Transformations de fonctions

Les transformations de fonctions nous permettent de prendre une fonction de base (dite « parente ») et de la modifier pour créer une nouvelle fonction apparentée. En appliquant une suite de transformations, nous pouvons translater, étirer, comprimer ou réfléchir le graphe de la fonction parente.
La compréhension de ces transformations est essentielle, car elle nous permet de prédire le graphe d'une fonction complexe à partir d'une plus simple et de modéliser des phénomènes du monde réel en ajustant une fonction de base à des données observées. Dans ce chapitre, nous explorerons les translations, les dilatations (étirements/compressions) et les réflexions, qu'elles soient verticales ou horizontales.

Translation

Définition Translation verticale par ajout d'une constante

Une translation verticale déplace le graphe d'une fonction vers le haut ou vers le bas. La transformation est définie par :$$g(x) = f(x) + k$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ du graphe de $f$ à un nouveau point $(x, y+k)$ sur le graphe de $g$.

Si $k>0$, le graphe est translaté de $\boldsymbol{k}$ unités vers le haut.
Si $k<0$, le graphe est translaté de $\boldsymbol{|k|}$ unités vers le bas.

Définition Translation horizontale

Une translation horizontale déplace le graphe d'une fonction vers la gauche ou la droite. La transformation est définie par :$$g(x) = f(x-h)$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ du graphe de $f$ à un nouveau point $(x+h, y)$ sur le graphe de $g$.

Si $h>0$, le graphe est translaté de $\boldsymbol{h}$ unités vers la droite.
Si $h<0$, le graphe est translaté de $\boldsymbol{|h|}$ unités vers la gauche.

Dilatation

Définition Dilatation verticale

Une dilatation verticale étire ou comprime verticalement le graphe d'une fonction. Elle est définie par :$$g(x) = a \cdot f(x)$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ à $(x, ay)$.

Si $|a|>1$, le graphe est étiré verticalement par un facteur $a$.
Si $0 < |a| < 1$, le graphe est comprimé verticalement par un facteur $a$.

Définition Dilatation Horizontale

Une dilatation horizontale étire ou comprime horizontalement le graphe d'une fonction. Elle est définie par :$$g(x) = f(bx)$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ à un nouveau point $(\frac{x}{b}, y)$.

Si $|b|>1$, le graphe est comprimé horizontalement d'un facteur $\frac{1}{b}$.
Si $0 < |b| < 1$, le graphe est étiré horizontalement d'un facteur $\frac{1}{b}$.

Symétrie

Définition Réflexion par rapport à l’axe des abscisses

Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses retourne verticalement le graphe d'une fonction. C'est un cas particulier de dilatation verticale où $a=-1$. Elle est définie par :$$g(x) = -f(x)$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ à $(x, -y)$.

Définition Réflexion par rapport à l’axe des ordonnées

Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées retourne horizontalement le graphe d'une fonction. C'est un cas particulier de dilatation horizontale où $b=-1$. Elle est définie par :$$g(x) = f(-x)$$Cette transformation associe un point $(x, y)$ à $(-x, y)$.

Combinaison de transformations

Lorsque plusieurs transformations sont appliquées à une fonction, l'ordre dans lequel elles sont effectuées est crucial. La forme standard d'une fonction transformée est :$$ g(x) = a \cdot f(b(x-c)) + d $$Pour tracer le graphe de cette fonction à partir de la fonction parente $f(x)$, applique les transformations dans l'ordre suivant :

Méthode Ordre des transformations

Transformations Horizontales (à l'intérieur des parenthèses) :
- Appliquer l'étirement/compression horizontal d'un facteur $\frac{1}{b}$.
- Appliquer la translation horizontale de $c$ unités.
Transformations Verticales (à l'extérieur des parenthèses) :
- Appliquer l'étirement/compression vertical d'un facteur $a$.
- Appliquer la translation verticale de $d$ unités.

Remarque : Toujours factoriser le coefficient $b$ du terme à l'intérieur de la fonction pour identifier correctement la translation horizontale $c$. Par exemple, transformer $f(2x-6)$ en $f(2(x-3))$. Cela montre une compression de facteur $\frac{1}{2}$ suivie d'une translation de 3 unités vers la droite, et non de 6.

Exemple

Décris la séquence de transformations qui applique le graphe de $f(x)=\sqrt{x}$ sur le graphe de $g(x) = 3\sqrt{-x+2} - 4$.

Correction

D'abord, réécrivons la fonction $g(x)$ sous la forme standard $a \cdot f(b(x-c)) + d$:$$ g(x) = 3\sqrt{-(x-2)} - 4 $$En comparant avec $f(x)=\sqrt{x}$, nous avons $a=3$, $b=-1$, $c=2$, et $d=-4$.Les transformations sont appliquées comme suit :

Transformations Horizontales sur $f(x)=\sqrt{x}$ :
- Symétrie : Puisque $b=-1$, symétrie par rapport à l'axe y ($y = \sqrt{-x}$).
- Translation : Puisque $c=2$, translation de 2 unités vers la droite ($y = \sqrt{-(x-2)}$).
Transformations Verticales sur le résultat :
- Étirer : Puisque $a=3$, étirement vertical du graphe par un facteur 3 ($y = 3\sqrt{-(x-2)}$).
- Translation : Puisque $d=-4$, translation du graphe de 4 unités vers le bas ($y = 3\sqrt{-(x-2)} - 4$).