Résolution d'équations et d'inéquations

Nous pouvons résoudre des équations de la forme $f(x) = g(x)$ ou des inéquations comme $f(x) < g(x)$ en utilisant deux approches principales : graphique (en utilisant les intersections des courbes) ou algébrique (par le calcul).

Méthode graphique

Méthode Résoudre graphiquement

Pour résoudre des équations et des inéquations à l'aide des courbes de $f$ et $g$ :

Pour $f(x) = g(x)$ : Repérer les points d'intersection des deux courbes. Les solutions sont les abscisses ($x$) de ces points.
Pour $f(x) < g(x)$ : Déterminer les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est située en dessous de la courbe de $g$.
Pour $f(x) > g(x)$ : Déterminer les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est située au-dessus de la courbe de $g$.

Exemple

Les fonctions $f$ et $g$ sont représentées ci-dessous. Résoudre $f(x) = g(x)$ et $f(x) \leq g(x)$.

Correction

Équation $f(x) = g(x)$ : Les courbes se coupent aux points d'abscisses $x = -1$ et $x = 2$. L'ensemble des solutions est $\boldsymbol{S = \{-1 ; 2\}}$.
Inéquation $f(x) \leq g(x)$ : La courbe de $f$ est en dessous ou touche celle de $g$ entre les deux points d'intersection. L'ensemble des solutions est l'intervalle $\boldsymbol{S = [-1 ; 2]}$.

Méthode algébrique

Méthode Résoudre par le calcul

Pour résoudre $f(x) = g(x)$ par le calcul :

Égaler les expressions de $f(x)$ et $g(x)$.
Transposer tous les termes d'un côté pour obtenir une expression égale à zéro (ex: $f(x) - g(x) = 0$).
Factoriser ou simplifier pour trouver les valeurs exactes de $x$.

Exemple

Soient $f(x) = 3x + 1$ et $g(x) = x + 7$. Résoudre $f(x) = g(x)$.

Correction

$$\begin{aligned} f(x) &= g(x) \\ 3x + 1 &= x + 7 \\ 3x - x &= 7 - 1 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3\end{aligned}$$La solution est $\boldsymbol{x = 3}$.