Suites monotones

Définition

Définition Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Remarque

Comme pour les fonctions, si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle d'une suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Certaines suites ne sont pas monotones, par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $1$ et $-1$.

Étudier le sens de variation d'une suite

Méthode Étude du signe de $u_{n+1}-u_n$

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, on peut déterminer le signe de la différence entre deux termes consécutifs :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \ge 0}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \le 0}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 3$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.$$\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \bigl[2(n+1)-3\bigr]-\bigl[2n-3\bigr]\\ &= 2n+2-3-2n+3\\ &= 2.\end{aligned}$$Comme $2>0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Méthode Comparaison entre $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $1$

Pour une suite à termes strictement positifs ($u_n>0$) :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.
Tous les termes sont positifs ($2^n>0$).$$\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n}&= \frac{2^{n+1}}{2^n}\\ &= 2^{n+1-n}\\ &= 2.\end{aligned}$$Comme $2>1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.