Formule du binôme de Newton

Dans ce chapitre, nous étudions le développement des puissances d’un binôme comme $(a+b)^n$, où $n$ est un entier naturel.
Nous allons découvrir des régularités dans les coefficients grâce au triangle de Pascal, puis énoncer et utiliser la formule du binôme de Newton.

Formule du binôme pour $n\equal 2$ et $n\equal 3$

Proposition Formule du binôme

Le carré d'une somme et le carré d'une différence peuvent s'écrire :$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \quad\text{et}\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Preuve

$$\begin{aligned}(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) &&\text{(définition du carré)} \\ &= a(a+b)+b(a+b) &&\text{(propriété distributive)} \\ &= a^2+ab+ab+b^2 &&\text{(développer)} \\ &= a^2+2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}.\end{aligned}$$De même,$$\begin{aligned}(a-b)^2 &= (a-b)(a-b) &&\text{(définition du carré)} \\ &= a(a-b)-b(a-b) &&\text{(propriété distributive)} \\ &= a^2-ab-ab+b^2 &&\text{(développer)} \\ &= a^2-2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}.\end{aligned}$$

Exemple

Développe et simplifie $(x+2)^2$.

Correction

En utilisant la formule $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=2$ :$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{2})^{2} &=\textcolor{colordef}{x}^{2}+2 \times \textcolor{colordef}{x} \times \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}^{2} \\ &=x^{2}+4 x+4.\end{aligned}$$Donc $(x+2)^2=x^2+4x+4$.

Proposition Formule du binôme $n\equal 3$

Preuve

$$\begin{aligned}(a+b)^3 &= (a+b)(a+b)(a+b) &&\text {(définition du cube)} \\ &= (a^2+2ab+b^2)(a+b) &&\text {(en utilisant le carré)} \\ &= (a^2+2ab+b^2)a + (a^2+2ab+b^2)b &&\text {(développer)} \\ &= a^3+2a^2b+ab^2 + a^2b+2ab^2+b^3 &&\text {(distributivité)} \\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &&\text {(regrouper)}\\ \end{aligned}$$

Exemple

Développe et simplifie $(x+2)^3$

Correction

Dans la formule du cube parfait, on remplace $a=x$ et $b=2$ :$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{2})^{3}&= \textcolor{colordef}{x}^{3} + 3 \times \textcolor{colordef}{x}^2 \times \textcolor{colorprop}{2} + 3 \times \textcolor{colordef}{x} \times \textcolor{colorprop}{2}^2 + \textcolor{colorprop}{2}^{3} \\ &= x^{3} + 6x^2 + 12x + 8\end{aligned}$$

Triangle de Pascal

Découverte

Considérons les puissances de $(a+b)$ :$$\begin{array}{rcccccccccc}(a+b)^1 &=& & & a &+& b\\ (a+b)^2 &=& & 1a^2 &+& 2ab &+& 1b^2\\ (a+b)^3 &=& 1a^3 &+& 3a^2b &+& 3ab^2 &+& 1b^3\\ (a+b)^4 &=& 1a^4 &+& 4a^3b &+& 6a^2b^2 &+& 4ab^3 &+& 1b^4\\ \end{array}$$Lorsque nous ne gardons que les coefficients des termes, nous obtenons le triangle de Pascal :$$\begin{array}{ccccccccccc}&&&&1&&1&&&&\text{ligne 1}\\ &&&1&&2&&1&&&\text{ligne 2}\\ &&1&&3&&3&&1&&\text{ligne 3}\\ &1&&4&&6&&4&&1&\text{ligne 4}\\ \end{array}$$Nous observons alors le motif suivant.

Définition Pascal's Triangle

Les valeurs aux extrémités de chaque ligne sont toujours égales à $1$.
Chaque valeur intérieure est obtenue en additionnant les deux valeurs situées en diagonale juste au-dessus d’elle.

Exemple

Détermine la cinquième ligne du triangle de Pascal.

Correction

$$\begin{array}{cccccccccccc}&&&&1&&1&&&&&\text{ligne 1}\\ &&&1&&2&&1&&&&\text{ligne 2}\\ &&1&&3&&3&&1&&&\text{ligne 3}\\ &1&&4&&6&&4&&1&&\text{ligne 4}\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1&\text{ligne 5}\end{array}$$La cinquième ligne est donc $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Proposition Binomial Expansion

Pour le développement de $(a+b)^n$, où $n \in \mathbb{N}$ :

En lisant le développement de gauche à droite, les puissances de $a$ diminuent de $1$ tandis que les puissances de $b$ augmentent de $1$.
La somme des exposants de $a$ et de $b$ dans chaque terme du développement est égale à $n$.
Le nombre de termes du développement est $n+1$.
Les coefficients des termes correspondent à la $n$-ième ligne du triangle de Pascal.

Exemple

Développe $(a+b)^5$.

Correction

À partir de la cinquième ligne du triangle de Pascal$$\begin{array}{cccccccccccc}&&&&1&&1&&&&&\text{ligne 1}\\ &&&1&&2&&1&&&&\text{ligne 2}\\ &&1&&3&&3&&1&&&\text{ligne 3}\\ &1&&4&&6&&4&&1&&\text{ligne 4}\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1&\text{ligne 5}\end{array}$$on obtient$$(a+b)^5= a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$$

Formule du binôme de Newton

Définition Factoriel

Pour tout entier positif $n$, $n!$ (lu "$n$ factoriel") est le produit des $n$ premiers entiers positifs : $$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1.$$ Par convention, on définit $0! = 1$.

Exemple

Calcule $4!$.

Correction

$\begin{aligned}[t]4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ &= 24\end{aligned}$

Définition Coefficient binomial

Pour tous entiers $n \geqslant p \geqslant 0$, le coefficient binomial $\binom{n}{p}$ est défini par $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Proposition Formule du binôme de Newton

Soient $n\in\mathbb{N}$ et $a,b\in\mathbb{C}$. Alors$$\begin{aligned}(a+b)^n&=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{\,k}b^{\,n-k}= \binom{n}{0}a^0 b^n + \binom{n}{1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{2}a^2b^{n-1} + \dotsb + \binom{n}{n}a^n b^0\\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}= \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dotsb + \binom{n}{n}a^0 b^n\end{aligned}$$

Preuve

Argument combinatoire :
- Cas $n=0$ : Par convention, $(a+b)^0 = 1$. La formule donne $\binom{0}{0}a^0b^0 = 1$, la relation est donc vérifiée.
- Cas $n > 0$ :Considérons le produit$$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\dotsm(a+b)}_{\text{$n$ facteurs}}.$$Pour obtenir un terme du développement, on choisit soit $a$ soit $b$ dans chacun des $n$ facteurs, puis on multiplie les $n$ choix.
  Un terme de la forme $a^{n-k}b^k$ apparaît lorsque l’on choisit $b$ dans exactement $k$ des $n$ parenthèses (et $a$ dans les $n-k$ restantes).
  Le nombre de façons de choisir ces $k$ positions est exactement $\binom{n}{k}$.
  Donc le coefficient de $a^{n-k}b^k$ est $\binom{n}{k}$, et en sommant pour $k$ allant de $0$ à $n$, on obtient$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.$$
Démonstration par récurrence :
Soit $P(n)$ la propriété : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
- Initialisation : Pour $n=0$, $(a+b)^0 = 1$.
  La formule donne $\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^{0-k} b^k = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1$.
  $P(0)$ est donc vraie.
- Hérédité : Supposons $P(n)$ vraie pour un certain $n \ge 0$. Calculons $(a+b)^{n+1}$ : $$\begin{aligned} (a+b)^{n+1} &= (a+b)^n \times (a+b) \\ &= \left( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \right) \times (a+b) \\ &= a \times \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} + b \times \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \\ &= \left( \binom{n}{n} a^{n+1} b^0 + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} \right) + \left( \binom{n}{0} b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \right) \\ &= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^k b^{n-k+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \\ &= a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left[ \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right] a^k b^{n-k+1} \\ &= a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} a^k b^{n-k+1} \quad \text{(par la relation de Pascal)} \\ &= \binom{n+1}{n+1} a^{n+1} b^0 + \binom{n+1}{0} a^0 b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k} \end{aligned}$$ Donc $P(n+1)$ est vraie.
La propriété est donc héréditaire. Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Factorisation de $a^n - b^n$

En complément du développement de $(a+b)^n$, il est essentiel de savoir factoriser la différence de deux puissances $n$-ièmes : $a^n-b^n$.
Cette identité est une généralisation de la formule classique $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Proposition Formule de factorisation générale

Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tous nombres complexes $a$ et $b$ :$$\begin{aligned} a^n - b^n &= (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k\\ &= (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})\\ \end{aligned}$$

Preuve

Développons le produit $(a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k$ :$$\begin{aligned}(a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k &= a \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k - b \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k} b^k - \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k} b^k - \sum_{j=1}^{n} a^{n-j} b^j \quad (\text{changement d'indice en posant } j=k+1) \\ &= \left( a^n + \sum_{k=1}^{n-1} a^{n-k} b^k \right) - \left( \sum_{j=1}^{n-1} a^{n-j} b^j + b^n \right) \quad \left( \text{en isolant le premier terme de } \textstyle \sum_k \text{ et le dernier de } \textstyle \sum_j \right) \\ &= a^n - b^n \quad (\text{les deux sommes sont identiques et s'annulent})\end{aligned}$$Remarque : À la place de la translation d'indice ci-dessus, on peut utiliser une méthode par développement après la deuxième étape. En écrivant explicitement les termes des deux sommes, on observe une somme télescopique :$$\begin{aligned}\text{Somme 1 : } & a^n + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \dots + ab^{n-1} \\ \text{Somme 2 : } & \phantom{a^n + } a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \dots + ab^{n-1} + b^n\end{aligned}$$Par soustraction, tous les termes intermédiaires se simplifient, il ne reste que :$$ a^n - b^n $$

Exemple

Factorise $z^3 - 8$ pour $z \in \mathbb{C}$.

Correction

On reconnaît $8 = 2^3$. En utilisant la formule avec $a=z$ et $b=2$ :$$\begin{aligned}z^3 - 2^3 &= (z - 2)(z^2 + z^1 \times 2^1 + 2^2) \\ &= \mathbf{(z - 2)(z^2 + 2z + 4)}\end{aligned}$$

Formule du binôme de Newton

Formule du binôme pour \(n\equal 2\) et \(n\equal 3\)

Triangle de Pascal

Formule du binôme de Newton

Factorisation de \(a^n - b^n\)