Continuité

Définition

Définition Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en un point $x=a$ si trois conditions sont remplies :

$f(a)$ est définie (le point existe).
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe (la limite existe).
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite est égale à la valeur de la fonction).

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si son graphe peut être dessiné sans lever le crayon du papier.

Types de discontinuité

Discontinuité amovible (ou prolongeable par continuité) : Se produit lorsque la limite existe mais n'est pas égale à la valeur de la fonction, ou si la fonction n'est pas définie au point. Cela correspond à un « trou » dans le graphe.
Discontinuité non amovible (ou essentielle) : Se produit lorsque la limite n'existe pas. Cela correspond à un « saut » (où les limites à gauche et à droite diffèrent), à une asymptote verticale (une discontinuité infinie) ou encore à un comportement très oscillant.

Proposition Catalogue de fonctions continues

Les types de fonctions suivants sont continus en chaque nombre de leur domaine de définition :

Polynômes (ex., $f(x)=x^2-3x+5$)
Fonctions rationnelles (ex., $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$, continue pour $x \neq 2$)
Fonctions racines (ex., $f(x)=\sqrt[n]{x}$, continue sur leur domaine)
Fonctions trigonométriques (ex., $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$, etc., continues sur leurs domaines)
Fonctions trigonométriques inverses (ex., $\arctan(x), \arcsin(x)$, etc.)
Exponentielle (ex., $f(x)=e^x$)
Logarithme népérien (ex., $f(x)=\ln(x)$, continue pour $x>0$)

De plus, toute somme, différence, produit ou composition de ces fonctions est également continue sur son domaine.

Limite d'une fonction composée

Proposition Limite d'une fonction composée

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L$ et si la fonction $f$ est continue en $L$, alors :$$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(L). $$

En bref, si la fonction extérieure est continue, on peut « faire entrer la limite à l'intérieur de la fonction ».

Exemple

Évaluer $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$.

Correction

On applique la règle de la limite d'une fonction composée. Comme la fonction logarithme népérien est continue pour toutes les entrées positives, on peut « faire entrer » la limite à l'intérieur de la fonction :$$\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)&= \ln\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{x}\right) && (\text{car } \ln \text{ est continue sur } ]0,+\infty[) \\ &= \ln\left(\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)\right) && (\text{par simplification algébrique}) \\ &= \ln(1+0) \\ &= \ln(1) \\ &= 0.\end{aligned}$$

Continuité et dérivabilité

Theorem Continuité et dérivabilité

Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

Remarque

La réciproque de ce théorème est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.
L'exemple classique est la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ en 0 :

Elle est continue en 0 car $\displaystyle\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$.
Elle n'est pas dérivable en 0 car la pente à gauche est $-1$ et la pente à droite est $+1$.

Une fonction continue mais pas dérivable en $a$ se traduit graphiquement par une courbe qui admet un point anguleux.

Continuité et suites

Theorem Théorème du point fixe

Soit une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ convergente vers $\ell$.
Si la fonction associée $f$ est continue en $\ell$, alors la limite $\ell$ est solution de l'équation :$$ f(x) = x $$

Remarques

La condition de continuité de $f$ en $\ell$ est indispensable.
En pratique, on résout l'équation $f(x)=x$ pour trouver les limites possibles, puis on utilise les caractéristiques de la suite pour choisir la bonne.

Continuité et équations

Theorem Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution $c$ dans l'intervalle $[a, b]$.

Theorem Corollaire : Théorème de la bijection

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $c$ dans $[a, b]$.

Exemple

L'équation $x^3 = 2$ admet une unique solution sur $]-\infty, +\infty[$ car la fonction cube $x \mapsto x^3$ est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$, et 2 est compris entre $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$.