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International Baccalaureate · DP 2 : Analysis and Approaches SL

Variables Aléatoires Discrètes

⌚ ~266 min ▢ 31 blocs ✓ 118 exercices ➣ Prérequis : Probabilité

Guide complet sur les variables aléatoires discrètes, les distributions et les mesures statistiques (espérance, variance, écart-type). Explore les modèles uniforme, de Bernoulli et binomial avec des cas réels en finance et gestion du risque via tableaux et graphiques.

I Définitions
Définition — Variable aléatoire
Une variable aléatoire, notée \(X\), est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque issue \(\omega\) d’une expérience aléatoire. On note cette valeur \(X(\omega)\).
Les valeurs possibles de \(X\) sont les nombres réels que \(X\) peut prendre.
Exemple
Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : (pièce rouge) et (pièce bleue). Trouve \(X(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\).

L'issue \((\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\) signifie que la pièce rouge donne "pile" (P) et la pièce bleue donne "face" (F). Puisque \(X\) compte les "pile", il y a 1 "pile". Donc, \(X(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F}) = 1\).

Définition — Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire est discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou infini dénombrable. Cela signifie que l'on peut lister toutes les valeurs possibles.
Définition — Événements liés à une variable aléatoire
Pour une variable aléatoire \(X\) :
  • \((X = x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) prend la valeur \(x\).
  • \((X \leq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est inférieur ou égal à \(x\).
  • \((X \geq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est supérieur ou égal à \(x\).
Exemple
Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces : et . Liste les issues pour \((X = 0)\), \((X = 1)\), \((X = 2)\), \((X \leq 1)\), et \((X \geq 1)\).

  • \((X = 0) = \{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{F})\}\) (aucun "pile").
  • \((X = 1) = \{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{P}), (\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\}\) (un "pile").
  • \((X = 2) = \{(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{P})\}\) (deux "pile").
  • \((X \leq 1) = (X = 0) \cup (X = 1) = \{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{F}), (\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{P}), (\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\}\) (au plus un "pile").
  • \((X \geq 1) = (X = 1) \cup (X = 2) = \{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{P}), (\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F}), (\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{P})\}\) (au moins un "pile").

Compétences à pratiquer
  • Trouver la valeur d’une variable aléatoire
  • Identifier les valeurs possibles
  • Définir une variable aléatoire
  • Trouver des événements liés à une variable aléatoire
  • Définir une variable aléatoire pour modéliser une situation
II Distribution de probabilité
Définition — Distribution de probabilité
La distribution de probabilité d’une variable aléatoire \(X\) donne la probabilité \(P(X = x_i)\) pour chaque valeur possible \(x_1,x_2,\dots,x_n\). Elle peut être représentée par un tableau ou une formule.
Proposition — Caractéristique d'une distribution de probabilité
Pour une variable aléatoire \(X\) ayant des valeurs possibles \(x_1,x_2,\dots,x_n\), on a :
  • \(0 \leq P(X=x_i) \leq 1\) pour tout \(i=1,\dots,n\),
  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X=x_i) =P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_n)= 1 \).
Exemple
Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : et .
  1. Liste les valeurs possibles de \(X\).
  2. Trouve la distribution de probabilité.
  3. Construis le tableau de probabilité.
  4. Dessine le graphique de la distribution.

  1. Valeurs possibles : \(0\) (aucun "pile"), \(1\) (un "pile"), \(2\) (deux "pile").
  2. Distribution de probabilité :
    • \(P(X = 0) = P(\{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{F})\}) =\frac{1}{4}\),
    • \(P(X = 1) = P(\{(\textcolor{colordef}{F},\textcolor{colorprop}{P}), (\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\),
    • \(P(X = 2) = P(\{(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{P})\}) = \frac{1}{4}\).
  3. Tableau de probabilité :
    \(x\) 0 1 2
    \(P(X = x)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\)
  4. Graphique :

Compétences à pratiquer
  • Déterminer la distribution de probabilité
  • Lire les distributions de probabilité à partir de graphiques
  • Construire une distribution de probabilité
III Existence d’une variable aléatoire avec une distribution de probabilité donnée
Habituellement, définir une variable aléatoire commence par établir :
  1. un univers, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles,
  2. une probabilité associée à cet univers,
  3. une fonction \(X\) qui attribue un nombre à chaque issue de l’univers.
C’est un travail assez long. Cependant, souvent, nous préférons définir directement une variable aléatoire \(X\) avec une distribution de probabilité donnée, en nous appuyant sur le contexte de la situation étudiée. Par exemple, imaginons que nous interrogions une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenions ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. Nous pouvons alors définir la variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :
\(x\) 0 1 2 3
\(P(X = x)\) \(\frac{10}{30}\) \(\frac{12}{30}\) \(\frac{5}{30}\) \(\frac{3}{30}\)
Le théorème ci-dessous montre qu’il est toujours possible de construire un univers, une probabilité et une fonction \(X\) pour obtenir une variable aléatoire ayant cette distribution de probabilité.
Theorem — Existence d’une variable aléatoire avec une distribution de probabilité donnée
Soient des valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) et des probabilités \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Si :
  • \(0 \leq p_i \leq 1\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\),
  • \(\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\),
alors il existe une variable aléatoire \(X\) ayant la distribution de probabilité \(P(X = x_i) = p_i\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\).
Méthode — Définir une variable aléatoire \(X\) avec une distribution de probabilité valide
En pratique, on définit souvent une variable aléatoire \(X\) directement en précisant sa distribution de probabilité. L’essentiel est de s’assurer que cette distribution est valide, c’est-à-dire qu’elle respecte les conditions d’une distribution de probabilité : toutes les probabilités doivent être non négatives et leur somme doit égaler 1.
Exemple
Nous interrogeons une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenons ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. On définit une variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :
\(x\) 0 1 2 3
\(P(X = x)\) \(\frac{10}{30}\) \(\frac{12}{30}\) \(\frac{5}{30}\) \(\frac{3}{30}\)
Détermine si cette distribution de probabilité est valide.

  • \(P(X = x) \geq 0\) pour tout \(x = 0, 1, 2, 3\) (vrai : \(\frac{10}{30}\), \(\frac{12}{30}\), \(\frac{5}{30}\), et \(\frac{3}{30}\) sont tous non négatifs),
  • \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{10}{30} + \frac{12}{30} + \frac{5}{30} + \frac{3}{30} = \frac{30}{30} = 1\) (vrai : la somme est égale à 1).
Puisque les deux conditions sont satisfaites, la distribution de probabilité est valide.

Compétences à pratiquer
  • Vérifier la validité des distributions de probabilité
  • Définir une variable aléatoire et sa distribution de probabilité
  • Calculer des probabilités dans des scénarios de la vie quotidienne
IV Espérance
L'espérance d’une variable aléatoire \(X\) est la "moyenne des valeurs si tu répètes l’expérience de nombreuses fois". Elle est calculée en prenant toutes les valeurs possibles, en multipliant chacune par sa probabilité, et en les additionnant — c'est-à-dire une moyenne pondérée où les probabilités servent de poids.
Définition — Espérance
Pour une variable aléatoire \(X\) avec les valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), l'espérance, \(E(X)\), aussi appelée la moyenne, est :$$\begin{aligned}E(X) &= \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)\\ &= x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \cdots + x_n P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$
Exemple
Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". La distribution de probabilité est :
\(x\) 0 1 2
\(P(X = x)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\)
Trouve l'espérance de \(X\).

Calcule \(E(X)\) avec la formule :$$\begin{aligned}E(X) &= 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \\ &= 1\end{aligned}$$Donc, en moyenne, on s'attend à obtenir 1 "pile" en lançant 2 pièces.

Proposition — Linéarité de l'espérance
Pour toute variable aléatoire \(X\) et toutes constantes \(a\) et \(b\), l'espérance d'une transformation linéaire de \(X\) est :$$ E(aX + b) = aE(X) + b $$Cette propriété découle de deux règles plus simples :
  • \(E(aX) = aE(X)\) (L'espérance d'une variable mise à l'échelle est la mise à l'échelle de l'espérance).
  • \(E(X+b) = E(X) + b\) (L'espérance d'une variable translatée est la translation de l'espérance).

La dérivation suivante repose sur la formule de l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire discrète, \(g(X)\), qui est donnée par \(E(g(X)) = \sum g(x_i)P(X=x_i)\).
Soit la fonction \(g(X) = aX + b\).$$\begin{aligned}E(aX+b) &= \sum_{i} (ax_i + b) P(X=x_i) && \text{(par définition de l'espérance)} \\ &= \sum_{i} (ax_i P(X=x_i) + b P(X=x_i)) && \text{(distribuer la probabilité)} \\ &= \sum_{i} ax_i P(X=x_i) + \sum_{i} b P(X=x_i) && \text{(séparer la somme)} \\ &= a \sum_{i} x_i P(X=x_i) + b \sum_{i} P(X=x_i) && \text{(factoriser les constantes } a \text{ et } b\text{)} \\ &= a E(X) + b(1) && \text{(en utilisant la déf. de } E(X) \text{ et } \sum P(X=x_i)=1\text{)} \\ &= aE(X) + b\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Calculer des espérances
  • Explorer les espérances
V Variance et écart-type
La variance mesure à quel point les valeurs d’une variable aléatoire sont dispersées par rapport à sa valeur attendue. L’écart-type est la racine carrée de la variance, donnant une idée de la déviation typique dans les mêmes unités que \(X\).
Définition — Variance et écart-type
La variance, notée \(V(X)\), est :$$\begin{aligned}V(X) &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)\\ &= \left(x_1-E(X)\right)^2 P(X = x_1) + \left(x_2-E(X)\right)^2 P(X = x_2) + \cdots + \left(x_n-E(X)\right)^2 P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$L’écart-type, noté \(\sigma(X)\), est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Exemple
Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". Le tableau de probabilité est :
\(x\) 0 1 2
\(P(X = x)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\)
Étant donné \(E(X) = 1\), trouve la variance.

Calcule \(V(X)\) :$$\begin{aligned}V(X) &= (0 - 1)^2 \times \frac{1}{4} + (1 - 1)^2 \times \frac{1}{2} + (2 - 1)^2 \times \frac{1}{4} \\ &= 1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} \\ \end{aligned}$$La variance est \(\frac{1}{2}\).

Proposition — Formule de calcul pour la variance
Une formule plus pratique pour le calcul est :$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Soit \(\mu = E(X)\).$$\begin{aligned}V(X) &= E[(X - \mu)^2] \\ &= E[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\ &= E(X^2) - E(2\mu X) + E(\mu^2) && \text{(par linéarité de l'espérance)} \\ &= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 && \text{(car } \mu \text{ et } \mu^2 \text{ sont des constantes)} \\ &= E(X^2) - 2\mu(\mu) + \mu^2 \\ &= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 \\ &= E(X^2) - \mu^2 \\ &= E(X^2) - [E(X)]^2\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Calculer des écarts-types
  • Décider en fonction des espérances et du risque
VI Distribution uniforme
Définition — Distribution uniforme
Une variable aléatoire \(X\) suit une distribution uniforme si chaque valeur possible a la même probabilité :$$P(X = x) = \frac{1}{\text{Nombre de valeurs possibles}}, \quad \text{pour toute valeur possible }x$$
Exemple
Soit \(X\) le résultat du lancer d’un dé équilibré : .
  1. Liste les valeurs possibles de \(X\).
  2. Construis le tableau de probabilité.
  3. Dessine le graphique de la distribution.

  1. Valeurs possibles : \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
  2. Tableau de probabilité :
    \(x\) 1 2 3 4 5 6
    \(P(X = x)\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)
  3. Graphique :

Proposition — Espérance et variance d’une distribution uniforme
Pour une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme sur l'ensemble des entiers \(\{1, 2, \ldots, n\}\) :
  • L'espérance est \(E(X) = \frac{n+1}{2}\).
  • La variance est \(V(X) = \frac{n^2-1}{12}\).

Démonstration de l'Espérance \(E(X)\) :Pour une loi uniforme sur \(\{1, 2, \dots, n\}\), la probabilité de chaque issue est \(P(X=i) = \frac{1}{n}\). $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{i=1}^n i \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^n i \cdot \frac{1}{n} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n i \quad \text{(factoriser le facteur } 1/n\text{)}\\ &= \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) \text{(formule de la somme d'entiers)} \\ & = \frac{n+1}{2} \end{aligned} $$

Exemple
Soit \(X\) la variable aléatoire correspondant au résultat du lancer d'un dé équilibré à six faces. Déterminer l'espérance et la variance de \(X\).

La variable aléatoire \(X\) suit une loi uniforme sur \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
  • \( E(X) = \frac{6+1}{2} = 3{,}5 \)
  • \( V(X) = \frac{6^2-1}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92 \)

Compétences à pratiquer
  • Identifier les distributions uniformes
  • Calcul de l'espérance et de la variance pour les distributions uniformes
VII Distribution de Bernoulli
Une distribution de Bernoulli modélise une expérience avec deux résultats : succès (1) ou échec (0), comme lancer une pièce où "pile" est 1 et "face" est 0. La probabilité de succès est \(p\).
Définition — Distribution de Bernoulli
Une variable aléatoire \(X\) suit une distribution de Bernoulli si :
  • Les valeurs possibles sont 0 et 1.
  • \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1 - p\).
On écrit \(X \sim B(p)\).
Exemple
Un joueur de basketball a 80 \(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc. Soit \(X = 1\) si le tir est réussi, et \(X = 0\) s'il est manqué.
  1. Est-ce que \(X\) est une variable de Bernoulli ?
  2. Trouve la probabilité de succès.

  1. Oui, les valeurs possibles de \(X\) sont 0 et 1. Donc elle suit une distribution de Bernoulli.
  2. Probabilité de succès : \(P(X = 1) = 80\pourcent = 0{,}8\).

Proposition — Espérance et variance d’une distribution de Bernoulli
Pour une variable aléatoire de Bernoulli \(X\) avec une probabilité de succès \(p\), les propriétés suivantes sont vraies :
  • L'espérance est \(E(X) = p\),
  • La variance est \(V(X) = p(1 - p)\),
  • L’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}\).

  • \(\begin{aligned}[t]E(X)&=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)\\&=0\times(1-p)+1\times p\\&=p\end{aligned}\)
  • \(\begin{aligned}[t] V(X) &= (0-p)^2(1-p) + (1-p)^2 p \\ &= p^2(1-p) + p(1-p)^2 \\ &= p(1-p) [p + (1-p)] \\ &= p(1-p) \\ \end{aligned} \)

Compétences à pratiquer
  • Identifier les distributions de Bernoulli
  • Identifier et définir des épreuves de Bernoulli
  • Trouver une probabilité de succès
VIII Distribution binomiale
Supposons qu’un joueur de basketball effectue \(n\) lancers francs, et que nous comptions le nombre de tirs réussis. La probabilité de réussir un lancer franc est la même à chaque tentative, et chaque tir est indépendant des autres tirs. Ceci est un exemple d’une expérience binomiale.
Définition — Expérience binomiale (schéma de Bernoulli)
Une expérience binomiale (schéma de Bernoulli) est une expérience aléatoire qui consiste en une répétition d'épreuves de Bernoulli. Elle doit satisfaire aux quatre conditions suivantes :
  1. Nombre fixe d'épreuves : L'expérience consiste en un nombre fixe d'épreuves, noté \(n\).
  2. Épreuves indépendantes : Le résultat de chaque épreuve est indépendant des résultats de toutes les autres épreuves.
  3. Deux issues : Chaque épreuve n'a que deux issues possibles, généralement appelées « succès » et « échec ».
  4. Probabilité constante : La probabilité de succès, notée \(p\), est la même pour chaque épreuve. La probabilité d'échec est \(1-p\).
Une variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès dans une expérience binomiale est appelée une variable aléatoire binomiale.
Proposition — Distribution d’une variable aléatoire binomiale
Soit \(X\) une variable aléatoire binomiale avec \(n\) essais indépendants et une probabilité de succès \(p\). La distribution de probabilité de \(X\) est :
Ceci est appelé la distribution binomiale, et on écrit \(X \sim B(n, p)\).

Considérons le cas où \(n = 3\). Soient \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) trois variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, chacune avec une probabilité de succès \(p\). Définissons \(X = X_1 + X_2 + X_3\), qui représente une variable aléatoire binomiale.
  • Les valeurs possibles de \(X\) sont \(0, 1, 2, 3\).
  • Calculs de probabilité :
    • \(\begin{aligned}[t] P(X = 0) &= P(X_1 = 0 \text{ et } X_2 = 0 \text{ et } X_3 = 0) \\ &= P(X_1 = 0) P(X_2 = 0) P(X_3 = 0) \quad \text{(car \)X_1, X_2, X_3\( sont indépendants)} \\ &= (1-p)^3 \\ &= \binom{3}{0} p^0 (1-p)^3 \end{aligned}\)
    • \(\begin{aligned}[t] P(X = 1) &= P(X_1 = 1 \text{ et } X_2 = 0 \text{ et } X_3 = 0) + P(X_1 = 0 \text{ et } X_2 = 1 \text{ et } X_3 = 0) \\ &\quad + P(X_1 = 0 \text{ et } X_2 = 0 \text{ et } X_3 = 1) \\ &= p (1-p)^2 + p (1-p)^2 + p (1-p)^2 \\ &= 3 p (1-p)^2 \\ &= \binom{3}{1} p^1 (1-p)^2 \end{aligned}\)
    • \(\begin{aligned}[t] P(X = 2) &= P(X_1 = 1 \text{ et } X_2 = 1 \text{ et } X_3 = 0) + P(X_1 = 1 \text{ et } X_2 = 0 \text{ et } X_3 = 1) \\ &\quad + P(X_1 = 0 \text{ et } X_2 = 1 \text{ et } X_3 = 1) \\ &= p^2 (1-p) + p^2 (1-p) + p^2 (1-p) \\ &= 3 p^2 (1-p) \\ &= \binom{3}{2} p^2 (1-p)^1 \end{aligned}\)
    • \(\begin{aligned}[t] P(X = 3) &= P(X_1 = 1 \text{ et } X_2 = 1 \text{ et } X_3 = 1) \\ &= p^3 \\ &= \binom{3}{3} p^3 (1-p)^0 \end{aligned}\)
Ainsi, \(P(X = x) = \binom{3}{x} p^x (1-p)^{3-x}\) pour \(x = 0, 1, 2, 3\), ce qui correspond à la forme de la distribution binomiale.
Le raisonnement se généralise à tout \(n\). Pour obtenir exactement \(x\) succès, il faut choisir \(x\) des \(n\) essais pour qu’ils soient des succès, ce qui peut se faire de \(\binom{n}{x}\) façons. Chaque arrangement spécifique de \(x\) succès et de \(n-x\) échecs a une probabilité de \(p^x(1-p)^{n-x}\). Par la règle de l’addition, la probabilité totale est la somme de toutes ces probabilités, d’où$$P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{\,n-x}.$$

Exemple
Un joueur de basketball a 80 \(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc et effectue 5 tirs. Soit \(X\) le nombre de tirs réussis.
  1. Est-ce que \(X\) est une variable aléatoire binomiale ?
  2. Trouve la probabilité de réussir 4 tirs.

  1. Oui, \(X\) est une variable aléatoire binomiale car elle compte le nombre de succès (tirs réussis) dans 5 essais indépendants (lancers francs), chacun avec une probabilité de succès constante de 0,8.
  2. Comme \(X \sim B(5, 0{,}8)\), $$ \begin{aligned} P(X = 4) &= \binom{5}{4} (0{,}8)^4 (1-0{,}8)^1 \\ &= 5 \times 0{,}4096 \times 0{,}2 \\ &= 0{,}4096 \end{aligned} $$ La probabilité de réussir 4 tirs sur 5 est \(0{,}4096=40{,}96\pourcent\).

Proposition — Espérance et variance d’une variable aléatoire Binomiale
Pour \(X \sim B(n, p)\) :
  • \(E(X) = n p\) (espérance),
  • \(V(X) = n p (1 - p)\) (variance),
  • \(\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}\) (écart-type).
Exemple
Un joueur de basket-ball a 80\(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc et effectue 5 tirs. Trouve la moyenne et l’écart-type du nombre de tirs réussis.

Soit \(X\) le nombre de tirs réussis. Puisque chaque tir est indépendant et a une probabilité de succès de 0,8, on a \(X \sim B(5, 0{,}8)\).$$\begin{aligned}E(X) &= 5 \times 0{,}8 = 4, \\ V(X) &= 5 \times 0{,}8 \times (1 - 0{,}8) = 5 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}8, \\ \sigma(X) &= \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89.\end{aligned}$$La moyenne est 4 tirs réussis, l’écart-type est d’environ 0,89.

Méthode — Probabilités binomiales cumulées
Pour calculer des probabilités de la forme \(P(X \leq k)\), on utilise la fonction de probabilité cumulée (ou fonction de répartition) de la calculatrice.
  • Sur TI : Utiliser \texttt{binomfrép(n, p, k)}.
  • Sur Casio : Utiliser \texttt{BinomialCD(k, n, p)}.
  • Sur NumWorks : Application \texttt{Probabilités}, choisir \texttt{Binomiale}.
Pour les autres inégalités, on utilise les règles logiques suivantes :
  • \(P(X < k) = P(X \leq k-1)\)
  • \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\)
  • \(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\)
  • \(P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)\)
Exemple
On considère une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0,78\). Calculer les probabilités suivantes. Arrondir les résultats à trois décimales. $$P(X < 75), P(X > 79), P(X \geq 74), P(73 < X \leq 81)$$

Avec \(X \sim \mathcal{B}(100, 0{,}78)\), on utilise la fonction de répartition (cumulative) de la calculatrice :
  1. \(P(X<75) = P(X\leq 74) \approx \mathbf{0{,}197}\).
  2. \(P(X>79) = 1 - P(X\leq 79) \approx \mathbf{0{,}366}\).
  3. \(P(X\geq 74) = 1 - P(X\leq 73) \approx \mathbf{0{,}861}\).
  4. \(P(73

Méthode — Chercher un seuil
Pour trouver le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leq k) \geq 1-\alpha\) (où \(\alpha\) est une valeur seuil comme \(0,05\)), on utilise la fonction Binomiale Inverse ou un tableau de valeurs sur la calculatrice.
Exemple
Soit \(X \sim \mathcal{B}(50 ; 0,4)\). Chercher le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leq k) \geq 0,95\).

D'après le tableau de valeurs de la calculatrice :
  • \(P(X \leq 25) \approx 0,9427\)
  • \(P(X \leq 26) \approx 0,9672\)
Comme \(0,9672 \geq 0,95\), le plus petit entier recherché est \(k = 26\).

Méthode — Chercher un intervalle de probabilité
Pour chercher un intervalle \(I=[a ; b]\) tel que \(P(X \in I) \geq 1-\alpha\) :
  1. On cherche le plus petit entier \(a\) tel que \(P(X \leq a) > \frac{\alpha}{2}\).
  2. On cherche le plus petit entier \(b\) tel que \(P(X \leq b) \geq 1 - \frac{\alpha}{2}\).
Exemple
Soit \(X \sim \mathcal{B}(50 ; 0,4)\). Chercher l'intervalle \([a ; b]\) tel que \(P(a \leq X \leq b) \geq 0,95\).

Ici, \(1-\alpha = 0{,}95\), donc \(\alpha = 0{,}05\) et \(\dfrac{\alpha}{2} = 0{,}025\).
  1. On cherche \(a\) tel que \(P(X \leq a) > 0{,}025\).
    D'après la table : \(P(X \leq 12) \approx 0{,}013\) et \(P(X \leq 13) \approx 0{,}028\). Donc \(\mathbf{a = 13}\).
  2. On cherche \(b\) tel que \(P(X \leq b) \geq 0{,}975\).
    D'après la table : \(P(X \leq 26) \approx 0{,}967\) et \(P(X \leq 27) \approx 0{,}984\). Ainsi \(\mathbf{b = 27}\).
L'intervalle est \([13\,;\,27]\).

Compétences à pratiquer
  • Modéliser avec des schémas de Bernoulli
  • Identifier les distributions binomiales
  • Calculer des probabilités dans des scénarios de la vie quotidienne
  • Identifier et appliquer la loi binomiale
  • Utiliser la calculatrice pour les probabilités binomiales cumulées
  • Modéliser des situations réelles avec la loi binomiale
  • Calculer une espérance
  • Déterminer un seuil
  • Déterminer un seuil de probabilité supérieure
  • Déterminer un intervalle de probabilité
  • Optimiser des quantités à l'aide de seuils binomiaux
IX R\'{e}vision \& Au-del\`{a}
Compétences à pratiquer
  • Quiz
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