Logarithmes

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié l'exponentiation, qui répond à la question : que se passe-t-il lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois (par exemple, $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$) ?
Nous allons maintenant poser la question inverse : À quel exposant doit-on élever 10 pour obtenir 1000 ?
Cette question nous amène au concept de logarithme. Un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation : c'est l'outil que nous utilisons pour trouver un exposant inconnu.
Avant l'invention des calculatrices, les logarithmes étaient un outil révolutionnaire pour les scientifiques, transformant des multiplications complexes en additions plus simples. Aujourd'hui, ils restent essentiels pour résoudre des équations exponentielles et sont utilisés pour décrire des phénomènes scientifiques, tels que l'échelle de pH en chimie ou l'échelle de Richter pour les tremblements de terre.
Dans ce chapitre, nous allons :

définir les logarithmes (en base 10),
étudier leurs principales propriétés (les lois des logarithmes),
et les utiliser pour résoudre des équations exponentielles et des problèmes concrets.

Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, $\log x$ désigne le logarithme en base 10 : $\log x = \log_{10} x$.

Définition

Définition Logarithme

Le logarithme (en base 10) d'un nombre $y$ (où $y > 0$) est l'exposant auquel 10 doit être élevé pour obtenir $y$. Il est noté :$$\log y = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = y$$Autrement dit, $\log y$ est l'exposant $x$ tel que $10^x = y$.

Proposition Propriétés inverses des logarithmes

Pour les nombres réels :

$10^{\log x} = x$ pour tout $x > 0$,
$\log (10^x) = x$ pour tout réel $x$.

Ces propriétés reflètent le fait que la fonction exponentielle $10^x$ et la fonction logarithme $\log x$ (en base 10) sont inverses l'une de l'autre.

Exemple

Évalue $\log 100$.

Correction

$\begin{aligned}[t]\log(100) &= \log\left(10^{2}\right) \\&=2\\\end{aligned}$
Comme $10^2 = 100$, le logarithme de $100$ (en base 10) vaut $2$.

Propriétés des logarithmes

Proposition Propriétés des logarithmes

Pour $x>0$ et $y>0$, et pour tout réel $k$ :

Règle du produit : $\log (xy) = \log x + \log y$
Règle du quotient : $\log \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log x - \log y$
Règle de la puissance : $\log (x^k) = k \log x$

Preuve

On suppose $x>0$ et $y>0$. On utilise le fait que $x = 10^{\log x}$ et $y = 10^{\log y}$.$$\begin{aligned}\log(xy) &= \log(10^{\log x} \times 10^{\log y}) \\ &= \log\bigl(10^{\log x + \log y}\bigr) \\ &= \log x+ \log y \\ \\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log\left(\frac{10^{\log x}}{10^{\log y}}\right) \\ &= \log\bigl(10^{\log x - \log y}\bigr) \\ &= \log x - \log y \\ \\ \log(x^k) &= \log\left(\bigl(10^{\log x}\bigr)^k\right) \\ &= \log\bigl(10^{k \log x}\bigr) \\ &= k \log x\\ \end{aligned}$$

Exemple

Écris sous forme d'un seul logarithme : $\log (5)+\log (3)$.

Correction

$\begin{aligned}[t]\log (5)+\log (3) &= \log (5\times 3) \\&= \log 15\\\end{aligned}$

Utiliser les logarithmes pour résoudre des équations exponentielles

Méthode Résoudre des équations exponentielles à l'aide des logarithmes

Pour résoudre une équation exponentielle de la forme $a^x = b$ (où $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$) :

Prends le logarithme (en base 10) des deux membres : $\log(a^x) = \log b$
Applique la règle de la puissance : $x \log a = \log b$
Résous pour $x$ : $x = \dfrac{\log b}{\log a}$

(On peut utiliser n'importe quelle base de logarithme ; ici nous utilisons la base 10, qui correspond à la touche $\log$ sur la plupart des calculatrices.)

Exemple

Résous $2^x = 7$.

Correction

$$\begin{aligned}2^x &= 7 \\ \log(2^x) &= \log 7 &&\text{(prendre le logarithme des deux membres)}\\ x \log 2 &= \log 7 &&\text{(règle de la puissance)}\\ x &= \frac{\log 7}{\log 2} &&\text{(division des deux membres par } \log 2\text{)}\\ x &\approx 2{,}807 &&\text{(à la calculatrice)}\\ \end{aligned}$$

Applications des logarithmes

Les logarithmes sont utilisés pour décrire des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Quelques exemples importants en sciences :

Échelle de pH en chimie : $\text{pH} = -\log_{10} [H^+]$
(où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en moles par litre)
Échelle de Richter pour les séismes : $\text{Magnitude} = \log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$
(où $I$ est l’intensité du séisme, $I_0$ est une intensité de référence)
Échelle des décibels (dB) pour le son : $L = 10 \log_{10}\left(\dfrac{P}{P_0}\right)$
(où $P$ est la puissance ou l’intensité mesurée, $P_0$ est un niveau de référence)

Sur les calculatrices, la touche $\log$ correspond généralement à $\log_{10}$ et la touche $\ln$ au logarithme naturel (en base $e$).

Exemple

Le pH d’une solution est $3{,}2$. Trouve la concentration en ions hydrogène $[H^+]$.

Correction

On sait que :$$\begin{aligned}\text{pH} &= -\log_{10}[H^+] \\ 3{,}2 &= -\log_{10}[H^+] &&\text{(en remplaçant par la valeur donnée)}\\ -3{,}2 &= \log_{10}[H^+] &&\text{(en multipliant les deux membres par $-1$)}\\ 10^{-3{,}2} &= 10^{\log_{10}[H^+]} &&\text{(en appliquant $10^{(\cdot)}$ aux deux membres)}\\ [H^+] &= 10^{-3{,}2} \\ [H^+] &\approx 6{,}31 \times 10^{-4}\ \text{mol/L} &&\text{(à la calculatrice)}\end{aligned}$$