\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Une entreprise de logiciels suit ses utilisateurs mensuellement. Un utilisateur peut être dans l'un des trois états suivants :
  • Premium (P) : L'utilisateur paie pour le service complet.
  • Gratuit (G) : L'utilisateur utilise la version gratuite limitée.
  • Inactif (I) : L'utilisateur a résilié son compte.
Le service marketing observe les tendances mensuelles suivantes :
  • Parmi les utilisateurs Premium, \(80\pourcent\) conservent leur abonnement, \(15\pourcent\) passent à la version Gratuite et \(5\pourcent\) résilient.
  • Parmi les utilisateurs Gratuits, \(20\pourcent\) passent en Premium, \(70\pourcent\) restent en Gratuit et \(10\pourcent\) résilient.
  • Parmi les Inactifs, \(10\pourcent\) se réabonnent en Premium, \(10\pourcent\) ouvrent un compte Gratuit et \(80\pourcent\) restent inactifs.
Soit \(X_n\) la variable aléatoire représentant l'état d'un utilisateur choisi au hasard au mois \(n\).
  1. Justifier que la suite \((X_n)\) forme une chaîne de Markov homogène.
  2. Identifier l'espace des états \(E\) et déterminer les probabilités de transition \(p_{ij}\) pour \(i, j \in E\).

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