Intégrales

La mesure des aires est un besoin fondamental pour la science et la société depuis l'Antiquité. Dans l'Égypte ancienne, les arpenteurs utilisaient des cordes à nœuds pour construire des angles droits, leur permettant de mesurer et de rétablir les limites des champs rectangulaires emportées par les crues annuelles du Nil. Bien que le calcul de l'aire de formes aux côtés rectilignes soit simple, l'analyse mathématique offre un outil révolutionnaire pour déterminer l'aire de régions délimitées par des courbes.Dans ce chapitre, nous allons développer une méthode pour trouver l'aire exacte, \(\mathcal{A}\), de la région délimitée par la courbe d'une fonction \(y=f(x)\), l'axe des abscisses, et les droites verticales \(x=a\) et \(x=b\). Cette aire est notée par l'intégrale définie :

Nous cherchons à mesurer l'aire hachurée, notée \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\), sous la courbe d'une fonction positive \(y=f(x)\).L'idée clé, développée par Bernhard Riemann, est d'approximer cette aire par une somme de rectangles fins, connue sous le nom de Somme de Riemann.

1. Approximation avec 1 rectangle : Nous pouvons faire une première approximation grossière en remplissant l'aire avec un unique rectangle de largeur \((b-a)\) et de hauteur \(f(a)\) (la valeur de la fonction à l'extrémité gauche de l'intervalle).L'aire est approximée par :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \approx (b-a)f(a)$$Il s'agit clairement d'une sous-estimation.
2. Approximation avec 4 rectangles : Pour améliorer l'approximation, nous divisons l'intervalle \([a,b]\) en 4 sous-intervalles égaux, chacun de largeur \(\frac{b-a}{4}\). Nous construisons un rectangle sur chaque sous-intervalle, en utilisant la valeur de la fonction à l'extrémité gauche comme hauteur.L'aire totale de ces quatre rectangles donne une bien meilleure approximation :$$\begin{aligned}[t]\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx &\approx \frac{b-a}{4}f(x_0)+\frac{b-a}{4}f(x_1)+\frac{b-a}{4}f(x_2)+\frac{b-a}{4}f(x_3) \\ &\approx \frac{b-a}{4} \left[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right]\end{aligned}$$
3. Approximation avec \(n\) rectangles : On peut généraliser cela en divisant l'intervalle en \(n\) sous-intervalles égaux, chacun de largeur \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). En notant \(x_i=a+i\Delta x\) pour \(i=0,1,\dots,n-1\), la somme des aires des \(n\) rectangles est :$$ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x. $$Lorsque nous augmentons le nombre de rectangles (\(n \to \infty\)), la largeur de chaque rectangle devient infiniment petite, et la somme de leurs aires correspond parfaitement à l'aire sous la courbe :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{n\to\infty} S_n.$$

L'intégrale définie d'une fonction continue \(f\) de \(a\) à \(b\) est la limite de la somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini. On la note :$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x $$où l'intervalle \([a,b]\) est découpé en \(n\) sous-intervalles de largeur \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\) et où \(x_i\) est un point quelconque du \(i\)-ème sous-intervalle.

• \(a\) et \(b\) sont les bornes d'intégration.
• \(f(x)\) est l'intégrande.

Cette notation, introduite par Leibniz, capture l'idée de sommer (\(\int\) est un 'S' allongé pour summa) les aires d'une infinité de rectangles de hauteur \(f(x)\) et de largeur infinitésimale \(dx\).

L'intégrale définie calcule l'aire algébrique.

• L'aire au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.
• L'aire en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement.

L'intégrale est la somme de ces aires algébriques.

Déterminer l'intégrale \(\displaystyle\int_{-1}^{2} 1\,\mathrm dx\) en l'interprétant comme une aire.

Soient \(f\) et \(g\) des fonctions continues et \(k\) une constante.

1. Intervalle de largeur nulle :$$\displaystyle\int_a^a f(x) \;dx= 0.$$
2. Additivité des intervalles (Relation de Chasles) : Pour tout \(c\) entre \(a\) et \(b\) :$$\displaystyle\int_a^b f(x)\;dx = \int_a^c f(x) \; dx + \int_c^b f(x)\;dx$$
3. Linéarité :$$\displaystyle\int_a^b (f(x)+g(x)) \; dx= \int_a^b f(x) \; dx+ \int_a^b g(x) \; dx$$$$\displaystyle\int_a^b k f(x) \; dx= k \int_a^b f(x) \; dx.$$

Jusqu'à présent, nous avons défini l'intégrale définie comme la limite d'une somme — un concept géométrique d'aire. Par ailleurs, la dérivation est un processus de recherche de taux de variation. Le théorème fondamental de l'analyse établit un lien profond et puissant entre ces deux idées apparemment sans rapport : l'intégration et la dérivation sont des processus inverses l'un de l'autre.

Si \(f\) est une fonction continue sur l'intervalle \([a,b]\) et si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\), alors :$$ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a) $$Ce résultat est souvent écrit en utilisant la notation \(\left[ F(x) \right]_a^b = F(b)-F(a)\).

Ce théorème est fondamental car il relie le concept géométrique d'aire (l'intégrale définie) au processus algébrique de recherche de primitive. Il nous donne une méthode puissante pour calculer des aires exactes sans avoir à utiliser la limite d'une somme de Riemann.

Calculer \(\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm dx\).

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a ; b]\) avec \(a \le b\).

• Si pour tout réel \(x\) de \([a ; b]\), \(f(x) \ge 0\), alors \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \ge 0\).
• Si pour tout réel \(x\) de \([a ; b]\), \(f(x) \le 0\), alors \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le 0\).

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([a ; b]\) avec \(a \le b\).
Si pour tout réel \(x\) de \([a ; b]\), \(f(x) \le g(x)\), alors :$$ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \int_{a}^{b} g(x) \,dx $$

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) continue sur un intervalle \([a ; b]\) (avec \(a\neq b\)) est le nombre réel \(\mu\) défini par :$$ \mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$

Dans le cas où \(f\) est positive sur \([a ; b]\), l'égalité \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \mu(b - a)\) signifie que l'aire du domaine situé sous la courbe représentative de \(f\) est égale à l'aire du rectangle de dimensions \(\mu\) et \(b - a\).

On peut étendre le concept de calcul d'aire sous une courbe pour trouver l'aire d'une région délimitée par deux courbes distinctes. L'aire sous une courbe \(y=f(x)\) est un cas particulier où la deuxième courbe est simplement l'axe des abscisses, \(y=0\).
L'idée générale est intuitive : l'aire de la région délimitée par une fonction supérieure \(f(x)\) et une fonction inférieure \(g(x)\) se trouve en calculant l'aire sous \(f(x)\) puis en soustrayant l'aire sous \(g(x)\). Grâce à la propriété de linéarité de l'intégrale, cette soustraction peut être combinée en une seule intégrale :$$\begin{aligned} \textcolor{olive}{\mathcal{A}} &= \textcolor{colordef}{ \int_a^b f(x)\; \mathrm dx} - \textcolor{colorprop}{ \int_a^b g(x)\; \mathrm dx} \\ &= \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm dx \end{aligned} $$

Si \(f(x) \geq g(x)\) pour tout \(x\) dans l'intervalle \([a,b]\), l'aire \(\mathcal{A}\) de la région délimitée par les courbes \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) est donnée par :$$ \mathcal{A} = \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm dx $$

On peut retenir cela comme l'intégrale de la fonction du dessus moins la fonction du dessous.

Pour trouver l'aire géométrique totale délimitée par deux courbes \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) :

1. Trouver les points d'intersection. Si les bornes \(a\) et \(b\) ne sont pas données, trouvez-les en résolvant l'équation \(f(x)=g(x)\) afin de déterminer où les courbes se coupent.
2. Identifier la fonction supérieure et la fonction inférieure. Sur chaque intervalle entre les points d'intersection, déterminez quelle fonction est au-dessus. Un croquis rapide ou le test d'un point est souvent suffisant.
3. Mettre en place et évaluer la ou les intégrales. Pour chaque intervalle, calculez \(\int_a^b (\text{fonction du dessus} - \text{fonction du dessous}) \, dx\). Si les fonctions supérieure et inférieure s'échangent, vous devrez calculer plusieurs intégrales et, pour l'aire géométrique, sommer les valeurs absolues obtenues.

Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes \(y=x+1\) et \(y=x^2-1\).