Résoudre des inéquations
Une inéquation est une affirmation mathématique indiquant qu'une expression est plus grande ou plus petite qu'une autre. Alors qu'une équation a généralement une ou quelques solutions spécifiques, une inéquation décrit tout un ensemble (ou intervalle) de valeurs. Comprendre les inéquations est essentiel pour modéliser des contraintes du monde réel, comme des limites de budget, de vitesse ou des plages de température acceptables.
Inéquations
Définition Inéquation
Une inéquation est une affirmation qui compare deux expressions en utilisant l'un des symboles suivants :
- \(<\) (inférieur à)
- \(>\) (supérieur à)
- \(\leq\) (inférieur ou égal à)
- \(\geq\) (supérieur ou égal à)
Exemple
\(x + 3 < 5\) signifie que \(x + 3\) est inférieur à \(5\), et nous devons trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent cela vrai.
Propriétés des inéquations
Méthode Règles pour la résolution d'inéquations
La résolution d'inéquations est presque identique à la résolution d'équations. Tu peux effectuer la même opération des deux côtés pour isoler la variable, à une exception cruciale près.
- Ajouter ou soustraire un nombre quelconque des deux côtés préserve le sens de l'inégalité.
- Multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre positif préserve le sens de l'inégalité.
- Multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre négatif inverse le sens du symbole d'inégalité. Par exemple, \(<\) devient \(>\).
Exemple
Résous l'inéquation \(8 - 2x < 12\).
$$\begin{aligned}8 - 2x &< 12 \\
8 - 2x - 8 &< 12 - 8 && \text{(On soustrait 8 des deux côtés ; l'inégalité est préservée)} \\
-2x &< 4 && \\
\frac{-2x}{-2} &> \frac{4}{-2} && \text{(On divise par \(-2\) ; le signe de l'inégalité est inversé)}\\
x &> -2 &&\end{aligned}$$La solution est l'ensemble de tous les réels supérieurs à \(-2\). En notation d'intervalle : \(x \in (-2 ; +\infty)\).
Résolution d'inéquations non linéaires avec un tableau de signes
Lorsqu'une inéquation implique un produit ou un quotient de facteurs, comme \((x-2)(x-1) > 0\), on ne peut pas simplement isoler \(x\). On doit plutôt déterminer où l'expression est positive ou négative. Le tableau de signes est un outil utilisé pour organiser cette analyse.
Méthode Construire un tableau de signes
Pour créer un tableau de signes pour une expression factorisée :
- Trouver les valeurs critiques : Trouve les valeurs de \(x\) qui annulent chaque facteur. Ce sont les points où l'expression peut changer de signe.
- Créer le tableau : Dessine une droite graduée en haut, marquée avec les valeurs critiques par ordre croissant. Liste chaque facteur sur une ligne séparée à gauche, avec l'expression complète sur la dernière ligne.
- Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles créés par les valeurs critiques. Un facteur linéaire \((x-a)\) est négatif pour \(x
- Déterminer le signe de l'expression complète dans chaque intervalle en multipliant les signes des facteurs de cette colonne.
Exemple
Résous l'inéquation \((x-2)(x-1) \ge 0\).
- Valeurs critiques : Les facteurs sont \((x-1)\) et \((x-2)\).
- \(x-1=0 \implies x=1\)
- \(x-2=0 \implies x=2\)
- Construire le tableau de signes :
- Conclusion : L'inéquation demande \((x-1)(x-2) \ge 0\), ce qui signifie que le produit doit être positif ou nul. D'après la dernière ligne du tableau, cela se produit lorsque \(x \le 1\) ou \(x \ge 2\). En notation d'intervalle : \(x \in (-\infty ; 1] \cup [2 ; +\infty)\).