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Propriétés de $\mathbb{R}$

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Vue d'ensemble du chapitre

Les nombres réels sont les nombres de la droite numérique : ceux du chapitre Ensembles de nombres, avec leur arithmétique, rangés de gauche à droite. Le chapitre dit avec précision ce que l'analyse en emploie, et le démontre. Six notions se suivent. L'ordre de $\mathbb{R}$ est total et compatible avec l'addition et avec le produit par un nombre positif : tout le calcul sur les inégalités se déduit de ces deux règles, et les intervalles sont les parties qui épousent l'ordre. La valeur absolue mesure un écart sans signe, et son inégalité triangulaire est le seul théorème que toute estimation emploie. La borne supérieure d'une partie est le plus petit de ses majorants ; ce n'est pas forcément un plus grand élément, qui peut ne pas exister. La propriété de la borne supérieure — toute partie non vide majorée a une borne supérieure — est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : elle est admise, car la construction de $\mathbb{R}$ n'est pas faite, et c'est le seul résultat admis. Tout le reste en est démontré, dans l'ordre des dépendances : la propriété d'Archimède, l'existence de la partie entière, la structure des intervalles, puis la densité des rationnels, des irrationnels et des décimaux et les approximations décimales. La dernière notion ajoute $-\infty$ et $+\infty$ à la droite réelle, ce qui donne un ensemble ordonné dans lequel toute partie a une borne supérieure.
Notations. Un intervalle s'écrit $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, +\infty[$ : le crochet est tourné vers l'extérieur, jamais remplacé par une parenthèse, et le séparateur est la virgule ; le point-virgule ne revient que devant une virgule décimale, comme dans $[1{,}98 \,;\, 2{,}02]$. Les ensembles des réels positifs et des réels strictement positifs sont $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty[$ et $\mathbb{R}_+^* = \,]0, +\infty[$, ceux des réels négatifs et des réels strictement négatifs sont $\mathbb{R}_-$ et $\mathbb{R}_-^*$, et $\mathbb{D}$ est l'ensemble des nombres décimaux $\frac{p}{10^n}$, avec $p \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$. La valeur absolue de $x$ est $\lvert x \rvert$ et la distance de $x$ à $y$ est $d(x, y) = \lvert x - y \rvert$. Le plus grand et le plus petit de deux réels sont $\max(x, y)$ et $\min(x, y)$ ; pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$, $\max A$, $\min A$, $\sup A$ et $\inf A$ sont son plus grand élément, son plus petit élément, sa borne supérieure et sa borne inférieure. La partie entière de $x$ est $\lfloor x \rfloor$ et sa partie entière par excès est $\lceil x \rceil$ ; la partie fractionnaire s'écrit $x - \lfloor x \rfloor$, sans symbole propre, les accolades étant celles des ensembles. La droite achevée est $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Comme dans le chapitre Ensembles, $\emptyset$ est l'ensemble vide, $A \subset B$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $B$, et $\llbracket a, b \rrbracket$ est l'ensemble des entiers de $a$ à $b$. En français, « positif » signifie supérieur ou égal à $0$, et l'inégalité stricte s'écrit « strictement supérieur à ».

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Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Ensembles de nombres : les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, les nombres décimaux, l'irrationalité de $\sqrt{2}$, les intervalles et leurs notations, la valeur absolue comme distance, et l'encadrement d'un réel. Il suppose connu le chapitre Résoudre des inéquations : les règles de résolution, les tableaux de signes, le quotient de deux expressions, l'encadrement. Des chapitres sur les racines carrées et sur les puissances, il suppose $\sqrt{x}$, le réel positif dont le carré est $x$ — son existence est démontrée par la Proposition « Existence des racines carrées » — et les puissances entières avec leurs règles ; du chapitre Propriétés sur les nombres entiers, la divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et la division euclidienne. Du chapitre Raisonner et rédiger, il suppose les schémas de démonstration d'un énoncé universel ou existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde, par contre-exemple et par récurrence, et la Proposition « Plus petit élément » : toute partie non vide de $\mathbb{N}$ a un plus petit élément ; il suppose aussi la discrétion de $\mathbb{Z}$ : un entier $k$ tel que $k > 0$ vérifie $k \ge 1$, conséquence de cette Proposition. Du chapitre Logique, il suppose la négation d'un énoncé quantifié, et du chapitre Ensembles, les opérations sur les ensembles, les intervalles d'entiers $\llbracket a, b \rrbracket$ et les familles indexées par $n$. Du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre, il suppose l'ordre total, le majorant et la borne supérieure dans un ensemble ordonné : les Définitions « Majorée, minorée, bornée », « Plus grand élément, plus petit élément » et « Borne supérieure, borne inférieure » sont le cas $(\mathbb{R}, \le)$ de ce cadre, qui est cité et jamais requis dans un exercice. Les exemples et les exercices emploient aussi les fonctions usuelles (fonctions affines, puissances, racine carrée, exponentielle, logarithme, cosinus, sinus) comme formules d'une variable réelle, les nombres $\pi$ et $e$, et la récurrence $10^n > n$. Aucune limite, aucune dérivée et aucune continuité n'est employée ; le théorème des valeurs intermédiaires est seulement cité, comme seconde démonstration de la Proposition « Existence des racines carrées ».

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I Ordre et intervalles

Un ordre et ses parties

Les nombres réels sont rangés : de deux réels, l'un est plus petit que l'autre, et l'ordre s'accorde avec l'addition et avec le produit par un réel positif. De ces deux accords se déduit tout le calcul sur les inégalités. Les parties de la droite réelle qui épousent l'ordre, les intervalles, sont les parties qui contiennent, avec deux réels, tous les réels compris entre eux.

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I.1 Règles de calcul sur les inégalités

Deux pièges

Calculer avec des inégalités ressemble à calculer avec des égalités, et deux pièges viennent de cette ressemblance. Multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif la renverse : $1 \le 2$ et $-1 \ge -2$. Inverser deux réels renverse aussi l'ordre, et seulement s'ils sont de même signe : $2 \le 3$ donne $\frac13 \le \frac12$, tandis que pour $-2 \le 3$ les inverses $-\frac12$ et $\frac13$ restent dans le même ordre. La Définition « Ordre sur $\mathbb{R}$ » énonce les deux règles dont toute autre règle se déduit, de sorte qu'aucune n'est à retenir à part.

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Définition — Ordre sur $\mathbb{R}$

L'ensemble $\mathbb{R}$ est muni d'une relation $\le$ qui a les propriétés suivantes.

$\le$ est un ordre total : elle est réflexive, antisymétrique et transitive (les Définitions « Relation d'ordre » et « Ordre total, ordre partiel » du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre), et deux réels $x$ et $y$ quelconques vérifient $x \le y$ ou $y \le x$.
Règle de l'addition : pour $x, y, z \in \mathbb{R}$, $x \le y \Rightarrow x + z \le y + z$.
Règle du produit : pour $x, y, \lambda \in \mathbb{R}$, $(x \le y \text{ et } 0 \le \lambda) \Rightarrow \lambda x \le \lambda y$.

On écrit $y \ge x$ pour $x \le y$, et $x < y$ pour ($x \le y$ et $x \ne y$) ; par totalité, $x < y$ signifie que « $y \le x$ » est faux. Un réel $x$ est positif si $x \ge 0$, strictement positif si $x > 0$, négatif si $x \le 0$ et strictement négatif si $x < 0$. Une chaîne $x \le y \le z$ signifie $x \le y$ et $y \le z$ ; par transitivité, elle donne $x \le z$.

Proposition — Compatibilité de $\le$ avec les opérations

Pour $x, y, z, t, \lambda \in \mathbb{R}$ :

Addition. $x \le y \Rightarrow x + z \le y + z$, et $(x \le y \text{ et } z \le t) \Rightarrow x + z \le y + t$.
Produit par un positif. $(x \le y \text{ et } \lambda \ge 0) \Rightarrow \lambda x \le \lambda y$. Par un négatif : $(x \le y \text{ et } \lambda \le 0) \Rightarrow \lambda x \ge \lambda y$.
Produit d'inégalités. $(0 \le x \le y \text{ et } 0 \le z \le t) \Rightarrow xz \le yt$.
Inversion. $0 < x \le y \Rightarrow \frac1y \le \frac1x$, et $x \le y < 0 \Rightarrow \frac1y \le \frac1x$.
Carrés. Pour $x, y \ge 0$ : $x \le y \iff x^2 \le y^2$.
Inégalités strictes. $x < y \Rightarrow x + z < y + z$ ; $(x < y \text{ et } \lambda > 0) \Rightarrow \lambda x < \lambda y$, et $\lambda x > \lambda y$ si $\lambda < 0$ ; $(0 < x < y \text{ ou } x < y < 0) \Rightarrow \frac1y < \frac1x$ ; pour $x, y \ge 0$, $x < y \iff x^2 < y^2$.

Preuve

Chaque point se déduit des deux règles de la Définition « Ordre sur $\mathbb{R}$ », par une démonstration directe. Soient $x, y, z, t, \lambda \in \mathbb{R}$.
Une préparation. En ajoutant $-x$ aux deux membres, la règle de l'addition donne $x \le y \Rightarrow 0 \le y - x$, et en ajoutant $x$ elle donne $0 \le y - x \Rightarrow x \le y$. Donc $x \le y \iff 0 \le y - x$.
Signes. Si $x, y \ge 0$, alors $xy \ge 0$ : c'est la règle du produit avec $\lambda = x$, appliquée à $0 \le y$. Si $x, y \le 0$, alors $-x, -y \ge 0$ et $xy = (-x)(-y) \ge 0$ par la même règle. Si de plus $x$ et $y$ sont non nuls, alors $xy \ne 0$, donc $xy > 0$ dans les deux cas.
Addition. Le premier énoncé est la règle de l'addition. Supposons $x \le y$ et $z \le t$. Alors $$ \begin{aligned} x + z &\le y + z && \text{(règle de l'addition, $x \le y$)} \\ &\le y + t, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par la règle de l'addition appliquée à $z \le t$, le réel $y$ étant ajouté aux deux membres. Par transitivité, $x + z \le y + t$.
Produit par un positif ou par un négatif. Le premier énoncé est la règle du produit. Supposons $x \le y$ et $\lambda \le 0$. La règle de l'addition appliquée à $\lambda \le 0$ donne $0 \le -\lambda$, donc $-\lambda$ est positif et la règle du produit donne $-\lambda x \le -\lambda y$. En ajoutant $\lambda x + \lambda y$ aux deux membres, par la règle de l'addition, on obtient $\lambda y \le \lambda x$, c'est-à-dire $\lambda x \ge \lambda y$.
Produit d'inégalités. Supposons $0 \le x \le y$ et $0 \le z \le t$. Alors $$ \begin{aligned} xz &\le yz && \text{(produit de $x \le y$ par $z \ge 0$)} \\ &\le yt, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par le produit de $z \le t$ par $y \ge 0$, où $y \ge x \ge 0$ par transitivité. Par transitivité, $xz \le yt$.
Inégalités strictes, première partie. Supposons $x < y$. Alors $x + z \le y + z$, et $x + z \ne y + z$, car $x + z = y + z$ donnerait $x = y$ après l'addition de $-z$ : donc $x + z < y + z$. Supposons $x < y$ et $\lambda > 0$. Alors $\lambda x \le \lambda y$, et $\lambda x \ne \lambda y$, car $\lambda x = \lambda y$ donnerait $x = y$ après le produit par $\frac1\lambda$ : donc $\lambda x < \lambda y$. Si $\lambda < 0$, le même raisonnement appliqué à $\lambda x \ge \lambda y$ donne $\lambda x > \lambda y$.
Inversion. Supposons $0 < x \le y$ ou $x \le y < 0$. Dans les deux cas $x$ et $y$ ont le même signe, donc $xy > 0$ par les signes, et $$ \begin{aligned} \frac1x - \frac1y &= \frac{y - x}{xy} && \text{(dénominateur commun)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $y - x \ge 0$ par la préparation et $\frac{1}{xy} > 0$. En effet, pour $z > 0$, $\frac1z = z \left(\frac1z\right)^2 > 0$ par les signes, le carré étant non nul ; le quotient est donc le produit d'un nombre positif par un nombre strictement positif, positif par les signes. Par la préparation, $\frac1y \le \frac1x$. Si $x < y$, alors $y - x > 0$ et la même chaîne donne $\frac1x - \frac1y > 0$, c'est-à-dire $\frac1y < \frac1x$.
Carrés. Soient $x, y \ge 0$. ($\Rightarrow$) Supposons $x \le y$. Alors $$ \begin{aligned} y^2 - x^2 &= (y - x)(y + x) && \text{(identité)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $y - x \ge 0$ par la préparation et $y + x \ge 0$, un produit de deux nombres positifs étant positif (la règle du produit avec $\lambda = y - x$ appliquée à $0 \le y + x$). Par la préparation, $x^2 \le y^2$. ($\Leftarrow$) Démontrons la contraposée. Supposons $x \le y$ faux : par totalité, $y < x$, donc $x > 0$ puisque $x > y \ge 0$. Alors $y^2 \le yx$ (produit de $y \le x$ par $y \ge 0$) et $yx < x^2$ (produit strict de $y < x$ par $x > 0$), donc $y^2 < x^2$ par transitivité (premier point de la Proposition « Chaînes d'inégalités » ci-dessous, qui n'emploie que les règles de la Définition), et $x^2 \le y^2$ est faux. Enfin $x < y \iff \text{« } y \le x \text{ » est faux} \iff \text{« } y^2 \le x^2 \text{ » est faux} \iff x^2 < y^2$, par totalité et par l'équivalence qui vient d'être démontrée.
Tous les points sont démontrés.

Proposition — Chaînes d'inégalités

Soient $x_1, \dots, x_n$ des réels, $n \ge 2$, tels que $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$.

$x_1 \le x_n$, et $x_1 < x_n$ dès qu'une inégalité de la chaîne est stricte.
Si $x_1 = x_n$, alors $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.
Si $x \le y$, $z \le t$ et $x + z = y + t$, alors $x = y$ et $z = t$.

Preuve

Premier point, partie large, par récurrence. Soit $P(n)$ l'énoncé : toute chaîne $x_1 \le \dots \le x_n$ vérifie $x_1 \le x_n$. Initialisation. Pour $n = 2$ la chaîne est l'unique inégalité $x_1 \le x_2$. Hérédité. Soit $n \ge 2$ et supposons $P(n)$ (hypothèse de récurrence). Pour une chaîne $x_1 \le \dots \le x_n \le x_{n+1}$, l'hypothèse de récurrence donne $x_1 \le x_n$, et $x_n \le x_{n+1}$, donc $x_1 \le x_{n+1}$ par transitivité. Comme $P(2)$ est vraie et que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ pour $n \ge 2$, d'après le principe de récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge 2$.
Deuxième point. Supposons $x_1 = x_n$. Pour chaque $i$ avec $1 < i < n$, la partie large du premier point appliquée aux chaînes $x_1 \le \dots \le x_i$ et $x_i \le \dots \le x_n$ donne $x_1 \le x_i$ et $x_i \le x_n = x_1$. Par antisymétrie, $x_i = x_1$ ; pour $i = 1$ et $i = n$ il n'y a rien à démontrer. Donc tous les $x_i$ sont égaux.
Premier point, partie stricte. Démontrons la contraposée. Supposons $x_1 = x_n$. D'après le deuxième point, tous les $x_i$ sont égaux, donc aucune inégalité de la chaîne n'est stricte. Ainsi, si une inégalité de la chaîne est stricte, alors $x_1 \ne x_n$, c'est-à-dire $x_1 < x_n$ puisque $x_1 \le x_n$.
Troisième point. Supposons $x \le y$, $z \le t$ et $x + z = y + t$. Alors $$ \begin{aligned} x + z &\le y + z && \text{(règle de l'addition, $x \le y$)} \\ &\le y + t && \text{(règle de l'addition, $z \le t$)} \\ &= x + z, \end{aligned} $$ la dernière égalité par hypothèse. La chaîne commence et finit par $x + z$ : par le deuxième point, $x + z = y + z$ et $y + z = y + t$. En ajoutant $-z$ à la première égalité on obtient $x = y$, et en ajoutant $-y$ à la seconde on obtient $z = t$. Les trois points sont démontrés.

Exemple — Encadrer un quotient

Encadrer le quotient $\frac{2x + 1}{3x^2 + 4}$ lorsque $x \in [1, 2]$.

Correction

Soit $x \in [1, 2]$, c'est-à-dire $1 \le x \le 2$. Le numérateur. $$ \begin{aligned} 1 \le x \le 2 &\Rightarrow 2 \le 2x \le 4 && \text{(produit par $2 \ge 0$)} \\ &\Rightarrow 3 \le 2x + 1 \le 5, \end{aligned} $$ la dernière étape par la règle de l'addition. Le dénominateur. $$ \begin{aligned} 1 \le x \le 2 &\Rightarrow 1 \le x^2 \le 4 && \text{(carrés de nombres positifs)} \\ &\Rightarrow 3 \le 3x^2 \le 12 && \text{(produit par $3 \ge 0$)} \\ &\Rightarrow 7 \le 3x^2 + 4 \le 16, \end{aligned} $$ la dernière étape par la règle de l'addition. Le quotient. Le dénominateur est strictement positif, et $$ \begin{aligned} 7 \le 3x^2 + 4 \le 16 &\Rightarrow \frac{1}{16} \le \frac{1}{3x^2 + 4} \le \frac17 && \text{(inversion de nombres strictement positifs)} \\ &\Rightarrow \frac{3}{16} \le \frac{2x + 1}{3x^2 + 4} \le \frac57, \end{aligned} $$ la dernière étape par le produit d'inégalités entre nombres positifs, appliqué à $3 \le 2x + 1 \le 5$ et $\frac{1}{16} \le \frac{1}{3x^2 + 4} \le \frac17$. Donc $\frac{3}{16} \le \frac{2x + 1}{3x^2 + 4} \le \frac57$ pour tout $x \in [1, 2]$. L'encadrement est valable sans être optimal : le quotient vaut $\frac37$ en $x = 1$ et $\frac{5}{16}$ en $x = 2$.

Méthode — Encadrer une somme, un produit, un quotient

Pour encadrer une expression construite à partir de quantités dont chacune est connue dans une plage, encadrer chaque morceau puis combiner les encadrements :

Encadrer chaque morceau séparément, sous la forme $a \le u \le b$.
Une somme : additionner les deux encadrements, les bornes inférieures entre elles et les bornes supérieures entre elles. Ne jamais soustraire deux encadrements : écrire $u - v = u + (-v)$, encadrer d'abord $-v$ (le produit par $-1$ renverse les inégalités, donc $a' \le v \le b'$ donne $-b' \le -v \le -a'$), puis additionner.
Un produit : lorsque tous les facteurs sont positifs, multiplier les bornes inférieures entre elles et les bornes supérieures entre elles (la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations ») ; lorsque les signes varient, mettre les signes en facteur et ramener les facteurs à des nombres positifs.
Un quotient : encadrer le dénominateur loin de $0$, l'inverser (les bornes sont échangées), puis multiplier par le numérateur.

Un encadrement est valable sans être optimal : ses bornes ne sont pas forcément atteintes.
Par exemple, soient $x \in [1, 3]$ et $y \in [2, 5]$. De $2 \le y \le 5$ vient $-5 \le -y \le -2$, et en ajoutant $1 \le x \le 3$ on obtient $-4 \le x - y \le 1$. De $\frac15 \le \frac1y \le \frac12$, le produit par $1 \le x \le 3$ donne $\frac15 \le \frac{x}{y} \le \frac32$.

Piège — pas de soustraction d'inégalités

Deux inégalités de même sens s'additionnent, elles ne se soustraient pas. De $0 \le 1$ et $0 \le 2$, soustraire membre à membre donnerait $0 - 0 \le 1 - 2$, c'est-à-dire $0 \le -1$, ce qui est faux. La division échoue de la même façon : de $2 \le 4$ et $1 \le 4$, diviser membre à membre donnerait $\frac21 \le \frac44$, c'est-à-dire $2 \le 1$, ce qui est faux. Élever au carré ne conserve pas non plus l'ordre quand le signe est inconnu : $-3 \le 2$, mais $(-3)^2 = 9 > 4 = 2^2$. Le remède est celui de la Méthode « Encadrer une somme, un produit, un quotient » : écrire une différence comme une somme et un quotient comme un produit, et encadrer l'opposé ou l'inverse avant de combiner.

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Méthode — Démontrer une inégalité

Pour démontrer une inégalité $A \le B$ entre réels :

Tout ramener d'un côté : $A \le B \iff 0 \le B - A$.
Rendre le signe visible : factoriser $B - A$, ou l'écrire comme un carré, comme une somme de termes positifs, ou comme un quotient dont le numérateur et le dénominateur ont des signes connus.
Conclure, et donner le cas d'égalité : un carré est positif et ne s'annule qu'en $0$ ; l'égalité $A = B$ a lieu exactement quand l'expression qui rend le signe visible est nulle.

Au brouillon, on peut dérouler la chaîne à l'envers, depuis l'énoncé, par équivalences. Sur la copie, partir de ce qui est connu et n'écrire que des implications lues dans le sens direct, ou une chaîne d'équivalences dont chaque étape en est vraiment une : multiplier par une expression de signe inconnu, ou élever au carré, n'en est pas une.
Par exemple, soient $a, b \ge 0$ ; alors $\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$ : $$ \begin{aligned} \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} &= \frac{a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b}{2} && \text{(dénominateur commun, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$)} \\ &= \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}, \end{aligned} $$ la dernière égalité étant l'identité $a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$. Le résultat est positif, comme un carré divisé par $2$, donc $\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$, avec égalité exactement lorsque $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, c'est-à-dire lorsque $a = b$. Pour $a = x$ et $b = \frac1x$, avec $x > 0$, on obtient $x + \frac1x \ge 2$.

Exemple — Une inéquation rationnelle

Résoudre l'inéquation $\frac{2x + 1}{x - 1} \le 1$ dans $\mathbb{R}$.

Correction

Le quotient est défini pour $x \ne 1$, et le signe de $x - 1$ est inconnu : l'inéquation n'est donc pas multipliée par $x - 1$, et tout est ramené d'un côté. Pour $x \ne 1$, $$ \begin{aligned} \frac{2x + 1}{x - 1} \le 1 &\iff \frac{2x + 1}{x - 1} - 1 \le 0 && \text{(en ajoutant $-1$)} \\ &\iff \frac{x + 2}{x - 1} \le 0 && \text{(dénominateur commun, $2x + 1 - (x - 1) = x + 2$)} \\ &\iff x \in [-2, 1[, \end{aligned} $$ la dernière équivalence par le tableau de signes du quotient : $x + 2$ est strictement négatif pour $x < -2$, nul en $-2$ et strictement positif ensuite ; $x - 1$ est strictement négatif pour $x < 1$ et strictement positif ensuite. Le quotient est donc strictement positif pour $x < -2$, nul en $-2$, strictement négatif sur $]-2, 1[$ et strictement positif pour $x > 1$. L'ensemble des solutions est $[-2, 1[$. Vérification : pour $x = 0$, $\frac{1}{-1} = -1 \le 1$ ; pour $x = -2$, $\frac{-3}{-3} = 1 \le 1$ ; pour $x = 2$, $\frac51 = 5 > 1$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître la règle d'une inégalité ★
Majorer une combinaison linéaire de réels encadrés ★
Résoudre une inéquation par un tableau de signes ★
Démontrer une inégalité avec un carré ★
Résoudre une inéquation rationnelle ★★
Démontrer une inégalité et son cas d'égalité ★★
Trouver l'idée d'une inégalité ★★★

I.2 Intervalles

Ensembles de solutions

L'ensemble des solutions d'une inégalité comme $-2 \le x < 3$ est une partie de la droite réelle sans trou : elle contient, avec deux réels, tous les réels compris entre eux. Ces parties sont les intervalles. Ils apparaissent dans tous les résultats d'analyse, comme ensembles de définition d'une fonction, comme ensembles de solutions d'une inégalité, comme ensembles des valeurs prises par une quantité. Les Définitions « Intervalles bornés » et « Intervalles non bornés » fixent leur notation, et le Théorème « Caractérisation des intervalles » montre que les formes qu'elles énumèrent sont les seules parties sans trou.

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Définition — Intervalles bornés

Pour $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \le b$ :

$\textcolor{colordef}{[a, b]} = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ (intervalle fermé, les deux bornes incluses) ;
$\textcolor{colordef}{[a, b[} = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]a, b]} = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]a, b[} = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ (intervalle ouvert).

Un segment de $\mathbb{R}$ est un intervalle fermé borné $[a, b]$ avec $a \le b$.

Exemple — Les quatre intervalles de $0$ à $1$

Les quatre intervalles bornés de $0$ à $1$ diffèrent par les bornes qui leur appartiennent, comme le montre le dessin : un point plein représente une borne qui appartient à l'intervalle, un point vide une borne qui n'y appartient pas.

Le segment $[0, 1]$ contient les deux bornes ; $]0, 1[$ n'en contient aucune ; $]0, 1]$ contient $1$ mais pas $0$ ; $[0, 1[$ contient $0$ mais pas $1$. Tous quatre ont la même longueur $1$, et ils sont inclus les uns dans les autres : $]0, 1[ \,\subset\, ]0, 1] \subset [0, 1]$ et $]0, 1[ \,\subset\, [0, 1[ \,\subset\, [0, 1]$. Par exemple $\frac12$ appartient aux quatre, tandis que $1$ appartient seulement à $[0, 1]$ et à $]0, 1]$.

Définition — Intervalles non bornés

Pour $a \in \mathbb{R}$ :

$\textcolor{colordef}{[a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$, $\textcolor{colordef}{]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]-\infty, a]} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le a\}$, $\textcolor{colordef}{]-\infty, a[} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$ ;
$\textcolor{colordef}{]-\infty, +\infty[} = \mathbb{R}$.

Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des réels ; le crochet face à eux est toujours ouvert.

Exemple — Trois intervalles non bornés

$[0, +\infty[$ est l'ensemble $\mathbb{R}_+$ des réels positifs ; $]-\infty, 1[$ est l'ensemble des réels strictement inférieurs à $1$ ; $]-\infty, +\infty[ \, = \mathbb{R}$ est la droite tout entière. Le crochet face à $\pm\infty$ est toujours ouvert, puisque $\pm\infty \notin \mathbb{R}$. Pour décider si un nombre appartient à un intervalle, on le compare aux bornes : $\sqrt{2} \in [1, \frac32[$, puisque $1 \le \sqrt{2}$ et $\sqrt{2} < \frac32$, les carrés $1$ et $2$, puis $2$ et $\frac94$, de nombres positifs étant dans l'ordre $1 \le 2 < \frac94$ (la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations »).

Notation

Les ensembles des réels positifs et des réels strictement positifs s'écrivent $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty[$ et $\mathbb{R}_+^* = \,]0, +\infty[$ ; ceux des réels négatifs et des réels strictement négatifs sont $\mathbb{R}_- = \,]-\infty, 0]$ et $\mathbb{R}_-^* = \,]-\infty, 0[$. L'ensemble vide est un intervalle, $\emptyset = \,]a, a[$ pour tout réel $a$ ; un point isolé est un intervalle, $\{a\} = [a, a]$ ; et $\mathbb{R}$ lui-même est un intervalle. L'intervalle d'entiers $\llbracket a, b \rrbracket$ du chapitre Ensembles n'est pas un intervalle de réels : $\llbracket 0, 2 \rrbracket = \{0, 1, 2\}$ contient $0$ et $1$ mais pas $\frac12$, comme le rappelle le Piège « un intervalle d'entiers n'est pas un intervalle de réels ».

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Compétences à pratiquer

Reconnaître un intervalle ★
Calculer des intersections et des réunions d'intervalles ★

II Valeur absolue et distance

Un écart sans signe

La valeur absolue d'un réel est sa distance à $0$ : elle oublie le signe et garde la taille. Son seul théorème est l'inégalité triangulaire, et la distance entre deux réels, le contrôle d'une expression au voisinage d'un point et les estimations de l'analyse en sont des applications, avec la règle selon laquelle majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$.

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II.1 Valeur absolue

Oublier le signe

La valeur absolue $\lvert x \rvert$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite réelle. Elle oublie le signe et produit un réel positif. Deux faits servent plus que tout autre : elle respecte le produit, $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$, et elle vérifie l'inégalité triangulaire $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. Un troisième est une règle d'écriture plus qu'un résultat, et il évite l'erreur la plus courante : majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$.

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Définition — Valeur absolue

Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue de $x$ est le réel $$ \textcolor{colordef}{\lvert x \rvert} = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} $$ La valeur absolue est toujours positive. Ses formes équivalentes $\lvert x \rvert = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}$ sont données par la Proposition « Valeur absolue et ordre ».

Exemple — La distance à $0$

La valeur absolue d'un nombre est sa distance à $0$ sur la droite réelle, de quelque côté de $0$ que se trouve le nombre.

Ici $\lvert -3 \rvert = 3$ et $\lvert 2 \rvert = 2$ : les nombres $-3$ et $2$ sont aux distances $3$ et $2$ de $0$.

Exemple — Calculs rapides

$\lvert 3 \rvert = 3$, $\lvert -5 \rvert = 5$, $\lvert 0 \rvert = 0$ et $\lvert 3 - 7 \rvert = \lvert -4 \rvert = 4$. En particulier $\lvert 3 - 7 \rvert = \lvert 7 - 3 \rvert$ : la valeur absolue d'une différence ne dépend pas de l'ordre des termes. Quand le signe de l'argument est inconnu, la définition coupe le calcul en deux cas : $\lvert x - 1 \rvert = x - 1$ si $x \ge 1$, et $\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$ si $x < 1$. Le graphe de la valeur absolue est formé de deux demi-droites qui se rejoignent à l'origine : la demi-droite d'équation $y = x$ pour $x \ge 0$, et la demi-droite d'équation $y = -x$ pour $x < 0$.

Proposition — Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

$\lvert x \rvert \ge 0$, et $\lvert x \rvert = 0 \iff x = 0$.
$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$.
$\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$.
$\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ (inégalité triangulaire).
$\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert$ (inégalité triangulaire renversée).
Pour $r \ge 0$ : $\lvert x \rvert \le r \iff -r \le x \le r$ (forme à crochets).

Preuve

Chaque point se démontre directement à partir de la définition et de la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » ; la forme à crochets est démontrée avant l'inégalité triangulaire, qui s'en sert. Soient $x, y \in \mathbb{R}$. Par la définition, $\lvert z \rvert = z$ si $z \ge 0$ et $\lvert z \rvert = -z$ si $z \le 0$, les deux valeurs étant $0$ en $z = 0$ ; en particulier $\lvert z \rvert$ est $z$ ou $-z$, donc $\lvert z \rvert^2 = z^2$.
Positivité. Si $x \ge 0$, alors $\lvert x \rvert = x \ge 0$. Si $x < 0$, alors $\lvert x \rvert = -x > 0$, par la règle de l'addition appliquée à $x < 0$. Donc $\lvert x \rvert \ge 0$. Si $x \ne 0$, alors $\lvert x \rvert > 0$ dans les deux cas : donc $\lvert x \rvert = 0$ force $x = 0$ ; réciproquement $\lvert 0 \rvert = 0$.
Symétrie. Si $x = 0$, les deux membres valent $0$. Si $x > 0$, alors $-x < 0$ et $\lvert -x \rvert = -(-x) = x = \lvert x \rvert$. Si $x < 0$, alors $-x > 0$ et $\lvert -x \rvert = -x = \lvert x \rvert$.
Produit. Les nombres $\lvert xy \rvert$ et $\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$ sont positifs (le second par la règle du produit), et $$ \begin{aligned} \lvert xy \rvert^2 &= (xy)^2 && (\lvert z \rvert^2 = z^2) \\ &= x^2 y^2 && \text{(commutativité du produit)} \\ &= (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $x^2 = \lvert x \rvert^2$ et $y^2 = \lvert y \rvert^2$. Deux nombres positifs de même carré sont égaux : $\lvert xy \rvert^2 \le (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2$ donne $\lvert xy \rvert \le \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$, et l'inégalité inverse donne la réciproque, par les carrés de nombres positifs (la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations ») ; les deux nombres sont égaux par antisymétrie. Donc $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$.
Encadrement. Pour tout réel $z$, $-\lvert z \rvert \le z \le \lvert z \rvert$. Si $z \ge 0$, alors $\lvert z \rvert = z$ et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= -z && (\lvert z \rvert = z) \\ &\le 0 && \text{(règle de l'addition, $z \ge 0$)} \\ &\le z && (z \ge 0) \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Si $z < 0$, alors $\lvert z \rvert = -z$ et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= z && (\lvert z \rvert = -z) \\ &< 0 && (z < 0) \\ &< -z && \text{(règle de l'addition, $z < 0$)} \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Forme à crochets. Soit $r \ge 0$. ($\Rightarrow$) Supposons $\lvert x \rvert \le r$. Alors $$ \begin{aligned} -r &\le -\lvert x \rvert && \text{(produit de $\lvert x \rvert \le r$ par $-1$)} \\ &\le x && \text{(encadrement)} \\ &\le \lvert x \rvert && \text{(encadrement)} \\ &\le r, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'hypothèse, donc $-r \le x \le r$ par la chaîne d'inégalités. ($\Leftarrow$) Supposons $-r \le x \le r$. Alors $x \le r$ et $-x \le r$ (produit de $-r \le x$ par $-1$). Comme $\lvert x \rvert$ est $x$ ou $-x$, $\lvert x \rvert \le r$.
Inégalité triangulaire. Par l'encadrement, $-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert$ et $-\lvert y \rvert \le y \le \lvert y \rvert$. En additionnant les deux encadrements, $-(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert) \le x + y \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. La forme à crochets avec $r = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \ge 0$ donne $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
Seconde démonstration de l'inégalité triangulaire : par les carrés. Les nombres $\lvert x + y \rvert$ et $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ sont positifs, donc d'après la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » il suffit de comparer leurs carrés, et $\lvert x + y \rvert^2 = (x + y)^2$. Or $$ \begin{aligned} (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2 - (x + y)^2 &= \lvert x \rvert^2 + 2 \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert + \lvert y \rvert^2 - x^2 - 2xy - y^2 && \text{(développement)} \\ &= 2 \lvert xy \rvert - 2xy && (\lvert z \rvert^2 = z^2 \text{, produit}) \\ &= 2(\lvert xy \rvert - xy), \end{aligned} $$ la dernière égalité par factorisation. Comme $xy \le \lvert xy \rvert$ par l'encadrement, ce nombre est positif : $(x + y)^2 \le (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2$, donc $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
Inégalité triangulaire renversée. Écrivons $x = (x - y) + y$. L'inégalité triangulaire donne $\lvert x \rvert \le \lvert x - y \rvert + \lvert y \rvert$, donc $\lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert$. En échangeant $x$ et $y$ on obtient $\lvert y \rvert - \lvert x \rvert \le \lvert y - x \rvert = \lvert x - y \rvert$, par la symétrie appliquée à $y - x = -(x - y)$. Donc $-\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert$, et la forme à crochets avec $r = \lvert x - y \rvert \ge 0$ donne $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert$.
Les six points sont démontrés.

Proposition — Valeur absolue et ordre

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ :

$\lvert x \rvert = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}$.
$\lvert x \rvert \le y \iff -y \le x \le y$, et $\lvert x \rvert < y \iff -y < x < y$.
$\lvert x \rvert \ge y \iff (x \le -y \text{ ou } x \ge y)$, et $\lvert x \rvert > y \iff (x < -y \text{ ou } x > y)$.
$\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert \iff x^2 \le y^2$, et $\lvert x \rvert = \lvert y \rvert \iff x^2 = y^2$.

Preuve

Soient $x, y \in \mathbb{R}$. Rappelons que $\max(a, b)$ est le plus grand de deux réels $a$ et $b$, le plus grand élément de $\{a, b\}$, qui existe parce que l'ordre est total : $\max(a, b) \le c \iff (a \le c \text{ et } b \le c)$, et, puisque $\max(a, b)$ est l'un des deux nombres $a$ et $b$, $\max(a, b) < c \iff (a < c \text{ et } b < c)$.
Les trois formes. Si $x \ge 0$, alors $-x \le 0 \le x$ et $\max(x, -x) = x = \lvert x \rvert$. Si $x < 0$, alors $x < 0 < -x$ et $\max(x, -x) = -x = \lvert x \rvert$. De plus $\lvert x \rvert \ge 0$ et $\lvert x \rvert^2 = x^2$, donc $\lvert x \rvert$ est le réel positif dont le carré est $x^2$, c'est-à-dire $\sqrt{x^2}$.
Les formes à crochets. $$ \begin{aligned} \lvert x \rvert \le y &\iff \max(x, -x) \le y && \text{(premier point)} \\ &\iff (x \le y \text{ et } -x \le y) && \text{(propriété du maximum)} \\ &\iff -y \le x \le y, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce que $-x \le y \iff -y \le x$, par le produit par $-1$. La même chaîne avec des inégalités strictes donne $\lvert x \rvert < y \iff -y < x < y$.
Les formes opposées. Par totalité, $\lvert x \rvert \ge y$ est la négation de $\lvert x \rvert < y$, c'est-à-dire de ($-y < x$ et $x < y$) ; cette négation est ($x \le -y$ ou $x \ge y$). De même $\lvert x \rvert > y$ est la négation de $\lvert x \rvert \le y$, c'est-à-dire de ($-y \le x$ et $x \le y$) ; cette négation est ($x < -y$ ou $x > y$).
Les carrés. Les nombres $\lvert x \rvert$ et $\lvert y \rvert$ sont positifs, donc la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » donne $\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert \iff \lvert x \rvert^2 \le \lvert y \rvert^2$, et $\lvert x \rvert^2 = x^2$, $\lvert y \rvert^2 = y^2$. En l'appliquant dans les deux sens, on obtient $\lvert x \rvert = \lvert y \rvert \iff x^2 = y^2$, par antisymétrie.
Seconde démonstration de la forme à crochets : par disjonction des cas sur le signe de $x$. Si $x \ge 0$, alors $\lvert x \rvert \le y \iff x \le y$ ; et $-y \le x \le y$ se réduit aussi à $x \le y$, car $x \le y$ avec $x \ge 0$ force $y \ge 0$, donc $-y \le 0 \le x$. Si $x < 0$, alors $\lvert x \rvert \le y \iff -x \le y \iff -y \le x$ ; et $-y \le x \le y$ se réduit aussi à $-y \le x$, car $-y \le x < 0$ force $y > 0 > x$, donc $x \le y$. Dans les deux cas les deux énoncés coïncident.

Proposition — Inégalité triangulaire généralisée

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, et tous réels $x_1, \dots, x_n$ :

$\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$, et $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
$\lvert x_1 + \dots + x_n \rvert \le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert$.

Preuve

Les majorations. L'inégalité triangulaire pour $x$ et $y$ est $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. Appliquée à $x$ et $-y$, elle donne $\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert -y \rvert = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$, par la symétrie de la valeur absolue.
Les minorations. La minoration de $\lvert x - y \rvert$ est l'inégalité triangulaire renversée de la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ». Pour $\lvert x + y \rvert$, on l'applique à $x$ et $-y$ : $$ \begin{aligned} \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert &= \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert -y \rvert \big\rvert && \text{(symétrie de la valeur absolue)} \\ &\le \lvert x - (-y) \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'inégalité triangulaire renversée pour $x$ et $-y$ ; et $\lvert x - (-y) \rvert = \lvert x + y \rvert$.
La somme de $n$ termes, par récurrence. Soit $P(n)$ l'énoncé : pour tous réels $x_1, \dots, x_n$, $\lvert x_1 + \dots + x_n \rvert \le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert$. Initialisation. Pour $n = 1$ les deux membres sont égaux. Hérédité. Soit $n \ge 1$ et supposons $P(n)$ (hypothèse de récurrence). Pour des réels $x_1, \dots, x_{n+1}$, $$ \begin{aligned} \lvert x_1 + \dots + x_n + x_{n+1} \rvert &\le \lvert x_1 + \dots + x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'hypothèse de récurrence, $\lvert x_{n+1} \rvert$ étant ajouté aux deux membres. Comme $P(1)$ est vraie et que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$, d'après le principe de récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge 1$.

Piège — majorer dans une valeur absolue

$x \le y$ ne donne pas $\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert$. En effet $-3 \le 2$, alors que $\lvert -3 \rvert = 3 > 2 = \lvert 2 \rvert$. Majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$ : $\lvert x \rvert \le r \iff -r \le x \le r$. Une inégalité d'un seul côté comme $x \le r$ borne $x$, pas $\lvert x \rvert$. Le raisonnement « $x \le 3$ et $y \le 4$, donc $\lvert x + y \rvert \le 7$ » est faux : $x = -10$ et $y = 0$ vérifient les deux hypothèses, et $\lvert x + y \rvert = 10 > 7$. La valeur absolue reste à l'extérieur, et la Méthode « Majorer une valeur absolue » s'applique.

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Méthode — Majorer une valeur absolue

Pour majorer une valeur absolue $\lvert E \rvert$ :

Garder la valeur absolue à l'extérieur jusqu'au bout : une majoration de $E$ seul n'est pas une majoration de $\lvert E \rvert$.
Soit encadrer $E$ : démontrer $-r \le E \le r$, deux inégalités, et conclure $\lvert E \rvert \le r$ par la Proposition « Valeur absolue et ordre ».
Soit découper $E$ en termes et appliquer l'inégalité triangulaire, $\lvert u + v \rvert \le \lvert u \rvert + \lvert v \rvert$ et $\lvert uv \rvert = \lvert u \rvert \, \lvert v \rvert$, puis majorer chaque valeur absolue.

Pour minorer $\lvert E \rvert$, employer la Proposition « Inégalité triangulaire généralisée » : lorsque $E = u + v$ ou $E = u - v$, $\lvert E \rvert \ge \big\lvert \lvert u \rvert - \lvert v \rvert \big\rvert \ge \lvert u \rvert - \lvert v \rvert$, avec $\lvert u \rvert$ minoré et $\lvert v \rvert$ majoré.
Par exemple, soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\lvert x \rvert \le 2$. Alors $\lvert x + 7 \rvert \le \lvert x \rvert + 7 \le 9$ par l'inégalité triangulaire, et $\lvert x + 7 \rvert \ge 7 - \lvert x \rvert \ge 5$ par l'inégalité triangulaire généralisée, donc $5 \le \lvert x + 7 \rvert \le 9$.

Méthode — Résoudre une équation ou une inéquation avec des valeurs absolues

Pour résoudre une équation ou une inéquation dans laquelle l'inconnue figure dans des valeurs absolues :

Lire les formes élémentaires : pour $r \ge 0$, $\lvert x - a \rvert \le r \iff x \in [a - r, a + r]$ (la distance de $x$ à $a$ vaut au plus $r$), et $\lvert x - a \rvert \ge r \iff x \in \,]-\infty, a - r] \cup [a + r, +\infty[$. Pour $r < 0$, la première n'a aucune solution, une valeur absolue étant toujours positive, et la seconde est vraie pour tout $x$.
Couper aux zéros des arguments : remplacer chaque valeur absolue par sa définition sur chaque intervalle découpé par les zéros de son argument ; résoudre sur chaque intervalle et garder les solutions qui y appartiennent.
Élever au carré quand les deux membres sont des valeurs absolues : $\lvert a \rvert \le \lvert b \rvert \iff a^2 \le b^2$ et $\lvert a \rvert = \lvert b \rvert \iff a^2 = b^2$ ; puis factoriser la différence de deux carrés.

Par exemple, résolvons $\lvert x - 2 \rvert = 2\lvert x + 1 \rvert$. Par disjonction des cas : les zéros des arguments sont $2$ et $-1$. Sur $]-\infty, -1[$ l'équation s'écrit $2 - x = -2x - 2$, dont la solution $x = -4$ appartient à l'intervalle. Sur $[-1, 2]$ elle s'écrit $2 - x = 2x + 2$, dont la solution $x = 0$ appartient à l'intervalle. Sur $]2, +\infty[$ elle s'écrit $x - 2 = 2x + 2$, dont la solution $x = -4$ n'appartient pas à l'intervalle. Par les carrés : $$ \begin{aligned} \lvert x - 2 \rvert = 2\lvert x + 1 \rvert &\iff \lvert x - 2 \rvert = \lvert 2x + 2 \rvert && (\lvert 2 \rvert = 2 \text{, produit}) \\ &\iff (x - 2)^2 = (2x + 2)^2 && \text{(carrés)} \\ &\iff (x - 2 - 2x - 2)(x - 2 + 2x + 2) = 0 && \text{(différence de deux carrés)} \\ &\iff (-x - 4) \cdot 3x = 0 && \text{(simplification de chaque facteur)} \\ &\iff x = -4 \text{ ou } x = 0, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Les deux méthodes donnent l'ensemble des solutions $\{-4, 0\}$.

Exemple — Une inéquation avec une valeur absolue

Résoudre $\lvert 2x - 3 \rvert \le 5$ dans $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} \lvert 2x - 3 \rvert \le 5 &\iff -5 \le 2x - 3 \le 5 && \text{(forme à crochets)} \\ &\iff -2 \le 2x \le 8 && \text{(en ajoutant $3$)} \\ &\iff -1 \le x \le 4 && \text{(en divisant par $2 > 0$)} \\ &\iff x \in [-1, 4], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la définition de l'intervalle. L'ensemble des solutions est $[-1, 4]$. Vérification : pour $x = 4$, $\lvert 5 \rvert = 5 \le 5$ ; pour $x = -1$, $\lvert -5 \rvert = 5 \le 5$ ; pour $x = 5$, $\lvert 7 \rvert = 7 > 5$.

Compétences à pratiquer

Distinguer le vrai du faux avec des valeurs absolues ★
Évaluer une expression avec des valeurs absolues ★
Majorer avec l'inégalité triangulaire ★
Démontrer une inégalité avec des valeurs absolues ★★
Affiner une inégalité avec des valeurs absolues ★★★

II.2 Distance

À quelle distance

L'écart entre deux réels $x$ et $y$ est $\lvert x - y \rvert$ : la longueur du segment qui les joint, qui ne dépend pas de leur ordre. Ce nombre mesure à quel point $x$ approche $y$, et les inégalités de l'analyse s'écrivent avec lui : « $x$ est à une distance au plus $r$ de $a$ » s'écrit $\lvert x - a \rvert \le r$, ce que la Proposition « Propriétés de la distance » traduit par l'intervalle $[a - r, a + r]$.

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Définition — Distance

La distance entre deux réels $x$ et $y$ est le réel $d(x, y) = \lvert x - y \rvert$. C'est la longueur du segment qui joint $x$ et $y$ sur la droite réelle ; en particulier $d(x, 0) = \lvert x \rvert$.

Proposition — Propriétés de la distance

Pour $x, y, z, a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$ :

$d(x, y) \ge 0$, et $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
$d(x, y) = d(y, x)$.
$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.
$d(x, a) \le r \iff x \in [a - r, a + r]$, et $d(x, a) < r \iff x \in \,]a - r, a + r[$.

Preuve

Chaque propriété se lit sur la propriété correspondante de la valeur absolue, de la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ». Soient $x, y, z, a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$.
Positivité. $d(x, y) = \lvert x - y \rvert \ge 0$, et $\lvert x - y \rvert = 0 \iff x - y = 0 \iff x = y$.
Symétrie. $$ \begin{aligned} d(y, x) &= \lvert y - x \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert -(x - y) \rvert && (y - x = -(x - y)) \\ &= \lvert x - y \rvert, \end{aligned} $$ la dernière égalité par la symétrie de la valeur absolue ; le membre de droite est $d(x, y)$.
Inégalité triangulaire. $$ \begin{aligned} d(x, z) &= \lvert x - z \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert (x - y) + (y - z) \rvert && \text{(en ajoutant et retranchant $y$)} \\ &\le \lvert x - y \rvert + \lvert y - z \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'inégalité triangulaire ; le membre de droite est $d(x, y) + d(y, z)$.
Forme à crochets. $$ \begin{aligned} d(x, a) \le r &\iff \lvert x - a \rvert \le r && \text{(définition)} \\ &\iff -r \le x - a \le r && \text{(forme à crochets)} \\ &\iff a - r \le x \le a + r && \text{(en ajoutant $a$)} \\ &\iff x \in [a - r, a + r], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la définition de l'intervalle. La même chaîne avec des inégalités strictes, par la Proposition « Valeur absolue et ordre », donne $d(x, a) < r \iff x \in \,]a - r, a + r[$.

Exemple — Distances et intervalles

La distance de $2$ à $5$ est $d(2, 5) = \lvert 2 - 5 \rvert = 3$, et la distance de $-1$ à $4$ est $d(-1, 4) = \lvert -1 - 4 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5$. Échanger les arguments ne change rien : $d(5, 2) = \lvert 5 - 2 \rvert = 3$. L'ensemble des réels à une distance au plus $2$ de $3$ est l'intervalle $[3 - 2, 3 + 2] = [1, 5]$, et l'ensemble de ceux qui sont à une distance strictement inférieure à $\frac12$ de $-1$ est $]-1 - \frac12, -1 + \frac12[ \, = \,]-\frac32, -\frac12[$. En général les réels $x$ tels que $d(x, a) \le r$ remplissent l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$, comme le montre le dessin.

Proposition — Un réel plus petit que tout réel strictement positif est nul

Soient $a, x, y \in \mathbb{R}$.

Si $\lvert a \rvert \le \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, alors $a = 0$.
Si $x \le y + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, alors $x \le y$.

Preuve

Démontrons d'abord le second point, par l'absurde ; le premier point en est alors un cas particulier.
Second point. Supposons par l'absurde que $x \le y + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ et que $x > y$. Alors $x - y > 0$. Prenons $\varepsilon = \frac{x - y}{2}$, qui est strictement positif et vérifie $x - y = 2\varepsilon$. Alors $$ \begin{aligned} \varepsilon &= (x - y) - \varepsilon && (x - y = 2\varepsilon) \\ &= x - (y + \varepsilon) && \text{(regroupement)} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par la règle de l'addition : on ajoute $-(y + \varepsilon)$ aux deux membres de l'hypothèse $x \le y + \varepsilon$. Donc $\varepsilon \le 0$, ce qui contredit $\varepsilon > 0$. Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse, et $x \le y$.
Premier point. Supposons que $\lvert a \rvert \le \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$. Alors $\lvert a \rvert \le 0 + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $\lvert a \rvert \le 0$ d'après le second point, appliqué avec $x = \lvert a \rvert$ et $y = 0$. Comme $\lvert a \rvert \ge 0$, on obtient $\lvert a \rvert = 0$, donc $a = 0$ par la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ».

Méthode — Contrôler une expression au voisinage d'un point

Pour montrer qu'une expression $f(x)$ est aussi proche qu'on veut de $f(a)$ lorsque $x$ est assez proche de $a$ — c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que $\lvert x - a \rvert \le \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$ (cette estimation est celle sur laquelle reposeront les définitions de limite et de continuité ; aucune de ces notions n'est employée ici) — procéder en trois étapes :

Factoriser l'écart : écrire $f(x) - f(a) = (x - a) \, g(x)$, de sorte que $\lvert f(x) - f(a) \rvert = \lvert x - a \rvert \, \lvert g(x) \rvert$.
Majorer l'autre facteur sur un premier voisinage : pour $\lvert x - a \rvert \le 1$, encadrer $x$ dans $[a - 1, a + 1]$ (la Proposition « Propriétés de la distance ») et trouver une constante $C > 0$ telle que $\lvert g(x) \rvert \le C$, par la Méthode « Majorer une valeur absolue ».
Choisir $\delta$ : prendre $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{C})$. Pour $\lvert x - a \rvert \le \delta$, les deux conditions $\lvert x - a \rvert \le 1$ et $\lvert x - a \rvert \le \frac{\varepsilon}{C}$ sont vérifiées, et $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le C \lvert x - a \rvert \le C\delta \le \varepsilon$.

Les deux parties du minimum jouent deux rôles : $1$ garde $x$ dans le voisinage où $g$ est majorée, et $\frac{\varepsilon}{C}$ rend le produit petit.

Exemple — Le carré au voisinage de $2$

Soit $\varepsilon > 0$. On cherche $\delta > 0$ tel que $\lvert x - 2 \rvert \le \delta \Rightarrow \lvert x^2 - 4 \rvert \le \varepsilon$. Factoriser. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, donc $\lvert x^2 - 4 \rvert = \lvert x - 2 \rvert \, \lvert x + 2 \rvert$. Majorer. Si $\lvert x - 2 \rvert \le 1$, alors $1 \le x \le 3$ par la forme à crochets, donc $3 \le x + 2 \le 5$ et $\lvert x + 2 \rvert \le 5$. Choisir. Soit $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5})$ et $\lvert x - 2 \rvert \le \delta$. Alors $\lvert x - 2 \rvert \le 1$, donc la majoration s'applique, et $$ \begin{aligned} \lvert x^2 - 4 \rvert &= \lvert x - 2 \rvert \, \lvert x + 2 \rvert && \text{(factorisation)} \\ &\le 5 \lvert x - 2 \rvert && (\lvert x + 2 \rvert \le 5) \\ &\le 5\delta && (\lvert x - 2 \rvert \le \delta) \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $\delta \le \frac{\varepsilon}{5}$. Par exemple, pour $\varepsilon = 0{,}1$, $\delta = \min(1, 0{,}02) = 0{,}02$ : tout $x \in [1{,}98 \,;\, 2{,}02]$ vérifie $\lvert x^2 - 4 \rvert \le 0{,}1$.

Compétences à pratiquer

Calculer une distance ★
Résoudre avec une valeur absolue ★
Résoudre avec plusieurs valeurs absolues ★★
Contrôler une expression au voisinage d'un point ★★★

III Bornes et borne supérieure

Une borne sans extremum

Une partie de la droite réelle peut être située sous un nombre sans avoir de plus grand élément : l'intervalle $]0, 1[$ est majoré par $1$ et n'a pas de plus grand élément. Le plus petit des majorants, la borne supérieure, comble ce manque, et la propriété selon laquelle toute partie non vide majorée a une borne supérieure est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. La propriété d'Archimède, la partie entière et la densité s'en construisent.

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III.1 Majorants et plus grand élément

Une partie sous un réel

Une partie de $\mathbb{R}$ peut être située sous un réel, au-dessus d'un réel, ou entre deux. Les réels situés au-dessus de toute la partie sont ses majorants ; ceux qui sont situés au-dessous sont ses minorants ; une partie qui a les deux est bornée. Un majorant n'appartient pas forcément à la partie, ce qui le distingue d'un plus grand élément. Les Définitions « Majorée, minorée, bornée » et « Plus grand élément, plus petit élément » sont celles du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre pour l'ensemble ordonné $(\mathbb{R}, \le)$, reprises dans le vocabulaire de la droite réelle.

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Définition — Majorée, minorée, bornée

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.

$A$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \ \forall x \in A, \ x \le M$. Un tel $M$ est un majorant de $A$.
$A$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}, \ \forall x \in A, \ x \ge m$. Un tel $m$ est un minorant de $A$.
$A$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Un majorant est un réel, pas forcément un élément de $A$, et tout réel supérieur à un majorant est un majorant. La partie vide est bornée : tout réel est l'un de ses majorants et l'un de ses minorants.

Exemple — Une partie bornée et une partie qui ne l'est pas

La partie $A = \,]0, 1]$ est bornée : $0$ est un minorant, puisque $x > 0$ pour tout $x \in A$, et $1$ est un majorant, puisque $x \le 1$ pour tout $x \in A$. Noter que $1 \in A$ et $0 \notin A$. À l'inverse, $[0, +\infty[$ est minoré, par $0$, mais non majoré : pour tout réel $M$, le nombre $\max(0, M) + 1$ appartient à $[0, +\infty[$ et dépasse $M$, puisque $\max(0, M) + 1 > \max(0, M) \ge M$ ; il n'est donc pas borné. L'ensemble $\mathbb{R}$ lui-même n'est ni majoré ni minoré : pour tout réel $M$, le réel $M + 1$ dépasse $M$.

Définition — Plus grand élément, plus petit élément

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Un réel $a$ est un plus grand élément de $A$ si $a \in A$ et si $a$ est un majorant de $A$, c'est-à-dire si $a \in A$ et $\forall x \in A, \ x \le a$. C'est un plus petit élément de $A$ si $a \in A$ et si $a$ est un minorant de $A$. Par la Proposition « Plus grand élément : unicité et parties finies », une partie a au plus un plus grand élément, appelé le plus grand élément ou maximum de $A$ et noté $\max A$ ; de même le plus petit élément ou minimum est noté $\min A$. Un plus grand élément, contrairement à un majorant, appartient à la partie.

Proposition — Plus grand élément : unicité et parties finies

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.

$A$ a au plus un plus grand élément et au plus un plus petit élément.
Si $A$ est finie et non vide, alors $A$ a un plus grand élément et un plus petit élément.

Preuve

Unicité. Soient $a$ et $a'$ deux plus grands éléments de $A$. Comme $a'$ est un majorant de $A$ et que $a \in A$, $a \le a'$ ; comme $a$ est un majorant de $A$ et que $a' \in A$, $a' \le a$. Par antisymétrie, $a = a'$. Pour les plus petits éléments, le même raisonnement, avec les inégalités renversées, donne la même conclusion.
Parties finies, par récurrence. Soit $P(n)$ l'énoncé : toute partie de $\mathbb{R}$ à $n$ éléments a un plus grand élément et un plus petit élément. Initialisation. Une partie $\{x\}$ à un élément a $x$ pour plus grand et pour plus petit élément. Hérédité. Soit $n \ge 1$ et supposons $P(n)$ (hypothèse de récurrence). Soit $A$ une partie à $n + 1$ éléments, $x$ l'un de ses éléments, et $A' = A \setminus \{x\}$, qui a $n$ éléments. Par l'hypothèse de récurrence, $A'$ a un plus grand élément $m$. Par totalité, $x \le m$ ou $m \le x$. Si $x \le m$, alors $m$ est le plus grand élément de $A$ : $m \in A$, et tout élément de $A$ est $x$ ou un élément de $A'$, donc est au plus $m$. Si $m \le x$, alors $x$ est le plus grand élément de $A$ : tout élément de $A'$ est au plus $m \le x$. Le même raisonnement, avec les inégalités renversées, donne le plus petit élément. Comme $P(1)$ est vraie et que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ pour $n \ge 1$, d'après le principe de récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge 1$, et toute partie finie non vide a un plus grand et un plus petit élément.

Proposition — Parties bornées

Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est bornée si et seulement s'il existe $K \ge 0$ tel que $\lvert x \rvert \le K$ pour tout $x \in A$.

Preuve

Démontrons les deux implications.
($\Leftarrow$) Supposons que $K \ge 0$ vérifie $\lvert x \rvert \le K$ pour tout $x \in A$. Par la forme à crochets, $-K \le x \le K$ pour tout $x \in A$ : donc $-K$ est un minorant et $K$ un majorant de $A$, et $A$ est bornée.
($\Rightarrow$) Supposons $A$ bornée : soit $m$ un minorant et $M$ un majorant de $A$. Posons $K = \max(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert)$, de sorte que $K \ge 0$. Pour $x \in A$, $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && (\lvert m \rvert \le K) \\ &\le m && \text{(encadrement de $m$)} \\ &\le x && \text{($m$ est un minorant)} \\ &\le M && \text{($M$ est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{(encadrement de $M$)} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $\lvert M \rvert \le K$. Donc $-K \le x \le K$, et $\lvert x \rvert \le K$ par la forme à crochets. D'où l'existence de $K$.

Méthode — Montrer qu'une partie est bornée ou non

Pour décider si une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est bornée :

Pour montrer que $A$ est bornée : donner un minorant $m$ et un majorant $M$ (ou un seul $K \ge 0$ avec $\lvert x \rvert \le K$), et vérifier, pour un élément générique $x \in A$, que $m \le x \le M$.
Pour montrer que $A$ n'est pas majorée : nier la définition, par la Méthode « Nier un énoncé quantifié » : $\forall M \in \mathbb{R}, \ \exists x \in A, \ x > M$. Soit $M$ un réel quelconque et donner un élément de $A$ qui dépasse $M$, écrit en fonction de $M$, comme $\lvert M \rvert + 1$.
Pour montrer que $A$ n'a pas de plus grand élément : soit $a$ un élément quelconque de $A$ et donner un élément de $A$ strictement plus grand que $a$.

Par exemple, $]0, 1[$ n'a pas de plus grand élément : pour $a \in \,]0, 1[$, le milieu $\frac{a + 1}{2}$ vérifie $\frac{a + 1}{2} - a = \frac{1 - a}{2} > 0$, et $\frac{a + 1}{2} < 1$ puisque $a < 1$, donc c'est un élément de $]0, 1[$ strictement plus grand que $a$.

Exemple — Une partie minorée et non majorée

Soit $A = \{x + \frac1x \mid x > 0\}$. $A$ est minorée par $2$, et $2 \in A$. Pour $x > 0$, $$ \begin{aligned} x + \frac1x - 2 &= \frac{x^2 - 2x + 1}{x} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{x}, \end{aligned} $$ la dernière égalité étant l'identité $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Le résultat est positif, comme un carré divisé par un nombre strictement positif, donc $x + \frac1x \ge 2$. Pour $x = 1$, $1 + \frac11 = 2$, donc $2 \in A$ : $2$ est le plus petit élément de $A$, $\min A = 2$. $A$ n'est pas majorée. Soit $M \in \mathbb{R}$ et $x = \lvert M \rvert + 1$, qui est strictement positif. Alors $x + \frac1x > x = \lvert M \rvert + 1 > M$, puisque $\frac1x > 0$ et $\lvert M \rvert \ge M$. Donc aucun réel n'est un majorant de $A$ : $A$ n'a pas de plus grand élément, et elle n'est pas bornée.

Compétences à pratiquer

Distinguer majorant et plus grand élément ★
Déterminer majorants, minorants et éléments extrêmes d'une partie ★
Démontrer qu'une partie est bornée ou non ★★

III.2 Borne supérieure et borne inférieure

Le plus petit des majorants

Une partie majorée a beaucoup de majorants : si $M$ en est un, tout nombre plus grand en est un aussi. Le plus petit d'entre eux, quand il existe, est la borne supérieure de la partie ; le plus grand des minorants est sa borne inférieure. La borne supérieure diffère du plus grand élément sur un point : elle n'appartient pas forcément à la partie. La Définition « Borne supérieure, borne inférieure » reprend pour $\mathbb{R}$ celle du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre ; que la borne supérieure existe, pour toute partie non vide majorée, est le contenu du Théorème « Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$ ».

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Définition — Borne supérieure, borne inférieure

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.

Si l'ensemble des majorants de $A$ a un plus petit élément, cet élément est la borne supérieure de $A$, notée $\sup A$.
Si l'ensemble des minorants de $A$ a un plus grand élément, cet élément est la borne inférieure de $A$, notée $\inf A$.

Autrement dit, $s = \sup A$ lorsque $s$ est un majorant de $A$ et que $s \le M$ pour tout majorant $M$ de $A$ ; et $i = \inf A$ lorsque $i$ est un minorant de $A$ et que $m \le i$ pour tout minorant $m$ de $A$. Par convention, on écrit $\sup A = +\infty$ lorsque $A$ n'est pas majorée, et $\inf A = -\infty$ lorsque $A$ n'est pas minorée ; ces symboles ne sont pas des réels : une partie non majorée n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{R}$, et une partie non minorée n'a pas de borne inférieure dans $\mathbb{R}$.

Exemple — Les neuf intervalles et les parties finies

Soient $a < b$ deux réels. Les bornes des neuf formes d'intervalle se lisent sur les extrémités ; « aucun » signifie que la partie n'a pas d'élément de ce type, et $\pm\infty$ est la convention de la Définition « Borne supérieure, borne inférieure ».

partie	$\sup$	$\inf$	$\max$	$\min$
$[a, b]$	$b$	$a$	$b$	$a$
$[a, b[$	$b$	$a$	aucun	$a$
$]a, b]$	$b$	$a$	$b$	aucun
$]a, b[$	$b$	$a$	aucun	aucun
$[a, +\infty[$	$+\infty$	$a$	aucun	$a$
$]a, +\infty[$	$+\infty$	$a$	aucun	aucun
$]-\infty, a]$	$a$	$-\infty$	$a$	aucun
$]-\infty, a[$	$a$	$-\infty$	aucun	aucun
$\mathbb{R}$	$+\infty$	$-\infty$	aucun	aucun

Pour $[a, b[$, le nombre $b$ est un majorant, et aucun réel plus petit n'en est un : pour $m < b$, le milieu $c = \frac{\max(m, a) + b}{2}$ appartient à $[a, b[$ et dépasse $m$. Donc $\sup\, [a, b[ \, = b$, et comme $b \notin [a, b[$ il n'y a pas de plus grand élément, par la Proposition « Maximum et borne supérieure ». Les autres lignes se lisent de la même façon, avec la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou une borne inférieure ». Pour une partie finie non vide, la borne supérieure est le plus grand élément et la borne inférieure le plus petit : $\sup \{2, 5, 7, 11\} = \max \{2, 5, 7, 11\} = 11$ et $\inf \{2, 5, 7, 11\} = \min \{2, 5, 7, 11\} = 2$.

Proposition — Maximum et borne supérieure

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.

Si $A$ a un plus grand élément, alors $A$ a une borne supérieure et $\sup A = \max A$.
Si $\sup A$ existe et appartient à $A$, alors $A$ a un plus grand élément, qui est $\sup A$.

Autrement dit, $A$ a un plus grand élément si et seulement si $\sup A$ existe et appartient à $A$. Il en va de même pour le plus petit élément et la borne inférieure.

Preuve

Ces deux points sont les deuxième et troisième points de la Proposition « Plus grand élément et borne supérieure » du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre, lue dans $(\mathbb{R}, \le)$ ; ils sont démontrés ici pour les réels.
Premier point. Soit $M = \max A$. Alors $M$ est un majorant de $A$. Soit $M'$ un autre majorant de $A$ : puisque $M \in A$, $M \le M'$. Donc $M$ est le plus petit des majorants : $M = \sup A$.
Second point. Supposons que $s = \sup A$ existe et que $s \in A$. Alors $s$ est un majorant de $A$ qui appartient à $A$ : par la définition du plus grand élément c'est un plus grand élément de $A$, et c'est le plus grand élément par unicité.
La borne inférieure. Les mêmes raisonnements, avec les inégalités renversées, donnent les énoncés pour le plus petit élément et la borne inférieure.
Seconde démonstration du premier point : par la forme $\varepsilon$. Soit $M = \max A$. Le nombre $M$ est un majorant de $A$, et pour tout $\varepsilon > 0$ l'élément $M \in A$ vérifie $M - \varepsilon < M \le M$. Par la Proposition « Caractérisation $\varepsilon$ de $\sup$ et $\inf$ », $M = \sup A$.

Reconnaître une borne supérieure

La définition de la borne supérieure ne dit pas comment la reconnaître. La Proposition « Caractérisation $\varepsilon$ de $\sup$ et $\inf$ » donne la forme pratique, qui est le cheval de bataille des démonstrations d'analyse : $s = \sup A$ lorsque $s$ majore $A$ et que tout nombre strictement inférieur à $s$ ne la majore plus, c'est-à-dire lorsque $A$ a des éléments aussi proches qu'on veut de $s$ par en dessous.

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Proposition — Caractérisation $\varepsilon$ de $\sup$ et $\inf$

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$, et $s, i \in \mathbb{R}$.

$s = \sup A$ si et seulement si $s$ est un majorant de $A$ et $\forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ s - \varepsilon < x \le s$.
$i = \inf A$ si et seulement si $i$ est un minorant de $A$ et $\forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ i \le x < i + \varepsilon$.

Preuve

Démontrons la première équivalence ; la borne inférieure est traitée à la fin.
En relisant la définition. L'énoncé « $s = \sup A$ » dit que $s$ est un majorant de $A$ et que $s \le M$ pour tout majorant $M$. Par totalité, « $s \le M$ » est faux exactement lorsque $M < s$, donc la seconde condition dit qu'aucun réel $M < s$ n'est un majorant de $A$. Les réels $M < s$ sont exactement les nombres $s - \varepsilon$ avec $\varepsilon = s - M > 0$, donc $$ \begin{aligned} s = \sup A &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ s - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant} && \text{(relecture)} \\ &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ x > s - \varepsilon && \text{(négation de « majorant »)} \\ &\iff s \text{ est un majorant et } \forall \varepsilon > 0, \ \exists x \in A, \ s - \varepsilon < x \le s, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce que $x \le s$ vaut pour tout $x \in A$ dès que $s$ est un majorant. La borne inférieure se traite de la même façon, avec les inégalités renversées : $i = \inf A$ lorsque $i$ est un minorant et qu'aucun réel $m > i$ n'est un minorant, c'est-à-dire, en écrivant $m = i + \varepsilon$, lorsque pour tout $\varepsilon > 0$ un $x \in A$ vérifie $x < i + \varepsilon$, et alors $i \le x$.
Seconde démonstration : par la définition et par l'absurde. ($\Rightarrow$) Supposons $s = \sup A$. Par définition, $s$ est un majorant. Soit $\varepsilon > 0$. Le réel $s - \varepsilon$ n'est pas un majorant : sinon $s \le s - \varepsilon$, puisque $s$ est le plus petit majorant, ce qui est faux. Donc un $x \in A$ vérifie $x > s - \varepsilon$, et $x \le s$ puisque $s$ majore $A$. ($\Leftarrow$) Supposons les deux conditions vérifiées, et soit $M$ un majorant de $A$. Supposons par l'absurde que $M < s$, et posons $\varepsilon = s - M > 0$. Par la seconde condition un $x \in A$ vérifie $x > s - \varepsilon = M$, ce qui contredit le fait que $M$ est un majorant. Contradiction ! Donc $s \le M$ pour tout majorant $M$ : $s$ est le plus petit majorant, c'est-à-dire $s = \sup A$.

Méthode — Déterminer une borne supérieure ou une borne inférieure

Pour déterminer $\sup A$ pour une partie $A$ donnée (la Méthode « Déterminer une borne supérieure » du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre, lue dans $(\mathbb{R}, \le)$) :

Deviner la valeur $s$ : dessiner $A$ sur la droite, lister quelques-uns de ses éléments, chercher l'extrémité vers laquelle ils s'accumulent.
Vérifier que $s$ est un majorant : $x \le s$ pour tout $x \in A$.
Vérifier qu'aucun nombre plus petit n'est un majorant : pour tout $b < s$, exhiber un élément de $A$ strictement plus grand que $b$ (pour un intervalle, le milieu entre $s$ et le plus grand de $b$ et de l'extrémité gauche de l'intervalle) ; ou, pour tout $\varepsilon > 0$, exhiber un élément de $A$ dans $]s - \varepsilon, s]$.
Décider si $s$ est atteinte : $s \in A$ si et seulement si $s = \max A$, par la Proposition « Maximum et borne supérieure ».

Pour la borne inférieure, renverser les inégalités, ou employer $\inf A = -\sup(-A)$.
Par exemple, soit $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 < 0\}$. Comme $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$, un tableau de signes donne $A = \,]1, 3[$. Le candidat est $s = 3$. C'est un majorant, puisque $x < 3$ pour tout $x \in A$. Soit $b < 3$ : le nombre $c = \frac{\max(b, 1) + 3}{2}$ appartient à $]1, 3[$, car $1 \le \max(b, 1) < 3$, et $c > \max(b, 1) \ge b$ ; donc $b$ n'est pas un majorant. Donc $\sup A = 3$, et comme $3 \notin A$, $A$ n'a pas de plus grand élément.

Exemple — Les bornes d'un intervalle semi-ouvert

Déterminer $\sup A$, $\inf A$, $\max A$ et $\min A$ pour $A = [0, 1[$.

Correction

La borne inférieure et le minimum. Tout $x \in [0, 1[$ vérifie $x \ge 0$, donc $0$ est un minorant de $A$, et $0 \in A$. Un minorant qui appartient à $A$ est le plus petit élément : $\min A = 0$, et par la Proposition « Maximum et borne supérieure », $\inf A = \min A = 0$.
La borne supérieure. Tout $x \in A$ vérifie $x < 1$, donc $1$ est un majorant de $A$. Soit $\varepsilon > 0$ et $x = \max\left(0, 1 - \frac{\varepsilon}{2}\right)$. Alors $x \in A$, car $0 \le x < 1$ ($0 < 1$ et $1 - \frac{\varepsilon}{2} < 1$), et $$ \begin{aligned} x &\ge 1 - \frac{\varepsilon}{2} && \text{(définition du maximum)} \\ &> 1 - \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$, donc $1 - \varepsilon < x \le 1$ : l'élément $x$ est dans la bande $]1 - \varepsilon, 1]$ du dessin.

Par la caractérisation $\varepsilon$, $\sup A = 1$.
Pas de plus grand élément. Le nombre $1$ n'appartient pas à $A$. Si $A$ avait un plus grand élément, par la Proposition « Maximum et borne supérieure » ce serait $\sup A = 1$, qui n'est pas dans $A$. Donc $A$ n'a pas de plus grand élément.
Bilan : $\inf A = \min A = 0$, $\sup A = 1$, et $A$ n'a pas de maximum.

Piège — la partie vide et les parties non majorées n'ont pas de borne supérieure dans $\mathbb{R}$

La partie vide n'a pas de borne supérieure, et une partie non majorée n'en a pas non plus. La partie vide est bornée : tout réel est l'un de ses majorants. Ces majorants n'ont pas de plus petit élément : si $s$ en était un, $s - 1$ en serait un autre et $s \le s - 1$, ce qui est faux. Donc $\emptyset$ n'a ni borne supérieure ni borne inférieure dans $\mathbb{R}$. Une partie non majorée n'a aucun majorant, donc pas de borne supérieure dans $\mathbb{R}$ ; la convention $\sup A = +\infty$ ne fait qu'enregistrer ce fait. Le Théorème « Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$ » exige une partie non vide et majorée : aucune des deux hypothèses ne peut être supprimée. La droite achevée rétablit une borne supérieure pour ces parties, $\sup \emptyset = -\infty$ et $\sup A = +\infty$.

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Compétences à pratiquer

Lire une borne supérieure ou inférieure ★
Déterminer sup, inf, max et min d'une partie ★
Vérifier si les bornes sont atteintes ★
Démontrer qu'un réel est la borne supérieure ★★

III.3 La propriété de la borne supérieure

Ce qui manque aux rationnels

Les rationnels obéissent à toutes les règles rencontrées jusqu'ici : ils sont totalement ordonnés, l'ordre s'accorde avec l'addition et avec le produit par un nombre positif, et ils ont des valeurs absolues, des intervalles et des bornes. Pourtant ils ont des trous : la partie des rationnels dont le carré est inférieur à $2$ est majorée et n'a pas de plus petit majorant parmi les rationnels, comme le montre le Piège « une partie majorée peut n'avoir pas de borne supérieure » du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre. Les réels n'ont pas de tel trou, et c'est la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide majorée a une borne supérieure. Elle ne se déduit pas des règles de l'arithmétique et de l'ordre, puisque $\mathbb{Q}$ les vérifie ; c'est ce qui définit $\mathbb{R}$. La construction de $\mathbb{R}$ — par les coupures de Dedekind ou par les suites de Cauchy — n'est pas faite ici, donc la propriété est admise, et c'est le seul résultat du chapitre qui le soit. Tout le reste s'en démontre.

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Théorème — Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$

Toute partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est majorée a une borne supérieure dans $\mathbb{R}$. Toute partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est minorée a une borne inférieure dans $\mathbb{R}$.

Preuve

La borne supérieure. Admise ici : la démonstration dépend d'une construction de $\mathbb{R}$, que le chapitre ne fait pas (voir le Texte « Pour aller plus loin »). C'est la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$.
La borne inférieure. La borne inférieure se déduit de la borne supérieure par symétrie. Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ minorée, et $-A = \{-x \mid x \in A\}$. La partie $-A$ est non vide et majorée. Elle est non vide puisque $A$ l'est. Soit $m$ un minorant de $A$. Pour tout $x \in A$, $m \le x$, donc $-x \le -m$ (produit par $-1$) : $-m$ est un majorant de $-A$. Par la propriété de la borne supérieure, $s = \sup(-A)$ existe. Le réel $-s$ est la borne inférieure de $A$. Pour tout $x \in A$, $-x \in -A$, donc $-x \le s$, c'est-à-dire $-s \le x$ : $-s$ est un minorant de $A$. Soit $m$ un minorant quelconque de $A$. Comme ci-dessus, $-m$ est un majorant de $-A$, donc $s \le -m$ puisque $s$ est le plus petit majorant, c'est-à-dire $m \le -s$. Donc $-s$ est le plus grand des minorants de $A$ : $-s = \inf A$. En bref, les minorants de $A$ sont les opposés des majorants de $-A$ (et réciproquement, par le même calcul lu à l'envers), et $\inf A = -\sup(-A)$.

Proposition — Existence des racines carrées

Pour tout réel $a \ge 0$ il existe un unique réel $r \ge 0$ tel que $r^2 = a$. Ce nombre est la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$.

Preuve

Soit $a \ge 0$.
Unicité. Soient $r, r' \ge 0$ avec $r^2 = r'^2 = a$. Par la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations », pour des nombres positifs $r^2 \le r'^2$ donne $r \le r'$, et $r'^2 \le r^2$ donne $r' \le r$. Par antisymétrie, $r = r'$.
Existence, par la borne supérieure. Soit $X = \{x \in \mathbb{R}_+ \mid x^2 \le a\}$, et suivons la Méthode « Se servir de la propriété de la borne supérieure ». (1) $X$ est non vide : $0 \in X$, puisque $0 \le a$. (2) $X$ est majorée par $a + 1$ : soit $x > a + 1$. Alors $x > 1$, donc $x^2 > x$ (produit strict de $1 < x$ par $x > 0$), donc $x^2 > x > a + 1 > a$ et $x \notin X$ ; ainsi tout élément de $X$ est au plus $a + 1$. (3) Par la propriété de la borne supérieure, $s = \sup X$ existe, et $s \ge 0$ puisque $0 \in X$. (4) Montrons $s^2 = a$ en excluant $s^2 < a$ et $s^2 > a$.
$s^2 < a$ est impossible. Supposons $s^2 < a$. Posons $h = \min\left(1, \frac{a - s^2}{2s + 1}\right)$, qui est strictement positif. Comme $h \le 1$, $h^2 \le h$, et $$ \begin{aligned} (s + h)^2 &= s^2 + 2sh + h^2 && \text{(développement)} \\ &\le s^2 + (2s + 1)h && (h^2 \le h) \\ &\le s^2 + (a - s^2) && \text{($h \le \frac{a - s^2}{2s + 1}$)} \\ &= a. \end{aligned} $$ Donc $s + h \in X$, et $s + h > s$, ce qui contredit le fait que $s$ est un majorant de $X$.
$s^2 > a$ est impossible. Supposons $s^2 > a$. Alors $s > 0$, puisque $s \ge 0$ et $s^2 > a \ge 0$. Posons $h = \min\left(s, \frac{s^2 - a}{2s}\right)$, qui est strictement positif. Alors $s - h \ge 0$, et $$ \begin{aligned} (s - h)^2 &= s^2 - 2sh + h^2 && \text{(développement)} \\ &\ge s^2 - 2sh && (h^2 \ge 0) \\ &\ge s^2 - (s^2 - a) && \text{($h \le \frac{s^2 - a}{2s}$)} \\ &= a. \end{aligned} $$ Pour tout $x \in X$, $x^2 \le a \le (s - h)^2$, donc $x \le s - h$ par les carrés de nombres positifs : $s - h$ est un majorant de $X$. Comme $s - h < s$, cela contredit le fait que $s$ est le plus petit majorant.
Par totalité, $s^2 = a$ : le réel $r = s \ge 0$ vérifie $r^2 = a$.
Seconde démonstration de l'existence : par le théorème des valeurs intermédiaires. La fonction $x \longmapsto x^2$ est continue sur le segment $[0, a + 1]$, et $0^2 = 0 \le a \le (a + 1)^2$, puisque $(a + 1)^2 - a = a^2 + a + 1 > 0$. Le théorème des valeurs intermédiaires, cité ici, donne $r \in [0, a + 1]$ avec $r^2 = a$. Sa propre démonstration repose sur la propriété de la borne supérieure, de la même façon que la première.

Exemple — Les rationnels n'ont pas la propriété

Soit $X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$, vu comme une partie de $\mathbb{R}$. Elle est non vide ($0 \in X$) et majorée par $2$ (si $x > 2$, alors $x^2 > 4 > 2$), donc elle a une borne supérieure dans $\mathbb{R}$. Cette borne supérieure est $\sqrt{2}$. Tout $x \in X$ vérifie $x < \sqrt{2}$ : c'est clair si $x \le 0$, et si $x > 0$, alors $x^2 < 2 = (\sqrt{2})^2$ donne $x < \sqrt{2}$ par les carrés de nombres positifs. Soit $b < \sqrt{2}$. Par le Théorème « Densité de $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ » il existe un rationnel $q$ avec $\max(b, 0) < q < \sqrt{2}$ ; alors $q^2 < 2$, donc $q \in X$ et $q > b$, et $b$ n'est pas un majorant de $X$. Donc $\sup X = \sqrt{2}$. $X$ n'a pas de plus petit majorant parmi les rationnels. Soit $q$ un majorant rationnel de $X$. Alors $q \ge \sqrt{2}$, puisque $\sqrt{2}$ est le plus petit majorant réel, et $q \ne \sqrt{2}$, puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel : donc $q > \sqrt{2}$. Par le même Théorème il existe un rationnel $q'$ avec $\sqrt{2} < q' < q$, et $q'$ est un majorant de $X$ plus petit que $q$. Donc aucun majorant rationnel de $X$ n'est le plus petit : $\mathbb{Q}$ n'a pas la propriété de la borne supérieure, alors que $\mathbb{R}$ l'a. Le chapitre Relations d'équivalence et d'ordre montre le même fait dans $\mathbb{Q}$ seul, sans $\mathbb{R}$.

Méthode — Se servir de la propriété de la borne supérieure

Pour démontrer l'existence d'un réel qui a une propriété donnée, quand aucune formule ne le donne, le définir comme une borne supérieure :

Définir une partie $X$ de réels « assez petits » pour la propriété, et vérifier qu'elle est non vide : exhiber un élément.
Vérifier que $X$ est majorée : exhiber un majorant, qui peut être grossier.
Nommer $s = \sup X$, qui existe par le Théorème « Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$ ».
Montrer que $s$ a la propriété voulue en excluant les deux autres possibilités. Si $s$ est « trop petit », un nombre un peu plus grand que $s$ appartient encore à $X$, ce qui contredit le fait que $s$ est un majorant. Si $s$ est « trop grand », un nombre un peu plus petit que $s$ est encore un majorant de $X$, ce qui contredit le fait que $s$ est le plus petit. Donc $s$ est exactement le bon nombre.

Le petit pas est un minimum de deux quantités : l'une le garde assez petit pour rester dans le cadre (comme $h \le 1$), l'autre fait marcher le calcul.
Par exemple, la Démonstration de la Proposition « Existence des racines carrées » suit ces étapes avec $X = \{x \ge 0 \mid x^2 \le a\}$ : (1) $0 \in X$ ; (2) $a + 1$ est un majorant ; (3) $s = \sup X$ ; (4) $s^2 < a$ est exclu par le pas $h = \min(1, \frac{a - s^2}{2s + 1})$, et $s^2 > a$ par le pas $h = \min(s, \frac{s^2 - a}{2s})$.

Compétences à pratiquer

Dire quelles parties ont une borne supérieure ★
Montrer qu'une partie admet une borne supérieure ★★
Définir un réel comme borne supérieure ★★★

IV Archimède, partie entière et intervalles

De la borne supérieure à la partie entière

La propriété de la borne supérieure donne la propriété d'Archimède : aucun réel ne dépasse tous les entiers naturels. La propriété d'Archimède et la propriété de la borne supérieure ensemble donnent la partie entière, le plus grand entier qui ne dépasse pas un réel. Et ensemble elles donnent la structure des intervalles : les parties qui contiennent, avec deux nombres, tous les nombres compris entre eux sont exactement les intervalles.

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IV.1 La propriété d'Archimède

Dépasser en répétant

Quelque petite que soit une longueur $x$ strictement positive et quelque grande que soit une longueur $y$, répéter $x$ assez souvent dépasse $y$ : c'est la propriété d'Archimède. Elle semble évidente, et on l'emploie souvent sans un mot ; pourtant c'est un énoncé sur $\mathbb{R}$ qu'il faut démontrer, et il se démontre à partir de la propriété de la borne supérieure. Elle dit que les entiers naturels ne sont pas majorés dans $\mathbb{R}$, et elle est la source de tout argument qui commence par « prenons $n$ assez grand ».

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Proposition — Propriété d'Archimède de $\mathbb{R}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $N > x$.
De manière équivalente : $\mathbb{N}$ n'est pas majoré dans $\mathbb{R}$.

Preuve

Les deux formulations sont équivalentes : « $\mathbb{N}$ n'est pas majoré » est la négation de $\exists x \in \mathbb{R}, \ \forall N \in \mathbb{N}, \ N \le x$, c'est-à-dire $\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists N \in \mathbb{N}, \ N > x$, par la Méthode « Nier un énoncé quantifié ». Démontrons que $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, par l'absurde.
Supposons par l'absurde que $\mathbb{N}$ soit majoré. Il est non vide, donc par la propriété de la borne supérieure $a = \sup \mathbb{N}$ existe. Le réel $a - 1 < a$ n'est pas un majorant de $\mathbb{N}$, puisque $a$ est le plus petit majorant : un $n \in \mathbb{N}$ vérifie $n > a - 1$. Alors $n + 1 > a$, et $n + 1 \in \mathbb{N}$, ce qui contredit le fait que $a$ est un majorant de $\mathbb{N}$. Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse : $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, et pour tout réel $x$ un entier naturel $N$ vérifie $N > x$.

Proposition — Conséquences de la propriété d'Archimède

$\forall \varepsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}^*, \ \frac1n < \varepsilon$.
$\forall x > 0, \ \forall y \in \mathbb{R}, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ nx > y$.
Si un réel $a \ge 0$ vérifie $a \le \frac1n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, alors $a = 0$.

Preuve

Premier point. Soit $\varepsilon > 0$. Par la propriété d'Archimède appliquée au réel $\frac1\varepsilon$, un $n \in \mathbb{N}$ vérifie $n > \frac1\varepsilon$. Alors $n > 0$, donc $n \ge 1$ et $n \in \mathbb{N}^*$, et l'inversion des nombres strictement positifs $\frac1\varepsilon < n$ donne $\frac1n < \varepsilon$.
Deuxième point. Soient $x > 0$ et $y \in \mathbb{R}$. Par la propriété d'Archimède appliquée au réel $\frac{y}{x}$, un $n \in \mathbb{N}$ vérifie $n > \frac{y}{x}$, donc $nx > y$ (produit par $x > 0$).
Troisième point. Soit $a \ge 0$ tel que $a \le \frac1n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, et soit $\varepsilon > 0$. Par le premier point un $n \in \mathbb{N}^*$ vérifie $\frac1n < \varepsilon$, donc $a \le \frac1n < \varepsilon$ et $\lvert a \rvert = a \le \varepsilon$. Cela vaut pour tout $\varepsilon > 0$, donc $a = 0$ par la Proposition « Un réel plus petit que tout réel strictement positif est nul ».

Exemple — Deux ensembles indexés par $n$

Soient $A = \{1 - \frac1n \mid n \in \mathbb{N}^*\} = \{0, \frac12, \frac23, \frac34, \dots\}$ et $B = \{\frac1n \mid n \in \mathbb{N}^*\} = \{1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots\}$. Le premier terme de $A$ est $0$, et tout terme de $A$ est au moins $0$, puisque $\frac1n \le 1$ : $\min A = 0$. Tout terme de $A$ est strictement inférieur à $1$, puisque $\frac1n > 0$ : $1$ est un majorant de $A$. Les termes de $A$ augmentent, puisque $\frac{1}{n + 1} < \frac1n$ par l'inversion de nombres strictement positifs, donc $1 - \frac{1}{n + 1} > 1 - \frac1n$ : quel que soit le terme choisi, le suivant est strictement plus grand, et $A$ n'a pas de plus grand élément. Symétriquement, le premier terme de $B$ est $1$ et tout terme de $B$ est au plus $1$ : $\max B = 1$ ; tout terme est strictement positif, donc $0$ est un minorant de $B$ ; et les termes diminuent, donc $B$ n'a pas de plus petit élément. Les bornes que ces ensembles approchent sans les atteindre, $\sup A = 1$ et $\inf B = 0$, sont démontrées dans l'Exemple « Démontrer une borne supérieure par la forme $\varepsilon$ ».

Exemple — Démontrer une borne supérieure par la forme $\varepsilon$

Démontrer que $\sup A = 1$ pour $A = \{1 - \frac1n \mid n \in \mathbb{N}^*\}$, et que $\inf B = 0$ pour $B = \{\frac1n \mid n \in \mathbb{N}^*\}$. La borne supérieure de $A$. (1) Le nombre $1$ est un majorant de $A$ : $1 - \frac1n < 1$ pour tout $n \ge 1$, puisque $\frac1n > 0$. (2) Soit $\varepsilon > 0$. Par la Proposition « Conséquences de la propriété d'Archimède », un $n \in \mathbb{N}^*$ vérifie $\frac1n < \varepsilon$. Alors $1 - \frac1n > 1 - \varepsilon$, donc l'élément $1 - \frac1n$ de $A$ vérifie $1 - \varepsilon < 1 - \frac1n \le 1$. Par la caractérisation $\varepsilon$ de $\sup$, $\sup A = 1$. La borne inférieure de $B$. (1) Le nombre $0$ est un minorant de $B$, puisque $\frac1n > 0$. (2) Soit $\varepsilon > 0$ et $n \in \mathbb{N}^*$ avec $\frac1n < \varepsilon$. L'élément $\frac1n$ de $B$ vérifie $0 \le \frac1n < 0 + \varepsilon$. Par la caractérisation $\varepsilon$ de $\inf$, $\inf B = 0$. Aucune des deux bornes n'est atteinte, puisque $1 - \frac1n \ne 1$ et $\frac1n \ne 0$ pour tout $n$.

Méthode — Déterminer les bornes d'un ensemble indexé par $n$

Pour déterminer les bornes de $E = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$, où $u_n$ est donné par une formule en $n$ :

Calculer les premiers termes et deviner le comportement : croissant ou décroissant, et le nombre $\ell$ vers lequel les termes s'accumulent. Réécrire $u_n$ comme $\ell$ plus ou moins un terme simple, comme $\frac{c}{n + k}$.
Encadrer tous les termes : montrer que $u_n \le \ell$ pour tout $n$ (un majorant), ou $u_n \ge \ell$ (un minorant), et trouver la valeur extrême qui est atteinte, en général le premier terme.
Employer la caractérisation $\varepsilon$ : pour une borne supérieure $\ell$, une fois $\ell$ reconnu comme majorant, montrer que pour tout $\varepsilon > 0$ l'inégalité $\ell - u_n < \varepsilon$ a une solution $n$ ; pour une borne inférieure $\ell$, une fois $\ell$ reconnu comme minorant, montrer que $u_n - \ell < \varepsilon$ a une solution $n$. Lorsque $\lvert u_n - \ell \rvert = \frac{c}{n + k}$ avec $c > 0$ et $n + k > 0$ pour tout $n$, l'inégalité s'écrit $n > \frac{c}{\varepsilon} - k$, et un entier $n$ qui la vérifie existe par la propriété d'Archimède.
Décider si $\ell$ est atteinte : elle est atteinte lorsqu'un $u_n$ est égal à $\ell$.

Par exemple, soit $E = \{\frac{4n + 1}{n + 2} \mid n \in \mathbb{N}\}$. Comme $\frac{4n + 1}{n + 2} = 4 - \frac{7}{n + 2}$, les termes croissent de $u_0 = \frac12$ vers $4$. Tout terme est inférieur à $4$, puisque $\frac{7}{n + 2} > 0$ : $4$ est un majorant. Tout terme est au moins $\frac12$, car pour tout $n \in \mathbb{N}$ $$ \begin{aligned} u_n &= 4 - \frac{7}{n + 2} && \text{(réécriture)} \\ &\ge 4 - \frac72 && \text{(inversion, $n + 2 \ge 2 > 0$)} \\ &= \frac12, \end{aligned} $$ et $u_0 = \frac12$ : $\min E = \inf E = \frac12$. Pour la borne supérieure, $\lvert u_n - 4 \rvert = \frac{7}{n + 2}$, le cas $c = 7$, $k = 2$ de la Méthode. Soit $\varepsilon > 0$. Alors $$ \begin{aligned} 4 - u_n < \varepsilon &\iff \frac{7}{n + 2} < \varepsilon && \text{(réécriture)} \\ &\iff n + 2 > \frac{7}{\varepsilon} && \text{(inversion, $n + 2 > 0$ et $\varepsilon > 0$)} \\ &\iff n > \frac{7}{\varepsilon} - 2, \end{aligned} $$ la dernière équivalence par l'addition de $-2$ aux deux membres. Un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > \frac{7}{\varepsilon} - 2$ existe par la propriété d'Archimède, et alors $4 - \varepsilon < u_n \le 4$. Donc $\sup E = 4$, qui n'est pas atteinte, puisque $\frac{7}{n + 2} \ne 0$.

Compétences à pratiquer

Trouver le plus petit entier au-delà d'un seuil ★
Déterminer les bornes d'un ensemble indexé par $n$ ★
Utiliser la propriété d'Archimède ★★
Trouver l'entier qui convient ★★★

IV.2 Existence de la partie entière

Un cercle à éviter

La partie entière $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier qui ne dépasse pas $x$. Son existence est à démontrer, et la démonstration ne doit pas employer la partie entière elle-même. L'énoncé dont on a besoin est qu'une partie de $\mathbb{Z}$ majorée par un réel a un plus grand élément : pour une partie de $\mathbb{N}$ majorée par un entier c'est une propriété des entiers, mais pour un majorant réel c'est une propriété de $\mathbb{R}$, qui vient de la propriété de la borne supérieure. La Proposition « Une partie de $\mathbb{Z}$ majorée a un plus grand élément » la démontre par la borne supérieure, sans aucune partie entière, et le Théorème « Partie entière » l'emploie ensuite : il n'y a pas de cercle.

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Proposition — Une partie de $\mathbb{Z}$ majorée a un plus grand élément

Toute partie non vide $E$ de $\mathbb{Z}$ qui est majorée a un plus grand élément. Le majorant peut être un réel quelconque.

Preuve

Première démonstration, par la borne supérieure. Soit $E$ une partie non vide de $\mathbb{Z}$ qui est majorée. Par la propriété de la borne supérieure, $s = \sup E$ existe. Par la caractérisation $\varepsilon$ avec $\varepsilon = 1$, un $x \in E$ vérifie $s - 1 < x \le s$. Affirmons que $x$ est le plus grand élément de $E$. Supposons par l'absurde qu'un $y \in E$ vérifie $y > x$. Alors $$ \begin{aligned} 0 &< y - x && (y > x) \\ &\le s - x && (y \le s) \\ &< 1, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $x > s - 1$. Donc l'entier $y - x$ est strictement compris entre $0$ et $1$, ce qui est impossible, puisqu'un entier strictement positif est au moins $1$. Contradiction ! Donc $y \le x$ pour tout $y \in E$, et comme $x \in E$, $x$ est le plus grand élément de $E$.
Seconde démonstration, par le plus petit élément de $\mathbb{N}$. Soit $M$ un majorant réel de $E$. Par la propriété d'Archimède, un $N \in \mathbb{N}$ vérifie $N > M$, donc $N$ est un majorant entier de $E$. La partie $F = \{N - a \mid a \in E\}$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : pour $a \in E$, $N - a$ est un entier, et $N - a > 0$ puisque $a \le M < N$. Par la Proposition « Plus petit élément », $F$ a un plus petit élément $N - a_0$, avec $a_0 \in E$. Pour tout $a \in E$, $N - a_0 \le N - a$, donc $a \le a_0$. Donc $a_0 \in E$ est le plus grand élément de $E$.

Théorème — Partie entière

Pour tout réel $x$, il existe un unique entier $n$ tel que $n \le x < n + 1$.

Preuve

Existence. Soit $x \in \mathbb{R}$ et $E = \{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$. La partie $E$ est non vide : par la propriété d'Archimède un $N \in \mathbb{N}$ vérifie $N > -x$, donc $-N < x$ et $-N \in E$. Elle est majorée par $x$. Par la Proposition « Une partie de $\mathbb{Z}$ majorée a un plus grand élément », $E$ a un plus grand élément $n$. Alors $n \le x$ puisque $n \in E$, et $n + 1 \notin E$ puisque $n + 1$ est supérieur au plus grand élément, donc $n + 1 > x$. D'où $n \le x < n + 1$.
Unicité. Soient $n_1$ et $n_2$ des entiers tels que $n_1 \le x < n_1 + 1$ et $n_2 \le x < n_2 + 1$. De $n_1 \le x < n_2 + 1$ vient $n_1 - n_2 < 1$, et de $n_2 \le x < n_1 + 1$ vient $n_2 - n_1 < 1$, c'est-à-dire $n_1 - n_2 > -1$. Donc l'entier $n_1 - n_2$ vérifie $-1 < n_1 - n_2 < 1$ : il est nul, et $n_1 = n_2$.
Seconde démonstration de l'unicité : par symétrie. De $n_1 \le x < n_2 + 1$ vient $n_1 < n_2 + 1$, donc $n_1 \le n_2$, un entier strictement inférieur à $n_2 + 1$ étant au plus $n_2$. En échangeant les rôles de $n_1$ et $n_2$ on obtient $n_2 \le n_1$. Par antisymétrie, $n_1 = n_2$.

Compétences à pratiquer

Démontrer qu'une partie de $\mathbb{Z}$ a un élément extrême ★★

IV.3 La partie entière

Ni arrondi ni troncature

La partie entière $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Ce n'est ni l'entier le plus proche ni l'entier obtenu en supprimant les décimales : $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$, alors que l'entier le plus proche de $-2{,}3$ est $-2$, et que supprimer les décimales donne $-2$. Sur la droite réelle, $\lfloor x \rfloor$ est la graduation entière égale à $x$ ou immédiatement à sa gauche, ce qui explique qu'elle descende, en s'éloignant de $0$, pour un nombre négatif. C'est le pont entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Z}$, employé en arithmétique, en calcul numérique et dans les approximations décimales.

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Définition — Partie entière

Soit $x \in \mathbb{R}$. Par le Théorème « Partie entière », il existe un unique entier $n$ tel que $n \le x < n + 1$ : c'est la partie entière de $x$, notée $\textcolor{colordef}{\lfloor x \rfloor}$. Le nombre $x - \lfloor x \rfloor$, qui appartient à $[0, 1[$, est la partie fractionnaire de $x$ ; elle n'a pas de symbole propre. La partie entière par excès de $x$, notée $\textcolor{colordef}{\lceil x \rceil}$, est l'unique entier $m$ tel que $m - 1 < x \le m$ : la Proposition « Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$ » montre qu'il existe et que $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$.

Exemple — Parties entières de quelques nombres

$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$ puisque $3 \le 3{,}7 < 4$ ; $\lfloor 5 \rfloor = 5$ puisque $5 \le 5 < 6$ ; $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$ puisque $-3 \le -2{,}3 < -2$ ; $\lfloor \pi \rfloor = 3$ puisque $3 \le \pi < 4$ ; $\lfloor -\pi \rfloor = -4$ puisque $-4 \le -\pi < -3$. Pour la partie entière par excès, $\lceil 3{,}7 \rceil = 4$, $\lceil 5 \rceil = 5$ et $\lceil -2{,}3 \rceil = -2$. Le graphe de la partie entière est un escalier : sur chaque intervalle $[k, k + 1[$, avec $k \in \mathbb{Z}$, la partie entière est constante, égale à $k$. Un point plein marque la borne qui appartient au graphe, un point vide la borne qui n'y appartient pas ; les points d'abscisses $\pi$ et $-\pi$ sont marqués.

Proposition — Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$, et $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
$\lfloor x \rfloor = n \iff n \le x < n + 1$. En particulier, $\lfloor x \rfloor = x \iff x \in \mathbb{Z}$.
$\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ (translation par un entier).
$x \le y \Rightarrow \lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor$ (la partie entière est croissante).
$\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$, et $\lceil x \rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$.
$\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : $n \le x \Rightarrow n \le \lfloor x \rfloor$.

Preuve

Soient $x, y \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$.
Encadrement. Par la définition, $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$. En ajoutant $-1$ à l'inégalité de droite on obtient $x - 1 < \lfloor x \rfloor$, et avec $\lfloor x \rfloor \le x$ cela donne $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
Caractérisation. ($\Rightarrow$) Si $\lfloor x \rfloor = n$, l'encadrement donne $n \le x < n + 1$. ($\Leftarrow$) Si $n \le x < n + 1$ avec $n \in \mathbb{Z}$, alors $n$ a la propriété qui définit $\lfloor x \rfloor$, donc $n = \lfloor x \rfloor$ par l'unicité du Théorème « Partie entière ». Si $x \in \mathbb{Z}$, alors $x \le x < x + 1$, donc $\lfloor x \rfloor = x$ ; réciproquement, si $\lfloor x \rfloor = x$, alors $x \in \mathbb{Z}$ puisque $\lfloor x \rfloor$ est un entier.
Translation par un entier. En ajoutant $n$ à l'encadrement $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ on obtient $\lfloor x \rfloor + n \le x + n < \lfloor x \rfloor + n + 1$. Comme $\lfloor x \rfloor + n \in \mathbb{Z}$, la caractérisation donne $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Plus grand entier. Supposons $n \le x$. Alors $n \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ par l'encadrement, donc $n < \lfloor x \rfloor + 1$ et $n \le \lfloor x \rfloor$, un entier strictement inférieur à $\lfloor x \rfloor + 1$ étant au plus $\lfloor x \rfloor$. Avec $\lfloor x \rfloor \le x$, cela montre que $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
Croissance. Supposons $x \le y$. L'entier $\lfloor x \rfloor$ vérifie $\lfloor x \rfloor \le x \le y$, donc $\lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor$ par le paragraphe précédent, appliqué à $y$ et à l'entier $\lfloor x \rfloor$.
Partie entière par excès. L'encadrement de $-x$ est $\lfloor -x \rfloor \le -x < \lfloor -x \rfloor + 1$ ; le produit par $-1$ donne $-\lfloor -x \rfloor - 1 < x \le -\lfloor -x \rfloor$. Donc $m = -\lfloor -x \rfloor$ est un entier tel que $m - 1 < x \le m$. C'est le seul : si $m'$ en est un autre, $m - 1 < x \le m'$ donne $m - 1 < m'$, donc $m \le m'$, et symétriquement $m' \le m$. Donc $\lceil x \rceil$ existe, est unique, et vaut $-\lfloor -x \rfloor$. Enfin, soit $k$ un entier tel que $k \ge x$. Alors $k \ge x > m - 1$ donne $k > m - 1$, donc $k \ge m$ : $\lceil x \rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$.

Méthode — Calculer une partie entière

Pour calculer $\lfloor x \rfloor$ :

Encadrer $x$ entre deux entiers consécutifs : trouver $n \in \mathbb{Z}$ tel que $n \le x < n + 1$ ; alors $\lfloor x \rfloor = n$. Pour un quotient $\frac{p}{q}$ avec $q > 0$, la division euclidienne $p = kq + r$ avec $0 \le r < q$ donne $k \le \frac{p}{q} < k + 1$, donc $\lfloor \frac{p}{q} \rfloor = k$. Pour une racine carrée, comparer les carrés de nombres positifs.
Prendre garde aux nombres négatifs : $\lfloor x \rfloor$ est l'entier situé en dessous de $x$ ou égal à $x$, et non l'entier obtenu en supprimant les décimales : $\lfloor -\pi \rfloor = -4$.
Pour la partie entière par excès, employer $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$.

Exemple — Quatre parties entières

(a) $\lfloor \frac{17}{5} \rfloor$ : de $17 = 3 \times 5 + 2$, $3 \le \frac{17}{5} < 4$, donc $\lfloor \frac{17}{5} \rfloor = 3$. (b) $\lfloor -\frac{17}{5} \rfloor$ : de $-17 = (-4) \times 5 + 3$, $-4 \le -\frac{17}{5} < -3$, donc $\lfloor -\frac{17}{5} \rfloor = -4$. (c) $\lceil -\frac{17}{5} \rceil = -\lfloor \frac{17}{5} \rfloor = -3$. (d) $\lfloor \sqrt{200} \rfloor$ : de $14^2 = 196 \le 200 < 225 = 15^2$ et des carrés de nombres positifs, $14 \le \sqrt{200} < 15$, donc $\lfloor \sqrt{200} \rfloor = 14$.

Méthode — Résoudre une équation avec des parties entières

Pour résoudre une équation dans laquelle l'inconnue $x$ figure dans des parties entières :

Si l'équation est $\lfloor f(x) \rfloor = k$ avec $k \in \mathbb{Z}$, elle équivaut à $k \le f(x) < k + 1$, par la Proposition « Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$ » : un encadrement à résoudre.
Sinon, décomposer $x$ : écrire $n = \lfloor x \rfloor$ et $\varepsilon = x - n \in [0, 1[$, de sorte que $x = n + \varepsilon$. La partie entière de $x + k$, pour un entier $k$, est $n + k$ ; celles de $2x$, $3x$ et $x + \frac12$ deviennent $2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor$, $3n + \lfloor 3\varepsilon \rfloor$ et $n + \lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor$, par la translation par un entier.
Découper $[0, 1[$ en les morceaux sur lesquels chaque partie entière de $\varepsilon$ est constante (pour $\lfloor 2\varepsilon \rfloor$ : $[0, \frac12[$ et $[\frac12, 1[$) ; résoudre sur chaque morceau ; recomposer les solutions.

Par exemple, $$ \begin{aligned} \lfloor 3x - 1 \rfloor = 2 &\iff 2 \le 3x - 1 < 3 && \text{(caractérisation de $\lfloor \cdot \rfloor$)} \\ &\iff 1 \le x < \frac43, \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la résolution de l'encadrement : l'ensemble des solutions est $[1, \frac43[$.

Exemple — Une somme de parties entières

Démontrer que $\lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac12 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor$ pour tout réel $x$. Soit $x \in \mathbb{R}$, $n = \lfloor x \rfloor$ et $\varepsilon = x - n \in [0, 1[$. Par la translation par un entier, $\lfloor x + \frac12 \rfloor = \lfloor n + (\varepsilon + \frac12) \rfloor = n + \lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor$ et $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor 2n + 2\varepsilon \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor$. Cas $\varepsilon \in [0, \frac12[$. Alors $\frac12 \le \varepsilon + \frac12 < 1$ et $0 \le 2\varepsilon < 1$, donc $\lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor = 0$ et $\lfloor 2\varepsilon \rfloor = 0$, et $$ \begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac12 \rfloor &= n + (n + 0) && \text{(valeurs ci-dessus)} \\ &= 2n + 0 && \text{(somme)} \\ &= \lfloor 2x \rfloor, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor = 2n + 0$. Cas $\varepsilon \in [\frac12, 1[$. Alors $1 \le \varepsilon + \frac12 < \frac32$ et $1 \le 2\varepsilon < 2$, donc $\lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor = 1$ et $\lfloor 2\varepsilon \rfloor = 1$, et $$ \begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac12 \rfloor &= n + (n + 1) && \text{(valeurs ci-dessus)} \\ &= 2n + 1 && \text{(somme)} \\ &= \lfloor 2x \rfloor, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor = 2n + 1$. Les deux cas recouvrent $[0, 1[$, donc l'identité vaut pour tout réel $x$.

Compétences à pratiquer

Distinguer partie entière, arrondi et troncature ★
Calculer une partie entière ★
Simplifier des parties entières ★
Résoudre une équation simple avec une partie entière ★
Résoudre une équation avec des parties entières ★★
Démontrer une identité avec des parties entières ★★
Démontrer une identité ou une inégalité fine avec des parties entières ★★★

IV.4 Caractérisation des intervalles

Parties sans trou

Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est sans trou lorsqu'elle contient, avec deux de ses éléments $x$ et $y$, tout le segment $[x, y]$ compris entre eux. Les neuf formes d'intervalles ont cette propriété, et le Théorème « Caractérisation des intervalles » montre que ce sont les seules parties qui l'ont. La démonstration emploie la propriété de la borne supérieure pour donner à une partie ses deux extrémités, puis pour trouver, entre les extrémités, des éléments de la partie.

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Théorème — Caractérisation des intervalles

On note $[x, y] = \{t \in \mathbb{R} \mid x \le t \le y\}$, qui est vide si $x > y$. Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si $\forall x, y \in I, \ [x, y] \subset I$. Ici un intervalle est une partie de l'une des formes des Définitions « Intervalles bornés » et « Intervalles non bornés », qui comprennent $\emptyset = \,]a, a[$ et les points $\{a\} = [a, a]$.

Preuve

Démontrons les deux implications.
($\Rightarrow$) Un intervalle a la propriété. Chaque forme est définie par au plus deux conditions sur $t$ : une condition inférieure « $a \le t$ » ou « $a < t$ », et une condition supérieure « $t \le b$ » ou « $t < b$ » ; une condition absente est toujours vraie. Soit $I$ un intervalle, $x, y \in I$ et $t \in [x, y]$. La condition inférieure est vérifiée par $x$, et $t \ge x$, donc elle est vérifiée par $t$ : si c'est $a \le x$, alors $a \le x \le t$, et si c'est $a < x$, alors $a < x \le t$. De même la condition supérieure est vérifiée par $y$, et $t \le y$, donc elle est vérifiée par $t$. Donc $t \in I$, et $[x, y] \subset I$.
($\Leftarrow$) Une partie qui a la propriété est un intervalle. Soit $I$ une partie de $\mathbb{R}$ telle que $[x, y] \subset I$ pour tous $x, y \in I$. Si $I = \emptyset$, alors $I = \,]0, 0[$ est un intervalle. Supposons $I \ne \emptyset$. Soit $a = \inf I$ si $I$ est minorée et $a = -\infty$ sinon, et soit $b = \sup I$ si $I$ est majorée et $b = +\infty$ sinon ; la borne inférieure et la borne supérieure existent par le Théorème « Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$ ».
Étape 1 : les bornes. Tout élément de $I$ est au moins $a$ lorsque $a$ est réel, et au plus $b$ lorsque $b$ est réel, puisque $a$ est un minorant et $b$ un majorant de $I$.
Étape 2 : $]a, b[ \,\subset I$. Soit $z$ un réel tel que $a < z < b$. Comme $z > a$, $z$ n'est pas un minorant de $I$ : si $a$ est réel, parce que $a$ est le plus grand minorant ; si $a = -\infty$, parce que $I$ n'a pas de minorant. Donc un $x \in I$ vérifie $x < z$. De même, comme $z < b$, un $y \in I$ vérifie $y > z$. Alors $z \in [x, y]$, et $[x, y] \subset I$ par l'hypothèse sur $I$, donc $z \in I$.
Étape 3 : les extrémités. Comme $I \ne \emptyset$, $a \le b$. Si $a = b$ est réel, alors $]a, b[ \,= \emptyset$ et $I \subset [a, a]$, donc $I = \{a\} = [a, a]$. Si $a < b$, les étapes 1 et 2 montrent que $I$ est formée des nombres de $]a, b[$, auxquels s'ajoutent $a$ si $a$ est réel et $a \in I$, et $b$ si $b$ est réel et $b \in I$. Quand $a$ et $b$ sont réels, les quatre possibilités donnent $]a, b[$, $[a, b[$, $]a, b]$ ou $[a, b]$ ; quand $b = +\infty$, elles donnent $]a, +\infty[$ ou $[a, +\infty[$ ($]-\infty, +\infty[$ si $a = -\infty$ aussi) ; quand $a = -\infty$, elles donnent $]-\infty, b[$ ou $]-\infty, b]$. Dans tous les cas $I$ est un intervalle.

Proposition — Intersection et réunion d'intervalles

Soient $I$ et $J$ des intervalles.

$I \cap J$ est un intervalle.
Si $I \cap J \ne \emptyset$, alors $I \cup J$ est un intervalle.

En général la réunion de deux intervalles n'est pas un intervalle : $[0, 1] \cup [2, 3]$ et $[0, 1[ \,\cup\, ]1, 2]$ ne sont pas des intervalles.

Preuve

Par le Théorème « Caractérisation des intervalles », une partie est un intervalle si et seulement si elle contient $[x, y]$ pour tous ses éléments $x$ et $y$.
Intersection. Soient $x, y \in I \cap J$. Comme $x, y \in I$ et que $I$ est un intervalle, $[x, y] \subset I$ ; de même $[x, y] \subset J$. Donc $[x, y] \subset I \cap J$, et $I \cap J$ est un intervalle.
Réunion de deux intervalles qui se rencontrent. Soit $c \in I \cap J$, soient $x, y \in I \cup J$ et soit $t \in [x, y]$. Par totalité, $t \le c$ ou $t \ge c$. Supposons $t \le c$ : alors $x \le t \le c$. Si $x \in I$, alors $x, c \in I$ et $t \in [x, c]$, donc $t \in I$ ; si $x \in J$, alors $x, c \in J$ et de même $t \in J$. Supposons $t \ge c$ : alors $c \le t \le y$, et de même $t \in I$ si $y \in I$ et $t \in J$ si $y \in J$. Dans tous les cas $t \in I \cup J$. Donc $[x, y] \subset I \cup J$, et $I \cup J$ est un intervalle.
Contre-exemples. La partie $[0, 1] \cup [2, 3]$ contient $1$ et $2$ mais pas $\frac32 \in [1, 2]$. La partie $[0, 1[ \,\cup\, ]1, 2]$ contient $0$ et $2$ mais pas $1 \in [0, 2]$. Par le Théorème, aucune n'est un intervalle.

Méthode — Décider si une partie est un intervalle

Pour décider si une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle, employer le Théorème « Caractérisation des intervalles » :

Pour réfuter : exhiber $x < z < y$ avec $x, y \in A$ et $z \notin A$ : un trou.
Pour démontrer : prendre $x, y \in A$ et $z \in [x, y]$ et montrer que $z$ vérifie la condition qui définit $A$ ; ou reconnaître l'une des neuf formes ; ou écrire $A$ comme une intersection d'intervalles, ou comme une réunion de deux intervalles qui se rencontrent, par la Proposition « Intersection et réunion d'intervalles ».

Par exemple, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 4\}$ est un intervalle, puisque $$ \begin{aligned} x^2 \le 4 &\iff x^2 \le 2^2 && (4 = 2^2) \\ &\iff \lvert x \rvert \le 2 && \text{(Proposition « Valeur absolue et ordre »)} \\ &\iff x \in [-2, 2], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par le deuxième point de la même Proposition. La partie $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \ge 4\}$ n'est pas un intervalle : $-2, 2 \in B$ et $0 \in [-2, 2]$, mais $0 \notin B$. Ni $\mathbb{N}$ ($0, 1 \in \mathbb{N}$ et $\frac12 \in [0, 1]$, $\frac12 \notin \mathbb{N}$) ni $\mathbb{Q}$ ($1, 2 \in \mathbb{Q}$ et $\sqrt{2} \in [1, 2]$, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$) n'est un intervalle.

Exemple — Quatre réunions et intersections

(a) $]-\infty, 1] \cap [-1, +\infty[ \, = [-1, 1]$ est un intervalle, comme intersection de deux intervalles. (b) $]-\infty, 1] \cup [-1, +\infty[ \, = \mathbb{R}$ est un intervalle : les deux parties ont en commun les points de $[-1, 1]$, et tout réel est au plus $1$ ou strictement supérieur à $1 \ge -1$. (c) $[0, 1] \cup \,]1, 2]$ est un intervalle bien que les deux parties soient disjointes : c'est $[0, 2]$, puisqu'un nombre $t \in [0, 2]$ est dans $[0, 1]$ si $t \le 1$ et dans $]1, 2]$ si $t > 1$. Ainsi la condition « $I \cap J \ne \emptyset$ » de la Proposition est suffisante, non nécessaire. (d) $[0, 1] \cup [2, 3]$ n'est pas un intervalle : il contient $1$ et $2$ mais pas $\frac32$.

Compétences à pratiquer

Décider si une partie est un intervalle ★★
Démontrer qu'un ensemble construit à partir d'intervalles est un intervalle ★★★

V Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★
Travailler un exercice de colle ★★
Travailler un exercice de colle ★★★
Travailler un exercice de colle ★★★★

VI Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
Travailler un problème d'écrit ★★
Travailler un problème d'écrit ★★★
Travailler un problème d'écrit ★★★★
Quiz

Contrôle du chapitre

3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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partie	\(\sup\)	\(\inf\)	\(\max\)	\(\min\)
\([a, b]\)	\(b\)	\(a\)	\(b\)	\(a\)
\([a, b[\)	\(b\)	\(a\)	aucun	\(a\)
\(]a, b]\)	\(b\)	\(a\)	\(b\)	aucun
\(]a, b[\)	\(b\)	\(a\)	aucun	aucun
\([a, +\infty[\)	\(+\infty\)	\(a\)	aucun	\(a\)
\(]a, +\infty[\)	\(+\infty\)	\(a\)	aucun	aucun
\(]-\infty, a]\)	\(a\)	\(-\infty\)	\(a\)	aucun
\(]-\infty, a[\)	\(a\)	\(-\infty\)	aucun	aucun
\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	aucun	aucun