Applications de l'intégration en géométrie

Calcul de l'aire géométrique

Dans le chapitre précédent, nous avons défini l'intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ comme l'aire algébrique entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses. Cela signifie que les aires au-dessus de l'axe sont positives, tandis que les aires en dessous sont négatives.
Cependant, lorsqu'un problème demande de trouver l'aire géométrique ou simplement l'aire d'une région, il se réfère à l'espace physique, toujours positif, que cette région occupe. Dans ce cas, nous devons nous assurer que toutes les parties de la région, qu'elles soient au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, contribuent de manière positive à l'aire totale. Cette section présente une méthode pour calculer cette aire géométrique totale.

Méthode Calcul de l'aire géométrique délimitée par une courbe et l'axe des abscisses

Pour trouver l'aire géométrique totale $\mathcal{A}$ délimitée par une courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses de $a$ à $b$ :

Trouver les intersections avec l'axe des abscisses : Déterminer où la fonction coupe l'axe des abscisses en résolvant $f(x)=0$. Identifier toutes les racines $c_1, c_2, \dots$ qui se trouvent dans l'intervalle $[a,b]$.
Séparer l'intégrale : Diviser l'intégrale principale en intégrales plus petites à chaque racine trouvée.
Calculer chaque intégrale définie : Calculer l'intégrale pour chaque sous-intervalle. Certaines donneront des valeurs positives (où $f(x) \ge 0$) et d'autres des valeurs négatives (où $f(x) \le 0$).
Sommer les valeurs absolues : L'aire géométrique totale est la somme des valeurs absolues de ces intégrales. Si l'intégrale d'une sous-région est négative, on prend sa valeur positive avant de l'ajouter au total.

Exemple

Calculer l'aire géométrique totale entre la courbe $y=x^2-1$ et l'axe des abscisses de $x=0$ à $x=2$.

Correction

Trouver les racines : On résout $f(x)=x^2-1=0$, ce qui donne $x=1$ et $x=-1$. La seule racine dans notre intervalle $[0,2]$ est $x=1$.
Séparer l'intégrale : On sépare le calcul de l'aire en $x=1$.
- De $x=0$ à $x=1$, la fonction est sous l'axe (aire $\mathcal{A}_1$).
- De $x=1$ à $x=2$, la fonction est au-dessus de l'axe (aire $\mathcal{A}_2$).
Calculer chaque intégrale : $$ \int_0^1 (x^2-1)\, dx = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3}-1\right) - 0 = -\frac{2}{3} $$ $$ \int_1^2 (x^2-1)\, dx = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}-2\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} $$
Sommer les valeurs absolues : $$ \text{Aire totale} = \left|-\frac{2}{3}\right| + \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $$

L'aire géométrique totale est de 2 unités d'aire.

Définition Formule de l'aire géométrique

L'aire géométrique totale $\mathcal{A}$ entre la courbe d'une fonction $f(x)$ et l'axe des abscisses de $x=a$ à $x=b$ est donnée par l'intégrale de la valeur absolue de la fonction :$$ \mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\, \mathrm dx $$

Remarque

La méthode consistant à séparer l'intégrale et à sommer les valeurs absolues est équivalente à cette définition formelle de l'aire géométrique totale.

Aire entre deux courbes

On peut étendre le concept de calcul d'aire sous une courbe pour trouver l'aire d'une région délimitée par deux courbes distinctes. L'aire sous une courbe $y=f(x)$ est un cas particulier où la deuxième courbe est simplement l'axe des abscisses, $y=0$.
L'idée générale est intuitive : l'aire de la région délimitée par une fonction supérieure $f(x)$ et une fonction inférieure $g(x)$ se trouve en calculant l'aire sous $f(x)$ puis en soustrayant l'aire sous $g(x)$. Grâce à la propriété de linéarité de l'intégrale, cette soustraction peut être combinée en une seule intégrale :$$\begin{aligned} \textcolor{olive}{\mathcal{A}} &= \textcolor{colordef}{ \int_a^b f(x)\; \mathrm dx} - \textcolor{colorprop}{ \int_a^b g(x)\; \mathrm dx} \\ &= \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm dx \end{aligned} $$

Proposition Aire entre deux courbes

Si $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $[a,b]$, l'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par les courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ est donnée par :$$ \mathcal{A} = \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm dx $$

On peut retenir cela comme l'intégrale de la fonction du dessus moins la fonction du dessous.

Méthode Calculer l'aire entre deux courbes

Pour trouver l'aire géométrique totale délimitée par deux courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ :

Trouver les points d'intersection. Si les bornes $a$ et $b$ ne sont pas données, trouvez-les en résolvant l'équation $f(x)=g(x)$ afin de déterminer où les courbes se coupent.
Identifier la fonction supérieure et la fonction inférieure. Sur chaque intervalle entre les points d'intersection, déterminez quelle fonction est au-dessus. Un croquis rapide ou le test d'un point est souvent suffisant.
Mettre en place et évaluer la ou les intégrales. Pour chaque intervalle, calculez $\int_a^b (\text{fonction du dessus} - \text{fonction du dessous}) \, dx$. Si les fonctions supérieure et inférieure s'échangent, vous devrez calculer plusieurs intégrales et, pour l'aire géométrique, sommer les valeurs absolues obtenues.

Exemple

Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes $y=x+1$ et $y=x^2-1$.

Correction

Trouver les points d'intersection : On égale les deux fonctions : $$ x+1 = x^2-1 \iff x^2-x-2=0 \iff(x-2)(x+1)=0 $$ Les courbes se coupent en $x=-1$ et $x=2$. Ce sont nos bornes d'intégration.
Identifier la fonction supérieure : Dans l'intervalle $[-1,2]$, testons le point $x=0$. Pour $y=x+1$, $y(0)=1$. Pour $y=x^2-1$, $y(0)=-1$. Donc, la droite $y=x+1$ est la fonction supérieure sur $[-1,2]$.
Mettre en place et évaluer : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{-1}^2 \left( (x+1) - (x^2-1) \right)\, dx \\ &= \int_{-1}^2 (-x^2+x+2)\, dx \\ &= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \\ &= \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) \\ &= \left(-\frac{16}{6} + \frac{12}{6} + \frac{24}{6}\right) - \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right) \\ &= \frac{20}{6} - \left(\frac{7}{6}\right) \\ &= \frac{27}{6} \\ &= \frac{9}{2} \end{aligned}$$

L'aire de la région délimitée est de $\frac{9}{2}$ unités d'aire.

Volumes de révolution

Un solide de révolution est un objet tridimensionnel formé par la rotation d'une forme bidimensionnelle autour d'un axe.
Considérons l'aire sous la courbe $y=f(x)$ de $x=a$ à $x=b$. Si nous faisons tourner cette aire de $360^\circ$ ($2\pi$ radians) autour de l'axe des abscisses, elle engendre un solide de révolution.

Méthode Méthode des disques

Pour trouver le volume de ce solide, nous utilisons la même stratégie que pour l'aire : découper le solide en de nombreuses tranches fines et sommer leurs volumes.

Chaque tranche est un disque cylindrique très mince, formé par la rotation d'un des rectangles d'une somme de Riemann autour de l'axe des abscisses. Le volume d'un cylindre est $\pi r^2h$. Pour un disque en $x_i$ d'épaisseur $\Delta x$ :

Le rayon est la hauteur de la fonction, $r = f(x_i)$.
La hauteur (épaisseur) du disque est $h = \Delta x$.

Le volume d'un disque est $V_i = \pi [f(x_i)]^2 \Delta x$. Le volume total est la somme des volumes de tous les disques :$$\begin{aligned}\mathcal{V}&\approx \sum_{i=0}^{n-1}V_i\\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} \pi [f(x_i)]^2 \Delta x\\ \end{aligned} $$Pour trouver le volume exact, on prend la limite lorsque le nombre de disques tend vers l'infini et que leur épaisseur tend vers $0$, ce qui nous donne l'intégrale définie :$$\begin{aligned}\mathcal{V}&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \pi [f(x_i)]^2 \Delta x\\ &= \int_a^b \pi [f(x)]^2\, dx\\ &=\pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx\\ \end{aligned} $$

Proposition Volume de révolution autour de l'axe des abscisses

En supposant $f(x)\geq 0$ sur $[a,b]$, le volume $V$ engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe $y=f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$ et $x=b$ autour de l'axe des abscisses est donné par :$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx $$

Exemple

Trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région sous la courbe $y=\sqrt{x}$ de $x=1$ à $x=4$ autour de l'axe des abscisses.

Correction

Identifier : La fonction est $f(x)=\sqrt{x}$, et les bornes sont $a=1$ et $b=4$.
Élever la fonction au carré : $[f(x)]^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.
Intégrer : On met en place et on évalue l'intégrale pour le volume : $$\begin{aligned} V &= \pi \int_1^4 x \, dx \\ &= \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 \\ &= \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) \\ &= \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) \\ &= \pi \left( 8 - \frac{1}{2} \right)\\ &= \frac{15\pi}{2} \end{aligned}$$

Le volume du solide est de $\frac{15\pi}{2}$ unités cubiques.

Proposition Volume de révolution autour de l'axe des ordonnées

En supposant $g(y)\ge 0$ sur $[c,d]$, le volume $V$ engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe $x=g(y)$, l'axe des ordonnées, et les droites $y=c$ et $y=d$ autour de l'axe des ordonnées est donné par :$$ V = \pi \int_c^d [g(y)]^2\, dy $$

Remarque

Pour utiliser cette formule, la fonction doit être exprimée sous la forme $x=g(y)$, où $y$ est la variable indépendante. Cela peut nécessiter de réécrire l'équation de la fonction.

Exemple

Trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région délimitée par la courbe $y=\sqrt{x}$, l'axe des ordonnées, et la droite $y=2$ autour de l'axe des ordonnées.

Correction

Réarranger la fonction : La rotation s'effectue autour de l'axe des ordonnées, il faut donc exprimer $x$ en fonction de $y$ : $$ y = \sqrt{x} \implies x = y^2. $$ Notre fonction est donc $g(y)=y^2$.
Identifier les bornes : La région est délimitée par l'axe des ordonnées ($x=0$, à partir du point où la courbe coupe cet axe, c'est-à-dire $y=0$) et la droite $y=2$. Nos bornes sont donc $c=0$ et $d=2$.
Intégrer : On met en place et on évalue l'intégrale : $$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^2 [g(y)]^2\, dy \\ &= \pi \int_0^2 (y^2)^2\, dy \\ &= \pi \int_0^2 y^4\, dy \\ &= \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^2 \\ &= \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)\\ &= \frac{32\pi}{5} \end{aligned}$$

Le volume du solide est de $\frac{32\pi}{5}$ unités cubiques.