Volume
Définition
Définition Volume
Le volume d'un objet est la quantité d’espace qu’il occupe. On le mesure en comptant combien d'unités cubiques peuvent tenir à l'intérieur. Une unité cubique est un cube dont les côtés mesurent 1 unité de long.
Méthode Compter les cubes pour trouver le volume
Pour trouver le volume d’une forme faite de blocs, il suffit de compter le nombre total de blocs (unités cubiques) qui la composent. Une bonne stratégie est de compter les blocs dans chaque étage.
Exemple
Trouve le volume de la forme ci-dessous.
Nous pouvons trouver le volume en comptant les cubes de la forme. Chaque petit cube a un volume de 1 unité cubique.
Unités de volume
Quand on mesure un volume, il est important d’utiliser des unités standard pour que tout le monde obtienne la même mesure. Les unités non standard, comme des blocs de construction de tailles différentes, peuvent donner des réponses différentes.
Pour le volume, nous utilisons des unités standard comme le centimètre cube, noté \(\text{cm}^3\), et le mètre cube, noté \(\text{m}^3\).
Pour le volume, nous utilisons des unités standard comme le centimètre cube, noté \(\text{cm}^3\), et le mètre cube, noté \(\text{m}^3\).
Définition Unités de volume
- Millimètre cube \(\left(\mathrm{mm}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 mm de côté. C’est à peu près le volume d’un petit grain de sable.
- Centimètre cube \(\left(\mathrm{cm}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 cm de côté. C’est à peu près le volume d’un glaçon.
- Mètre cube \(\left(\mathrm{m}^3\right)\) : Le volume d’un cube de 1 m de côté. C’est à peu près le volume d’un lave-linge.
Volume d’un pavé droit
Compter chaque petit cube à l’intérieur d’un pavé droit donne son volume, mais c’est lent. À la place, faisons grandir la boîte d’une couche à la fois et observons comment le volume augmente.
Chaque nouvelle couche ajoute le même nombre de cubes. En comptant couche par couche, on repère la régularité et on obtient une règle simple : on peut multiplier la \(\textcolor{colordef}{longueur}\), la \(\textcolor{colorprop}{largeur}\) et la \(\textcolor{olive}{hauteur}\).
Chaque nouvelle couche ajoute le même nombre de cubes. En comptant couche par couche, on repère la régularité et on obtient une règle simple : on peut multiplier la \(\textcolor{colordef}{longueur}\), la \(\textcolor{colorprop}{largeur}\) et la \(\textcolor{olive}{hauteur}\).
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Proposition Volume d’un pavé droit
Le volume d’un pavé droit se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur :$$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{longueur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{largeur}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}$$$$V = \textcolor{colordef}{l} \times \textcolor{colorprop}{L} \times \textcolor{olive}{h}$$
Exemple
Calcule le volume de ce pavé droit.
En utilisant la formule du volume d'un pavé droit :$$\begin{aligned}\text{Volume} &= \textcolor{colordef}{\text{longueur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{largeur}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}\\
&= 3\times 2 \times 4 \\
&= 24 \, \text{cm}^3\end{aligned}$$
Conversion des unités de volume
Explorons comment les unités de volume sont liées. Considérons un cube d’un volume de 1 \(\mathrm{cm}^3\). Comme \(1 \,\text{cm} = 10 \,\text{mm}\), chaque côté de ce cube mesure \(10 \,\text{mm}\) de long.
La couche inférieure contient \(10 \times 10 = 100\) petits cubes. Comme la hauteur est de \(10 \,\text{mm}\), il y a 10 couches.
Par conséquent, le nombre total de cubes de \(1 \,\mathrm{mm}^3\) est \(100 \times 10 = 1\,000\).
$$\begin{aligned}1 \, \text{cm}^3 &= 1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} \\ &= 10 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm} \quad (1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}) \\ &= 1\,000 \, \text{mm}^3\end{aligned}$$On en déduit que \(1 \,\text{cm}^3 = 1\,000 \,\text{mm}^3\). Cela montre que, lors de la conversion d’unités de volume, le facteur de conversion est au cube (par exemple, \(10\) devient \(10^3 = 1\,000\)).
La couche inférieure contient \(10 \times 10 = 100\) petits cubes. Comme la hauteur est de \(10 \,\text{mm}\), il y a 10 couches.
Par conséquent, le nombre total de cubes de \(1 \,\mathrm{mm}^3\) est \(100 \times 10 = 1\,000\).
$$\begin{aligned}1 \, \text{cm}^3 &= 1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} \\ &= 10 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm} \quad (1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}) \\ &= 1\,000 \, \text{mm}^3\end{aligned}$$On en déduit que \(1 \,\text{cm}^3 = 1\,000 \,\text{mm}^3\). Cela montre que, lors de la conversion d’unités de volume, le facteur de conversion est au cube (par exemple, \(10\) devient \(10^3 = 1\,000\)).
Proposition Conversion des unités de volume
- \(1 \, \text{cm}^3 = (10 \times 10 \times 10) \, \text{mm}^3 = \mathbf{1\,000} \, \text{mm}^3\)
- \(1 \, \text{m}^3 = (100 \times 100 \times 100) \, \text{cm}^3 = \mathbf{1\,000\,000} \, \text{cm}^3\)
Méthode Convertir en utilisant une multiplication ou une division
- Utilise la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une plus petite (comme des mètres cubes aux centimètres cubes).
- Utilise la division pour passer d’une unité plus petite à une plus grande (comme des centimètres cubes aux mètres cubes).
Méthode Convertir en utilisant un tableau
Pour le volume, chaque unité dans le tableau de conversion est divisée en trois colonnes. Convertissons 10,5 \(\mathrm{m}^3\) en \(\mathrm{cm}^3\).
- Dessine le tableau de conversion des volumes. Chaque unité a trois colonnes.
- Place le nombre dans le tableau. La règle est : le chiffre des unités se place dans la colonne de droite de l’unité de départ. Pour \(10,5 \,\mathrm{m}^3\), le chiffre des unités est 0, donc on le place dans la colonne de droite des \(\mathrm{m}^3\).
- Déplace la virgule à droite des colonnes de ton unité d’arrivée. Notre unité d’arrivée est le \(\mathrm{cm}^3\). Remplis les colonnes vides avec des zéros.
- Lis le nombre final.
Donc, \(10,5 \,\mathrm{m}^3 = 10\,500\,000 \,\mathrm{cm}^3\).
Volumes des solides à section transversale uniforme
Compter les cubes à l’intérieur d’un solide pour trouver son volume peut prendre beaucoup de temps. Pour les solides à section transversale uniforme, nous allons explorer une méthode plus rapide en examinant le solide couche par couche pour identifier une formule.
- Aire de la base :
- Volume avec une hauteur de 1 cm:
- Volume avec une hauteur de 2 cm :
- Volume avec une hauteur de 3 cm :
- Formule générale :
Proposition Volume d’un solide à section transversale uniforme
$$\text{Volume} = \textcolor{colordef}{\text{aire de la base (section)}} \times \textcolor{olive}{\text{hauteur}}$$
Exemple
Trouve le volume de la figure.
- Aire de
= \(3 \, \text{cm}^2\) - hauteur = \(4 \, \text{cm}\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= 3 \, \text{cm}^2 \times 4 \, \text{cm} \\ &= 12 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$
Proposition Volume d’un cylindre
$$\begin{aligned}\text{Volume d’un cylindre} &= \pi r^2 h\end{aligned}$$
Un cylindre a une section transversale uniforme.
- Aire de la base = Aire de
= Aire d’un cercle = \(\pi r^2\) - hauteur = \(h\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= \pi r^2 \times h \end{aligned} $$
Volume des Solides Coniques et des Sphères
Proposition Volume d'une Pyramide ou d'un Cône
Le volume de tout solide conique (pyramide ou cône) qui se termine en une pointe (sommet) est égal au tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire.$$ V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h $$
Exemple
Trouve le volume du cône.
- Trouver l'aire de la base circulaire : $$ \begin{aligned} A_{\text{base}} &= \pi r^2 \\ &= \pi (3)^2 \\ &= 9\pi \, \text{cm}^2 \end{aligned} $$
- Calculer le volume du cône : $$ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h \\ &= \frac{1}{3} \times 9\pi \times 7 \\ &= 21\pi \, \text{cm}^3 \\ &\approx 65,97 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$
Proposition Volume d'une Sphère
Le volume d'une sphère de rayon \(r\) est donné par la formule :$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$
Exemple
Trouve le volume de la sphère.
$$ \begin{aligned} V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi (4)^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi (64) \\
&= \frac{256}{3}\pi \, \text{m}^3 \\
&\approx 268,08 \, \text{m}^3 \end{aligned} $$
Capacité
Nous devons souvent mesurer des liquides comme l’eau, le lait ou le jus. Au lieu d’utiliser des centimètres cubes, il existe une façon plus simple d’en parler : on utilise le litre (L).
Un litre correspond à 1 000 centimètres cubes \((1\,000 \,\text{cm}^3)\), donc 1 millilitre \((1\,\text{mL})\) correspond à 1 centimètre cube \((1\,\text{cm}^3)\).
Utiliser les litres et les millilitres facilite la comparaison et la compréhension des quantités de liquide.
Un litre correspond à 1 000 centimètres cubes \((1\,000 \,\text{cm}^3)\), donc 1 millilitre \((1\,\text{mL})\) correspond à 1 centimètre cube \((1\,\text{cm}^3)\).
Utiliser les litres et les millilitres facilite la comparaison et la compréhension des quantités de liquide.
Définition Litre
Un litre est une unité utilisée pour mesurer le volume (la capacité) des liquides.
- 1 litre est le volume d’un cube de \(10 \,\text{cm}\) de côté.$$1 \,\text{L} = 1\,000 \,\text{cm}^3 \quad\text{et}\quad 1\,000 \,\text{L} = 1 \,\text{m}^3$$
- On l’écrit avec le symbole L (un « L » majuscule).
- Une unité plus petite, le centilitre (cL), est souvent utilisée pour des volumes plus petits : \(1 \,\text{L} = 100 \,\text{cL}\).
- Une unité encore plus petite, le millilitre (mL), est utilisée pour des volumes très petits :$$1 \,\text{L} = 1\,000 \,\text{mL} \quad\text{et}\quad 1 \,\text{cL} = 10 \,\text{mL} \quad\text{et}\quad \,1 \,\text{mL} = 1 \,\text{cm}^3$$
Exemple
- Une grande bouteille d’eau contient environ \(1 \,\text{L}\), soit \(100 \,\text{cL}\) ou \(1\,000 \,\text{mL}\) :
- Une petite canette de soda contient environ \(0{,}33 \,\text{L}\), soit \(33 \,\text{cL}\) (environ \(330 \,\text{mL}\)) :
Masse volumique
Deux blocs ont la même taille, mais l’un est en bois et l’autre en métal. Pourquoi l’un est-il beaucoup plus lourd ? Le matériau compte : c’est la masse volumique.
Définition Masse volumique
La masse volumique \(\rho\) d’une substance est sa masse par unité de volume :$$\rho=\dfrac{m}{V}.$$Unités courantes : \(\text{kg}/\text{m}^3\) ou \(\text{g}/\text{cm}^3\).
Proposition Formules équivalentes
$$m=\rho V \qquad\text{et}\qquad V=\dfrac{m}{\rho}.$$
Méthode Conversions d’unités
$$1~\text{g}/\text{cm}^3=1000~\text{kg}/\text{m}^3 \qquad\text{et}\qquad 1~\text{kg}/\text{m}^3=0{,}001~\text{g}/\text{cm}^3.$$
Exemple
Un bloc d’aluminium mesure \(3\) cm \(\times\) \(2\) cm \(\times\) \(4\) cm. L’aluminium a une masse volumique \(\rho=2{,}7~\text{g}/\text{cm}^3\). Calcule sa masse.
Le volume vaut \(V=3\cdot2\cdot4=24~\text{cm}^3\). Donc$$m=\rho V=2{,}7\times 24=64{,}8~\text{g}.$$
Aire de la Surface
Définition Aire de la surface
L’aire de la surface d’un solide 3D est l’aire totale de toutes ses faces. Elle se mesure en unités carrées (cm\(^2\), m\(^2\), \(\dots\)).
Proposition Aire de la surface d'un polyèdre
L'aire de la surface d'une figure tridimensionnelle à faces planes est la somme des aires de ses faces.
Méthode Décomposer le solide 3D en son patron
Si on décompose la figure en son patron, l'aire de la surface est l'aire du patron.
Exemple
Trouve l'aire de la surface du cube :
Un cube a 6 faces carrées identiques. L'aire d'une face est le côté au carré (\(c^2\)).
Proposition Aire de la surface des solides à surfaces courbes
| Nom | Solide | Aire de la surface |
| Cylindre |  | \(\begin{aligned} A=& \text { aire latérale } +2 \times \text { aire de la base } \\=&2 \pi r h+2 \pi r^{2} \end{aligned}\) |
| Cône |  | \(\begin{aligned} A &=\text { aire latérale } +\text { aire de la base } \\&= \pi r s+\pi r^{2} \end{aligned}\) |
| Sphère |  | \(A=4\pi r^2\) |
- Aire latérale du cylindre.
Si l’on déroule le cylindre, sa surface latérale devient un rectangle de hauteur \(h\) et de longueur égale à la circonférence de la base, \(2\pi r\) :
\qquad
- Aire latérale du cône.
En déroulant la surface latérale d’un cône, on obtient un secteur circulaire de rayon \(s\) (la génératrice) et d’angle \(\theta\) :
\quad
Exemple
Trouve l'aire de la surface du cylindre :
$$ \begin{aligned} A &= 2\pi r h + 2\pi r^2 \\
&= 2\pi(2)(5) + 2\pi(2)^2 \\
&= 20\pi + 8\pi \\
&= 28\pi \, \text{m}^2 \\
&\approx 87,96 \, \text{m}^2 \end{aligned} $$