Fonctions quadratiques

Dans tes études précédentes, tu as exploré les fonctions linéaires, dont les graphes sont des droites. Nous passons maintenant au niveau de complexité suivant : les fonctions quadratiques. Ce sont des fonctions contenant un terme en $x^2$, et leurs graphes sont des courbes élégantes et symétriques appelées paraboles. Les fonctions quadratiques sont essentielles en mathématiques et en sciences pour modéliser des phénomènes allant de la trajectoire d'un ballon lancé à la forme d'une antenne parabolique. Dans ce chapitre, tu apprendras à identifier, tracer et résoudre ces fonctions importantes.

Définition

Une fonction quadratique est un polynôme de degré deux. Sa caractéristique principale est le terme en $x^2$, ce qui la distingue d'une fonction linéaire.

Définition Fonction quadratique

Une fonction quadratique est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels et $\boldsymbol{a \neq 0}$.

Exemple

Pour $f(x) = x^2 - 3x + 1$, calcule $f(2)$.

Correction

$\begin{aligned}[t]f(2) &= (2)^2 - 3(2) + 1 \\&= 4 - 6 + 1 \\&= -1\end{aligned}$

Graphe d'une fonction quadratique

Le graphe de chaque fonction quadratique a une forme de U caractéristique (soit à l'endroit, soit à l'envers) appelée une parabole. Cette forme se retrouve dans de nombreux domaines de la science et de la nature.
La parabole est l'une des sections coniques, qui sont le groupe de courbes obtenues en intersectant un cône avec un plan. Une parabole est produite en intersectant le cône avec un plan parallèle à sa génératrice.

Proposition Parabole et ses caractéristiques clés

Le graphe d'une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole. Ses caractéristiques clés sont :

Axe de symétrie : Une droite verticale qui divise la parabole en deux images miroirs. Son équation est $x = -\frac{b}{2a}$.
Sommet : Le point où la parabole change de direction. C'est le point minimum si la parabole est ouverte vers le haut, et le point maximum si elle est ouverte vers le bas. Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie. Ses coordonnées sont $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
Ordonnée à l'origine : Le point où le graphe coupe l'axe des ordonnées. Ses coordonnées sont $(0, f(0))$.
Abscisses à l'origine : Les points où le graphe coupe l'axe des abscisses. On les appelle aussi les racines ou les zéros de la fonction.

Exemple

Esquisse le graphe de $f(x) = x^2 - x - 1$.

Correction

Un tableau de valeurs est

$x$	$-2$	$-1$	0	1	2
$y$	5	1	$-1$	$-1$	1

Le coefficient $a$ dans $ax^2+bx+c$ contrôle si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Pour voir cela de manière interactive, utilise l'animation GeoGebra à https://www.geogebra.org/m/gn3c2sqe.

Proposition Concavité

Pour toute fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$:

Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (s'ouvre vers le haut) et a une valeur minimale à son sommet. .
Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (s'ouvre vers le bas) et a une valeur maximale à son sommet. .

Résolution d'équations quadratiques

Résoudre l'équation $f(x) = y$ pour une fonction quadratique signifie trouver la ou les valeurs d'entrée $x$ qui produisent une sortie spécifique $y$. Ce processus aboutit à une équation du second degré. Un cas particulièrement important est la résolution de $f(x)=0$, qui donne les abscisses à l'origine de la parabole.

Méthode Résoudre $ax^2+bx+c\equal 0$

Lorsque l'on résout pour une valeur de $f(x) = y$, on obtient une équation quadratique en $x$. Puisqu'elle est quadratique, il peut y avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles pour $x$, qui peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique.

Exemple

Pour $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$, trouve les abscisses à l'origine de la fonction.

Correction

Pour trouver les abscisses à l'origine, on pose $f(x) = 0$ : $2x^2 - 5x + 2 = 0$. On identifie $a=2$, $b=-5$, $c=2$.

D'abord, on calcule le discriminant : $\begin{aligned}[t]\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-5)^2 - 4(2)(2) \\&= 25 - 16 \\&= 9\end{aligned}$
Comme $\Delta > 0$, il y a 2 racines réelles distinctes.
On utilise la formule quadratique : $\begin{aligned}[t]x &= \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\x &= \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2(2)} \\x &= \frac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}$
Les deux racines sont : $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Les abscisses à l'origine sont en $\boldsymbol{x = \frac{1}{2}}$ et $\boldsymbol{x = 2}$.

Proposition Le discriminant et le nombre d'abscisses à l'origine

Pour toute fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$, le nombre d'abscisses à l'origine est déterminé par le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$:

Si $\Delta > 0$, le graphe coupe l'axe des $x$ en deux points distincts.
Si $\Delta = 0$, le graphe touche l'axe des $x$ en un seul point (le sommet).
Si $\Delta < 0$, le graphe ne coupe pas l'axe des $x$. Il est soit entièrement au-dessus, soit entièrement en dessous.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	0	1	2
\(y\)	5	1	\(-1\)	\(-1\)	1