Pourcentages

Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois manières différentes de parler de la même valeur. Par exemple, \(\textcolor{colorprop}{50}\textcolor{colordef}{\pourcent}\), la fraction \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\), et le nombre décimal \(0{,}5\) signifient tous « la moitié ». Savoir convertir entre ces formes est une compétence très utile.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), tu peux multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.

Les pourcentages sont l'un des meilleurs moyens de comparer une partie à un tout.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on peut établir une proportion pour trouver une fraction équivalente avec un dénominateur de 100 :$$\begin{aligned}\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{100}}\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} \times \textcolor{colordef}{100} && \text{(en multipliant les deux côtés par }\textcolor{colordef}{100})\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60}\\ \end{aligned}$$Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.

• La \(\textcolor{colorprop}{\text{partie}}\) est le nombre de bonnes réponses : \(\textcolor{colorprop}{21}\).
• Le \(\textcolor{colordef}{\text{tout}}\) est le nombre total de questions : \(\textcolor{colordef}{24}\).
• \(\begin{aligned}[t]\text{Score en pourcentage} &= \frac{\textcolor{colorprop}{21}}{\textcolor{colordef}{24}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent\\ &= 0,875 \times 100\pourcent \\ &= \textcolor{colorprop}{87,5}\textcolor{colordef}{\pourcent}\end{aligned}\)

Au Parlement A, il y a \(\textcolor{colorprop}{26}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{50}\) membres. Au Parlement B, il y a \(\textcolor{colorprop}{30}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{80}\) membres. Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. »
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?

Méthode 1 : Utilisation de la formule$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}} &= \textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent} \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= 0,60 \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$Il y a \(\textcolor{colorprop}{120}\) filles dans l'école.Méthode 2 : Produit en croix
Établis une proportion où \(x\) est le nombre de filles.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{200}} \\ \textcolor{colordef}{100} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60} \times \textcolor{colordef}{200} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{12000}{100} = \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$

Méthode 1 : Utilisation de la formule$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{\text{Total des élèves}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{0,40} \\ &= \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$Il y a \(\textcolor{colordef}{35}\) élèves dans la classe.Méthode 2 : Produit en croix
Établis une proportion où \(x\) est le nombre total d'élèves.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{40}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colordef}{x}} \\ \textcolor{colorprop}{40} \times \textcolor{colordef}{x} &= \textcolor{colorprop}{14} \times \textcolor{colordef}{100} \\ \textcolor{colordef}{x} &= \frac{1400}{40} = \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$

Les quantités changent souvent d'un certain pourcentage. Par exemple :

• Un magasin offre une réduction de 20\(\pourcent\) (une diminution).
• Un salaire augmente de 7\(\pourcent\).
• La population d'une ville croît de 10\(\pourcent\).

1. Calcule le montant de la réduction :$$\begin{aligned} \text{Réduction} &= 20\pourcent \text{ de } 50\dollar \\ &=20\pourcent \times 50\dollar \\ & = 0{,}20 \times 50\dollar \\ &= 10\dollar\end{aligned}$$
2. Calcule le nouveau prix :$$\text{Nouveau prix} = 50\dollar - 10\dollar = 40\dollar $$

Le taux d'évolution est une manière d'exprimer un changement dans une quantité en tant que pourcentage du montant initial. Cela nous permet de comprendre l'ampleur du changement, qu'il s'agisse d'une augmentation ou d'une diminution.

Le taux d'évolution est de \(+10\pourcent = +0{,}10\).$$\begin{aligned}\text{Nouveau montant} &= 200\dollar \times (1 + 0{,}10) \\ &= 200\dollar \times 1{,}10 \\ &= 220\dollar\end{aligned}$$

Le taux d'évolution est de \(-25\pourcent = -0{,}25\).$$\begin{aligned}\text{Nouveau montant} &= 200\dollar \times (1 - 0{,}25) \\ &= 200\dollar \times 0{,}75 \\ &= 150\dollar\end{aligned}$$

Nous partons de la formule du multiplicateur :$$\begin{aligned}\text{Nouvelle valeur} &= \text{Valeur initiale} \times (1 + \text{Taux d'évolution}) \\ \frac{\text{Nouvelle valeur}}{\text{Valeur initiale}} &= 1 + \text{Taux d'évolution} && \text{(Diviser par la valeur initiale)} \\ \frac{\text{Nouvelle valeur}}{\text{Valeur initiale}} - 1 &= \text{Taux d'évolution} && \text{(Soustraire 1)} \\ \frac{\text{Nouvelle valeur} - \text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} &= \text{Taux d'évolution} && \text{(Combiner en une seule fraction)}\end{aligned}$$À cette dernière étape, le taux d'évolution est sous forme décimale. Nous multiplions par \(100\pourcent\) pour l'exprimer en pourcentage.

Le poids augmente, donc nous attendons un résultat positif.$$\begin{aligned}\text{Taux d'évolution} &= \frac{28 - 25}{25} \times 100\pourcent \\ &= \frac{3}{25} \times 100\pourcent \\ &= +12\pourcent\end{aligned}$$C'est une augmentation de \(12\pourcent\).

Le prix diminue, donc nous attendons un résultat négatif.$$\begin{aligned}\text{Taux d'évolution} &= \frac{420 - 500}{500} \times 100\pourcent \\ &= \frac{-80}{500} \times 100\pourcent \\ &= -16\pourcent\end{aligned}$$C'est une diminution de \(16\pourcent\).

Soient \(V_0, V_1, V_2\) les valeurs successives.

• \(V_1 = V_0 \times CM_1\) et \(V_2 = V_1 \times CM_2\).
• Par substitution : \(V_2 = (V_0 \times CM_1) \times CM_2 = V_0 \times (CM_1 \times CM_2)\).
• Par identification avec \(V_2 = V_0 \times CM_{global}\), on obtient \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2\).

Les coefficients multiplicateurs sont \(CM_1 = 1{,}08\) et \(CM_2 = 1{,}10\).$$\begin{aligned} C_{global}M &= 1{,}08 \times 1{,}10 = 1{,}188 \\ 1 + \frac{t}{100} &= 1{,}188 \\ \frac{t}{100} &= 0{,}188 \\ t &= 18{,}8\,\pourcent\end{aligned}$$Le prix de l'objet a augmenté de \(18{,}8\,\pourcent\).

On a \(V_1 = V_0 \times CM\), donc \(V_0 = \frac{V_1}{CM}\), c'est-à-dire \(V_0 = V_1 \times \frac{1}{CM}\).
Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est donc \(\frac{1}{CM}\).

Le coefficient multiplicateur initial est \(CM = 1{,}05\).
Le coefficient réciproque est :$$CM' = \frac{1}{1{,}05} \approx 0{,}9524$$Ce qui correspond à un taux \(t'\) :$$\begin{aligned}1 + \frac{t'}{100} &= CM'\\ t'& = (CM' - 1) \times 100 \\ t'&\approx -4{,}76\pourcent\end{aligned} $$La population doit diminuer d'environ \(4{,}76\,\pourcent\) pour retrouver son niveau initial.