\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
  1. Prouver que \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \ln\!\left(1+\tfrac{1}{x}\right) = 1.\)
  2. En écrivant \(\displaystyle \left(1+\tfrac{1}{x}\right)^x = e^{\,x \ln(1+\tfrac{1}{x})}\) et en utilisant le fait que \(f(x)=e^x\) est continu sur \(\mathbb{R}\), prouver que $$ \lim_{x \to \infty} \left(1+\tfrac{1}{x}\right)^x = e. $$

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