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C
⌫
\(\pi\)
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\(\frac{a}{b}\)
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(
)
\(\sqrt{\,}\)
\(a^{b}\)
7
8
9
\(\div\)
log
ln
4
5
6
\(\times\)
cos
cos⁻¹
1
2
3
-
sin
sin⁻¹
0
,
=
+
tan
tan⁻¹
Dans une ville, deux lieux se partagent le marché des repas des élèves : la
cantine (C)
et le
foyer (F)
. Une enquête indique que chaque jour :
Parmi les élèves qui ont mangé à la
cantine (C)
au jour \(n\), \(80\pourcent\) mangent encore à la cantine au jour \(n+1\), les autres vont au foyer.
Parmi les élèves qui ont mangé au
foyer (F)
au jour \(n\), \(30\pourcent\) vont à la cantine au jour \(n+1\), les autres restent au foyer.
Au jour \(0\), on suppose que \(20\pourcent\) des élèves mangent à la cantine.
Pour \(n \in \mathbb{N}\), soit \((X_n)\) la suite représentant le lieu (C ou F) où un élève choisi au hasard mange au jour \(n\). On note \(\pi_n=\begin{pmatrix} c_n & f_n \end{pmatrix}\) la distribution de probabilité.
Justifier que \((X_n)\) est une chaîne de Markov homogène et tracer le graphe probabiliste associé.
Justifier que la distribution initiale (dans l'ordre C, F) est \(\pi_0=\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}\).
Donner la matrice de transition \(M\) associée à \((X_n)\).
Calculer \(\pi_2\) et en déduire la proportion d'élèves qui mangent à la cantine au jour \(2\).
Quelle est la relation entre \(c_n\) et \(f_n\) ?
Exprimer \(c_{n+1}\) en fonction de \(c_n\) et \(f_n\).
En déduire que \(c_{n+1} = 0{,}5\,c_n + 0{,}3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Prends une photo de ton travail. Les commentaires de l'enseignant IA prennent environ 10 secondes.
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