
Définition Inverse d'une matrice
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\).
On dit que la matrice \(A\) est inversible s'il existe une matrice carrée \(B\) d'ordre \(n\) telle que$$AB=BA=I_n.$$Si elle existe, la matrice \(B\) est unique et est appelée l'inverse de \(A\), notée \(A^{-1}\).
Exemple
L'inverse de la matrice identité est elle-même car \(I_nI_n=I_n\).

Inverse d'une matrice de taille 2

Définition Déterminant d'une matrice d'ordre 2
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) une matrice carrée d'ordre \(2\).
Le déterminant de \(A\) est \(ad-bc\). Il est noté \(\det(A)\).
Exemple
Calculer le déterminant de la matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).

Pour la matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), on a \(a=5\), \(b=2\), \(c=3\) et \(d=4\).$$\begin{aligned}\det(A) &= ad-bc\\ &=(5)(4) - (2)(3) \\ &= 20 - 6 \\ &= 14\end{aligned}$$

Proposition Matrice d'ordre 2 inversible
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) une matrice carrée d'ordre \(2\).
\(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A)\neq 0\).
Dans ce cas,$$A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\).
  • Si \(A\) est inversible, alors \(\det(A)\neq 0\).
    Supposons que \(A\) soit inversible et notons$$A^{-1} = \begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix}.$$La condition \(AA^{-1}=I_2\) donne$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix} aw+by & ax+bz \\ cw+dy & cx+dz \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$Par identification, on obtient deux systèmes :$$\begin{cases} aw+by = 1 \quad (1) \\ cw+dy = 0 \quad (2)\end{cases}\quad \text{et} \quad\begin{cases} ax+bz = 0 \quad (3) \\ cx+dz = 1 \quad (4)\end{cases}$$Supposons maintenant que \(ad-bc=0\).
    En multipliant (1) par \(d\) et (2) par \(b\), puis en soustrayant, on obtient$$(ad-bc)w = d.$$Comme \(ad-bc=0\), on en déduit \(d=0\).
    En multipliant (1) par \(c\) et (2) par \(a\), puis en soustrayant, on obtient$$(ad-bc)y = a.$$Comme \(ad-bc=0\), on en déduit \(a=0\).
    En multipliant (3) par \(d\) et (4) par \(b\), puis en soustrayant, on obtient$$(ad-bc)x = -b.$$Comme \(ad-bc=0\), on en déduit \(b=0\).
    Enfin, en multipliant (3) par \(c\) et (4) par \(a\), puis en soustrayant, on obtient$$(ad-bc)z = a.$$Comme \(ad-bc=0\), on en déduit \(c=0\).
    Ainsi \(a=b=c=d=0\), et l'équation (1) donnerait \(0=1\), ce qui est impossible. Donc \(ad-bc\neq 0\), c'est-à-dire \(\det(A)\neq 0\).
  • Si \(\det(A)\neq 0\), alors \(A\) est inversible.
    Supposons maintenant que \(ad-bc\neq 0\) et posons$$B=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$Un calcul direct montre que$$AB = BA = I_2.$$Ainsi, \(B\) est l'inverse de \(A\) et \(A\) est inversible.

Applications

Résolution d'un système linéaire


La somme des tailles d'un fils et de son père est de \(2{,}5\) mètres. La différence de leurs tailles est de \(0{,}5\) mètre. Quelle est la taille du fils et quelle est la taille du père ?
La première étape est la modélisation avec un système d'équations linéaires.
On note \(x\) la taille du fils et \(y\) la taille du père.
Le couple \((x,y)\) vérifie le système suivant :$$(S)\quad \begin{cases}x+y&=2{,}5\\ -x+y&=0{,}5\end{cases}$$On sait résoudre, par de simples opérations algébriques, une équation linéaire à une inconnue à coefficients réels. Par exemple, pour l'équation \(2x=4\), on multiplie par l'inverse de \(2\), ce qui donne \(x=2\).
Une idée est de transformer le système de deux équations à deux inconnues en une équation à une inconnue. Cette transformation est une abstraction sur la nature des coefficients et des variables des équations : on passe de nombres réels à des tableaux de nombres (matrices).
Ainsi, l'équation équivalente au système d'équations linéaires est :$$AX =B$$avec \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix} x \\ y \\\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0{,}5 \\\end{pmatrix}\).
La matrice \(A\) est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice \(A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac 1 2 & -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 & \frac 1 2 \\\end{pmatrix}\) telle qu'en multipliant par \(A^{-1}\) les deux membres de l'équation \(AX =B\), on obtient :$$ X=A^{-1} B.$$Donc$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 1 2 & -\frac 1 2 \\ \frac 1 2 & \frac 1 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0{,}5 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}5 \\ \end{pmatrix}.$$Par identification, l'unique solution est \(x=1\) et \(y=1{,}5\).

Proposition Représentation matricielle
Un système linéaire de la forme$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n\end{cases}$$est équivalent à l'équation \(AX = B\) où$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$est une matrice carrée d'ordre \(n\), et$$X = \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots \\ x_{n}\\ \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}b_{1}\\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{pmatrix}$$sont des matrices colonnes (vecteurs colonnes).
Exemple
Écrire le système \(\begin{cases}2x+5y&=2\\x+3y&=5\end{cases}\) sous forme matricielle.

Sous forme matricielle, le système est$$\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{pmatrix}.$$

Proposition
Si \(A\) est inversible, alors l'équation \(AX = B\) admet pour unique solution \(X = A^{-1}B\).

$$\begin{aligned}AX &= B\\ A^{-1}(AX) &= A^{-1}B && \text{(on multiplie les deux membres à gauche par } A^{-1}\text{)}\\ (A^{-1}A)X &= A^{-1}B && \text{(associativité)} \\ I_nX &= A^{-1}B && \text{(par définition de l'inverse)} \\ X &= A^{-1}B && \text{(propriété de la matrice identité)}\end{aligned}$$

Exemple
Résoudre le système$$\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{pmatrix}.$$

  • Déterminer l'inverse : comme \(\det(A) = (2)(3) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible. $$ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. $$
  • Déterminer la solution :$$\begin{aligned}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (3)(2)+(-5)(5) \\ (-1)(2)+(2)(5) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -19 \\ 8 \\ \end{pmatrix}.\end{aligned}$$La solution est \(x = -19\) et \(y=8\).