Fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de \(\mathbb{R}\) vers \(]0, +\infty[\). Par le théorème de la bijection, pour tout réel \(x\) strictement positif, il existe un unique réel \(y\) tel que \(e^y = x\). Cette unique solution \(y\) est appelée logarithme népérien de \(x\) et est notée \(\ln(x)\).

La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction définie sur \(]0, +\infty[\) qui, à tout réel \(x > 0\), associe l'unique solution de l'équation \(e^y = x\) d'inconnue \(y\). On note :$$ y = \ln(x) $$

Pour tout \(x > 0\) et tout réel \(y\) :

• \(e^y = x \iff y = \ln(x)\)
• \(e^{\ln(x)} = x\)
• \(\ln(e^y) = y\)

Valeurs particulières :
\(\ln(1) = 0\) (car \(e^0 = 1\)) et \(\ln(e) = 1\) (car \(e^1 = e\))

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :$$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$$

Pour tous \(a > 0\), \(b > 0\) et tout entier relatif \(n\) :

• Inverse : \(\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)\)
• Quotient : \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)
• Puissance : \(\ln(a^n) = n\ln(a)\)
• Racine carrée : \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\)

La fonction \(\ln\) est dérivable et continue sur \(]0, +\infty[\). Pour tout \(x > 0\) :$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$Puisque \(1/x > 0\) sur son domaine, le logarithme népérien est strictement croissant sur \(]0, +\infty[\).

Le logarithme népérien admet les limites suivantes :

• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
• \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)

La droite d'équation \(x = 0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe de \(\ln\).

Soit \(u\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\). La fonction \(f(x) = \ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et :$$\textcolor{colorprop}{(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}}$$