Courbes

Tangentes et normales

Équation de la tangente

L'interprétation géométrique la plus directe de la dérivée est qu'elle donne la pente de la droite tangente. Trouver l'équation de cette droite est une application fondamentale de la dérivation.

Proposition Équation de la tangente

On suppose que $f$ est dérivable en $x=a$ et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point $(a, f(a))$ est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$

On suppose ici que $f'(a)$ existe et est finie. Si la tangente est verticale, son équation est $x=a$.

Preuve

Soit $B(x,y)$ un point quelconque de la droite tangente. Le point de tangence est $A(a,f(a))$, qui appartient également à la droite tangente.
La pente d'une droite est donnée par la formule $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. En utilisant les points $A$ et $B$, la pente de la droite tangente est :$$ m = \dfrac{y-f(a)}{x-a} \quad \text{pour } x\neq a. $$Par définition, la pente de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point d'abscisse $x=a$ est la valeur de la dérivée en ce point, donc :$$ m = f'(a). $$En égalant les deux expressions de la pente, nous obtenons :$$ f'(a) = \dfrac{y-f(a)}{x-a}. $$En multipliant les deux membres par $(x-a)$, on obtient la forme point-pente de l'équation :$$ y - f(a) = f'(a)(x-a). $$Ceci peut être réarrangé sous la forme :$$ y = f'(a)(x-a) + f(a). $$

Exemple

Trouver l'équation de la tangente à $f(x)=\sqrt{x^{2}+5}$ en $x=2$.

Correction

Étape 1 : Trouver la dérivée.
On réécrit la fonction : $f(x) = (x^2+5)^{1/2}$. Avec la règle de dérivation en chaîne : $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2+5)^{-1/2} \cdot (2x)\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\end{aligned}$$
Étape 2 : Trouver les coordonnées du point.
En $x=2$, l'ordonnée est $f(2) = \sqrt{2^2+5} = 3$. Le point est $(2,3)$.
Étape 3 : Trouver la pente de la tangente.
La pente est la valeur de la dérivée en $x=2$ : $$ m = f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2+5}} = \frac{2}{3}. $$
Étape 4 : Écrire l'équation de la droite.
$$\begin{aligned} y&= f'(2)(x-2) + f(2)\\ y&=\frac{2}{3}(x-2)+3\\ y &= \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}.\\ \end{aligned} $$

Équation de la normale

Définition Droite normale

La droite normale à une courbe en un point est la droite qui est perpendiculaire à la droite tangente en ce même point.

Proposition Équation de la normale

L'équation de la normale à la courbe $y=f(x)$ au point $(a, f(a))$ est donnée par :

si $f'(a)\neq 0$, alors la normale a pour pente $-\dfrac{1}{f'(a)}$ et $$\textcolor{colorprop}{y = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)};$$
si $f'(a)= 0$, alors la tangente est horizontale et la normale est la verticale $x=a$;
si la tangente est verticale (d'équation $x=a$), alors la normale est l'horizontale $y=f(a)$.

Preuve

La pente de la tangente en $x=a$ est $m_T = f'(a)$. Comme la droite normale est perpendiculaire à la droite tangente, sa pente $m_N$ est l'opposé de l'inverse de la pente de la tangente :$$ m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{f'(a)} \quad (\text{à condition que } f'(a) \neq 0). $$En utilisant la forme point-pente d'une droite avec le point $(a, f(a))$ et la pente $m_N$, nous obtenons l'équation de la normale :$$ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a). $$Les cas particuliers $f'(a)=0$ (tangente horizontale) et tangente verticale sont traités comme indiqué dans l'énoncé ci-dessus.

Exemple

Déterminer l'équation de la normale à $f(x)=\sqrt{x^{2}+5}$ en $x=2$.

Correction

Étape 1 : Trouver la dérivée.
Avec la règle de dérivation en chaîne : $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2+5)^{-1/2} \cdot (2x)\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\end{aligned}$$
Étape 2 : Trouver les coordonnées du point.
En $x=2$, l'ordonnée est $f(2) = \sqrt{2^2+5} = 3$. Le point est $(2,3)$.
Étape 3 : Trouver la pente de la normale.
D'abord, la pente de la tangente en $x=2$ est : $$ m_T = f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2+5}} = \frac{2}{3}. $$ La pente de la normale est l'opposé de l'inverse : $$ m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{3}{2}. $$
Étape 4 : Écrire l'équation de la normale. $$\begin{aligned} y &= -\frac{3}{2}(x-2) +3\\ y &= -\frac{3}{2}x + 6. \end{aligned} $$

Fonctions croissantes et décroissantes

Définition

Lorsque nous traçons le graphe d'une fonction, nous pouvons remarquer que la fonction est croissante ou décroissante sur certains intervalles.

Définition Fonctions croissantes et décroissantes

Soit $I$ un intervalle du domaine d'une fonction $f$.

$f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ tels que $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) < f(x_2)$.
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ tels que $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) > f(x_2)$.

Exemple

La fonction $f(x) = x^2$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty,0[$ et croissante sur l'intervalle $]0,+\infty[$.

Test de la dérivée première

La dérivée d'une fonction, $f'$, nous donne la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe $y=f(x)$. Cela nous permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.

Proposition Test de la dérivée première

Pour une fonction $f$ qui est dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Méthode Tableau de signes et de variations

Un tableau de signes de la dérivée, $f'$, montre où la fonction est croissante ou décroissante. Cette information est organisée dans un tableau de variations.

Exemple

Déterminer les variations de la fonction $f(x)=x^2$.

Correction

La dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$.

La dérivée $f'(x)$ est négative sur $]-\infty,0[$, donc la fonction $f(x)$ est décroissante sur $]-\infty,0[$.
La dérivée $f'(x)$ est positive sur $]0,+\infty[$, donc la fonction $f(x)$ est croissante sur $]0,+\infty[$.

Ceci est résumé dans le tableau de variations :

Extremum de fonctions

Définitions

Définition Extremum global

Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D$.

$f$ admet un maximum global en $x=c$ si $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur maximale de $f$.
$f$ admet un minimum global en $x=c$ si $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur minimale de $f$.

Exemple

Pour $f(x)=(x-1)^2-1$, le point $(1,-1)$ est un minimum global, car $f(x) \ge f(1)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Définition Extremum local

Soit $f$ une fonction.

$f$ admet un maximum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.
$f$ admet un minimum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.

Exemple

La fonction $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ a un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=1$.

First Derivative Test for Local Extrema

Définition Point stationnaire

Un point stationnaire d'une fonction $f$ est un point $(c, f(c))$ sur la courbe où la tangente est horizontale, c'est-à-dire $f^{\prime}(c)=0$.

Proposition Extrema locaux et points stationnaires

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, et soit $c\in I$.Si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $x=c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors$$ f'(c)=0. $$

Cette proposition montre que tout maximum ou minimum local d'une fonction dérivable (en un point intérieur de l'intervalle) doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire un point où $f'(c)=0$.
En pratique, cela signifie que les points stationnaires sont des candidats pour être des maxima ou des minima locaux :

On commence par résoudre $f'(x)=0$ pour trouver tous les points stationnaires.
Puis, pour chaque point stationnaire, on étudie le signe de $f'$ (ou on utilise un tableau de variations, ou encore la dérivée seconde) afin de décider s'il s'agit d'un maximum local, d'un minimum local, ou d'aucun des deux (par exemple, un point d'inflexion).

Cependant, tous les points stationnaires ne sont pas des maxima ou minima locaux : on peut avoir $f'(c)=0$ en un point où la courbe continue à croître (ou à décroître), ou simplement là où la concavité change.

Proposition Test de la dérivée première pour les extrema locaux

Soit $c$ un point stationnaire tel que $f'(c)=0$.

Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de positif à négatif en $x=c$, alors $f$ a un maximum local en $c$.
Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de négatif à positif en $x=c$, alors $f$ a un minimum local en $c$.

Exemple

Déterminer et classifier les points stationnaires de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.

Correction

Trouver la dérivée :$$ f'(x) = x^2 - 1. $$
Trouver les points stationnaires en résolvant $f'(x)=0$ :$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0.\end{aligned}$$Les points stationnaires sont en $x=-1$ et $x=1$.
Créer le tableau de signes pour $f'(x)$ :
La dérivée $f'(x)=x^2-1$ est une parabole ouverte vers le haut avec des racines en $-1$ et $1$. Elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Dresser le tableau de variations et classifier les points :
- En $x=-1$, le signe de $f'(x)$ change de $+$ à $-$. Il y a donc un maximum local en $x=-1$.$$f(-1) = \frac{2}{3}.$$
- En $x=1$, le signe de $f'(x)$ change de $-$ à $+$. Il y a donc un minimum local en $x=1$.$$f(1) = -\frac{2}{3}.$$

Concavité

Définition

Nous avons vu que la dérivée première, $f'(x)$, donne la pente de la courbe $y=f(x)$ pour n'importe quelle valeur de $x$. La dérivée seconde, $f''(x)$, nous renseigne sur le taux de variation de la pente. Elle nous donne donc des informations sur la forme ou la courbure de la courbe.

Définition Concavité

Une fonction $f$ est

concave vers le haut sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le haut, comme une coupe . Les tangentes se trouvent en dessous de la courbe.
concave vers le bas sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le bas, comme un chapeau . Les tangentes se trouvent au-dessus de la courbe.

Exemple

La courbe $f(x)=x^2$ est toujours concave vers le haut. Les tangentes se trouvent en dessous de la courbe.

Test de la dérivée seconde pour la concavité

Considérons la courbe ci-dessous, qui est concave vers le bas.

Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite, $x$ augmente, mais la pente de la tangente diminue (de $2$, à $1$, à $0$, à $-1$, etc.).
Cela signifie que la fonction dérivée, $f'$, est une fonction décroissante.
Si $f'$ est décroissante, alors sa propre dérivée, $f''(x)$, vérifie $f''(x)\leq 0$ (là où elle est définie).

Proposition Test de la dérivée seconde pour la concavité

Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :

$f''(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$, si et seulement si $f$ est concave vers le haut sur $I$.
$f''(x) \le 0$ pour tout $x \in I$, si et seulement si $f$ est concave vers le bas sur $I$.

Exemple

Montrer que $f(x)=\ln(x)$ est concave vers le bas sur son domaine.

Correction

Le domaine de définition de $f(x)=\ln(x)$ est $]0,+\infty[$.
Nous trouvons les dérivées première et seconde :$$ f'(x)=\frac 1 x \quad \text{et} \quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}. $$Pour tout $x$ dans le domaine, $x^2 > 0$, donc $-\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Puisque $f''(x) < 0$ pour tout $x \in ]0,+\infty[$, la fonction est concave vers le bas sur tout son domaine de définition.

Points d'inflexion

Définition

Un point d'inflexion marque un changement subtil mais important dans le comportement d'une fonction. Bien que la fonction puisse continuer à croître ou à décroître, le rythme auquel elle le fait passe d'une accélération à une décélération, ou inversement.
Considérons le nombre total de cas au début d'une épidémie. Initialement, le nombre de nouveaux cas par jour augmente, ce qui signifie que la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (concave vers le haut). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, bien que toujours positif, commence à diminuer. La courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave vers le bas). Le moment où cette transition se produit est le point d'inflexion. C'est le point où le taux de croissance est à son maximum.

Définition Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point sur une courbe où la concavité change (de vers le haut à vers le bas, ou l'inverse). La tangente traverse la courbe en ce point.

$\quad$

Un point d'inflexion est stationnaire si la tangente est horizontale. Il est non-stationnaire si la tangente n'est pas horizontale.

Test de la dérivée seconde pour les points d'inflexion

Puisque la concavité est déterminée par le signe de la dérivée seconde $f''(x)$, un point d'inflexion doit se produire là où $f''(x)$ change de signe. Pour que cela arrive, $f''$ doit s'annuler en ce point.

Proposition Test de la dérivée seconde pour un point d'inflexion

Un point $(a, f(a))$ est un point d'inflexion si $f''(a)=0$ et si le signe de $f''(x)$ change en $x=a$.
Le point d'inflexion est :

stationnaire si $f'(a)=0$.
non-stationnaire si $f'(a) \neq 0$.

Exemple

Pour $f(x)=x^3$, trouver et classifier le point d'inflexion.

Correction

Trouver les dérivées première et seconde :$$ f'(x) = 3x^2 \quad \text{et} \quad f''(x) = 6x. $$
Trouver les points d'inflexion potentiels en résolvant $f''(x)=0$ :$$ 6x = 0 \implies x=0. $$
Vérifier le changement de signe de $f''(x)$ en $x=0$ :
- Pour $x<0$, $f''(x) < 0$ (concave vers le bas).
- Pour $x>0$, $f''(x) > 0$ (concave vers le haut).
Comme $f''(x)$ change de signe en $x=0$, il y a un point d'inflexion en $x=0$. Le point est $(0,0)$.
Classifier le point d'inflexion :
On vérifie la valeur de la dérivée première en $x=0$ :$$ f'(0) = 3(0)^2 = 0. $$Puisque $f'(0)=0$, le point $(0,0)$ est un point d'inflexion stationnaire.