Échantillonnage

L'échantillonnage est un domaine à la croisée des statistiques et des probabilités. Ce domaine intervient dans les situations où l'on veut étudier certaines propriétés d'une population de trop grand effectif pour être observée de façon exhaustive. On prélève alors un échantillon de cette population pour obtenir des informations sur la population totale avec un certain degré de précision.

Un échantillon aléatoire de taille \(n\) est constitué des résultats de \(n\) répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire.

Un sac opaque contient des boules bleus ou rouges. On tire au hasard un jeton du sac, on note sa couleur, puis on le replace dans le sac. En répétant ce procédé \(n\) fois, on constitue un échantillon de boules du sac.

Dans une population, on note \(p\) la proportion d'individus présentant un certain caractère. Lorsqu'on prélève un échantillon et qu'on observe la fréquence \(f\) d'apparition de ce caractère, on constate que \(f\) varie d'un échantillon à l'autre. Ce phénomène est appelé fluctuation d'échantillonnage.

Dans un lycée, il y a \(63\,\pourcent\) de filles (\(p=0,63\)). Dans 10 échantillons de taille 50, les fréquences observées de filles fluctuent autour de la proportion réelle :

Échantillon	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Pourcentage de filles	\(62\,\pourcent\)	\(68\,\pourcent\)	\(60\,\pourcent\)	\(68\,\pourcent\)	\(66\,\pourcent\)	\(68\,\pourcent\)	\(68\,\pourcent\)	\(54\,\pourcent\)	\(66\,\pourcent\)	\(70\,\pourcent\)

On constate que les fréquences fluctuent autour de la proportion réelle de la population de 0,63.

Lorsque la taille \(n\) de l'échantillon devient grande, la fréquence observée \(f\) d'un caractère a tendance à se rapprocher de la probabilité réelle \(p\).

Lors du lancer d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir Pile est \(p = 0{,}5\). Une simulation informatique de différentes tailles d'échantillon donne :

Taille \(n\)	100	1 000	10 000	100 000
Nombre de Faces	54	490	5 010	49 942
Fréquence \(f\)	0,54	0,49	0,501	0,49942

À mesure que \(n\) augmente, la fréquence \(f\) se rapproche de \(0{,}5\).

Lorsque la proportion réelle \(p\) d'un caractère est inconnue, on utilise la fréquence \(f\) observée dans un échantillon aléatoire comme une estimation de \(p\).

Avant un référendum, un sondage est réalisé auprès de 1 200 personnes. Si 636 personnes répondent « Oui », la fréquence observée est :$$ f = \frac{636}{1200} = 0{,}53 $$Ainsi, une estimation de la proportion de votants « Oui » dans l'ensemble du pays est \(0{,}53\) (soit \(53\pourcent\)).