Trigonométrie du triangle rectangle

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs des côtés et les angles des triangles, en particulier les triangles rectangles. Elle est utilisée dans de nombreux domaines : sciences, ingénierie, astronomie, architecture, développement de jeux vidéo, etc. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur trois rapports trigonométriques principaux : le sinus, le cosinus et la tangente.

Un triangle rectangle possède un angle droit de \(90^\circ\). On nomme les côtés par rapport à un angle aigu choisi \(\theta\) (et non par rapport à l’angle droit).

• L'hypoténuse (HYP) est le côté le plus long, toujours opposé à l’angle droit. Elle ne dépend pas du choix de \(\theta\).
• Le côté opposé (OPP) est le côté situé en face de l’angle \(\theta\) : il ne touche pas cet angle.
• Le côté adjacent (ADJ) est la cathète qui touche l’angle \(\theta\), mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Dans le triangle ci-dessous, l’angle \(\theta\) est au sommet \(B\). Identifie l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l’angle \(\theta\).

Pourquoi les rapports trigonométriques fonctionnent-ils ? La réponse se trouve dans les propriétés des triangles similaires.
Considérons deux triangles rectangles quelconques qui partagent un angle aigu commun, \(\theta\).Les deux triangles ont un angle droit (\(90^\circ\)) et partagent tous deux l’angle \(\theta\). Parce qu’ils ont deux angles correspondants égaux, les triangles sont similaires d’après le critère de similarité angle-angle (AA).
Une propriété fondamentale des triangles similaires est que les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Cela signifie que, pour n’importe quel triangle rectangle avec l’angle \(\theta\) :$$ \frac{\text{OPP}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{ADJ}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{ADJ}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{OPP}_1}{\text{ADJ}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{ADJ}_2}. $$Puisque ces rapports sont constants pour un angle \(\theta\) donné, quelle que soit la taille du triangle, nous pouvons leur donner des noms spéciaux. Ce sont les rapports trigonométriques.

Pour un angle \(\theta\) dans un triangle rectangle, nous définissons les trois principaux rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente.$$\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, \quad\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, \quad\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}.$$

Un moyen mnémotechnique courant pour s’en souvenir est aussi SOH-CAH-TOA :

• Sinus = Opposé / Hypoténuse
• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• Tangente = Opposé / Adjacent

Dans le triangle ci-dessous, trouve \(\cos \theta\), \(\sin \theta\) et \(\tan \theta\).

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Les rapports trigonométriques pour n’importe quel angle peuvent être calculés à l’aide d’une calculatrice scientifique en mode degré. Vérifie toujours que ta calculatrice est réglée sur « DEG » (degrés) avant de faire tes calculs.

Dans le triangle ci-dessous, trouve \(x\).

Les rapports trigonométriques peuvent être utilisés pour trouver un angle inconnu dans un triangle rectangle, à condition de connaître au moins deux longueurs de côtés.

Dans un triangle rectangle avec un angle \(\theta\) :$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right), \quad\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{HYP}}\right), \quad\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\right).$$

Dans le triangle ci-dessous, trouve l’angle \(\theta\).

Les rapports trigonométriques sont des outils puissants pour résoudre une grande variété de problèmes impliquant des triangles rectangles, notamment dans des situations concrètes. Pour résoudre ces problèmes efficacement, suis les étapes structurées ci-dessous :

• Dessine un schéma clair représentant la situation décrite dans l’énoncé.
• Indique l’inconnue (côté ou angle) à déterminer. Utilise \(x\) pour une longueur et \(\theta\) pour un angle si possible.
• Repère un triangle rectangle dans ton schéma.
• Écris une équation liant un angle et deux côtés du triangle à l’aide d’un rapport trigonométrique approprié.
• Résous l’équation pour trouver la valeur de l’inconnue.
• Formule clairement ta réponse, avec les unités appropriées, sous forme de phrase.

Lorsque le soleil éclaire le gnomon d'un cadran solaire, il projette une ombre sur le cadran situé en dessous. Si les rayons du soleil sont perpendiculaires au cadran, l'ombre formée est la projection du gnomon sur le cadran. Ce concept de projection est essentiel pour définir l'angle entre une droite et un plan en trois dimensions.

L'angle entre une droite et un plan est défini comme l'angle aigu (compris entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\)) entre la droite et sa projection orthogonale sur le plan. Si la droite est contenue dans le plan, cet angle vaut \(0^\circ\).

Pour trouver l'angle \(\theta\) entre une droite \(L\) et un plan \(\mathcal{P}\) (en supposant que \(L\) coupe \(\mathcal{P}\) en un point \(Q\)), suis les étapes suivantes :

1. Trouver la projection de la droite sur le plan.Choisis un point \(P\) sur la droite \(L\) qui n'appartient pas au plan. Abaisse une perpendiculaire depuis \(P\) jusqu'au plan et note \(P'\) le pied de cette perpendiculaire. La droite passant par \(Q\) et \(P'\) est la projection de \(L\) sur le plan \(\mathcal{P}\).
2. Former un triangle rectangle en utilisant le segment de droite original \(QP\), sa projection \(QP'\) et le segment perpendiculaire \(PP'\). L'angle droit est en \(P'\).
3. Utiliser la trigonométrie (SOH-CAH-TOA) pour calculer l'angle aigu \(\theta\) en \(Q\) entre la droite originale \(L\) (segment \(QP\)) et sa projection dans le plan (segment \(QP'\)).

Dans le diagramme, l'angle entre la droite \(L\) et le plan \(\mathcal{P}\) est l'angle aigu \(\theta\) en \(Q\).