Transformations de fonctions

Les transformations de fonctions nous permettent de prendre une fonction de base (dite « parente ») et de la modifier pour créer une nouvelle fonction apparentée. En appliquant une suite de transformations, nous pouvons translater, étirer, comprimer ou réfléchir le graphe de la fonction parente.
La compréhension de ces transformations est essentielle, car elle nous permet de prédire le graphe d'une fonction complexe à partir d'une plus simple et de modéliser des phénomènes du monde réel en ajustant une fonction de base à des données observées. Dans ce chapitre, nous explorerons les translations, les dilatations (étirements/compressions) et les réflexions, qu'elles soient verticales ou horizontales.

Une translation verticale déplace le graphe d'une fonction vers le haut ou vers le bas. La transformation est définie par :$$g(x) = f(x) + k$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) du graphe de \(f\) à un nouveau point \((x, y+k)\) sur le graphe de \(g\).

• Si \(k>0\), le graphe est translaté de \(\boldsymbol{k}\) unités vers le haut.
• Si \(k<0\), le graphe est translaté de \(\boldsymbol{|k|}\) unités vers le bas.

Une translation horizontale déplace le graphe d'une fonction vers la gauche ou la droite. La transformation est définie par :$$g(x) = f(x-h)$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) du graphe de \(f\) à un nouveau point \((x+h, y)\) sur le graphe de \(g\).

• Si \(h>0\), le graphe est translaté de \(\boldsymbol{h}\) unités vers la droite.
• Si \(h<0\), le graphe est translaté de \(\boldsymbol{|h|}\) unités vers la gauche.

Une dilatation verticale étire ou comprime verticalement le graphe d'une fonction. Elle est définie par :$$g(x) = a \cdot f(x)$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) à \((x, ay)\).

• Si \(|a|>1\), le graphe est étiré verticalement par un facteur \(a\).
• Si \(0 < |a| < 1\), le graphe est comprimé verticalement par un facteur \(a\).

Une dilatation horizontale étire ou comprime horizontalement le graphe d'une fonction. Elle est définie par :$$g(x) = f(bx)$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) à un nouveau point \((\frac{x}{b}, y)\).

• Si \(|b|>1\), le graphe est comprimé horizontalement d'un facteur \(\frac{1}{b}\).
• Si \(0 < |b| < 1\), le graphe est étiré horizontalement d'un facteur \(\frac{1}{b}\).

Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses retourne verticalement le graphe d'une fonction. C'est un cas particulier de dilatation verticale où \(a=-1\). Elle est définie par :$$g(x) = -f(x)$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) à \((x, -y)\).

Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées retourne horizontalement le graphe d'une fonction. C'est un cas particulier de dilatation horizontale où \(b=-1\). Elle est définie par :$$g(x) = f(-x)$$Cette transformation associe un point \((x, y)\) à \((-x, y)\).