Sens de variation et extrémums
Variations d'une fonction
Définition Fonctions croissantes et décroissantes
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous réels \(u\) et \(v\) de \(I\) : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \leq f(v)$$ Une fonction croissante conserve l'ordre.
- On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous réels \(u\) et \(v\) de \(I\) : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \geq f(v)$$ Une fonction décroissante inverse l'ordre.
Définition Tableau de variations
Pour résumer les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variations. Des flèches sont utilisées pour indiquer si la fonction est croissante (\(\nearrow\)) ou décroissante (\(\searrow\)).
Exemple
La fonction \(f\) est définie sur \([-2, 1]\) par sa courbe représentative ci-dessous. Dresse son tableau de variations.
La fonction est croissante de \(x=-2\) à \(x=-1\), puis décroissante de \(x=-1\) à \(x=1\).
Extrémums : Maximum et minimum
Définition Maximum et minimum
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un nombre de \(I\).
- On dit que \(f(a)\) est le maximum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\) de \(I\) : \(f(x) \leq f(a)\).
- On dit que \(f(a)\) est le minimum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\) de \(I\) : \(f(x) \geq f(a)\).
Exemple
La fonction \(f\) est définie sur \([-2, 1]\) par sa courbe représentative ci-dessous.