Fonctions et Graphes des Polynômes

Dans le chapitre précédent, nous avons exploré les propriétés algébriques des polynômes. Nous nous tournons maintenant vers la représentation visuelle des fonctions polynomiales. En comprenant le lien entre la forme algébrique d'un polynôme (son degré, ses facteurs et ses racines) et la forme de son graphe, nous pouvons esquisser des courbes complexes et résoudre des inéquations.

Principes généraux des graphes de polynômes

Lorsque nous considérons le comportement d'une fonction polynomiale pour de très grandes valeurs de $|x|$ (c'est-à-dire, quand $x \to \infty$ ou $x \to -\infty$), le terme avec la plus grande puissance de $x$ croît beaucoup plus rapidement que tous les autres termes réunis. Cela signifie que le terme dominant dicte le comportement asymptotique du graphe.
Considérons le polynôme cubique $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 10x + 1$. Nous pouvons factoriser le terme dominant, $2x^3$, pour voir ce qui se passe pour de grandes valeurs de $|x|$ :$$ P(x) = 2x^3 \left( 1 + \frac{5}{2x} - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{2x^3} \right) $$Lorsque $x$ devient très grand (positif ou négatif), les fractions à l'intérieur des parenthèses, telles que $\frac{5}{2x}$, $\frac{5}{x^2}$ et $\frac{1}{2x^3}$, tendent toutes vers zéro.$$ \text{Quand } |x| \to \infty, \quad \left( 1 + \frac{5}{2x} - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{2x^3} \right) \to 1 $$Par conséquent, pour de très grandes valeurs de $|x|$, la fonction se comporte comme son terme dominant :$$ P(x) \approx 2x^3 $$Ce principe général nous permet de prédire le comportement asymptotique de n'importe quel polynôme.

Proposition Comportement asymptotique des fonctions polynomiales

Le comportement à long terme du graphe d'un polynôme, lorsque $x \to \infty$ et $x \to -\infty$, est entièrement déterminé par son terme dominant, $a_nx^n$.

Degré impair ($n=1, 3, 5, \dots$) : Le graphe part dans des directions opposées.
- Si $a_n>0$ : Quand $x \to \infty, y \to \infty$. Quand $x \to -\infty, y \to -\infty$.
- Si $a_n<0$ : Quand $x \to \infty, y \to -\infty$. Quand $x \to -\infty, y \to \infty$.
Degré pair ($n=2, 4, 6, \dots$) : Le graphe part dans la même direction aux deux extrémités.
- Si $a_n>0$ : Quand $x \to \infty, y \to \infty$. Quand $x \to -\infty, y \to \infty$. (Ouvert vers le haut)
- Si $a_n<0$ : Quand $x \to \infty, y \to -\infty$. Quand $x \to -\infty, y \to -\infty$. (Ouvert vers le bas)

Proposition Multiplicité des racines

La manière dont le graphe d’un polynôme se comporte au voisinage d’une intersection avec l’axe des abscisses (zéro) est déterminée par la multiplicité de la racine correspondante (c'est-à-dire la puissance de son facteur linéaire).

Multiplicité 1 : $(x-k)^1$. Le graphe coupe l'axe des abscisses en $x=k$.
Multiplicité 2 : $(x-k)^2$. Le graphe est tangent à l'axe des abscisses en $x=k$.
Multiplicité 3 : $(x-k)^3$. Le graphe présente un point d’inflexion à tangente horizontale sur l'axe des abscisses en $x=k$.

Graphes des fonctions cubiques

Proposition Fonction cubique de référence $y\equal x^3$

Le graphe présente un point d'inflexion horizontal à l'origine $(0,0)$.
Le graphe possède une symétrie impaire par rapport à l'origine.
Comportement asymptotique : Quand $x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty$ et quand $x \rightarrow-\infty, y \rightarrow-\infty$.

Proposition Graphes de polynômes cubiques à partir de la forme factorisée

La forme générale et le comportement aux abscisses à l'origine d'une fonction cubique $P$ dépendent du signe de son coefficient dominant, $a$, et de la multiplicité de ses racines réelles.

Trois racines réelles distinctes : $P(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
Le graphe coupe l'axe des abscisses en trois points distincts.
Une racine double et une racine simple : $P(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)$
Le graphe touche l'axe des abscisses en $\alpha$ et le coupe en $\beta$.
Une racine réelle de multiplicité 3 : $P(x)=a(x-\alpha)^3$
Le graphe présente un point d'inflexion horizontal sur l'axe des abscisses en $\alpha$.
Une racine réelle et deux racines complexes : $P(x)=a(x-\alpha)(Ax^2+Bx+C)$ où $B^2-4AA<0$
Le graphe coupe l'axe des abscisses en un seul point, $\alpha$.

Exemple

Esquisser le graphe de $y = -\frac{1}{2}(x+2)(x-1)^2$.

Correction

Racines : Les racines sont $x=-2$ (multiplicité 1, donc le graphe coupe) et $x=1$ (multiplicité 2, donc le graphe touche).
Ordonnée à l'origine : Pour $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(2)(-1)^2 = -1$.
Comportement asymptotique : Le terme dominant est $-\frac{1}{2}x^3$. Le degré est impair et le coefficient dominant est négatif. Donc, quand $x \to \infty, y \to -\infty$ et quand $x \to -\infty, y \to \infty$.
Esquisse :

Graphes des fonctions quartiques

Une fonction quartique est un polynôme de degré 4. Les principes de comportement asymptotique et de multiplicité des racines s'étendent directement à ces polynômes de degré supérieur.

Proposition Fonction quartique de référence $y\equal x^4$

Le graphe est plus "aplati" près de l'origine qu'une parabole.
Le graphe possède une symétrie paire par rapport à l'axe des ordonnées.
Comportement asymptotique : Quand $x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty$ et quand $x \rightarrow-\infty, y \rightarrow \infty$.

Proposition Graphes de fonctions quartiques à partir de la forme factorisée

Le comportement d’un graphe quartique à ses intersections avec l’axe des abscisses est déterminé par la multiplicité de ses racines. Pour un coefficient dominant positif ($a>0$) :

Quatre racines réelles distinctes : $P(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\theta)$
La courbe coupe l’axe des abscisses en quatre points distincts.
Une racine double et deux racines simples : $P(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)(x-\gamma)$
La courbe touche l’axe en $x=\alpha$ et coupe l’axe en $x=\beta$ et $x=\gamma$.
Deux racines doubles : $P(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$
La courbe touche l’axe des abscisses en deux points distincts.
Une racine triple : $P(x)=a(x-\alpha)^3(x-\beta)$
La courbe présente un point d’inflexion en $x=\alpha$ et coupe l’axe en $x=\beta$.
Deux racines réelles et deux racines complexes : $P(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x^2+c^2)$
La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points.

Si le coefficient dominant $a$ est négatif, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple

Esquisser le graphe de $y = (x+1)(x-1)(x-2)^2$.

Correction

Racines et multiplicités : Les racines sont en $x=-1$ (multiplicité 1, coupe l'axe), $x=1$ (multiplicité 1, coupe l'axe), et $x=2$ (multiplicité 2, touche l'axe).
Ordonnée à l'origine : On substitue $x=0$: $$ y = (1)(-1)(-2)^2 = -4 $$ L'ordonnée à l'origine est en $(0, -4)$.
Comportement asymptotique : Le terme dominant est obtenu en multipliant les termes dominants des facteurs : $x \cdot x \cdot x^2 = x^4$. Le degré est 4 (pair) et le coefficient dominant est positif (+1). Par conséquent, le graphe est ouvert vers le haut : quand $x \to \infty, y \to \infty$ et quand $x \to -\infty, y \to \infty$.
Esquisse : Nous dessinons une courbe lisse qui part du haut à gauche, passe par les points d'intersection avec les axes avec le comportement correct, et se termine en haut à droite.

Résolution d'inéquations polynomiales

Méthode Résoudre des inéquations polynomiales

Pour résoudre une inéquation comme $P(x) > 0$ ou $P(x) \le 0$ :

Déplacer tous les termes d'un côté pour obtenir la forme $P(x) \ge 0$.
Trouver toutes les racines réelles du polynôme $P(x)$.
Dessiner un tableau de signes. Marquer les racines sur une droite numérique.
Tester une valeur dans chaque intervalle entre les racines pour déterminer si $P(x)$ est positif ou négatif dans cet intervalle.
Utiliser le tableau de signes pour donner la solution en notation d'intervalle.

Exemple

Résoudre l'inéquation $x^3 - x^2 \ge 12x$.

Correction

Réarranger : $x^3 - x^2 - 12x \ge 0$.
Trouver les racines : Factoriser le polynôme $P(x) = x^3 - x^2 - 12x$. $$ P(x) = x(x^2 - x - 12) = x(x-4)(x+3) $$ Les racines sont $x=-3, x=0, x=4$.
Dessiner le tableau de signes : On marque les racines sur une droite numérique et on teste des valeurs dans les quatre intervalles. Par exemple, testons $x=5$ : $5(1)(8) > 0$. Note : Une autre méthode, plus détaillée, consiste à construire un tableau de signes. Ce tableau analyse le signe de chaque facteur individuellement dans les intervalles définis par les racines, avant de déterminer le signe du produit final. La dernière ligne du tableau donne le même résultat que le diagramme de signes sur la droite numérique.
Donner la solution : Nous cherchons où $P(x) \ge 0$. D'après le tableau de signes, cela se produit pour les valeurs de $x$ entre -3 et 0 (inclus) et pour les valeurs supérieures ou égales à 4. La solution est $\boldsymbol{[-3, 0] \cup [4, \infty)}$.