Probabilité

Tu t’es déjà demandé s’il allait pleuvoir demain ou si tu allais gagner à un jeu ? C’est ça, la probabilité ! C’est une façon mathématique de mesurer à quel point il est probable qu’un événement se produise.

Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.

Quelles sont toutes les issues possibles quand tu lances une pièce ?

Quelles sont les issues quand tu lances un dé à six faces ?

L'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.

Quel est l’univers quand tu lances une pièce ?

Quel est l’univers quand tu lances un dé à six faces ?

Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers.

Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumère les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».

En probabilité, il est souvent utile de considérer les issues qui n'appartiennent pas à un événement spécifique. Cet ensemble des « autres » issues est appelé l'événement complémentaire. Il représente tout ce qui se trouve dans l'univers en dehors de l'événement initial. Le complémentaire d'un événement \(E\) est noté \(E'\).

L'événement complémentaire d'un événement \(E\), noté \(E'\), \(E^c\) ou \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).

Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Détermine l'événement complémentaire, \(E'\).

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes est composée d'une séquence de deux ou plusieurs expériences simples. Par exemple, lancer deux pièces de monnaie est une expérience à plusieurs étapes composée de deux actions : lancer la première pièce, puis lancer la seconde.
Dans de nombreuses expériences à plusieurs étapes, on peut trouver le nombre total d'issues possibles en multipliant entre eux les nombres d'issues de chaque étape. Pour représenter toutes les issues combinées, on peut utiliser des outils comme des listes, des tableaux ou des diagrammes en arbre.

Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'univers peut être représenté de plusieurs manières :

• en listant toutes les issues ordonnées possibles ;
• en utilisant un tableau (idéal pour les expériences à deux étapes) ;
• en utilisant un diagramme en arbre (utile pour n'importe quel nombre d'étapes).

Pour l'expérience consistant à lancer deux pièces, représente l'univers en :

1. listant toutes les issues possibles ;
2. utilisant un tableau ;
3. utilisant un diagramme en arbre.

L'union de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cup F\), est l'événement qui se produit si \(E\) se réalise, ou si \(F\) se réalise, ou si les deux se réalisent. On lit cela « E ou F ». Elle inclut toutes les issues qui se trouvent dans au moins l'un des deux événements.

On lance un dé standard à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre pair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre inférieur à 4 ». Trouver l'événement \(E \cup F\).

L'intersection de deux événements \(E\) et \(F\), notée \(E \cap F\), est l'événement qui se produit si \(E\) et \(F\) se réalisent simultanément. On lit cela « E et F ». Elle inclut toutes les issues qui sont communes aux deux événements.

On lance un dé standard à six faces. Soit l'événement \(E\) « obtenir un nombre impair » et l'événement \(F\) « obtenir un nombre inférieur à 4 ». Trouver l'événement \(E \cap F\).

Deux événements \(E\) et \(F\) sont dits mutuellement exclusifs (ou incompatibles) s’ils n'ont aucune issue en commun. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est l'ensemble vide (\(\emptyset\)) :$$E \cap F = \emptyset.$$

Lors du lancer d'un dé, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre impair » et \(F\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Montrer que \(E\) et \(F\) sont mutuellement exclusifs.

Notation	Vocabulaire des ensembles	Vocabulaire probabiliste	Diagramme de Venn
\(U\)	Ensemble universel	Univers
\(x\)	Élément de \(U\)	Issue
\(\emptyset\)	Ensemble vide	Événement impossible
\(E\)	Sous-ensemble de \(U\)	Événement
\(x \in E\)	\(x\) est un élément de \(E\)	\(x\) est une issue de \(E\)
\(E'\)	Complémentaire de \(E\) dans \(U\)	Complémentaire de \(E\) dans \(U\)
\(E \text{ ou } F\)	Union de \(E\) et \(F\) : \(E \cup F\)	\(E\) ou \(F\)
\(E \text{ et } F\)	Intersection de \(E\) et \(F\) : \(E \cap F\)	\(E\) et \(F\)
\(E \cap F = \emptyset\)	\(E\) et \(F\) sont disjoints	\(E\) et \(F\) sont mutuellement exclusifs

Quand tu lances une pièce, il y a deux issues possibles : pile ou face. La chance d’obtenir face est 1 chance sur 2. On peut écrire cela sous forme de fraction :

La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui nous dit à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\).

Toute la théorie des probabilités est construite sur trois règles fondamentales appelées axiomes. Ce sont des affirmations que nous acceptons comme vraies et à partir desquelles toutes les autres règles peuvent être dérivées. La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui quantifie sa vraisemblance.

Une fonction \(P\) est une mesure de probabilité si elle satisfait les trois axiomes suivants pour des événements \(E\) et \(F\) de \(U\) :

1. Axiome 1 (Non-négativité) : La probabilité de tout événement est un nombre non négatif, compris entre 0 et 1. $$0 \leqslant P(E) \leqslant 1$$
2. Axiome 2 (Probabilité totale) : La probabilité de l'univers est 1. $$P(U) = 1$$
3. Axiome 3 (Additivité pour les événements mutuellement exclusifs) : Si deux événements \(E\) et \(F\) sont mutuellement exclusifs (\(E \cap F = \emptyset\)), alors la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités individuelles. $$P(E \cup F) = P(E) + P(F)$$

Les diagrammes de Venn peuvent nous aider à comprendre les axiomes des probabilités. Dans ce contexte, l'aire totale de l'ensemble universel \(U\) est considérée comme ayant une probabilité totale de 1. La probabilité de tout événement \(E\) est représentée par la proportion de l'aire totale que l'événement couvre.

• Axiome 1 : \(0 \leqslant P(E) \leqslant 1\)
  L'aire représentant l'événement \(E\) ne peut pas être plus petite que rien (0) et ne peut pas être plus grande que l'univers entier (1).
• Axiome 2 : \(P(U) = 1\)
  L'événement que quelque chose dans l'univers se produise est certain. Par conséquent, la probabilité de l'univers entier est 1 (ou 100 \(\pourcent\)).
• Axiome 3 : \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\) pour les événements mutuellement exclusifs
  Si deux événements \(E\) et \(F\) sont mutuellement exclusifs, ils ne se chevauchent pas dans le diagramme de Venn. L'aire totale couverte par leur union (\(E \cup F\)) est simplement la somme de leurs aires individuelles.$$ P(E \cup F) = \textcolor{colordef}{P(E)} + \textcolor{colorprop}{P(F)} $$

S'il y a \(40\pourcent\) de chances qu'il pleuve demain, quelle est la chance qu'il ne pleuve pas ?\(100\pourcent - 40\pourcent = 60\pourcent\)Ce calcul est une application de la règle du complémentaire. C'est un raccourci pour trouver la probabilité qu'un événement n'arrive pas.

Pour tout événement \(E\) et son événement complémentaire \(E'\),$$\textcolor{colorprop}{P(E') = 1 - P(E)}$$

Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir (événement \(E\)). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?

Pour deux événements quelconques \(E\) et \(F\),$$\textcolor{colorprop}{P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)}$$Cette formule est valable que \(E\) et \(F\) soient ou non mutuellement exclusifs. S'ils le sont, alors \(P(E \cap F) = 0\) et la formule se réduit à l'Axiome 3.

Un lycée local organise un spectacle de talents. La probabilité qu’un élève choisi au hasard participe au chant est de \(0,4\), la probabilité qu’un élève participe à la danse est de \(0,3\), et la probabilité qu’un élève participe à la fois au chant et à la danse est de \(0,1\). Trouve la probabilité qu’un élève choisi au hasard participe soit au chant, soit à la danse.

As-tu déjà lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.

Lorsque toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est :$$\textcolor{colordef}{\begin{aligned}P(E) &= \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}\\ &=\dfrac{\Cardfr{E}}{\Cardfr{U}}\\ \end{aligned}}$$

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?

Les événements indépendants sont des événements pour lesquels le fait que l’un se produise ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise. Par exemple, lorsqu’on lance deux dés équilibrés en même temps, le résultat du premier dé ne change pas les chances pour le deuxième dé : ce sont des événements indépendants.

Si deux événements, \(A\) et \(B\), sont indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent (c’est-à-dire \(P(A\cap B)\) ou \(P(A \text{ et } B)\)) est le produit de leurs probabilités individuelles. On parle alors de règle de multiplication pour des événements indépendants :$$P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)$$

Une expérience consiste en les deux actions indépendantes suivantes :

1. Lancer une pièce de monnaie équilibrée.
2. Lancer un dé équilibré à six faces.

Quelle est la probabilité d’obtenir Pile et un nombre strictement supérieur à 4 ?

1. Dessinez les branches pour chaque étape : Dessinez les branches pour le premier événement (lancer de pièce), puis, à l’extrémité de chacune de ces branches, dessinez les branches pour le second événement (lancer de dé).
2. Inscrivez les probabilités sur chaque branche : La somme des probabilités des branches partant d’un même point doit être égale à 1. Comme les événements sont indépendants, les probabilités des branches du lancer de dé sont les mêmes après « Face » et après « Pile ».
3. Multipliez le long du chemin : Pour trouver la probabilité d’une issue combinée, multipliez les probabilités le long du chemin, du début à la fin.$$\textcolor{colorprop}{P(\text{"Pile" and "Nombre > 4"})=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}$$

La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule :$$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$Plus on fait d’essais, meilleure sera notre estimation de la vraie probabilité.

Imagine que tu essaies de prédire la probabilité de pluie aujourd’hui. Tu pourrais commencer par une probabilité de base fondée sur les prévisions météorologiques. Mais ensuite, tu remarques des nuages sombres qui arrivent — soudainement, les chances de pluie semblent plus élevées car tu disposes d’une nouvelle information. C’est là qu’intervient la probabilité conditionnelle : elle permet de mettre à jour les probabilités lorsque l’on sait qu’un événement supplémentaire s’est produit.
Pense à un jeu avec un sac de boules colorées — par exemple, 5 rouges, 3 bleues et 2 vertes (10 en tout). La chance de tirer une boule rouge est de 5 sur 10, soit \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Maintenant, suppose qu’on te dise que toutes les boules bleues ont été enlevées. Le sac ne contient plus que 5 rouges et 2 vertes (7 en tout), donc la chance de tirer une rouge passe à \(\frac{5}{7}\). Cela illustre la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (les bleues sont enlevées) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, disons \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCond{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.

La probabilité conditionnelle d’un événement \(F\) sachant un événement \(E\) est la probabilité que \(F\) se produise sachant que \(E\) a déjà eu lieu. On la note \(\PCond{F}{E}\) et on la calcule comme suit :$$\textcolor{colordef}{\PCond{F}{E} = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}}, \quad \text{où } P(E) > 0.$$

Un dé équilibré à six faces a les faces impaires (1, 3, 5) peintes en vert et les faces paires (2, 4, 6) peintes en bleu. Tu le lances et observes que la face supérieure est bleue. Quelle est la probabilité que ce soit un 6 ?

Un diagramme en arbre des probabilités conditionnelles organise visuellement les probabilités pour une séquence d’événements :

• Chaque branche issue d’un nœud indique soit une probabilité non conditionnelle (par exemple, \(P(E)\)), soit une probabilité conditionnelle (par exemple, \(\PCond{F}{E}\)).
• Les événements sont indiqués à la fin de chaque branche.
• La probabilité d’une issue au bout d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.

La probabilité que Sam entraîne un match est de \(\frac{6}{10}\), et qu’Alex entraîne est de \(\frac{4}{10}\). Si Sam entraîne, la probabilité qu’un joueur soit gardien est de \(\frac{1}{2}\) ; si Alex entraîne, elle est de \(\frac{2}{3}\).
Dessine le diagramme en arbre.

Parfois, tu connais \(P(E)\) et \(\PCond{F}{E}\), et tu veux déterminer la probabilité que \(E\) et \(F\) se produisent ensemble — par exemple, la probabilité qu’un élève soit une fille qui aime les mathématiques. Cette probabilité s’appelle la probabilité conjointe \(P(E \cap F)\).

$$P(E \cap F) = P(E) \times \PCond{F}{E}, \quad P(E \cap F) = P(F) \times \PCond{E}{F}.$$

1. Identifie le chemin où \(E\) et \(F\) se produisent tous deux.
2. Multiplie les probabilités le long de ce chemin.

$$P(E \cap F) = \textcolor{colorprop}{P(E) \PCond{F}{E}}.$$

Pour cet arbre de probabilité,calcule \(P(S \cap G)\).

Pour des événements \(E\) et \(F\) :$$P(F) = P(E) \PCond{F}{E} + P(E') \PCond{F}{E'}.$$Ce résultat s’applique lorsque \(E\) et son complément \(E'\) partitionnent l’univers. Plus généralement, si \((E_1,\dots,E_n)\) forme une partition de l’univers, alors$$P(F) = \sum_{i=1}^n P(E_i)\PCond{F}{E_i}.$$

1. Identifie tous les chemins menant à \(F\).
2. Multiplie les probabilités le long de chaque chemin et additionne-les.

$$P(F) = \textcolor{colordef}{P(E) \PCond{F}{E}} + \textcolor{colorprop}{P(E') \PCond{F}{E'}}.$$

Pour cet arbre de probabilité,calcule \(P(G)\).

Et si tu obtiens un test positif pour une maladie rare — cela signifie-t-il que tu as la maladie ? Le théorème de Bayes permet d’inverser les probabilités conditionnelles pour répondre à de telles questions, en mettant à jour tes croyances avec de nouvelles preuves. Il constitue un pilier dans des domaines comme la médecine et la science des données.

$$\PCond{E}{F} = \frac{P(E) \PCond{F}{E}}{P(F)}, \quad \text{où } P(F) > 0.$$En utilisant la loi de la probabilité totale pour \(P(F)\), lorsque \(\{E,E'\}\) forme une partition de l’univers, on peut aussi écrire$$\PCond{E}{F} = \frac{P(E)\PCond{F}{E}}{P(E)\PCond{F}{E} + P(E')\PCond{F}{E'}}.$$

Considère une maladie rare qui affecte approximativement 1 personne sur 1 000. Un test médical pour détecter cette maladie possède les caractéristiques suivantes :

• Sensibilité : Si une personne a la maladie, le test retourne correctement un résultat positif dans 99 \(\pourcent\) des cas.
• Spécificité : Si une personne n’a pas la maladie, le test retourne correctement un résultat négatif dans 95 \(\pourcent\) des cas.

Étant donné ces conditions, détermine la probabilité qu’une personne ait réellement la maladie si son résultat de test est positif.