\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Équations de droites

Pente


La pente (ou gradient ou coefficient directeur) d'une droite décrit sa direction et son inclinaison. C’est un nombre qui indique de combien l'ordonnée (\(y\)) d'un point sur la droite change lorsque l'abscisse (\(x\)) augmente de \(1\) unité.
  • Une pente positive signifie que la droite monte lorsque l'on se déplace vers la droite.
  • Une pente négative signifie que la droite descend lorsque l'on se déplace vers la droite.
  • Une pente nulle correspond à une droite horizontale : lorsque l’on se déplace vers la droite, il n’y a aucun changement vertical.

Définition Pente
La pente (également appelée gradient ou coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical (\(\Delta y\)) sur le changement horizontal (\(\Delta x\)), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$
Pour une droite verticale, le changement horizontal \(\Delta x\) est toujours nul, la pente est donc indéfinie.
Exemple
Détermine la pente de la droite.

$$\begin{aligned}[t]\text{pente} &= \frac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}}\\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{1}}\\ &= 2\end{aligned}$$

Formule de la pente

Proposition Formule de la pente
La pente d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}, \textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}, \textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre.
Exemple
Détermine la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}, \textcolor{colorprop}{4}\right)\).

$$\begin{aligned}[t]\text{pente de }\LineFr{AB} &= \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{4}-\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{5}-\textcolor{colordef}{1}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{2}}{\textcolor{colordef}{4}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\end{aligned}$$

Ordonnée à l’origine

Définition Ordonnée à l’origine
L'ordonnée à l’origine est la valeur de \(y\) où la droite coupe l’axe des ordonnées (lorsque \(x=0\)).
Exemple
Détermine l'ordonnée à l’origine.

L’ordonnée à l’origine est \(1\) car la droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0,1)\).

Équations de droites


Une équation comme \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) décrit une relation entre les variables \(\textcolor{colordef}{x}\) et \(\textcolor{colorprop}{y}\). Pour toute valeur de \(\textcolor{colordef}{x}\) que nous choisissons, l'équation nous donne la valeur correspondante de \(\textcolor{colorprop}{y}\).
Nous pouvons utiliser cela pour trouver les coordonnées \((\textcolor{colordef}{x}, \textcolor{colorprop}{y})\) de points qui vérifient cette équation.
  • Si \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}\), alors \(\textcolor{colorprop}{y} = 2(\textcolor{colordef}{1}) - 1 = \textcolor{colorprop}{1}\). Cela nous donne le point \((1, 1)\).
  • Si \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{2}\), alors \(\textcolor{colorprop}{y} = 2(\textcolor{colordef}{2}) - 1 = \textcolor{colorprop}{3}\). Cela nous donne le point \((2, 3)\).
Construisons un tableau de valeurs pour trouver d'autres points :
\(\textcolor{colordef}{x}\) \(\textcolor{colordef}{0}\) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colorprop}{y}\) \(\textcolor{colorprop}{-1}\) \(\textcolor{colorprop}{1}\) \(\textcolor{colorprop}{3}\) \(\textcolor{colorprop}{5}\)
Chaque paire du tableau, par exemple \((0,-1)\) ou \((3,5)\), rend l'équation \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) vraie. Lorsque nous plaçons ces points dans un repère du plan, nous voyons qu'ils appartiennent tous à la même droite. L'équation \(\textcolor{colorprop}{y}=2\textcolor{colordef}{x}-1\) est l'équation de cette droite, car elle est vraie pour chaque point de la droite (et uniquement pour les points de cette droite).

Définition Forme Pente-Ordonnée à l'origine
La forme pente-ordonnée à l'origine de l'équation d'une droite est :$$y = mx + c$$où \(m\) est la pente (gradient) et \(c\) est l'ordonnée à l'origine.
Pour une droite verticale, l’équation est \( x = k \) où \(k\) est une constante.
Exemple
Cette droite a pour pente \(m=-2\) et pour ordonnée à l'origine \(c=1\).
Définition Forme générale de l'équation d'une droite
La forme générale de l'équation d'une droite est :$$ax + by = d$$où \(a\), \(b\) et \(d\) sont des constantes, et \(a\) et \(b\) ne sont pas tous deux nuls.

Tracer une équation de droite

Méthode Tracer une droite en utilisant deux points
Pour tracer une droite donnée par \(y = mx + c\) :
  1. Détermine le premier point \((x_1, y_1)\) :
    • Choisis une valeur pratique pour \(x_1\) (souvent un entier).
    • Remplace \(x_1\) dans l’équation pour calculer \(y_1\).
  2. Détermine un second point \((x_2, y_2)\) :
    • Choisis une autre valeur pour \(x_2\).
    • Remplace \(x_2\) dans l’équation pour calculer \(y_2\).
  3. Trace la droite :
    • Place les deux points sur un graphique.
    • Utilise une règle pour tracer la droite passant par ces deux points.
Exemple
Trace la droite d’équation \(y = -2x + 3\).

  • Pour \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{1}\),$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colorprop}{y} &= -2 \times \textcolor{colordef}{1} + 3 \\ &= \textcolor{colorprop}{1}\end{aligned}$$
  • Pour \(\textcolor{colordef}{x} = \textcolor{colordef}{2}\),$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colorprop}{y} &= -2 \times \textcolor{colordef}{2} + 3 \\ &= \textcolor{colorprop}{-1}\end{aligned}$$
  • Ainsi, les points \((\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{1})\) et \((\textcolor{colordef}{2}, \textcolor{colorprop}{-1})\) appartiennent à la droite.

Méthode Tracer une droite avec l’ordonnée à l’origine et la pente
Pour tracer une droite \(y = mx + c\) :
  1. Place l’ordonnée à l’origine :
    • Place le point \((0, c)\) sur le graphique.
  2. Utilise la pente \(m\) pour déterminer un deuxième point :
    • À partir du point \((0, c)\), décale-toi horizontalement d’une valeur choisie \(\Delta x\) (par exemple \(1\) ou \(2\) unités).
    • Puis décale-toi verticalement de \(\Delta y = m \cdot \Delta x\).
    • Place le deuxième point.
  3. Trace la droite :
    • Trace la droite passant par les deux points.
Exemple
Trace la droite d’équation \(y = 2x - 1\).

  • L’ordonnée à l’origine est \(-1\) : place le point \((0, -1)\).
  • La pente est \(2\) : à partir de \((0, -1)\), décale-toi d’\(1\) unité vers la droite (\(\Delta x = 1\)), puis de \(2\) unités vers le haut (\(\Delta y = 2\)), pour arriver en \((1, 1)\).
  • Trace la droite passant par ces deux points.

Droites parallèles et perpendiculaires

Proposition Droites parallèles
Deux droites distinctes et non-verticales$$L_1 : y = m_1 x + c_1 \quad \text{et} \quad L_2 : y = m_2 x + c_2$$sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente (coefficient directeur), c'est-à-dire \(m_1 = m_2\). Si en plus \(c_1 = c_2\), les deux équations représentent la même droite.
Toutes les droites verticales (de la forme \(x = k\)) sont parallèles entre elles.
Proposition Droites perpendiculaires
Deux droites non-verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes \(m_1\) et \(m_2\) est égal à \(-1\), c'est-à-dire \(m_1 \cdot m_2 = -1\). On dit alors que leurs coefficients directeurs sont opposés et inverses :$$m_2 = -\frac{1}{m_1}.$$De plus, une droite verticale (pente indéfinie) est toujours perpendiculaire à une droite horizontale (pente nulle).
Exemple
Détermine si les droites \(y=3x+2\) et \(y=3x-1\) sont parallèles, perpendiculaires ou ni l'un ni l'autre.

Les deux droites ont une pente \(m=3\), donc elles sont parallèles (et distinctes, puisque \(2 \neq -1\)).

Exemple
Détermine si les droites \(y=4x-3\) et \(y=-\frac{1}{4}x+5\) sont parallèles, perpendiculaires ou ni l'un ni l'autre.

Les pentes sont \(m_1=4\) et \(m_2=-\dfrac{1}{4}\), et \(4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1\), donc elles sont perpendiculaires.

Médiatrice d'un segment

Définition Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est une droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu.
Méthode Trouver l'équation d'une médiatrice
Pour trouver l'équation de la médiatrice du segment joignant \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) (avec \(A \neq B\)) :
  1. Trouver la pente du segment \(\overline{AB}\) (lorsque \(x_A \neq x_B\)) : $$ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. $$
  2. Trouver la pente de la droite perpendiculaire (\(m_\perp\)) lorsque \(m_{AB} \neq 0\) : $$ m_\perp = -\frac{1}{m_{AB}}. $$
  3. Trouver le milieu de \(\overline{AB}\) : $$ M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right). $$
  4. Utiliser la forme point-pente avec le milieu \(M(x_M,y_M)\) et la pente \(m_\perp\) : $$ y - y_M = m_\perp(x - x_M). $$
Cas particuliers :
  • Si \(AB\) est horizontal (\(m_{AB}=0\)), la médiatrice est une droite verticale \(x = x_M\).
  • Si \(AB\) est vertical (\(x_A = x_B\)), la médiatrice est une droite horizontale \(y = y_M\).
Exemple
Trouve l'équation de la médiatrice du segment de droite ayant pour extrémités \(A(2, 1)\) et \(B(4, 5)\).

  1. La pente du segment \(\SegmentFr{AB}\) est$$m_{\SegmentFr{AB}} = \frac{5-1}{4-2} = \frac{4}{2} = 2.$$
  2. La pente de la médiatrice est \(m_\perp = -\dfrac{1}{2}\).
  3. Le milieu de \(\SegmentFr{AB}\) est$$M = \left(\frac{2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3, 3).$$
  4. En utilisant la forme point-pente \(y-y_1 = m(x-x_1)\) avec le point \((3,3)\) et la pente \(-\dfrac{1}{2}\) : $$ \begin{aligned} y-3 &= -\frac{1}{2}(x-3) \\ y &= -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 3 \\ y &= -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}. \end{aligned} $$
L'équation de la médiatrice est \(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{9}{2}\).

Intersection de deux droites

Définition Intersection de droites
L'intersection de deux droites non parallèles est le point unique où elles se croisent. Les coordonnées de ce point doivent satisfaire les équations des deux droites. Si deux droites sont parallèles et distinctes, elles n'ont aucun point d'intersection ; si elles ont la même équation, elles coïncident et ont une infinité de points communs.
Méthode Trouver l'intersection de deux droites
Pour trouver le point d'intersection de deux droites données par \(y = m_1x + c_1\) et \(y = m_2x + c_2\) :
  1. Comparer les coefficients directeurs.
    • Si \(m_1 = m_2\) et \(c_1 \neq c_2\), les droites sont parallèles et n'ont aucun point d'intersection.
    • Si \(m_1 = m_2\) et \(c_1 = c_2\), les droites sont confondues et ont une infinité de points communs.
    • Si \(m_1 \neq m_2\), on passe aux étapes suivantes.
  2. Égaliser les expressions de \(y\), car au point d'intersection, les ordonnées sont les mêmes : $$ m_1x + c_1 = m_2x + c_2. $$
  3. Résoudre l'équation pour trouver \(x\). Cela donne l'abscisse du point d'intersection.
  4. Substituer la valeur de \(x\) dans l'une des équations initiales pour trouver l'ordonnée correspondante.
Exemple
Trouve le point d'intersection des droites \(y=2x-1\) et \(y=-x+5\).

  1. Égaliser les expressions de \(y\) : $$ 2x-1 = -x+5. $$
  2. Résoudre pour trouver \(x\) : $$ \begin{aligned} 2x + x &= 5 + 1 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2. \end{aligned} $$
  3. Substituer \(x=2\) dans l'une des équations pour trouver \(y\) : $$ y = 2(2) - 1 = 3. $$
Le point d'intersection est \((2, 3)\).

Pente et Angle d'Inclinaison

Proposition Pente en fonction de l'angle
Si une droite (non verticale) forme un angle \(\theta\) avec l'axe des abscisses positif (mesuré dans le sens anti-horaire), alors sa pente est donnée par la formule :$$m = \tan \theta.$$Pour l'angle d'inclinaison, on prend en général \(0^\circ < \theta < 180^\circ\) avec \(\theta \neq 90^\circ\).

On forme un triangle rectangle où le déplacement horizontal vaut \(a\) et le déplacement vertical vaut \(b\). La pente est donc $$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b}{a}. $$ D'après la trigonométrie dans un triangle rectangle, $$ \tan \theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{b}{a}. $$ Par conséquent, \(m = \tan \theta\).