Fonctions exponentielles

Dans les chapitres précédents, nous avons appris à évaluer des expressions comme $a^n$, où l'exposant $n$ était un entier ou un nombre rationnel. Ce chapitre étend ce concept à la fonction exponentielle, écrite sous la forme $f(x) = a^x$, où l'exposant $x$ peut être n'importe quel nombre réel.
Nous explorerons les caractéristiques clés et les graphiques de ces fonctions et verrons comment elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes du monde réel impliquant une croissance ou une décroissance rapide, tels que la dynamique des populations et les intérêts composés.

Fonctions exponentielles

Définition Fonction exponentielle

La fonction exponentielle a la forme $f(x)=a^x$, où la base $a$ est une constante positive et $a \neq 1$.

Proposition Caractéristiques clés du graphe de $y\equal a^x$

Toutes les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = a^x$ partagent plusieurs caractéristiques graphiques clés :

Domaine de définition : Le domaine est l'ensemble des nombres réels, $]-\infty, \infty[$.
Ensemble image : L'ensemble image est l'ensemble des nombres réels positifs, $]0, \infty[$.
Asymptote horizontale : Le graphe a une asymptote horizontale à l'axe des abscisses ($y=0$). La fonction s'approche de cette ligne mais ne la touche jamais.
Ordonnée à l'origine : Le graphe passe toujours par le point $(0, 1)$, car $a^0 = 1$ pour toute base $a$ valide.
Forme générale : La forme du graphe est déterminée par la valeur de la base, $a$ :
- Si $\boldsymbol{a > 1}$, la fonction montre une croissance exponentielle et est croissante.
- Si $\boldsymbol{0 < a < 1}$, la fonction montre une décroissance exponentielle et est décroissante.

$\quad$

Fonction exponentielle naturelle $e^x$

Définition Fonction exponentielle naturel

La fonction exponentielle naturel est $x\mapsto e^x$.

Domaine de définition : $]-\infty, +\infty[$
Ensemble image : $]0, +\infty[$

Proposition Graphe et propriétés de $y\equal e^x$

Asymptote horizontale : Le graphe a une asymptote horizontale à l'axe des abscisses ($y=0$) lorsque $x \to -\infty$.
Ordonnée à l'origine : Le graphe passe par le point $(0, 1)$, puisque $e^0 = 1$.
C'est une fonction strictement croissante.

Transformations de fonctions exponentielles

Proposition Transformations de fonctions exponentielles

Le graphe de la fonction exponentielle générale $f(x) = k \cdot a^{m(x-h)} + v$ peut être obtenu en appliquant des transformations au graphe de base de $y=a^x$.

Translation verticale ($v$): Le graphe est décalé de $v$ unités vers le haut. L'asymptote horizontale devient $y=v$.
Translation horizontale ($h$): Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.
Dilatation/Réflexion verticale ($k$): Le graphe est dilaté verticalement par un facteur de $|k|$. Si $k<0$, le graphe est réfléchi par rapport à l'asymptote horizontale.
Dilatation/Réflexion horizontale ($m$) : Le graphe est dilaté horizontalement d’un facteur $1/|m|$ autour de la droite $x=h$. Si $m<0$, il est réfléchi par rapport à la droite verticale $x=h$ (par rapport à l’axe des ordonnées uniquement si $h=0$)

Exemple

Esquisse le graphe de $f(x) = 2e^{-x} + 3$. Indique le domaine, l'ensemble image et l'équation de l'asymptote.

Correction

Le graphe est une transformation de $y=e^x$:

Réflexion par rapport à l'axe des y (à cause du signe négatif devant $x$).
Dilatation verticale d'un facteur 2.
Translation verticale de 3 unités vers le haut.

L'asymptote horizontale est $\boldsymbol{y=3}$.
Le domaine de définition est $\boldsymbol{\mathbb{R}}$.
L'ensemble image est $\boldsymbol{]3, \infty[}$.

Modèles exponentiels

Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser des grandeurs qui changent par un facteur multiplicatif constant sur des intervalles de temps égaux. Ce principe fondamental les distingue des fonctions linéaires, qui changent par une différence constante (addition ou soustraction).
Il existe deux principaux types de modèles exponentiels :

Croissance exponentielle : La quantité augmente par un facteur constant supérieur à 1. On observe ce phénomène dans la croissance démographique et les intérêts composés.
Décroissance exponentielle : La quantité diminue par un facteur constant compris entre 0 et 1. On observe ce phénomène dans la désintégration radioactive et la dépréciation des actifs.

Ces modèles peuvent être discrets, se produisant par étapes distinctes (par ex., des intérêts composés annuellement), ou continus, se produisant de manière fluide dans le temps (par ex., la croissance bactérienne).

Définition Modèle général pour la croissance et la décroissance exponentielle

Une relation exponentielle est décrite par la fonction :$$ A(t) = A_0 \times R^t $$où :

$A(t)$ est la quantité au temps $t$.
$A_0$ est la quantité initiale (la quantité à $t=0$).
$R$ est le facteur de croissance ou de décroissance constant par unité de temps.
$t$ est le temps écoulé.

Exemple

La population de renards, $P$, dans une zone spécifiée, $t$ années après le début de l'observation, est modélisée par l'équation : $P(t)=300(1,25)^t$.

Combien de renards y a-t-il initialement ?
Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ?
Combien de renards y a-t-il après 5 ans ?

Correction

La population initiale correspond à $t=0$. $$P(0) = 300(1,25)^0 = 300 \times 1 = \boldsymbol{300} \text{ renards}$$
Le facteur de croissance est $R=1,25$. Comme $R = 1+r$, on a $1,25 = 1+r$, ce qui donne $r=0,25$.
Le taux de croissance annuel est de $\boldsymbol{25\pourcent}$.
On remplace $t=5$ dans l'équation. La population devant être un nombre entier, nous arrondissons au renard le plus proche. $$P(5) = 300(1,25)^5 \approx 915,52... \approx \boldsymbol{916} \text{ renards}$$

Exemple

Une somme de $5\,000 \dollar$ est investie à 6$\pourcent$ par an avec intérêts composés annuellement.

Trouver un modèle pour le montant, $A$, après $t$ années.
Trouver le montant après 4 ans.

Correction

Le montant initial est $A_0 = 5\,000$. Le taux d'intérêt annuel est $r = 0,06$.
Le facteur de croissance est $R = 1+r = 1+0,06 = 1,06$.
Le modèle est $\boldsymbol{A(t) = 5\,000(1,06)^t}$.
Après 4 ans, le montant est : $$A(4) = 5\,000(1,06)^4 \approx 6\,312,38...$$ Le montant est de $\boldsymbol{6\,312,38 \dollar }$.

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