Fonctions de référence

Introduction

En mathématiques, les fonctions de référence sont des briques élémentaires qui nous aident à comprendre des relations plus complexes. Ce chapitre explore les fonctions suivantes :

Fonction carrée : $f(x) = x^2$
Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$
Fonction cube : $f(x) = x^3$
Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$

Pour chaque fonction, nous examinerons sa définition, sa représentation graphique, ses propriétés et des exemples concrets.

Fonction carrée

Définition Fonction carrée

La fonction carrée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Cela signifie que chaque valeur d'entrée $x$ est multipliée par elle-même pour donner le résultat.

Ensemble de définition : Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).
Forme : Une courbe appelée parabole orientée vers le haut.

Proposition Propriétés

Pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$.
La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
La fonction carrée est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($f(-x) = f(x)$).

Preuve

Soit $f(x)=x^2$.

Le produit de deux nombres réels de même signe est positif, donc $x^2 = x \times x \geqslant 0$.
Parité : $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Donc $f$ est paire.
Variations :
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b$.
  $$f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$$ Comme $(b - a) > 0$ et $(b + a) > 0$, alors $f(b) - f(a) > 0$.
  La fonction conserve l'ordre : elle est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $ a < b \leqslant 0$.
  Comme $(b - a) > 0$ et $(b + a) < 0$, alors $f(b) - f(a) < 0$.
  La fonction inverse l'ordre : elle est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

Exemple

L'aire d'un carré de côté $x$ est donnée par $A(x) = x^2$.

Par exemple, pour $x = 4$ m, l'aire est $A(4) = 4^2 = 16$ m$^2$.

Fonction racine carrée

Définition Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$. Pour tout $x \geqslant 0$, $\sqrt{x}$ est l'unique nombre positif dont le carré est égal à $x$.

Ensemble de définition : $[0, +\infty[$ (réels positifs ou nuls).
Forme : Une courbe partant de l'origine et toujours croissante.

Proposition Propriétés

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Preuve

Soient $0 \leqslant a < b$. On utilise la quantité conjuguée :$$\begin{aligned}[t]f(b) - f(a) &= \sqrt{b} - \sqrt{a} \\ &= \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \\ &= \frac{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\\ &= \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\end{aligned}$$Comme $b > a$, le numérateur est positif. Le dénominateur est également positif.
Le quotient est donc positif, ce qui prouve que $f(a) < f(b)$.

Fonction cube

Définition Fonction cube

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$.

Proposition Propriétés

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
La fonction cube est impaire : son graphe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Preuve

Parité : $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Donc $f$ est impaire.

Exemple

Le volume d'un cube de côté $x$ est $V(x) = x^3$.

Fonction inverse

Définition Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les réels non nuls) par $f(x) = \frac{1}{x}$.

Ensemble de définition : $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, noté aussi $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
Forme : Une courbe appelée hyperbole.

Proposition Propriétés

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
La fonction inverse est impaire.

Preuve

Soient $0 < a < b$.$$f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$$Puisque $a < b$, on a $a - b < 0$. Comme $a$ et $b$ sont positifs, $ab > 0$.
Le quotient est donc négatif, d'où $f(b) < f(a)$. L'ordre est inversé ; $f$ est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.