Éducation Nationale Française · PCSI
Dérivabilité
Vue d'ensemble du chapitre
Le lycée a donné la dérivée comme un outil : une limite de taux de variation, un tableau de règles, et le signe de \(f'\) lu comme le sens de variation de \(f\). Ce chapitre fait de la dérivée une théorie dans laquelle tout énoncé est démontré. Trois idées le traversent. La première est que la dérivée est une limite prise en un point : l'existence de \(f'(a)\) est une propriété locale, qui force la continuité de \(f\) en \(a\) et rien de plus, pas même la continuité de \(f'\). La deuxième est le calcul : les règles du lycée viennent avec leurs démonstrations, la dérivée d'une fonction réciproque est le nouvel outil, et les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\) organisent la régularité d'une fonction. La troisième est celle des théorèmes globaux — le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis, l'inégalité des accroissements finis — qui transforment une propriété de \(f'\) sur tout un intervalle en une propriété de \(f\) : constante, monotone, lipschitzienne, contractante, ou de dérivée ayant une limite.
Plan. Le chapitre va des outils de calcul aux théorèmes globaux : la dérivée en un point, les opérations sur les dérivées, les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\), les extrema locaux et le théorème de Fermat, le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, les fonctions lipschitziennes et l'inégalité des accroissements finis, le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\), et le théorème de la limite de la dérivée. Les classes \(C^k\) viennent avant les théorèmes globaux, qui les utilisent.
Conventions. Une fonction est définie sur un intervalle \(I\) non réduit à un point, et \(\mathring{I}\) est l'intérieur de \(I\). En un point intérieur, « dérivable en \(a\) » est la notion bilatérale ; en une borne de \(I\), la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). Les théorèmes globaux supposent « \(f\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) » : les bornes sont traitées par la seule continuité. Les huit dérivées usuelles du lycée, celles de \(x^n\), \(\frac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\), sont admises, comme le Prérequis les énumère ; certains exemples en retrouvent quelques-unes à partir de la définition ou des règles, pour illustrer les méthodes. Aucune dérivée d'une autre fonction de référence n'est utilisée.
Notations. Pour \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\), le taux d'accroissement est \(\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), noté \(\tau_a^f(h)\) quand plusieurs fonctions interviennent ; la dérivée est \(f'(a)\) ou \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\), et les dérivées à gauche et à droite sont \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). L'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est \(\mathcal{D}(I, \mathbb{R})\), et les classes sont \(C^k(I, \mathbb{R})\) et \(C^\infty(I, \mathbb{R})\). Le symbole \(f^{(n)}\) est la dérivée \(n\)-ième, jamais un itéré : la composée de \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). « Croissante » est le sens large et « strictement croissante » le sens strict, comme dans le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire ; \(e^x\) est l'exponentielle, et dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle le séparateur est la virgule.
Plan. Le chapitre va des outils de calcul aux théorèmes globaux : la dérivée en un point, les opérations sur les dérivées, les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\), les extrema locaux et le théorème de Fermat, le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, les fonctions lipschitziennes et l'inégalité des accroissements finis, le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\), et le théorème de la limite de la dérivée. Les classes \(C^k\) viennent avant les théorèmes globaux, qui les utilisent.
Conventions. Une fonction est définie sur un intervalle \(I\) non réduit à un point, et \(\mathring{I}\) est l'intérieur de \(I\). En un point intérieur, « dérivable en \(a\) » est la notion bilatérale ; en une borne de \(I\), la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). Les théorèmes globaux supposent « \(f\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) » : les bornes sont traitées par la seule continuité. Les huit dérivées usuelles du lycée, celles de \(x^n\), \(\frac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\), sont admises, comme le Prérequis les énumère ; certains exemples en retrouvent quelques-unes à partir de la définition ou des règles, pour illustrer les méthodes. Aucune dérivée d'une autre fonction de référence n'est utilisée.
Notations. Pour \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\), le taux d'accroissement est \(\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), noté \(\tau_a^f(h)\) quand plusieurs fonctions interviennent ; la dérivée est \(f'(a)\) ou \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\), et les dérivées à gauche et à droite sont \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). L'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est \(\mathcal{D}(I, \mathbb{R})\), et les classes sont \(C^k(I, \mathbb{R})\) et \(C^\infty(I, \mathbb{R})\). Le symbole \(f^{(n)}\) est la dérivée \(n\)-ième, jamais un itéré : la composée de \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). « Croissante » est le sens large et « strictement croissante » le sens strict, comme dans le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire ; \(e^x\) est l'exponentielle, et dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle le séparateur est la virgule.
Prérequis
Ce chapitre suppose connus les chapitres Calcul différentiel et Courbes : le taux de variation, la dérivée comme limite du taux de variation, la fonction dérivée, la tangente, les règles de dérivation (combinaison linéaire, produit, quotient, composée), le sens de variation lu sur le signe de \(f'\) — admis alors, démontré ici — et les extremums et les points stationnaires. Les huit dérivées usuelles du lycée sont admises, et utilisées sans démonstration ; certains exemples en retrouvent quelques-unes pour illustrer les méthodes : \((x^n)' = n x^{n-1}\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\), \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \((e^x)' = e^x\), \(\ln'(x) = \frac{1}{x}\), \(\sin' = \cos\), \(\cos' = -\sin\) et \(\tan' = \frac{1}{\cos^2}\). Les propriétés de \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) du lycée sont aussi utilisées : \(e^{x+y} = e^x e^y\), \(\exp\) et \(\ln\) sont strictement croissantes, \(\lvert \sin x \rvert \le 1\), \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), la formule de linéarisation \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\), \(\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t\) et \(\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t\), \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques, \(\sin\) est impaire, les fonctions de référence \(\sqrt{\cdot}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) sont continues sur leurs ensembles de définition, les valeurs de \(\cos\) et de \(\sin\) en \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\), et les variations de \(\cos\) et de \(\sin\) sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) (\(\cos\) est strictement décroissante et \(\sin\) strictement croissante). Les dérivées de \(\arctan\), \(\arcsin\), \(\arccos\) et des fonctions hyperboliques ne sont pas utilisées. Du chapitre Développement d'un binôme : les coefficients binomiaux \(\binom{n}{p}\), la relation de Pascal \(\binom{n}{p-1} + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p}\) pour \(1 \le p \le n\) (la section « Triangle de Pascal »), et la factorisation de \(a^n - b^n\). Du chapitre Raisonner et rédiger : la sous-section « Rédiger avec les fonctions », les schémas de démonstration d'un énoncé universel et d'un énoncé existentiel, par disjonction des cas, par contraposée et par l'absurde, et la récurrence. Du chapitre Logique : la négation des quantificateurs. Du chapitre Ensembles : les parties d'un ensemble. Du chapitre Applications : la composée (la Définition « Composition »), la restriction, la bijection, la réciproque et la fonction indicatrice \(\mathbb{1}_A\) (la Définition « Fonction indicatrice »). Du chapitre Nombres réels : l'ordre de \(\mathbb{R}\) et les règles de calcul sur les inégalités, les intervalles, la valeur absolue et l'inégalité triangulaire, \(\max(a, b)\), la borne supérieure, la partie entière, et la densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire : les fonctions monotones, au sens large et au sens strict (la Proposition « Opérations sur les fonctions monotones », la Proposition « Composée de fonctions monotones », la Proposition « Réciproque d'une bijection monotone », la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité », la Proposition « Recoller des morceaux monotones » et l'Exemple « Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion »), les fonctions bornées, le maximum et le minimum (la Définition « Maximum, minimum, extremum » et la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum »), la parité et la périodicité (la Méthode « Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité »). Du chapitre Suites réelles : la limite d'une suite (la Proposition « Unicité de la limite » et la Proposition « La limite passe aux suites extraites »), le théorème d'encadrement, le théorème de la limite monotone, \(k^n \to 0\) pour \(0 \le k < 1\), les suites récurrentes, les intervalles stables et les points fixes (la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », la Méthode « Trouver un intervalle stable », la Proposition « Vitesse géométrique » et la Proposition « Une limite est un point fixe »). Du chapitre Limites et continuité : la limite d'une fonction en un point et en \(\pm\infty\), la Proposition « Caractère local de la limite et restriction », la Proposition « Limite et limite épointée », les limites à gauche et à droite (la Proposition « Limite et limites latérales »), la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) », les opérations sur les limites, finies et infinies (la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) »), la Proposition « Composition de limites », la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large », le Théorème « Théorème d'encadrement », la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », la Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini », la continuité en un point et sur un intervalle (la Proposition « Continuité et limites latérales » et la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) »), la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » et la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires », le Théorème « Théorème des bornes atteintes », le Théorème « Théorème de la bijection » (la réciproque d'une bijection continue strictement monotone d'un intervalle sur un intervalle est continue, de même sens de variation), la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone », la Définition « Fonction lipschitzienne », la Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue » et le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone ». Le chapitre n'utilise ni les croissances comparées de fonctions (\(x \ln x\), \(x e^x\), \(e^{-1/x}\)), ni la formule de Taylor, ni les développements limités, ni la notation \(o\), ni la convexité, ni l'intégrale, ni les nombres complexes, ni les éléments simples, ni la division des polynômes, ni les racines multiples.
I
Dérivée en un point
La dérivée comme limite
Le lycée a tracé la tangente en un point et en a donné la pente ; ici la pente devient une limite, et tout ce qui suit s'en démontre. La dérivée en un point est la limite d'un taux d'accroissement, et elle a une seconde forme : un développement de la fonction au premier ordre près du point. Les dérivées à gauche et à droite traitent les deux côtés séparément, et la dérivée en un point force la fonction à être continue en ce point, ce qu'aucune règle du lycée ne disait.
I.1
Taux d'accroissement et nombre dérivé
De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée
Un point se déplace sur une droite, et sa position à l'instant \(t\) est \(s(t)\). Entre les instants \(t\) et \(t + h\), le point a le déplacement algébrique \(s(t + h) - s(t)\), positif ou négatif selon le sens du mouvement, et la vitesse moyenne est le quotient signé \(\frac{s(t + h) - s(t)}{h}\) de ce déplacement au temps écoulé. La distance parcourue est une autre grandeur : elle vaut \(\lvert s(t + h) - s(t) \rvert\) seulement si le point ne rebrousse pas chemin entre les deux instants. La vitesse instantanée à l'instant \(t\) est ce dont la vitesse moyenne s'approche quand \(h\) devient petit : c'est une limite, et le lycée la calculait en faisant rétrécir \(h\). Le compteur en indique la valeur absolue \(\lvert s'(t) \rvert\), la vitesse scalaire. Le même quotient, écrit pour une fonction \(f\) quelconque et non pour une seule position, est le taux d'accroissement, et sa limite est la dérivée. Sa signification géométrique est la pente d'une tangente.
Définition — Dérivée en un point
Soient \(I\) un intervalle non réduit à un point, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). Pour tout \(h \ne 0\) tel que \(a + h \in I\), le taux d'accroissement de \(f\) en \(a\) avec l'incrément \(h\) est $$\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$ La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0\), la variable \(h\) parcourant les \(h \ne 0\) tels que \(a + h \in I\). Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté $$\textcolor{colordef}{f'(a)} \qquad \text{ou} \qquad \textcolor{colordef}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)}.$$ De manière équivalente, en posant \(x = a + h\), cela revient à demander une limite finie de \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) quand \(x \to a\). Quand \(a\) est une borne de \(I\), les incréments \(h\) n'ont qu'un seul signe, et la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). La dérivabilité en \(a\) est une propriété locale : elle ne dépend que des valeurs de \(f\) sur \(I \cap [a - \eta, a + \eta]\), pour tout \(\eta > 0\), car une limite est locale (la Proposition « Caractère local de la limite et restriction »). Exemple — La dérivée de \(x^2\)
Calculer la dérivée de \(f(x) = x^2\) en tout point \(a \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(a \in \mathbb{R}\) et tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(f(x) = x^2\))} \\
&= \frac{2ah + h^2}{h} && \text{(développement de \((a + h)^2\))} \\
&= 2a + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} 2a. \end{aligned} $$ Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = 2a\).
Exemple — La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\)
Soient \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\), et \(a > 0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(a\) et calculer \(f'(a)\).
Pour tout \(h \ne 0\) avec \(a + h \ge 0\), le nombre \(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\) est strictement positif puisque \(a > 0\), donc $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\left(\sqrt{a + h} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)}{h \left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} && \text{(multiplication par la quantité conjuguée, non nulle)} \\
&= \frac{(a + h) - a}{h \left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} && \text{(\((u - v)(u + v) = u^2 - v^2\))} \\
&= \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}} && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt{a}}. \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \(\sqrt{\cdot}\) est continue en \(a\), de sorte que \(\sqrt{a + h} \to \sqrt{a}\), et parce que la limite \(2\sqrt{a}\) du dénominateur n'est pas \(0\). Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\).
Proposition — Développement au premier ordre
La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement s'il existe \(\ell \in \mathbb{R}\) et une fonction \(\varepsilon\), définie pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), telles que \(\varepsilon(h) \to 0\) quand \(h \to 0\) et $$\textcolor{colorprop}{f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)} \qquad \text{pour tout } h \ne 0 \text{ tel que } a + h \in I.$$ Dans ce cas \(\ell = f'(a)\).
On démontre les deux implications.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\), et posons \(\ell = f'(a)\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), posons \(\varepsilon(h) = \tau_a(h) - \ell\). Alors \(\varepsilon(h) \to 0\) quand \(h \to 0\), puisque \(\tau_a(h) \to \ell\), et $$ \begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + h\,\tau_a(h) && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &= f(a) + \ell h + h\,\left(\tau_a(h) - \ell\right) && \text{(on ajoute et on retranche \(\ell h\))} \\ &= f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h). \end{aligned} $$
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &= \frac{\ell h + h\,\varepsilon(h)}{h} && \text{(hypothèse)} \\ &= \ell + \varepsilon(h) && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} \ell. \end{aligned} $$ Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\), ce qui montre aussi que \(\ell\) est la dérivée dans la première implication.
Méthode — Démontrer la dérivabilité en un point
Pour établir que \(f\) est dérivable en \(a\), ou qu'elle ne l'est pas : - Par le taux d'accroissement. Simplifier \(\tau_a(h)\) — développer, factoriser, multiplier par une quantité conjuguée — jusqu'à lire une limite quand \(h \to 0\). Une limite finie est \(f'(a)\) ; une limite \(\pm\infty\), ou l'absence de limite, signifie que \(f\) n'est pas dérivable en \(a\).
- Par le développement au premier ordre. Écrire \(f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)\) avec un \(\varepsilon\) explicite qui tend vers \(0\) : alors \(f'(a) = \ell\). C'est la forme commode quand \(f(a + h)\) se développe en un polynôme en \(h\) plus un reste.
- Par les règles de calcul. Quand \(f\) est construite à partir de fonctions dérivables par combinaisons, produits, quotients et composées, les règles de dérivation du lycée donnent la dérivée sans taux d'accroissement.
- Par les deux côtés. En un point où la formule de \(f\) change, ou où intervient \(\lvert \cdot \rvert\), étudier \(h > 0\) et \(h < 0\) séparément, avec la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales ».
Compétences à pratiquer
- Lire un nombre dérivé ★
- Calculer un nombre dérivé par le taux d'accroissement ★
- Calculer une fonction dérivée par la définition ★
- Utiliser le développement au premier ordre ★★
- Déduire la dérivabilité d'une condition sur des quotients ★★★
I.2
Tangente
Des sécantes à la tangente
La droite passant par les points \((a, f(a))\) et \((a + h, f(a + h))\) du graphe est une sécante, et sa pente est \(\tau_a(h)\). Quand \(h\) tend vers \(0\), le second point glisse le long du graphe vers le premier, et la sécante tourne vers une position limite : la tangente, dont la pente est \(f'(a)\). Quand la pente des sécantes croît sans borne, la position limite est la droite verticale.
Définition — Tangente
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in I\). La tangente au graphe de \(f\) au point \((a, f(a))\) est la droite d'équation $$\textcolor{colordef}{y = f(a) + f'(a)(x - a)}.$$ Si \(a\) est une borne de \(I\), c'est la demi-tangente, du côté où se trouve \(I\). Si \(\tau_a(h)\) n'a pas de limite finie mais tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) quand \(h \to 0\), le graphe a une tangente verticale au point \((a, f(a))\), la droite d'équation \(x = a\) (une demi-tangente verticale en une borne de \(I\)).
Figure — sécantes convergeant vers la tangente
Exemple — Une demi-tangente verticale, \(\sqrt{x}\) en \(0\)
Pour \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\), étudier la dérivabilité en \(0\).
Le point \(0\) est la borne gauche de \([0, +\infty[\), donc seul \(h > 0\) intervient. Pour tout \(h > 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\sqrt{h}}{h} && \text{(\(\sqrt{0} = 0\))} \\
&= \frac{1}{\sqrt{h}} && \text{(puisque \(h = \sqrt{h}\,\sqrt{h}\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0^+]{} +\infty. \end{aligned} $$ La limite est infinie, donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\) ; mais, d'après la Définition « Tangente », le graphe a une demi-tangente verticale, d'équation \(x = 0\), à l'origine.
Méthode — Écrire l'équation d'une tangente
Pour écrire l'équation de la tangente au graphe de \(f\) à l'abscisse \(a\) : - Le point. Calculer \(f(a)\) : la tangente passe par \((a, f(a))\).
- La pente. Calculer \(f'(a)\), par la définition ou par les règles de calcul du lycée (combinaison, produit, quotient, composée).
- L'équation. Si \(f'(a)\) est finie, écrire \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\), et la développer sous la forme \(y = mx + p\) si on le demande.
- Le cas vertical. Si \(\tau_a(h)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), la tangente est la droite \(x = a\).
- Une pente donnée. Pour une tangente de pente \(m\) donnée — horizontale quand \(m = 0\) — résoudre d'abord \(f'(x) = m\) pour trouver l'abscisse, puis appliquer les étapes ci-dessus en chaque solution.
Exemple — Tangentes à une cubique
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). Écrire l'équation de la tangente à l'abscisse \(2\), puis trouver les points où la tangente est horizontale.
D'après les dérivées du lycée, \(f'(x) = 3x^2 - 3\) pour tout \(x\).
La tangente à l'abscisse \(2\). Le point est \(f(2) = 2^3 - 3 \times 2 = 2\) et la pente est \(f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 9\), donc $$ \begin{aligned} y &= f(2) + f'(2)(x - 2) && \text{(équation de la tangente en \(a = 2\))} \\ &= 2 + 9(x - 2) && \text{(\(f(2) = 2\) et \(f'(2) = 9\))} \\ &= 9x - 16. \end{aligned} $$ Les tangentes horizontales. La tangente est horizontale en \(x\) si et seulement si sa pente est \(0\) : $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les points sont \((1, f(1)) = (1, -2)\) et \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\), et les tangentes horizontales sont les droites \(y = -2\) et \(y = 2\).
La tangente à l'abscisse \(2\). Le point est \(f(2) = 2^3 - 3 \times 2 = 2\) et la pente est \(f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 9\), donc $$ \begin{aligned} y &= f(2) + f'(2)(x - 2) && \text{(équation de la tangente en \(a = 2\))} \\ &= 2 + 9(x - 2) && \text{(\(f(2) = 2\) et \(f'(2) = 9\))} \\ &= 9x - 16. \end{aligned} $$ Les tangentes horizontales. La tangente est horizontale en \(x\) si et seulement si sa pente est \(0\) : $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les points sont \((1, f(1)) = (1, -2)\) et \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\), et les tangentes horizontales sont les droites \(y = -2\) et \(y = 2\).
Compétences à pratiquer
- Écrire l'équation d'une tangente ★
- Déterminer une tangente vérifiant une condition ★
- Trouver une tangente passant par un point donné ★★
- Étudier une tangente verticale ★★
I.3
Dérivées à gauche et à droite
Un point anguleux a deux tangentes
Sur un graphe, un point où la pente change brusquement — un point anguleux — a une tangente de chaque côté et aucune au total. Pour le décrire, on restreint l'incrément \(h\) aux valeurs strictement positives, ou aux valeurs strictement négatives : cela donne une dérivée de chaque côté, et la fonction est dérivable au point exactement quand les deux dérivées existent et coïncident.
Définition — Dérivées à gauche et à droite
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). - Si \(a\) n'est pas la borne droite de \(I\), \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0^+\), avec \(a + h \in I\). Cette limite est la dérivée à droite de \(f\) en \(a\), notée \(\textcolor{colordef}{f'_d(a)}\).
- Si \(a\) n'est pas la borne gauche de \(I\), \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0^-\), avec \(a + h \in I\). Cette limite est la dérivée à gauche de \(f\) en \(a\), notée \(\textcolor{colordef}{f'_g(a)}\).
Proposition — Caractérisation par les deux dérivées latérales
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a\) un point intérieur de \(I\). Alors \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égales : $$\textcolor{colorprop}{f \text{ dérivable en } a \iff f'_g(a) \text{ et } f'_d(a) \text{ existent, et } f'_g(a) = f'_d(a)}.$$ La dérivée \(f'(a)\) est alors leur valeur commune.
On démontre les deux implications à la fois, par la Proposition « Limite et limites latérales ». Comme \(a\) est intérieur, il existe \(\eta > 0\) avec \([a - \eta, a + \eta] \subset I\), donc \(\tau_a(h)\) est défini pour \(h \in [-\eta, \eta] \setminus \{0\}\) : des deux côtés de \(0\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\), c'est-à-dire \(\tau_a(h) \to f'(a)\) quand \(h \to 0\). Par la Proposition « Limite et limites latérales », \(\tau_a(h)\) a la même limite \(f'(a)\) quand \(h \to 0^+\) et quand \(h \to 0^-\). Cette limite est finie, donc \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) existent et \(f'_g(a) = f'_d(a) = f'(a)\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égales à un réel \(\ell\). Alors \(\tau_a(h) \to \ell\) quand \(h \to 0^+\) et quand \(h \to 0^-\). Par la Proposition « Limite et limites latérales », \(\tau_a(h) \to \ell\) quand \(h \to 0\) : \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\).
Exemple — Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\)
Montrer que \(f(x) = \lvert x \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\).
Le point \(0\) est intérieur à \(\mathbb{R}\), donc la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales » s'applique.
À droite. Pour tout \(h > 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{h}{h} = 1\), donc \(\tau_0(h) \to 1\) quand \(h \to 0^+\) et \(f'_d(0) = 1\).
À gauche. Pour tout \(h < 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{-h}{h} = -1\), donc \(\tau_0(h) \to -1\) quand \(h \to 0^-\) et \(f'_g(0) = -1\).
Comme \(f'_g(0) = -1 \ne 1 = f'_d(0)\), la fonction \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).
À droite. Pour tout \(h > 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{h}{h} = 1\), donc \(\tau_0(h) \to 1\) quand \(h \to 0^+\) et \(f'_d(0) = 1\).
À gauche. Pour tout \(h < 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{-h}{h} = -1\), donc \(\tau_0(h) \to -1\) quand \(h \to 0^-\) et \(f'_g(0) = -1\).
Comme \(f'_g(0) = -1 \ne 1 = f'_d(0)\), la fonction \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).
Exemple — Un raccord dérivable
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2\) pour \(x \le 1\) et \(f(x) = 2x - 1\) pour \(x > 1\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) et calculer \(f'(1)\).
Le point \(1\) est intérieur à \(\mathbb{R}\), et \(f(1) = 1^2 = 1\).
À droite. Pour \(h > 0\), \(1 + h > 1\) et \(f(1 + h) = 2(1 + h) - 1\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} && \text{(\(1 + h > 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= 2 && \text{(car \(2(1 + h) - 2 = 2h\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^+]{} 2. \end{aligned} $$ À gauche. Pour \(h < 0\), \(1 + h < 1\) et \(f(1 + h) = (1 + h)^2\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} && \text{(\(1 + h < 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= \frac{2h + h^2}{h} && \text{(développement de \((1 + h)^2\))} \\ &= 2 + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^-]{} 2. \end{aligned} $$ Donc \(f'_d(1) = f'_g(1) = 2\), et par la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales », \(f\) est dérivable en \(1\) avec \(f'(1) = 2\). La droite \(y = 2x - 1\) est la tangente de la branche gauche \(x^2\) en \(1\), puisque \(1 + 2(x - 1) = 2x - 1\), et la branche droite est cette droite elle-même : c'est pourquoi le raccord est lisse.
À droite. Pour \(h > 0\), \(1 + h > 1\) et \(f(1 + h) = 2(1 + h) - 1\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} && \text{(\(1 + h > 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= 2 && \text{(car \(2(1 + h) - 2 = 2h\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^+]{} 2. \end{aligned} $$ À gauche. Pour \(h < 0\), \(1 + h < 1\) et \(f(1 + h) = (1 + h)^2\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} && \text{(\(1 + h < 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= \frac{2h + h^2}{h} && \text{(développement de \((1 + h)^2\))} \\ &= 2 + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^-]{} 2. \end{aligned} $$ Donc \(f'_d(1) = f'_g(1) = 2\), et par la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales », \(f\) est dérivable en \(1\) avec \(f'(1) = 2\). La droite \(y = 2x - 1\) est la tangente de la branche gauche \(x^2\) en \(1\), puisque \(1 + 2(x - 1) = 2x - 1\), et la branche droite est cette droite elle-même : c'est pourquoi le raccord est lisse.
Figure — un point anguleux et ses deux demi-tangentes
Compétences à pratiquer
- Lire des dérivées à gauche et à droite ★
- Décider la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux ★
- Raccorder deux fonctions de façon dérivable ★★
I.4
Dérivabilité, continuité et fonction dérivée
Une tangente impose la continuité
Un graphe qui a une tangente en un point ne peut pas sauter en ce point : la pente des sécantes reste finie, donc \(f(a + h)\) est proche de \(f(a)\) quand \(h\) est petit. La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité ; la réciproque est fausse, puisqu'un point anguleux est continu sans être dérivable, et qu'un graphe peut même osciller si vite près d'un point qu'il n'a de tangente d'aucun côté.
Proposition — Dérivable implique continue
Si \(f \colon I \to \mathbb{R}\) est dérivable en \(a \in I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f \text{ est continue en } a}\).
On démontre directement que \(f(a + h) \to f(a)\) quand \(h \to 0\), ce qui est la continuité en \(a\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + \big(f(a + h) - f(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\))} \\
&= f(a) + h\,\tau_a(h) && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} f(a). \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \(h \to 0\) et \(\tau_a(h) \to f'(a) \in \mathbb{R}\), de sorte que \(h\,\tau_a(h) \to 0 \cdot f'(a) = 0\) par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) ». Donc \(f\) est continue en \(a\) (la valeur en \(h = 0\) étant \(f(a)\), la limite épointée est la limite, par la Proposition « Limite et limite épointée »).
Seconde démonstration, par le développement au premier ordre. Par la Proposition « Développement au premier ordre », \(f(a + h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Quand \(h \to 0\), \(f'(a)\,h\) et \(h\,\varepsilon(h)\) tendent tous deux vers \(0\), donc \(f(a + h) - f(a) \to 0\) : \(f\) est continue en \(a\).
Seconde démonstration, par le développement au premier ordre. Par la Proposition « Développement au premier ordre », \(f(a + h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Quand \(h \to 0\), \(f'(a)\,h\) et \(h\,\varepsilon(h)\) tendent tous deux vers \(0\), donc \(f(a + h) - f(a) \to 0\) : \(f\) est continue en \(a\).
Exemple — Continue sans être dérivable
La réciproque de la Proposition « Dérivable implique continue » est fausse : la fonction \(f(x) = \lvert x \rvert\) est continue en \(0\), puisque $$\lvert f(x) - f(0) \rvert = \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert 0 \rvert \big\rvert = \lvert x \rvert \xrightarrow[x \to 0]{} 0,$$ mais elle n'est pas dérivable en \(0\), comme le montre l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) » : les dérivées à gauche et à droite en \(0\) valent \(-1\) et \(1\). Exemple — Une fonction sans tangente d'aucun côté
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \ne 0\) et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\) est continue en \(0\), et que \(f\) n'est ni dérivable à gauche ni dérivable à droite en \(0\).
Continuité en \(0\). Pour tout \(x \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(0) \rvert &= \lvert x \rvert \left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(définition de \(f\))} \\
&\le \lvert x \rvert && \text{(\(\lvert \sin t \rvert \le 1\))} \\
&\xrightarrow[x \to 0]{} 0. \end{aligned} $$ Comme \(0 \le \lvert f(x) - f(0) \rvert \le \lvert x \rvert\), le Théorème « Théorème d'encadrement » du chapitre Limites et continuité donne \(\lvert f(x) - f(0) \rvert \to 0\), c'est-à-dire \(f(x) \to f(0)\) : \(f\) est continue en \(0\).
Le taux d'accroissement en \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{f(h) - f(0)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h \sin\frac{1}{h}}{h} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \sin\frac{1}{h} \end{aligned} $$ La dernière étape simplifie par \(h \ne 0\).
Pas de dérivée à droite. Pour \(n \ge 1\), posons \(u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\) et \(v_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la \(2\pi\)-périodicité et l'imparité de \(\sin\), $$ \begin{aligned} \tau_0(u_n) &= \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{u_n} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\frac{\pi}{2} && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= 1, \\ \tau_0(v_n) &= \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{v_n} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= -\sin\frac{\pi}{2} && \text{(imparité de \(\sin\))} \\ &= -1. \end{aligned} $$ Deux suites qui tendent vers \(0^+\) donnent des images de limites différentes, \(1\) et \(-1\) : par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^+\).
Pas de dérivée à gauche. Les suites \(-u_n\) et \(-v_n\) sont strictement négatives et tendent vers \(0\), et \(\tau_0(-u_n) = \sin\left(-2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -1\) tandis que \(\tau_0(-v_n) = \sin\left(-2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1\). De la même façon, \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^-\).
Donc \(f\) est continue en \(0\), mais son graphe n'a de tangente à l'origine d'aucun côté.
Le taux d'accroissement en \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{f(h) - f(0)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h \sin\frac{1}{h}}{h} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \sin\frac{1}{h} \end{aligned} $$ La dernière étape simplifie par \(h \ne 0\).
Pas de dérivée à droite. Pour \(n \ge 1\), posons \(u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\) et \(v_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la \(2\pi\)-périodicité et l'imparité de \(\sin\), $$ \begin{aligned} \tau_0(u_n) &= \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{u_n} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\frac{\pi}{2} && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= 1, \\ \tau_0(v_n) &= \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{v_n} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= -\sin\frac{\pi}{2} && \text{(imparité de \(\sin\))} \\ &= -1. \end{aligned} $$ Deux suites qui tendent vers \(0^+\) donnent des images de limites différentes, \(1\) et \(-1\) : par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^+\).
Pas de dérivée à gauche. Les suites \(-u_n\) et \(-v_n\) sont strictement négatives et tendent vers \(0\), et \(\tau_0(-u_n) = \sin\left(-2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -1\) tandis que \(\tau_0(-v_n) = \sin\left(-2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1\). De la même façon, \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^-\).
Donc \(f\) est continue en \(0\), mais son graphe n'a de tangente à l'origine d'aucun côté.
Définition — Dérivabilité sur un intervalle
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\) si elle est dérivable en tout point de \(I\) : de façon bilatérale aux points intérieurs, par l'intérieur aux bornes. L'application \(f' \colon I \to \mathbb{R}\), \(a \mapsto f'(a)\), est la fonction dérivée de \(f\), et l'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est noté \(\textcolor{colordef}{\mathcal{D}(I, \mathbb{R})}\). Compétences à pratiquer
- Distinguer dérivable et continue ★
- Démontrer qu'une fonction n'est pas dérivable en un point ★
- Construire une fonction dérivable en un seul point ★★★
II
Opérations sur les dérivées
Les règles du lycée, démontrées
Les règles du lycée — combinaison linéaire, produit, quotient, composée — sont démontrées ici à partir de la définition : chacune est le taux d'accroissement d'une combinaison écrit avec les taux d'accroissement de ses morceaux, ou, pour la composée, une seule identité de la forme de Carathéodory. La dérivée d'une fonction réciproque est le nouvel outil : elle donne la dérivée d'une fonction à partir de celle de sa réciproque, comme l'Exemple « La racine cubique » le fait pour la racine cubique. Les huit dérivées usuelles du lycée restent admises, comme le Prérequis le dit ; certains exemples en retrouvent quelques-unes, à partir de la définition ou de ces règles, pour illustrer les méthodes.
II.1
Combinaison linéaire, produit, quotient
Les règles des opérations algébriques
Une fonction construite à partir de fonctions plus simples — une somme, un produit, un quotient — a une dérivée construite à partir des leurs. Chaque règle se démontre en écrivant le taux d'accroissement de la combinaison avec ceux des morceaux ; la continuité d'une fonction dérivable est ce qui permet de passer à la limite, puisqu'elle contrôle les facteurs qui ne portent pas de différence. Une troisième forme de la dérivabilité, la forme de Carathéodory, écrit \(f(x) - f(a)\) comme \((x - a)\) fois une fonction continue en \(a\) qui y prend la valeur \(f'(a)\) : elle donne la règle du produit et la dérivation en chaîne sans aucun quotient.
Proposition — Forme de Carathéodory
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement s'il existe une fonction \(\varphi \colon I \to \mathbb{R}\), continue en \(a\), telle que $$\textcolor{colorprop}{f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)} \qquad \text{pour tout } x \in I.$$ Dans ce cas \(\varphi(a) = f'(a)\). - (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\). Posons \(\varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) pour \(x \in I\) avec \(x \ne a\), et \(\varphi(a) = f'(a)\). Pour \(x \ne a\), l'identité \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)\) est la définition de \(\varphi(x)\), et pour \(x = a\) les deux membres valent \(f(a)\). De plus \(\varphi(x) = \tau_a(x - a) \to f'(a)\) quand \(x \to a\) avec \(x \ne a\), et \(f'(a) = \varphi(a)\) : par la Proposition « Limite et limite épointée », \(\varphi(x) \to \varphi(a)\) quand \(x \to a\), c'est-à-dire que \(\varphi\) est continue en \(a\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons \(\varphi\) continue en \(a\) et \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)\) pour tout \(x \in I\). Pour \(x \ne a\), $$ \begin{aligned} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} &= \frac{(x - a)\,\varphi(x)}{x - a} && \text{(hypothèse)} \\ &= \varphi(x) && \text{(simplification par \(x - a \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[x \to a]{} \varphi(a). \end{aligned} $$ La dernière étape est la limite épointée de \(\varphi\) en \(a\), qui vaut \(\varphi(a)\) par la Proposition « Limite et limite épointée ». Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \varphi(a)\), ce qui montre aussi que \(\varphi(a) = f'(a)\) dans la première implication.
Proposition — Linéarité
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\), et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors \(\lambda f + \mu g\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a)}.$$
Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{\lambda f + \mu g}(h) &= \frac{(\lambda f + \mu g)(a + h) - (\lambda f + \mu g)(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \lambda\,\frac{f(a + h) - f(a)}{h} + \mu\,\frac{g(a + h) - g(a)}{h} && \text{(regroupement des termes en \(\lambda\) et en \(\mu\))} \\
&= \lambda\,\tau_a^f(h) + \mu\,\tau_a^g(h) && \text{(définition de \(\tau_a^f\) et \(\tau_a^g\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} \lambda f'(a) + \mu g'(a). \end{aligned} $$ La dernière étape est la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) » : \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) et \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\). Donc \(\lambda f + \mu g\) est dérivable en \(a\), avec la dérivée annoncée.
Proposition — Règle du produit
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\). Alors \(fg\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)}.$$
Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{fg}(h) &= \frac{f(a + h)\,g(a + h) - f(a)\,g(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\big(f(a + h) - f(a)\big)\,g(a + h) + f(a)\,\big(g(a + h) - g(a)\big)}{h} && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(a + h)\))} \\
&= \tau_a^f(h)\,g(a + h) + f(a)\,\tau_a^g(h) && \text{(définition de \(\tau_a^f\) et \(\tau_a^g\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a). \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) et \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\), et \(g(a + h) \to g(a)\) parce que \(g\) est continue en \(a\), par la Proposition « Dérivable implique continue » ; les opérations sur les limites concluent. Donc \(fg\) est dérivable en \(a\) et \((fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Seconde démonstration, par la forme de Carathéodory. Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe \(\varphi_f\) et \(\varphi_g\), continues en \(a\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(a) = g'(a)\), telles que \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x)\) et \(g(x) = g(a) + (x - a)\,\varphi_g(x)\) pour \(x \in I\). Pour \(x \in I\), $$ \begin{aligned} f(x)\,g(x) - f(a)\,g(a) &= \big(f(x) - f(a)\big)\,g(x) + f(a)\,\big(g(x) - g(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(x)\))} \\ &= (x - a)\,\big(\varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\big). \end{aligned} $$ La dernière étape est la forme de Carathéodory de \(f\) et de \(g\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\), de sorte que \(f(x)\,g(x) = f(a)\,g(a) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue »), donc \(\varphi\) est continue en \(a\) par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », et \(\varphi(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\). Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(fg\) est dérivable en \(a\) de dérivée \(f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Seconde démonstration, par la forme de Carathéodory. Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe \(\varphi_f\) et \(\varphi_g\), continues en \(a\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(a) = g'(a)\), telles que \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x)\) et \(g(x) = g(a) + (x - a)\,\varphi_g(x)\) pour \(x \in I\). Pour \(x \in I\), $$ \begin{aligned} f(x)\,g(x) - f(a)\,g(a) &= \big(f(x) - f(a)\big)\,g(x) + f(a)\,\big(g(x) - g(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(x)\))} \\ &= (x - a)\,\big(\varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\big). \end{aligned} $$ La dernière étape est la forme de Carathéodory de \(f\) et de \(g\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\), de sorte que \(f(x)\,g(x) = f(a)\,g(a) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue »), donc \(\varphi\) est continue en \(a\) par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », et \(\varphi(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\). Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(fg\) est dérivable en \(a\) de dérivée \(f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Proposition — Règle du quotient
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\), avec \(g(a) \ne 0\). Alors \(g\) ne s'annule pas sur un intervalle \(J = I \cap [a - \eta, a + \eta]\) avec \(\eta > 0\), la fonction \(\frac{f}{g} \colon J \to \mathbb{R}\) est dérivable en \(a\), et $$\textcolor{colorprop}{\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}}.$$
On traite d'abord \(\frac{1}{g}\), puis on écrit \(\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) par la Proposition « Dérivable implique continue », et \(g(a) \ne 0\) : par la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) », il existe \(\eta > 0\) tel que \(g(x)\) ait le signe de \(g(a)\), donc ne soit pas nul, pour tout \(x \in I \cap [a - \eta, a + \eta] = J\). L'intervalle \(J\) contient \(a\) et n'est pas réduit à un point.
La dérivée de \(\frac{1}{g}\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in J\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{1/g}(h) &= \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)}\right) && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{g(a) - g(a + h)}{h\,g(a + h)\,g(a)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h)\,g(a)} && \text{(définition de \(\tau_a^g\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\) et \(g(a + h) \to g(a) \ne 0\) par continuité ; le quotient de limites s'applique. Donc \(\frac{1}{g}\) est dérivable en \(a\) avec \(\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}\).
Le quotient. Par la Proposition « Règle du produit » appliquée à \(f\) et \(\frac{1}{g}\) sur \(J\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(a) &= f'(a) \cdot \frac{1}{g(a)} + f(a) \cdot \left(-\frac{g'(a)}{g(a)^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivée de \(\frac{1}{g}\))} \\ &= \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape met les deux termes sur le dénominateur commun \(g(a)^2\).
La dérivée de \(\frac{1}{g}\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in J\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{1/g}(h) &= \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)}\right) && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{g(a) - g(a + h)}{h\,g(a + h)\,g(a)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h)\,g(a)} && \text{(définition de \(\tau_a^g\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\) et \(g(a + h) \to g(a) \ne 0\) par continuité ; le quotient de limites s'applique. Donc \(\frac{1}{g}\) est dérivable en \(a\) avec \(\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}\).
Le quotient. Par la Proposition « Règle du produit » appliquée à \(f\) et \(\frac{1}{g}\) sur \(J\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(a) &= f'(a) \cdot \frac{1}{g(a)} + f(a) \cdot \left(-\frac{g'(a)}{g(a)^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivée de \(\frac{1}{g}\))} \\ &= \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape met les deux termes sur le dénominateur commun \(g(a)^2\).
Exemple — La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme
Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la fonction \(x \mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée \(x \mapsto n x^{n-1}\), et en déduire la dérivée d'un polynôme.
Soit \(f_n(x) = x^n\), et pour \(n \in \mathbb{N}^*\) soit \(P_n\) la propriété « \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_n'(x) = n x^{n-1}\) pour tout \(x\) ».
- Initialisation. Pour \(n = 1\) et \(h \ne 0\), \(\tau_a(h) = \frac{(a + h) - a}{h} = 1 = 1 \cdot a^0\). Donc \(f_1\) est dérivable avec \(f_1'(a) = 1\) : \(P_1\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(n \ge 1\). Supposons \(P_n\). Montrons \(P_{n+1}\). Pour tout \(a \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f_{n+1}'(a) &= (f_1 \cdot f_n)'(a) && \text{(\(x^{n+1} = x \cdot x^n\))} \\ &= f_1'(a)\,f_n(a) + f_1(a)\,f_n'(a) && \text{(règle du produit)} \\ &= 1 \cdot a^n + a \cdot n a^{n-1} && \text{(initialisation et hypothèse de récurrence)} \\ &= (n + 1)\,a^n. \end{aligned} $$ Donc \(P_{n+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_1\) est vraie et que \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\) pour tout \(n \ge 1\), par récurrence \(P_n\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).
Exemple — La dérivée d'une fraction rationnelle
Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Le dénominateur \(v(x) = x^2 + 1\) vaut au moins \(1\), donc ne s'annule jamais et la règle du quotient s'applique en tout point. Avec \(u(x) = x^3 - 2x + 1\), donc \(u'(x) = 3x^2 - 2\), et \(v'(x) = 2x\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{v(x)^2} && \text{(règle du quotient)} \\
&= \frac{(3x^2 - 2)(x^2 + 1) - (x^3 - 2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} && \text{(\(u'(x) = 3x^2 - 2\) et \(v'(x) = 2x\))} \\
&= \frac{x^4 + 5x^2 - 2x - 2}{(x^2 + 1)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape développe le numérateur : \((3x^4 + x^2 - 2) - (2x^4 - 4x^2 + 2x)\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la règle à appliquer ★
- Dériver un polynôme ou un produit ★
- Dériver un quotient ★
- Démontrer une règle de dérivation ★★
- Dériver avec une idée ★★★
II.2
Composée
Dériver une composée
Une composée \(g \circ f\) change deux fois de variable : \(x\) devient \(f(x)\), qui devient \(g(f(x))\). Un petit incrément \(h\) sur \(x\) donne sur \(f(x)\) un incrément \(f(a + h) - f(a)\), de l'ordre de \(f'(a)\,h\), et cet incrément sur \(f(x)\) donne à son tour sur \(g(f(x))\) un incrément de l'ordre de \(g'(f(a))\) fois lui-même. Les pentes se multiplient. La démonstration doit éviter le quotient \(\frac{g(f(a + h)) - g(f(a))}{f(a + h) - f(a)}\), dont le dénominateur peut s'annuler pour \(h \ne 0\).
Proposition — Dérivation en chaîne
Soient \(I\) et \(J\) des intervalles non réduits à un point, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) avec \(f(I) \subset J\), et \(g \colon J \to \mathbb{R}\). Si \(f\) est dérivable en \(a \in I\) et \(g\) dérivable en \(b = f(a)\), alors \(g \circ f\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(g \circ f)'(a) = g'(f(a))\,f'(a)}.$$
Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe une fonction \(\varphi_f \colon I \to \mathbb{R}\) continue en \(a\) et une fonction \(\varphi_g \colon J \to \mathbb{R}\) continue en \(b = f(a)\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(b) = g'(b)\), telles que $$f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x) \quad \text{pour } x \in I, \qquad g(y) = g(b) + (y - b)\,\varphi_g(y) \quad \text{pour } y \in J.$$ Pour \(x \in I\), le point \(f(x)\) est dans \(J\), donc la seconde identité s'applique en \(y = f(x)\) : $$ \begin{aligned} g(f(x)) &= g(b) + \big(f(x) - b\big)\,\varphi_g(f(x)) && \text{(forme de Carathéodory de \(g\) en \(y = f(x)\))} \\
&= g(f(a)) + (x - a)\,\varphi_f(x)\,\varphi_g(f(x)). \end{aligned} $$ La dernière étape est \(b = f(a)\) et la forme de Carathéodory de \(f\), \(f(x) - f(a) = (x - a)\,\varphi_f(x)\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,\varphi_g(f(x))\), de sorte que \(g(f(x)) = g(f(a)) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue ») et \(\varphi_g\) est continue en \(f(a)\), donc \(\varphi_g \circ f\) est continue en \(a\), et le produit \(\varphi\) aussi, par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(g \circ f\) est dérivable en \(a\), et \((g \circ f)'(a) = \varphi(a) = \varphi_f(a)\,\varphi_g(f(a)) = f'(a)\,g'(f(a))\).
Exemple — Deux composées
Calculer les dérivées de \(f(x) = (x^3 + 1)^5\) et de \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\) par dérivation en chaîne.
La fonction \(f\). Écrivons \(f = v \circ u\) avec \(u(x) = x^3 + 1\), donc \(u'(x) = 3x^2\), et \(v(y) = y^5\), donc \(v'(y) = 5y^4\) (Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme »). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= v'(u(x))\,u'(x) && \text{(dérivation en chaîne)} \\
&= 5\,(x^3 + 1)^4 \cdot 3x^2 && \text{(\(v'(y) = 5y^4\) et \(u'(x) = 3x^2\))} \\
&= 15x^2\,(x^3 + 1)^4. \end{aligned} $$ La fonction \(g\). Écrivons \(g = v \circ u\) avec \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\), et \(v(y) = \sqrt{y}\). Comme \(u(x) \ge 1 > 0\), le nombre \(u(x)\) est dans \(]0, +\infty[\), où \(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) par l'Exemple « La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\) ». Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} g'(x) &= v'(u(x))\,u'(x) && \text{(dérivation en chaîne)} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x && \text{(\(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) et \(u'(x) = 2x\))} \\
&= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. \end{aligned} $$
Proposition — Formes composées usuelles
Soit \(u \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in I\). Alors, en \(a\) : - pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\textcolor{colorprop}{(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'}\) ;
- si \(u > 0\) sur \(I\), \(\textcolor{colorprop}{(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}}\) et \(\textcolor{colorprop}{(\ln u)' = \frac{u'}{u}}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{(e^u)' = u'\,e^u}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{(\sin u)' = u'\cos u}\) et \(\textcolor{colorprop}{(\cos u)' = -u'\sin u}\).
Chaque forme est la Proposition « Dérivation en chaîne » appliquée à \(g \circ u\), où la fonction extérieure \(g\) est définie sur un intervalle \(J\) qui contient \(u(I)\) et est dérivable en \(u(a)\) :
- \(g(y) = y^n\) sur \(J = \mathbb{R}\), avec \(g'(y) = n y^{n-1}\) par l'Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme » ;
- \(g(y) = \sqrt{y}\) sur \(J = ]0, +\infty[\), avec \(g'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) par l'Exemple « La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\) » ;
- \(g = \ln\) sur \(J = ]0, +\infty[\), avec \(\ln'(y) = \frac{1}{y}\), une dérivée du lycée ;
- \(g = \exp\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\exp' = \exp\) ; \(g = \sin\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\sin' = \cos\) ; \(g = \cos\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\cos' = -\sin\), dérivées du lycée.
Compétences à pratiquer
- Dériver une composée ★
- Dériver une composée où figurent exp ou ln ou cos ★
- Dériver une composée de plusieurs fonctions ★★
- Dériver une puissance à exposant variable ★★★
II.3
Fonction réciproque
Dériver une réciproque
Le graphe de \(f^{-1}\) est l'image miroir du graphe de \(f\) dans la droite \(y = x\), et le miroir envoie une tangente sur une tangente en échangeant ses directions horizontale et verticale. Les pentes sont donc inverses l'une de l'autre, en des points correspondants : \(\frac{1}{f'(a)}\). La démonstration doit établir que la fonction réciproque a une dérivée, ce qui utilise la continuité de \(f^{-1}\).
Proposition — Dérivée d'une fonction réciproque
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue et strictement monotone, \(J = f(I)\), et \(a \in I\) un point où \(f\) est dérivable ; posons \(b = f(a)\). - Si \(f'(a) \ne 0\), alors \(f^{-1} \colon J \to I\) est dérivable en \(b\) et $$\textcolor{colorprop}{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}.$$
- Si \(f'(a) = 0\), alors \(f^{-1}\) n'est pas dérivable en \(b\) : son graphe a une tangente verticale au point \((b, a)\).
Étape 1 : la réciproque est continue. Par le Théorème « Théorème de la bijection », \(f\) est une bijection de \(I\) sur l'intervalle \(J\), et \(f^{-1} \colon J \to I\) est continue et strictement monotone.
Étape 2 : le taux d'accroissement de \(f^{-1}\). Soit \(k \ne 0\) avec \(b + k \in J\), et posons \(h = f^{-1}(b + k) - a\). Alors \(a + h = f^{-1}(b + k) \in I\), et \(h \ne 0\) car \(f^{-1}\) est injective et \(b + k \ne b\). De plus \(f(a + h) = b + k\), donc \(f(a + h) - f(a) = k\). D'où $$ \begin{aligned} \tau_b^{f^{-1}}(k) &= \frac{f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b)}{k} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h}{f(a + h) - f(a)} && \text{(\(f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b) = h\) et \(k = f(a + h) - f(a)\))} \\ &= \frac{1}{\tau_a^f(h)}. \end{aligned} $$ La dernière égalité est la définition de \(\tau_a^f(h)\), qui n'est pas \(0\) car \(f\) est injective.
Étape 3 : la limite. Quand \(k \to 0\), \(h = f^{-1}(b + k) - a \to f^{-1}(b) - a = 0\) par l'étape 1, et \(h \ne 0\). Par la Proposition « Composition de limites », \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) quand \(k \to 0\).
Étape 2 : le taux d'accroissement de \(f^{-1}\). Soit \(k \ne 0\) avec \(b + k \in J\), et posons \(h = f^{-1}(b + k) - a\). Alors \(a + h = f^{-1}(b + k) \in I\), et \(h \ne 0\) car \(f^{-1}\) est injective et \(b + k \ne b\). De plus \(f(a + h) = b + k\), donc \(f(a + h) - f(a) = k\). D'où $$ \begin{aligned} \tau_b^{f^{-1}}(k) &= \frac{f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b)}{k} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h}{f(a + h) - f(a)} && \text{(\(f^{-1}(b + k) - f^{-1}(b) = h\) et \(k = f(a + h) - f(a)\))} \\ &= \frac{1}{\tau_a^f(h)}. \end{aligned} $$ La dernière égalité est la définition de \(\tau_a^f(h)\), qui n'est pas \(0\) car \(f\) est injective.
Étape 3 : la limite. Quand \(k \to 0\), \(h = f^{-1}(b + k) - a \to f^{-1}(b) - a = 0\) par l'étape 1, et \(h \ne 0\). Par la Proposition « Composition de limites », \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) quand \(k \to 0\).
- Si \(f'(a) \ne 0\), le quotient de limites donne \(\tau_b^{f^{-1}}(k) = \frac{1}{\tau_a^f(h)} \to \frac{1}{f'(a)}\). Donc \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et \((f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\), puisque \(a = f^{-1}(b)\).
- Si \(f'(a) = 0\), alors \(\tau_a^f(h) \to 0\), et \(\tau_a^f(h)\) garde un signe strict constant, celui du sens de variation de \(f\) : si \(f\) est strictement croissante, \(\tau_a^f(h) > 0\) pour tout \(h \ne 0\). Alors \(\frac{1}{\tau_a^f(h)} \to +\infty\), et de même \(-\infty\) si \(f\) est strictement décroissante. Donc \(\tau_b^{f^{-1}}(k)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) : \(f^{-1}\) n'est pas dérivable en \(b\), et son graphe a une tangente verticale en \((b, a)\), d'après la Définition « Tangente ».
Figure — symétrie des graphes de \(f\) et \(f^{-1}\)
Exemple — La racine cubique
Soit \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(y) = \sqrt[3]{y}\). Montrer que \(g\) est dérivable en tout \(b \ne 0\) et calculer \(g'(b)\), puis étudier \(g\) en \(0\).
La fonction \(g\) est la réciproque de \(f(x) = x^3\), qui est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), et dérivable avec \(f'(x) = 3x^2\).
En \(b \ne 0\). Posons \(a = g(b) = \sqrt[3]{b}\). Alors \(a \ne 0\), donc \(f'(a) = 3a^2 \ne 0\), et par la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », $$ \begin{aligned} g'(b) &= \frac{1}{f'(g(b))} && \text{(dérivée d'une réciproque, \(f'(g(b)) \ne 0\))} \\ &= \frac{1}{3\,\big(\sqrt[3]{b}\big)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(f'(x) = 3x^2\) en \(x = g(b) = \sqrt[3]{b}\).
En \(0\). Ici \(a = g(0) = 0\) et \(f'(0) = 0\). Par le second cas de la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », \(g\) n'est pas dérivable en \(0\) : son graphe a une tangente verticale à l'origine, la droite \(x = 0\), image miroir de la tangente horizontale de \(x \mapsto x^3\).
En \(b \ne 0\). Posons \(a = g(b) = \sqrt[3]{b}\). Alors \(a \ne 0\), donc \(f'(a) = 3a^2 \ne 0\), et par la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », $$ \begin{aligned} g'(b) &= \frac{1}{f'(g(b))} && \text{(dérivée d'une réciproque, \(f'(g(b)) \ne 0\))} \\ &= \frac{1}{3\,\big(\sqrt[3]{b}\big)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(f'(x) = 3x^2\) en \(x = g(b) = \sqrt[3]{b}\).
En \(0\). Ici \(a = g(0) = 0\) et \(f'(0) = 0\). Par le second cas de la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », \(g\) n'est pas dérivable en \(0\) : son graphe a une tangente verticale à l'origine, la droite \(x = 0\), image miroir de la tangente horizontale de \(x \mapsto x^3\).
Méthode — Calculer une dérivée avec la boîte à outils
Pour calculer la dérivée d'une fonction construite à partir de fonctions plus simples : - Lire la structure. Trouver la dernière opération effectuée quand on calcule \(f(x)\) — somme, produit, quotient, composée, réciproque — et les morceaux qu'elle combine.
- Appliquer la règle de la dernière opération : les Propositions « Linéarité », « Règle du produit », « Règle du quotient », « Dérivation en chaîne » ou « Dérivée d'une fonction réciproque » ; pour une composée dont la fonction extérieure est une puissance, une racine carrée, un logarithme, une exponentielle, un sinus ou un cosinus, la Proposition « Formes composées usuelles » donne le résultat d'emblée. Puis dériver chaque morceau de la même façon.
- Préciser où la formule vaut. Les règles demandent des morceaux dérivables, un dénominateur qui ne s'annule pas, un nombre strictement positif sous \(\sqrt{\cdot}\) ou \(\ln\), et \(f'(a) \ne 0\) pour une réciproque. Là où une règle ne s'applique pas, revenir au taux d'accroissement.
- Simplifier le résultat, et le factoriser quand son signe servira.
Compétences à pratiquer
- Calculer la dérivée d'une réciproque en un point ★
- Vérifier les hypothèses du théorème de la réciproque ★★
- Trouver la tangente au graphe d'une réciproque ★★
- Dériver une réciproque quand la dérivée s'annule ★★★
III
Extrema locaux et théorème de Fermat
Du point stationnaire au point critique
Au lycée, un point stationnaire est un point où la tangente est horizontale, et l'on cherchait les extremums d'une fonction parmi ces points. L'énoncé devient précis ici : en un point intérieur où \(f\) est dérivable, un extremum local force \(f'\) à s'annuler, c'est le théorème de Fermat. L'hypothèse « intérieur » ne peut pas être retirée, et la réciproque est fausse : un point critique est un candidat à un extremum, jamais une preuve d'extremum.
III.1
Extrema locaux et points critiques
Plus grand que ses voisins
Une fonction peut être plus grande en un point qu'en tous les points qui l'entourent sans être la plus grande de toutes : c'est un maximum local. La notion est le maximum du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire, appliqué à la restriction de la fonction à un voisinage du point. Un point critique est l'autre notion en jeu, définie par la seule dérivée : un point où la dérivée s'annule.
Définition — Extremum local
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). Le point \(a\) est un maximum local de \(f\) s'il existe \(\eta > 0\) tel que \(f(x) \le f(a)\) pour tout \(x \in I \cap [a - \eta, a + \eta]\) ; c'est un minimum local si \(f(x) \ge f(a)\) pour tout tel \(x\). Autrement dit, \(f(a)\) est le maximum, ou le minimum, de la restriction de \(f\) à \(I \cap [a - \eta, a + \eta]\), au sens de la Définition « Maximum, minimum, extremum ». Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. Un maximum de \(f\) sur \(I\) est un maximum local, et la réciproque est fausse. Définition — Point critique
\(f : I \to \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in I\). On dit que \(a\) est un point critique de \(f\) si \(\textcolor{colordef}{f'(a) = 0}\). Exemple — Un maximum local qui n'est pas un maximum
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(-1\) est un maximum local de \(f\), et que \(f(-1)\) n'est pas le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
On a \(f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = 2\), donc \(f(x) - f(-1) = x^3 - 3x - 2\) pour tout \(x\), et le développement \((x + 1)^2(x - 2) = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 3x - 2\) donne la factorisation \(f(x) - f(-1) = (x + 1)^2(x - 2)\).
Un maximum local. Prenons \(\eta = 1\). Pour \(x \in [-2, 0] = [-1 - \eta, -1 + \eta]\), $$ \begin{aligned} f(x) - f(-1) &= (x + 1)^2\,(x - 2) && \text{(factorisation ci-dessus)} \\ &\le 0. \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \((x + 1)^2 \ge 0\) et \(x - 2 < 0\) pour \(x \le 0\). Donc \(f(x) \le f(-1)\) sur \([-2, 0]\) : \(-1\) est un maximum local de \(f\).
Pas un maximum. \(f(3) = 3^3 - 3 \times 3 = 18 > 2 = f(-1)\), donc \(f(-1)\) n'est pas un majorant de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), et \(-1\) n'est pas un maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Un maximum local. Prenons \(\eta = 1\). Pour \(x \in [-2, 0] = [-1 - \eta, -1 + \eta]\), $$ \begin{aligned} f(x) - f(-1) &= (x + 1)^2\,(x - 2) && \text{(factorisation ci-dessus)} \\ &\le 0. \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \((x + 1)^2 \ge 0\) et \(x - 2 < 0\) pour \(x \le 0\). Donc \(f(x) \le f(-1)\) sur \([-2, 0]\) : \(-1\) est un maximum local de \(f\).
Pas un maximum. \(f(3) = 3^3 - 3 \times 3 = 18 > 2 = f(-1)\), donc \(f(-1)\) n'est pas un majorant de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), et \(-1\) n'est pas un maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer les points critiques ★
III.2
Théorème de Fermat
Pourquoi un maximum local a une tangente horizontale
Près d'un maximum local, le graphe monte jusqu'au point et descend après lui : les sécantes passant par le point ont une pente au plus égale à \(0\) à droite du point, où \(f\) descend, et au moins égale à \(0\) à sa gauche, où \(f\) monte. Une dérivée qui existe est donc coincée entre les deux, et vaut \(0\). La démonstration est cet argument, écrit avec les deux dérivées latérales ; il demande de la place des deux côtés du point, ce qui est l'hypothèse « intérieur ».
Théorème — Fermat
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a\) un point intérieur de \(I\) où \(f\) est dérivable. Si \(a\) est un extremum local de \(f\), alors \(\textcolor{colorprop}{f'(a) = 0}\).
On traite un maximum local. Si \(a\) est un minimum local de \(f\), c'est un maximum local de \(-f\), et \((-f)'(a) = -f'(a)\) par la Proposition « Linéarité » : la conclusion pour \(-f\) donne celle pour \(f\).
Hypothèses. Comme \(a\) est intérieur et est un maximum local, il existe \(\eta > 0\) tel que \([a - \eta, a + \eta] \subset I\) et \(f(a + h) \le f(a)\) pour tout \(h \in [-\eta, \eta]\).
À droite. Pour \(0 < h \le \eta\), \(f(a + h) - f(a) \le 0\) et \(h > 0\), donc \(\tau_a(h) \le 0\). Par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité, \(f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \tau_a(h) \le 0\).
À gauche. Pour \(-\eta \le h < 0\), \(f(a + h) - f(a) \le 0\) et \(h < 0\), donc \(\tau_a(h) \ge 0\). Par la même Proposition, \(f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \tau_a(h) \ge 0\).
Conclusion. Comme \(f\) est dérivable au point intérieur \(a\), la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales » donne \(f'_g(a) = f'(a) = f'_d(a)\), donc $$0 \le f'_g(a) = f'(a) = f'_d(a) \le 0.$$ Donc \(f'(a) = 0\).
Seconde démonstration, par le signe de la limite. On démontre la contraposée : si \(f'(a) \ne 0\), alors \(a\) n'est ni un maximum local ni un minimum local. Supposons d'abord \(f'(a) > 0\). Comme \(\tau_a(h) \to f'(a) > 0\), la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » donne \(\eta > 0\) avec \([a - \eta, a + \eta] \subset I\) et \(\tau_a(h) > 0\) pour \(0 < \lvert h \rvert \le \eta\). Alors \(f(a + h) - f(a) = h\,\tau_a(h)\) a le signe de \(h\) : \(f(a + h) > f(a)\) pour \(0 < h \le \eta\), et \(f(a + h) < f(a)\) pour \(-\eta \le h < 0\). Pour tout \(\eta' > 0\), les points \(a + h\) et \(a - h\) avec \(h = \min(\eta, \eta')\) sont dans \([a - \eta', a + \eta']\), avec \(f(a + h) > f(a)\) et \(f(a - h) < f(a)\) : donc \(a\) n'est ni un maximum local ni un minimum local. Si \(f'(a) < 0\), on applique cela à \(-f\), dont la dérivée en \(a\) est \(-f'(a) > 0\) par la Proposition « Linéarité » ; un extremum local de \(f\) en est un de \(-f\). Donc un extremum local en un point intérieur où \(f\) est dérivable a \(f'(a) = 0\).
Hypothèses. Comme \(a\) est intérieur et est un maximum local, il existe \(\eta > 0\) tel que \([a - \eta, a + \eta] \subset I\) et \(f(a + h) \le f(a)\) pour tout \(h \in [-\eta, \eta]\).
À droite. Pour \(0 < h \le \eta\), \(f(a + h) - f(a) \le 0\) et \(h > 0\), donc \(\tau_a(h) \le 0\). Par la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité, \(f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \tau_a(h) \le 0\).
À gauche. Pour \(-\eta \le h < 0\), \(f(a + h) - f(a) \le 0\) et \(h < 0\), donc \(\tau_a(h) \ge 0\). Par la même Proposition, \(f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \tau_a(h) \ge 0\).
Conclusion. Comme \(f\) est dérivable au point intérieur \(a\), la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales » donne \(f'_g(a) = f'(a) = f'_d(a)\), donc $$0 \le f'_g(a) = f'(a) = f'_d(a) \le 0.$$ Donc \(f'(a) = 0\).
Seconde démonstration, par le signe de la limite. On démontre la contraposée : si \(f'(a) \ne 0\), alors \(a\) n'est ni un maximum local ni un minimum local. Supposons d'abord \(f'(a) > 0\). Comme \(\tau_a(h) \to f'(a) > 0\), la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) » donne \(\eta > 0\) avec \([a - \eta, a + \eta] \subset I\) et \(\tau_a(h) > 0\) pour \(0 < \lvert h \rvert \le \eta\). Alors \(f(a + h) - f(a) = h\,\tau_a(h)\) a le signe de \(h\) : \(f(a + h) > f(a)\) pour \(0 < h \le \eta\), et \(f(a + h) < f(a)\) pour \(-\eta \le h < 0\). Pour tout \(\eta' > 0\), les points \(a + h\) et \(a - h\) avec \(h = \min(\eta, \eta')\) sont dans \([a - \eta', a + \eta']\), avec \(f(a + h) > f(a)\) et \(f(a - h) < f(a)\) : donc \(a\) n'est ni un maximum local ni un minimum local. Si \(f'(a) < 0\), on applique cela à \(-f\), dont la dérivée en \(a\) est \(-f'(a) > 0\) par la Proposition « Linéarité » ; un extremum local de \(f\) en est un de \(-f\). Donc un extremum local en un point intérieur où \(f\) est dérivable a \(f'(a) = 0\).
Exemple — Le théorème de Fermat à l'œuvre
Vérifier le théorème de Fermat pour \(f(x) = x^2\) en son minimum \(0\). Puis utiliser le théorème pour trouver le seul extremum possible de \(g(x) = x^2 - 6x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
La vérification. Pour tout \(x\), \(f(x) - f(0) = x^2 \ge 0\), donc \(0\) est un minimum de \(f\), a fortiori un minimum local, et c'est un point intérieur de \(\mathbb{R}\). La fonction \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 2 \times 0 = 0\), d'après l'Exemple « La dérivée de \(x^2\) ». Cela s'accorde avec le théorème de Fermat.
L'emploi. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(g'(x) = 2x - 6\), et tout point de \(\mathbb{R}\) est intérieur. Par le théorème de Fermat, un extremum de \(g\) est en un point où \(g'(x) = 0\), c'est-à-dire \(x = 3\) : aucun autre point ne peut être un extremum. Le théorème ne dit pas que \(3\) en est un ; on le vérifie directement : $$ \begin{aligned} g(x) - g(3) &= (x^2 - 6x + 1) - (-8) && \text{(\(g(3) = 9 - 18 + 1 = -8\))} \\ &= (x - 3)^2. \end{aligned} $$ La dernière étape reconnaît le carré \(x^2 - 6x + 9\). Comme \((x - 3)^2 \ge 0\), \(g(x) \ge g(3)\) pour tout \(x\) : \(3\) est le minimum de \(g\).
L'emploi. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(g'(x) = 2x - 6\), et tout point de \(\mathbb{R}\) est intérieur. Par le théorème de Fermat, un extremum de \(g\) est en un point où \(g'(x) = 0\), c'est-à-dire \(x = 3\) : aucun autre point ne peut être un extremum. Le théorème ne dit pas que \(3\) en est un ; on le vérifie directement : $$ \begin{aligned} g(x) - g(3) &= (x^2 - 6x + 1) - (-8) && \text{(\(g(3) = 9 - 18 + 1 = -8\))} \\ &= (x - 3)^2. \end{aligned} $$ La dernière étape reconnaît le carré \(x^2 - 6x + 9\). Comme \((x - 3)^2 \ge 0\), \(g(x) \ge g(3)\) pour tout \(x\) : \(3\) est le minimum de \(g\).
Exemple — La réciproque du théorème de Fermat est fausse
Montrer que \(f(x) = x^3\) vérifie \(f'(0) = 0\) mais que \(0\) n'est pas un extremum local de \(f\).
Contre-exemple : \(f(x) = x^3\) en \(0\).
D'une part, \(f'(x) = 3x^2\) par l'Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme », donc \(f'(0) = 0\) et \(0\) est un point critique.
D'autre part, soit \(\eta > 0\). Les points \(\frac{\eta}{2}\) et \(-\frac{\eta}{2}\) sont dans \([-\eta, \eta]\) et $$f\left(-\frac{\eta}{2}\right) = -\frac{\eta^3}{8} < 0 = f(0) < \frac{\eta^3}{8} = f\left(\frac{\eta}{2}\right).$$ Donc il n'existe aucun \(\eta > 0\) pour lequel \(f(x) \le f(0)\) sur \([-\eta, \eta]\) — \(x = \frac{\eta}{2}\) le contredit — ni \(f(x) \ge f(0)\) — \(x = -\frac{\eta}{2}\) le contredit. Le point \(0\) n'est ni un maximum local ni un minimum local.
Donc la réciproque du théorème de Fermat est fausse : \(0\) est un point critique qui n'est pas un extremum.
D'une part, \(f'(x) = 3x^2\) par l'Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme », donc \(f'(0) = 0\) et \(0\) est un point critique.
D'autre part, soit \(\eta > 0\). Les points \(\frac{\eta}{2}\) et \(-\frac{\eta}{2}\) sont dans \([-\eta, \eta]\) et $$f\left(-\frac{\eta}{2}\right) = -\frac{\eta^3}{8} < 0 = f(0) < \frac{\eta^3}{8} = f\left(\frac{\eta}{2}\right).$$ Donc il n'existe aucun \(\eta > 0\) pour lequel \(f(x) \le f(0)\) sur \([-\eta, \eta]\) — \(x = \frac{\eta}{2}\) le contredit — ni \(f(x) \ge f(0)\) — \(x = -\frac{\eta}{2}\) le contredit. Le point \(0\) n'est ni un maximum local ni un minimum local.
Donc la réciproque du théorème de Fermat est fausse : \(0\) est un point critique qui n'est pas un extremum.
Exemple — L'hypothèse « intérieur » est essentielle
Soit \(f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\). Son maximum est atteint en \(1\), une borne de \([0, 1]\), et pourtant \(f'(1) \ne 0\) : pour tout \(h \in [-1, 0[\), $$\tau_1(h) = \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + h) - 1}{h} = 1,$$ donc la dérivée à la borne \(1\), prise par l'intérieur de \([0, 1]\), est \(f'(1) = 1\). Le théorème de Fermat ne s'applique pas en \(1\), qui n'est pas un point intérieur, et sa conclusion tombe en défaut : l'hypothèse « intérieur » ne peut pas être retirée. Méthode — Déterminer les extrema d'une fonction sur un segment
Pour déterminer les extrema d'une fonction \(f\) continue sur un segment \([a, b]\) : - Existence. Par le Théorème « Théorème des bornes atteintes », \(f\) atteint un maximum et un minimum sur \([a, b]\). Sur un intervalle qui n'est pas un segment, cette étape tombe en défaut, et un extremum peut ne pas exister.
- Les candidats. Un extremum est atteint en une borne, \(a\) ou \(b\), ou en un point de \(]a, b[\) ; en un point de \(]a, b[\) où \(f\) est dérivable, c'est un point critique, par le théorème de Fermat. Les candidats sont donc les bornes, les points critiques dans \(]a, b[\), et les points de \(]a, b[\) où \(f\) n'est pas dérivable.
- Comparer. Calculer \(f\) en chaque candidat : la plus grande valeur est le maximum, la plus petite est le minimum, et les points où ils sont atteints sont parmi les candidats.
Exemple — Les extrema d'une cubique sur un segment
Déterminer le maximum et le minimum de \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \([-2, 3]\), et les points où ils sont atteints.
Existence. La fonction \(f\) est un polynôme, donc continue sur le segment \([-2, 3]\) : par le Théorème « Théorème des bornes atteintes », elle a un maximum et un minimum.
Les candidats. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc il n'y a aucun point de non-dérivabilité. Ses points critiques vérifient $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les deux points sont dans \(]-2, 3[\), donc les candidats sont \(-2\), \(-1\), \(1\) et \(3\).
La comparaison. $$ \begin{aligned} f(-2) &= (-2)^3 - 3 \times (-2) = -2, & f(-1) &= (-1)^3 - 3 \times (-1) = 2, \\ f(1) &= 1^3 - 3 \times 1 = -2, & f(3) &= 3^3 - 3 \times 3 = 18. \end{aligned} $$ La plus grande valeur est \(18\), atteinte en \(3\) ; la plus petite est \(-2\), atteinte en \(-2\) et en \(1\). Donc \(\max_{[-2, 3]} f = 18\) et \(\min_{[-2, 3]} f = -2\).
Les candidats. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc il n'y a aucun point de non-dérivabilité. Ses points critiques vérifient $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les deux points sont dans \(]-2, 3[\), donc les candidats sont \(-2\), \(-1\), \(1\) et \(3\).
La comparaison. $$ \begin{aligned} f(-2) &= (-2)^3 - 3 \times (-2) = -2, & f(-1) &= (-1)^3 - 3 \times (-1) = 2, \\ f(1) &= 1^3 - 3 \times 1 = -2, & f(3) &= 3^3 - 3 \times 3 = 18. \end{aligned} $$ La plus grande valeur est \(18\), atteinte en \(3\) ; la plus petite est \(-2\), atteinte en \(-2\) et en \(1\). Donc \(\max_{[-2, 3]} f = 18\) et \(\min_{[-2, 3]} f = -2\).
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème de Fermat ou montrer qu'il ne s'applique pas ★
- Déterminer les extrema d'une fonction sur un segment ★★
- Utiliser le théorème de Fermat avec une idée ★★★
IV
Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
De Fermat aux accroissements finis
Le théorème de Fermat dit qu'une dérivée s'annule en un extremum intérieur. Le théorème de Rolle trouve un tel extremum entre deux valeurs égales, et le théorème des accroissements finis incline la figure : la corde horizontale devient une corde quelconque. Chacun de ces deux résultats est une conséquence globale du théorème des bornes atteintes et du théorème de Fermat, et le théorème des accroissements finis est l'outil de travail pour l'inégalité des accroissements finis, pour le signe de la dérivée et la monotonie, et pour la limite de la dérivée.
IV.1
Théorème de Rolle
Une tangente horizontale entre deux valeurs égales
Une fonction qui quitte une hauteur et y revient a tourné quelque part : elle monte puis descend, ou descend puis monte, et au point de retournement la tangente est horizontale. Le théorème de Fermat précise cette image en un extremum, et le théorème de Rolle trouve l'extremum. Les trois hypothèses servent toutes : la continuité sur l'intervalle fermé produit l'extremum, l'égalité des deux valeurs le force à être à l'intérieur, et la dérivabilité sur l'intervalle ouvert donne la tangente en ce point.
Théorème — Rolle
Soient \(a < b\) et \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\), avec \(f(a) = f(b)\). Alors il existe \(c \in \,]a, b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
Soit \(v = f(a) = f(b)\) la valeur commune. Il y a deux cas, qui couvrent toutes les possibilités.
- Cas 1 : \(f\) est constante. Tout taux d'accroissement d'une fonction constante est nul, donc \(f'(c) = 0\) pour tout \(c \in \,]a, b[\), et un tel \(c\) quelconque convient.
- Cas 2 : \(f\) n'est pas constante. Alors \(f(x_0) \ne v\) pour un \(x_0 \in [a, b]\). Supposons d'abord que \(f(x_0) > v\). Par le Théorème « Théorème des bornes atteintes » du chapitre Limites et continuité, \(f\) a un maximum sur le segment \([a, b]\) : il existe \(p \in [a, b]\) avec \(f(x) \le f(p)\) pour tout \(x \in [a, b]\). Alors \(f(p) \ge f(x_0) > v = f(a) = f(b)\), donc \(p \ne a\) et \(p \ne b\) : le point \(p\) est dans \(]a, b[\), qui est l'intérieur de \([a, b]\). Comme \(f(x) \le f(p)\) pour tout \(x \in [a, b]\), la fonction \(f\) a un maximum local en \(p\) (Définition « Extremum local »), et \(f\) est dérivable en \(p\). Le Théorème « Fermat » donne \(f'(p) = 0\), et \(c = p\) convient. Si \(f(x_0) < v\), on applique ce qui précède à \(-f\) : cette fonction est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\) par la Proposition « Linéarité », elle prend la même valeur \(-v\) en \(a\) et en \(b\), et \((-f)(x_0) > -v\). Cela donne \(c \in \,]a, b[\) avec \((-f)'(c) = -f'(c) = 0\).
Figure — Rolle
Exemple — Trois contre-exemples, un pour chaque hypothèse
Chacune des trois hypothèses du théorème de Rolle est nécessaire : voici trois fonctions sur \([0, 1]\) pour lesquelles deux hypothèses sont vraies, la troisième est fausse, et \(f'\) n'a aucun zéro dans \(]0, 1[\). - La continuité en une borne est en défaut. Soit \(f(x) = x\) pour \(x \in [0, 1[\) et \(f(1) = 0\). Alors \(f(0) = f(1) = 0\), et \(f\) est dérivable sur \(]0, 1[\) avec \(f'(x) = 1\). Mais \(f(x) \to 1 \ne 0 = f(1)\) quand \(x \to 1^-\), donc \(f\) n'est pas continue en \(1\), et \(f'\) ne s'annule jamais.
- La dérivabilité à l'intérieur est en défaut. Soit \(f(x) = \lvert x - \tfrac{1}{2} \rvert\). Alors \(f\) est continue sur \([0, 1]\) et \(f(0) = f(1) = \tfrac{1}{2}\). Sur \(]0, \tfrac{1}{2}[\), \(f(x) = \tfrac{1}{2} - x\) et \(f'(x) = -1\) ; sur \(]\tfrac{1}{2}, 1[\), \(f(x) = x - \tfrac{1}{2}\) et \(f'(x) = 1\). En \(\tfrac{1}{2}\) la dérivée à gauche vaut \(-1\) et la dérivée à droite vaut \(1\), donc \(f\) n'est pas dérivable en ce point (Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales »), et \(f'\) ne s'annule nulle part.
- Les deux valeurs diffèrent. Soit \(f(x) = x\). Alors \(f\) est continue sur \([0, 1]\) et dérivable sur \(]0, 1[\), mais \(f(0) = 0 \ne 1 = f(1)\), et \(f'(x) = 1\) ne s'annule jamais.
Compétences à pratiquer
- Trouver le point donné par le théorème de Rolle ★
- Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle ★
- Montrer qu'une dérivée s'annule avec une fonction auxiliaire ★★
- Appliquer le théorème de Rolle sur un intervalle non borné ★★★
IV.2
Théorème des accroissements finis
Deux lectures du théorème des accroissements finis
Le théorème de Rolle demande une corde horizontale. Pour une corde quelconque la même idée vaut après une inclinaison : retrancher à la fonction la fonction affine dont le graphe est la corde, et la différence prend des valeurs égales aux deux extrémités. Le résultat a deux lectures. En géométrie, parmi les tangentes au graphe entre \(a\) et \(b\), l'une est parallèle à la corde joignant les extrémités. En cinématique, si \(f(t)\) est la position à l'instant \(t\), la vitesse moyenne entre les instants \(a\) et \(b\) est égale à la vitesse instantanée à un certain instant entre les deux.
Théorème — Théorème des accroissements finis
Soient \(a < b\) et \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). Alors il existe \(c \in \,]a, b[\) tel que \(f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a)\).
Soit \(p = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) la pente de la corde, et soit \(d\) la fonction affine dont le graphe est la corde : \(d(x) = f(a) + p\,(x - a)\). Posons \(\varphi = f - d\) sur \([a, b]\). La fonction \(\varphi\) est continue sur \([a, b]\), comme différence de fonctions continues, et dérivable sur \(]a, b[\) avec \(\varphi'(x) = f'(x) - p\), par la Proposition « Linéarité ». De plus \(\varphi(a) = f(a) - d(a) = 0\), et $$ \begin{aligned} \varphi(b) &= f(b) - d(b) && \text{(définition de \(\varphi\))} \\
&= f(b) - \big(f(a) + p\,(b - a)\big) && \text{(définition de \(d\))} \\
&= 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(p\,(b - a) = f(b) - f(a)\). Donc \(\varphi(a) = \varphi(b)\), et le Théorème « Rolle » donne \(c \in \,]a, b[\) avec \(\varphi'(c) = 0\), c'est-à-dire \(f'(c) = p\). En multipliant par \(b - a\), c'est \(f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a)\).
Figure — théorème des accroissements finis
Exemple — Une inégalité entre deux racines carrées
Utiliser le théorème des accroissements finis pour montrer que \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \le \frac{1}{2\sqrt{x}}\) pour tout \(x > 0\).
Soient \(x > 0\) et \(g(t) = \sqrt{t}\). La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) avec \(g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}\) (Exemple « La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\) »), donc continue sur cet intervalle (Proposition « Dérivable implique continue »), et \([x, x + 1] \subset \,]0, +\infty[\). Par le Théorème « Théorème des accroissements finis » sur \([x, x + 1]\), il existe \(c \in \,]x, x + 1[\) tel que $$ \begin{aligned} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} &= g(x + 1) - g(x) && \text{(définition de \(g\))} \\
&= g'(c)\,\big((x + 1) - x\big) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([x, x + 1]\))} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{c}} && \text{(\(g'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c}}\) et \((x + 1) - x = 1\))} \\
&\le \frac{1}{2\sqrt{x}}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(c > x > 0\) donne \(\sqrt{c} > \sqrt{x} > 0\), puisque \(\sqrt{\cdot}\) est strictement croissante, donc \(\frac{1}{2\sqrt{c}} < \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Méthode — Démontrer une inégalité avec le théorème des accroissements finis
Pour démontrer une inégalité où intervient une différence de valeurs \(g(x) - g(a)\) : - Choisir la fonction et l'intervalle. Lire l'inégalité comme un encadrement de \(g(x) - g(a)\), ou du quotient \(\frac{g(x) - g(a)}{x - a}\), pour une fonction \(g\) dont la dérivée est plus simple que \(g\), comme \(\sqrt{t}\) dont la dérivée est \(\frac{1}{2\sqrt{t}}\). L'intervalle est \([a, x]\), ou \([x, a]\) quand \(x < a\), avec \(x\) un point quelconque.
- Vérifier les hypothèses. La fonction \(g\) doit être continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert.
- Appliquer le théorème. Il donne \(g(x) - g(a) = g'(c)\,(x - a)\) pour un point \(c\) strictement compris entre \(a\) et \(x\), qui n'est pas calculé.
- Majorer ou minorer \(g'(c)\) par la position de \(c\). La seule information sur \(c\) est qu'il est compris entre \(a\) et \(x\) : s'en servir pour encadrer \(g'(c)\), par exemple avec la monotonie de \(g'\) ou une inégalité valable sur tout l'intervalle. Multiplier l'encadrement par \(x - a\), en tenant compte de son signe.
Compétences à pratiquer
- Trouver le point donné par le théorème des accroissements finis ★
- Appliquer le théorème des accroissements finis à une fonction sur un segment ★
- Démontrer une inégalité avec le théorème des accroissements finis ★★
- Utiliser le théorème des accroissements finis avec une idée ★★★
IV.3
Zéros d'une fonction et de ses dérivées
Compter les zéros avec le théorème de Rolle
Le théorème de Rolle transforme deux zéros d'une fonction en un zéro de sa dérivée : entre deux zéros de \(f\), la dérivée \(f'\) s'annule. Lu dans l'autre sens, il majore le nombre de zéros de \(f\) par celui de \(f'\) plus un, et itéré, il relie les zéros de \(f\) à ceux de ses dérivées successives. Deux usages en découlent : compter les zéros d'une fonction, et démontrer qu'une dérivée s'annule en un point inconnu, ce qui est le thème de nombreux problèmes classiques.
Proposition — Zéros et Rolle
Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\). - Entre deux zéros de \(f\) il y a un zéro de \(f'\) : si \(x < y\) dans \(I\) et \(f(x) = f(y) = 0\), alors \(f'\) s'annule en un point de \(]x, y[\).
- Si \(f'\) a au plus \(n\) zéros dans \(\mathring{I}\), alors \(f\) a au plus \(n + 1\) zéros dans \(I\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). En particulier, si \(f'\) n'a aucun zéro dans \(\mathring{I}\), alors \(f\) a au plus un zéro dans \(I\).
- Premier point. Soient \(x < y\) dans \(I\) avec \(f(x) = f(y) = 0\). Comme \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\), donc \(f\) est continue sur \([x, y]\), et \(]x, y[ \,\subset \mathring{I}\), donc \(f\) est dérivable sur \(]x, y[\). Comme \(f(x) = f(y)\), le Théorème « Rolle » donne \(c \in \,]x, y[\) avec \(f'(c) = 0\).
- Second point. On démontre la contraposée : si \(f\) a au moins \(n + 2\) zéros dans \(I\), alors \(f'\) a au moins \(n + 1\) zéros dans \(\mathring{I}\). Soient \(x_0 < x_1 < \dots < x_{n+1}\) des zéros de \(f\) dans \(I\). Pour chaque \(j \in \{0, \dots, n\}\), le premier point donne \(c_j \in \,]x_j, x_{j+1}[\) avec \(f'(c_j) = 0\). Comme \(x_j < c_j < x_{j+1} < c_{j+1}\), les nombres \(c_0 < c_1 < \dots < c_n\) sont distincts, et ils sont dans \(\mathring{I}\) parce qu'ils sont dans l'intervalle ouvert \(]x_0, x_{n+1}[ \,\subset I\). Donc \(f'\) a au moins \(n + 1\) zéros dans \(\mathring{I}\). On en déduit, par contraposée, que si \(f'\) a au plus \(n\) zéros dans \(\mathring{I}\), alors \(f\) a au plus \(n + 1\) zéros dans \(I\). Pour \(n = 0\), cela donne : si \(f'\) n'a aucun zéro, \(f\) a au plus un zéro.
Proposition — Rolle répété
Soient \(I\) un intervalle, \(k \in \mathbb{N}^*\) et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) une fonction \(k\) fois dérivable. Si \(f\) a \(k + 1\) zéros distincts \(x_0 < x_1 < \dots < x_k\) dans \(I\), alors \(f^{(k)}\) s'annule en un point de \(]x_0, x_k[\).
Pour \(i \in \{0, \dots, k\}\), notons \(P(i)\) l'énoncé « \(f^{(i)}\) a \(k - i + 1\) zéros distincts dans \([x_0, x_k]\), tous dans \(]x_0, x_k[\) si \(i \ge 1\) ». Chaque \(f^{(i)}\) avec \(i \le k - 1\) est dérivable sur \(I\), donc continue sur \(I\) (Proposition « Dérivable implique continue »), de sorte que le théorème de Rolle s'y applique.
- Initialisation. \(P(0)\) est vraie : les nombres \(x_0, \dots, x_k\) sont \(k + 1\) zéros distincts de \(f\) dans \([x_0, x_k]\).
- Hérédité. Soit \(i \in \{0, \dots, k - 1\}\) et supposons \(P(i)\) : soient \(y_1 < \dots < y_{k-i+1}\) des zéros de \(f^{(i)}\) dans \([x_0, x_k]\). Pour chaque \(j \in \{1, \dots, k - i\}\), le premier point de la Proposition « Zéros et Rolle », appliqué à \(f^{(i)}\) sur \([y_j, y_{j+1}]\), donne \(z_j \in \,]y_j, y_{j+1}[\) avec \(f^{(i+1)}(z_j) = 0\). Comme \(y_j < z_j < y_{j+1} < z_{j+1}\), les nombres \(z_1, \dots, z_{k-i}\) sont distincts, il y en a \(k - i = k - (i + 1) + 1\), et ils sont dans \(]y_1, y_{k-i+1}[ \,\subset\, ]x_0, x_k[\), car \(x_0 \le y_1\) et \(y_{k-i+1} \le x_k\). C'est \(P(i + 1)\).
- Conclusion. Puisque \(P(0)\) est vraie et que \(P(i) \Rightarrow P(i + 1)\) pour \(0 \le i \le k - 1\), par récurrence \(P(k)\) est vraie : comme \(k \ge 1\), \(f^{(k)}\) a un zéro \(z\) dans \(]x_0, x_k[\).
Méthode — Montrer qu'une dérivée s'annule
Pour démontrer qu'une dérivée, ou une expression faite de \(f\) et de \(f'\), s'annule en un point inconnu \(c\) : - Le théorème de Rolle sur \(f\). Si les données fournissent deux points où \(f\) prend la même valeur, \(f'\) s'annule entre eux.
- Le théorème de Rolle sur une fonction auxiliaire. Chercher une fonction \(\varphi\) construite à partir de \(f\) dont la dérivée est l'expression à annuler, à un facteur non nul près : \(\varphi(x) = x f(x)\) pour \(c f'(c) + f(c)\), puisque \(\varphi'(x) = f(x) + x f'(x)\) ; \(\varphi(x) = e^{-\lambda x} f(x)\) pour \(f'(c) = \lambda f(c)\), puisque \(\varphi'(x) = e^{-\lambda x}\big(f'(x) - \lambda f(x)\big)\) ; \(\varphi = f - g\) pour \(f'(c) = g'(c)\). Vérifier que \(\varphi\) prend des valeurs égales aux deux extrémités et satisfait les hypothèses du théorème.
- Le théorème des accroissements finis. Il remplace le théorème de Rolle quand les données fournissent les valeurs de \(f\) en deux points, sans qu'elles soient égales.
- Une dérivée successive. Compter les zéros : la Proposition « Rolle répété » transforme \(k + 1\) zéros de \(f\) en un zéro de \(f^{(k)}\). Un zéro connu de \(f'\) compte aussi : appliquer le théorème de Rolle à \(f\) pour produire des zéros de \(f'\), ajouter les zéros de \(f'\) qui sont donnés, et recommencer sur \(f'\).
Exemple — Une dérivée qui s'annule par \(x f(x)\)
Soit \(f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}\) continue sur \([0, 1]\) et dérivable sur \(]0, 1[\), avec \(f(1) = 0\). Montrer qu'il existe \(c \in \,]0, 1[\) tel que \(c\,f'(c) + f(c) = 0\).
L'expression \(c f'(c) + f(c)\) est la valeur en \(c\) de la dérivée de \(x \mapsto x f(x)\). Soit \(g(x) = x f(x)\) sur \([0, 1]\). La fonction \(g\) est continue sur \([0, 1]\) et dérivable sur \(]0, 1[\), comme produit de deux telles fonctions (Proposition « Règle du produit »), et $$ \begin{aligned} g'(x) &= \big(x f(x)\big)' && \text{(définition de \(g\))} \\
&= 1 \cdot f(x) + x\,f'(x) && \text{(règle du produit)} \\
&= f(x) + x\,f'(x). \end{aligned} $$ De plus \(g(0) = 0 \cdot f(0) = 0\) et \(g(1) = 1 \cdot f(1) = 0\). Donc \(g(0) = g(1)\), et le Théorème « Rolle » donne \(c \in \,]0, 1[\) avec \(g'(c) = 0\), c'est-à-dire \(c\,f'(c) + f(c) = 0\).
Exemple — Une dérivée troisième qui s'annule
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) une fonction trois fois dérivable, et \(a < c < b\) trois points de \(I\) tels que \(f(a) = f(c) = f(b)\) et \(f'(c) = 0\). Montrer qu'il existe \(d \in \,]a, b[\) tel que \(f^{(3)}(d) = 0\).
Zéros de \(f'\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\), donc continue, et \(f(a) = f(c)\). Le Théorème « Rolle » sur \([a, c]\) donne \(c_1 \in \,]a, c[\) avec \(f'(c_1) = 0\). De même \(f(c) = f(b)\) et le Théorème « Rolle » sur \([c, b]\) donnent \(c_2 \in \,]c, b[\) avec \(f'(c_2) = 0\). Avec l'hypothèse \(f'(c) = 0\), la fonction \(f'\) a les trois zéros distincts \(c_1 < c < c_2\).
Un zéro de \(f'''\). La fonction \(f'\) est deux fois dérivable sur \(I\), et \((f')'' = f^{(3)}\) par la Définition « Dérivée \(n\)-ième ». La Proposition « Rolle répété » pour \(f'\), avec \(k = 2\) et les trois zéros \(c_1 < c < c_2\), donne \(d \in \,]c_1, c_2[\) avec \(f^{(3)}(d) = 0\). Comme \(]c_1, c_2[ \,\subset \,]a, b[\), le point \(d\) est dans \(]a, b[\).
Un zéro de \(f'''\). La fonction \(f'\) est deux fois dérivable sur \(I\), et \((f')'' = f^{(3)}\) par la Définition « Dérivée \(n\)-ième ». La Proposition « Rolle répété » pour \(f'\), avec \(k = 2\) et les trois zéros \(c_1 < c < c_2\), donne \(d \in \,]c_1, c_2[\) avec \(f^{(3)}(d) = 0\). Comme \(]c_1, c_2[ \,\subset \,]a, b[\), le point \(d\) est dans \(]a, b[\).
Compétences à pratiquer
- Majorer le nombre de zéros d'une fonction ★
- Compter les racines réelles avec le théorème de Rolle ★★
- Appliquer le théorème de Rolle de façon répétée ★★
- Utiliser le théorème de Rolle sur des polynômes à racines réelles ★★★
V
Fonctions lipschitziennes et inégalité des accroissements finis
Une borne sur la dérivée
Le théorème des accroissements finis transforme une information sur \(f'\) en une information sur les accroissements de \(f\). Une borne sur \(f'\) donne une borne sur tous les accroissements à la fois : c'est l'inégalité des accroissements finis, une propriété globale de \(f\) sur un intervalle, à la différence de la continuité, qui est locale. Elle a deux usages. Le premier est la comparaison de valeurs, par la propriété de Lipschitz. Le second est le principe de contraction : pour une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(\lvert f' \rvert \le k < 1\), la distance à la limite est multipliée par au plus \(k\) à chaque pas, une vitesse que le théorème de la limite monotone ne donne pas. Le signe de \(f'\), qui donne la monotonie, est une troisième conséquence du théorème des accroissements finis.
V.1
Fonctions lipschitziennes
Pentes des cordes
La pente de la corde joignant les points d'abscisses \(x\) et \(y\) d'un graphe est \(\frac{f(x) - f(y)}{x - y}\). Une fonction dont les cordes ont toutes leur pente comprise entre \(-K\) et \(K\) ne peut varier vite nulle part : c'est la propriété de Lipschitz, rencontrée dans le chapitre Limites et continuité pour la comparer à la continuité uniforme. Sa constante \(K\) est un nombre unique valable sur tout l'ensemble, ce qui rend la propriété globale ; le chapitre Limites et continuité démontre qu'elle implique la continuité (Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue »). Ici l'objet est le lien avec la dérivée, et le cas \(K < 1\), qui apporte la vitesse des suites récurrentes.
Définition — Fonctions lipschitziennes et contractantes
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(K \ge 0\). La fonction \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) si $$\forall x, y \in I, \quad \lvert f(x) - f(y) \rvert \le K\,\lvert x - y \rvert,$$ et lipschitzienne si elle est \(K\)-lipschitzienne pour un certain \(K\), comme dans la Définition « Fonction lipschitzienne » du chapitre Limites et continuité. Pour \(x \ne y\), cela signifie \(\frac{\lvert f(x) - f(y) \rvert}{\lvert x - y \rvert} \le K\) : toutes les cordes du graphe ont une pente comprise entre \(-K\) et \(K\). La fonction \(f\) est \(k\)-contractante sur \(I\) si \(k \in [0, 1[\) et \(f\) est \(k\)-lipschitzienne sur \(I\), et contractante si elle est \(k\)-contractante pour un certain \(k < 1\) : la distance entre deux images est au plus \(k\) fois la distance entre les deux points. Exemple — Lipschitzienne sur une demi-droite fermée, pas sur une demi-droite ouverte
Montrer que \(x \mapsto \lvert x \rvert\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\), que \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\) pour tout \(\varepsilon > 0\), et que \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
La valeur absolue. Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), l'inégalité triangulaire sous la forme \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert\) dit que \(\lvert \cdot \rvert\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
L'inverse sur \([\varepsilon, +\infty[\). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(x, y \ge \varepsilon\). Alors \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) et $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right\rvert &= \frac{\lvert y - x \rvert}{x y} && \text{(dénominateur commun, \(xy > 0\))} \\ &\le \frac{\lvert x - y \rvert}{\varepsilon^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) donne \(\frac{1}{xy} \le \frac{1}{\varepsilon^2}\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\).
L'inverse sur \(]0, +\infty[\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = \frac{1}{x}\) soit \(K\)-lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\) pour un certain \(K \ge 0\). Pour tout \(x > 0\), le quotient attaché aux points \(2x\) et \(x\) est $$ \begin{aligned} \frac{\lvert f(2x) - f(x) \rvert}{\lvert 2x - x \rvert} &= \frac{\left\lvert \frac{1}{2x} - \frac{1}{x} \right\rvert}{x} && \text{(définition de \(f\), et \(2x - x = x\))} \\ &= \frac{1}{2x^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{2x}\). Comme \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce quotient est au plus égal à \(K\) : \(\frac{1}{2x^2} \le K\) pour tout \(x > 0\). Mais \(\frac{1}{2x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\), donc \(\frac{1}{2x^2}\) n'est pas majoré sur \(]0, +\infty[\), ce qui contredit la borne \(K\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
L'inverse sur \([\varepsilon, +\infty[\). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(x, y \ge \varepsilon\). Alors \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) et $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right\rvert &= \frac{\lvert y - x \rvert}{x y} && \text{(dénominateur commun, \(xy > 0\))} \\ &\le \frac{\lvert x - y \rvert}{\varepsilon^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) donne \(\frac{1}{xy} \le \frac{1}{\varepsilon^2}\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\).
L'inverse sur \(]0, +\infty[\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = \frac{1}{x}\) soit \(K\)-lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\) pour un certain \(K \ge 0\). Pour tout \(x > 0\), le quotient attaché aux points \(2x\) et \(x\) est $$ \begin{aligned} \frac{\lvert f(2x) - f(x) \rvert}{\lvert 2x - x \rvert} &= \frac{\left\lvert \frac{1}{2x} - \frac{1}{x} \right\rvert}{x} && \text{(définition de \(f\), et \(2x - x = x\))} \\ &= \frac{1}{2x^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{2x}\). Comme \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce quotient est au plus égal à \(K\) : \(\frac{1}{2x^2} \le K\) pour tout \(x > 0\). Mais \(\frac{1}{2x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\), donc \(\frac{1}{2x^2}\) n'est pas majoré sur \(]0, +\infty[\), ce qui contredit la borne \(K\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
Figure — un graphe lipschitzien dans un double cône
Compétences à pratiquer
- Trouver la meilleure constante de Lipschitz ★
- Démontrer qu'une fonction est lipschitzienne par la définition ★★
- Étudier les points fixes des fonctions lipschitziennes ★★★
V.2
Inégalité des accroissements finis
De la dérivée aux cordes
Le théorème des accroissements finis dit que la pente de toute corde d'un graphe est une valeur de la dérivée. Une borne sur la dérivée est donc une borne sur les pentes de toutes les cordes, ce qui est la propriété de Lipschitz, et un couple de bornes \(m \le f' \le M\) donne un couple de bornes sur tous les accroissements de \(f\). Réciproquement, une fonction lipschitzienne qui est dérivable a une dérivée bornée : pour une fonction dérivable, les deux propriétés coïncident. Les énoncés sont écrits sur un intervalle, où le théorème des accroissements finis s'applique à tout couple de points.
Théorème — Inégalité des accroissements finis
Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\). - Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), alors \(m\,(y - x) \le f(y) - f(x) \le M\,(y - x)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\).
- Si \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), alors \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) : \(\lvert f(y) - f(x) \rvert \le K\,\lvert y - x \rvert\) pour tous \(x, y \in I\).
- Premier point. Soient \(x < y\) dans \(I\). Comme \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\), donc \(f\) est continue sur \([x, y]\), et \(]x, y[ \,\subset \mathring{I}\), donc \(f\) est dérivable sur \(]x, y[\). Le Théorème « Théorème des accroissements finis » sur \([x, y]\) donne \(c \in \,]x, y[\) avec \(f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x)\). Comme \(c \in \mathring{I}\), on a \(m \le f'(c) \le M\). Pour la majoration, $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= f'(c)\,(y - x) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([x, y]\))} \\ &\le M\,(y - x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f'(c) \le M\) et \(y - x > 0\). Pour la minoration, la même chaîne donne \(f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x) \ge m\,(y - x)\), parce que \(f'(c) \ge m\) et \(y - x > 0\).
- Second point. Supposons \(-K \le f'(t) \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\). Le premier point avec \(m = -K\) et \(M = K\) donne \(-K\,(y - x) \le f(y) - f(x) \le K\,(y - x)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\), c'est-à-dire \(\lvert f(y) - f(x) \rvert \le K\,(y - x) = K\,\lvert y - x \rvert\). Pour \(x > y\), échanger les rôles de \(x\) et \(y\), ce qui ne change pas les valeurs absolues ; pour \(x = y\) les deux membres valent \(0\).
Proposition — Dérivable et lipschitzienne
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable sur \(I\) et \(K \ge 0\). La fonction \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) si et seulement si \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in I\). Par conséquent \(f\) est lipschitzienne sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est bornée sur \(I\), et la plus petite constante est alors \(\sup_{t \in I} \lvert f'(t) \rvert\). - (\(\Leftarrow\)) Supposons \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in I\), donc pour tout \(t \in \mathring{I}\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\), donc continue sur \(I\) (Proposition « Dérivable implique continue »). Le second point du Théorème « Inégalité des accroissements finis » montre que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) \(K\)-lipschitzienne sur \(I\), et soit \(a \in I\). Pour tout \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \lvert \tau_a(h) \rvert &= \frac{\lvert f(a + h) - f(a) \rvert}{\lvert h \rvert} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce qui donne \(\lvert f(a + h) - f(a) \rvert \le K\,\lvert h \rvert\). Quand \(h \to 0\), \(\tau_a(h) \to f'(a)\), donc \(\lvert \tau_a(h) \rvert \to \lvert f'(a) \rvert\) par continuité de la valeur absolue, et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité donne \(\lvert f'(a) \rvert \le K\).
Proposition — Une fonction \(C^1\) sur un segment est lipschitzienne
Soient \(a < b\) et \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) sur \([a, b]\). Alors \(f\) est lipschitzienne sur \([a, b]\), de constante \(M = \max_{[a, b]} \lvert f' \rvert\).
Par la Définition « Classes \(C^k\) et \(C^\infty\) », \(f\) est dérivable sur \([a, b]\) et \(f'\) est continue sur \([a, b]\). La fonction \(\lvert f' \rvert\) est alors continue sur \([a, b]\), comme composée de fonctions continues. Par le Théorème « Théorème des bornes atteintes » du chapitre Limites et continuité, elle a un maximum \(M\) sur le segment \([a, b]\), de sorte que \(\lvert f'(t) \rvert \le M\) pour tout \(t \in [a, b]\). La fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\), et le second point du Théorème « Inégalité des accroissements finis » montre que \(f\) est \(M\)-lipschitzienne sur \([a, b]\).
Méthode — Lipschitzianité à partir d'une borne sur \(f'\)
Pour montrer que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur un intervalle \(I\) : - Vérifier les hypothèses. La fonction \(f\) doit être continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\).
- Majorer \(\lvert f' \rvert\) par une constante. Calculer \(f'\) et majorer \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), en majorant chaque ingrédient de la formule. Sur un segment, quand \(f\) est de classe \(C^1\), la fonction continue \(\lvert f' \rvert\) a un maximum, qui est un \(K\) convenable (Proposition « Une fonction \(C^1\) sur un segment est lipschitzienne »).
- Conclure. Le Théorème « Inégalité des accroissements finis » donne que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\).
Exemple — Une racine carrée lipschitzienne
Montrer que \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x + 1}\), est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
La fonction \(f\) est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), avec \(f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t + 1}}\) par la Proposition « Formes composées usuelles ». Pour tout \(t > 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(t) \rvert &= \frac{1}{2\sqrt{t + 1}} && \text{(dérivée de \(\sqrt{t + 1}\))} \\
&\le \frac{1}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(t + 1 \ge 1\) donne \(\sqrt{t + 1} \ge 1\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis » avec \(K = \frac{1}{2}\) et \(I = [0, +\infty[\), \(f\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
Exemple — Le sinus est 1-lipschitzien
Montrer que \(\lvert \sin x \rvert \le \lvert x \rvert\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Le sinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(\sin' = \cos\) et \(\lvert \cos t \rvert \le 1\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis » avec \(K = 1\) et \(I = \mathbb{R}\), le sinus est \(1\)-lipschitzien sur \(\mathbb{R}\). Donc, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \lvert \sin x \rvert &= \lvert \sin x - \sin 0 \rvert && \text{(\(\sin 0 = 0\))} \\
&\le \lvert x - 0 \rvert && \text{(\(\sin\) est \(1\)-lipschitzien)} \\
&= \lvert x \rvert. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Appliquer l'inégalité des accroissements finis ★
- Majorer la dérivée pour obtenir une constante de Lipschitz ★★
- Utiliser l'inégalité des accroissements finis avec une idée ★★★
V.3
Suites récurrentes et points fixes
Une borne qui fait converger la suite vite
Le théorème de la limite monotone décide si une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge, mais pas à quelle vitesse. L'inégalité des accroissements finis le fait : quand \(\lvert f' \rvert \le k < 1\) sur un intervalle stable, la distance au point fixe est multipliée par au plus \(k\) à chaque pas, donc elle décroît au moins aussi vite que la suite géométrique \(k^n\), et le nombre de pas nécessaires pour une précision donnée se calcule à l'avance. Le point fixe est la clé. Près d'un point fixe \(\ell\), la valeur de \(\lvert f'(\ell) \rvert\) décide si \(\ell\) attire les suites qui partent près de lui ou les repousse.
Proposition — Principe de contraction
Soient \([a, b]\) un segment, \(k \in [0, 1[\) et \(f \colon [a, b] \to [a, b]\) une fonction \(k\)-contractante. Alors : - \(f\) a exactement un point fixe \(\ell \in [a, b]\) ;
- pour tout \(u_0 \in [a, b]\), la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) vérifie \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et \(u_n \to \ell\).
- Existence d'un point fixe. Comme \(f\) est \(k\)-lipschitzienne, elle est continue sur \([a, b]\) (Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue » du chapitre Limites et continuité). Donc \(g(x) = f(x) - x\) est continue sur \([a, b]\), comme différence de fonctions continues. Comme \(f\) prend ses valeurs dans \([a, b]\), on a \(f(a) \ge a\) et \(f(b) \le b\), c'est-à-dire \(g(a) \ge 0 \ge g(b)\). Le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires » du chapitre Limites et continuité donne \(\ell \in [a, b]\) avec \(g(\ell) = 0\), c'est-à-dire \(f(\ell) = \ell\).
- Unicité. Soient \(\ell, \ell'\) deux points fixes dans \([a, b]\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert \ell - \ell' \rvert &= \lvert f(\ell) - f(\ell') \rvert && \text{(\(\ell\) et \(\ell'\) sont des points fixes)} \\ &\le k\,\lvert \ell - \ell' \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne. Donc \((1 - k)\,\lvert \ell - \ell' \rvert \le 0\), et \(1 - k > 0\) donne \(\lvert \ell - \ell' \rvert \le 0\), donc \(\ell = \ell'\).
- La suite. Soit \(u_0 \in [a, b]\). Le segment \([a, b]\) est stable par \(f\), donc la suite \((u_n)\) est définie et \(u_n \in [a, b]\) pour tout \(n\) (Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » du chapitre Suites réelles). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - \ell \rvert &= \lvert f(u_n) - f(\ell) \rvert && \text{(\(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le k\,\lvert u_n - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n\) et \(\ell\) sont dans \([a, b]\) et que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne. La Proposition « Vitesse géométrique » du chapitre Suites réelles donne alors \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) pour tout \(n\) et \(u_n \to \ell\).
Proposition — Points fixes attractifs et répulsifs
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable sur \(I\) avec \(f(I) \subset I\), et \(\ell \in I\) un point fixe de \(f\) en lequel \(f'\) est continue. - Cas attractif. Si \(\lvert f'(\ell) \rvert < 1\), il existe \(\alpha > 0\) et \(K \in [0, 1[\) tels que \(J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\) soit stable par \(f\) et, pour tout \(u_0 \in J\), la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) vérifie \(\lvert u_n - \ell \rvert \le K^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) ; en particulier \(u_n \to \ell\).
- Cas répulsif. Si \(\lvert f'(\ell) \rvert > 1\), toute suite \((u_n)\) à valeurs dans \(I\), avec \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(u_n \to \ell\), est égale à \(\ell\) à partir d'un certain rang.
La fonction \(\lvert f' \rvert\) est continue en \(\ell\), comme composée de \(f'\) et de la valeur absolue, toutes deux continues aux points voulus. Posons \(K = \frac{\lvert f'(\ell) \rvert + 1}{2}\), le nombre à mi-chemin entre \(\lvert f'(\ell) \rvert\) et \(1\).
- Cas attractif. Ici \(\lvert f'(\ell) \rvert < K < 1\). Par continuité de \(\lvert f' \rvert\) en \(\ell\) avec la tolérance \(K - \lvert f'(\ell) \rvert > 0\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\). L'ensemble \(J\) est un intervalle, et \(f\) est continue sur \(J\) et dérivable sur \(\mathring{J} \subset \mathring{I}\), avec \(\lvert f' \rvert \le K\) sur \(\mathring{J}\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(J\). L'ensemble \(J\) est stable par \(f\) : pour \(x \in J\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - \ell \rvert &= \lvert f(x) - f(\ell) \rvert && \text{(\(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le K\,\lvert x - \ell \rvert && \text{(\(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(J\))} \\ &\le \alpha, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(K < 1\) et \(\lvert x - \ell \rvert \le \alpha\). Donc \(f(x) \in [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\), et \(f(x) \in I\) puisque \(f(I) \subset I\) : \(f(x) \in J\). Soit maintenant \(u_0 \in J\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » du chapitre Suites réelles, \(u_n \in J\) pour tout \(n\), et $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - \ell \rvert &= \lvert f(u_n) - f(\ell) \rvert && \text{(\(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le K\,\lvert u_n - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n\) et \(\ell\) sont dans \(J\). La Proposition « Vitesse géométrique » du chapitre Suites réelles donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le K^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) et \(u_n \to \ell\).
- Cas répulsif. Ici \(1 < K < \lvert f'(\ell) \rvert\). Par continuité de \(\lvert f' \rvert\) en \(\ell\) avec la tolérance \(\lvert f'(\ell) \rvert - K > 0\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\lvert f'(t) \rvert \ge K\) pour tout \(t \in J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\). Soit \(x \in J\) avec \(x \ne \ell\). Le segment d'extrémités \(\ell\) et \(x\) est contenu dans \(J\), \(f\) y est continue et dérivable à l'intérieur, et le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c\) strictement compris entre \(\ell\) et \(x\), donc dans \(J\), avec \(f(x) - f(\ell) = f'(c)\,(x - \ell)\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - \ell \rvert &= \lvert f'(c) \rvert\,\lvert x - \ell \rvert && \text{(théorème des accroissements finis, \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\ge K\,\lvert x - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(c \in J\) donne \(\lvert f'(c) \rvert \ge K\). Cette inégalité vaut aussi pour \(x = \ell\), où les deux membres sont nuls. Soit maintenant \((u_n)\) une suite à valeurs dans \(I\), avec \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(u_n \to \ell\). Par la définition de la limite avec la tolérance \(\alpha\), il existe un rang \(N\) tel que \(u_n \in J\) pour tout \(n \ge N\). Pour \(n \ge N\), l'inégalité ci-dessus donne \(\lvert u_{n+1} - \ell \rvert = \lvert f(u_n) - \ell \rvert \ge K\,\lvert u_n - \ell \rvert\), donc par récurrence \(\lvert u_n - \ell \rvert \ge K^{n-N}\,\lvert u_N - \ell \rvert\) pour tout \(n \ge N\). Comme \(u_n \in J\) donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha\), $$ \begin{aligned} 0 \le \lvert u_N - \ell \rvert &\le \frac{\lvert u_n - \ell \rvert}{K^{n-N}} && \text{(la récurrence ci-dessus)} \\ &\le \alpha \left(\frac{1}{K}\right)^{n-N}. \end{aligned} $$ La dernière borne tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\), parce que \(0 \le \frac{1}{K} < 1\). Par le théorème d'encadrement, la constante \(\lvert u_N - \ell \rvert\), comprise entre \(0\) et une suite qui tend vers \(0\), vaut \(0\) : \(u_N = \ell\). Alors \(u_{N+1} = f(\ell) = \ell\), et par récurrence \(u_n = \ell\) pour tout \(n \ge N\).
Méthode — Étudier \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) par contraction
Pour étudier une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné, et calculer sa limite avec une erreur contrôlée : - Trouver un segment stable \([a, b]\) contenant \(u_0\), par la Méthode « Trouver un intervalle stable » du chapitre Suites réelles : encadrer \(f(x)\) pour \(x \in [a, b]\) et vérifier que \(f(x) \in [a, b]\).
- Majorer la dérivée. Vérifier que \(f\) est dérivable sur \([a, b]\), calculer \(f'\), et trouver \(k < 1\) avec \(\lvert f'(x) \rvert \le k\) pour tout \(x \in [a, b]\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est alors \(k\)-contractante sur \([a, b]\).
- Conclure avec le principe de contraction. La Proposition « Principe de contraction » donne l'existence et l'unicité du point fixe \(\ell\) dans \([a, b]\), la convergence \(u_n \to \ell\), et la vitesse \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert \le k^n\,(b - a)\).
- Choisir le nombre de pas. Pour une précision \(\varepsilon > 0\), prendre \(n\) tel que \(k^n\,(b - a) \le \varepsilon\), trouvé en calculant les puissances de \(k\) : alors \(u_n\) est une valeur approchée de \(\ell\) à \(\varepsilon\) près.
- Quand aucun segment stable n'est à portée, mais qu'un point fixe \(\ell \in I\) est connu, où \(I\) est un intervalle, \(f\) est dérivable sur \(I\) avec \(f(I) \subset I\), et \(f'\) est continue en \(\ell\), regarder \(\lvert f'(\ell) \rvert\) : s'il est inférieur à \(1\), la Proposition « Points fixes attractifs et répulsifs » donne la convergence pour tout \(u_0\) assez proche de \(\ell\) ; s'il est supérieur à \(1\), une suite qui converge vers \(\ell\) est stationnaire.
Exemple — La racine réelle de \(x^3 + 3x - 1\)
Montrer que le polynôme \(P(x) = x^3 + 3x - 1\) a exactement une racine réelle \(\rho\), et que \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près, en étudiant la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{u_n^2 + 3}\).
Des racines aux points fixes. Soit \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2 + 3 > 0\), donc $$ \begin{aligned} P(x) = 0 &\iff x\,(x^2 + 3) = 1 && \text{(\(P(x) = x\,(x^2 + 3) - 1\))} \\
&\iff x = \frac{1}{x^2 + 3}, \end{aligned} $$ la dernière étape en divisant les deux membres par \(x^2 + 3 > 0\). Les racines réelles de \(P\) sont les points fixes de \(f\).
Un segment stable. Pour \(x \in [0, 1]\), \(0 \le x^2 \le 1\) donne \(3 \le x^2 + 3 \le 4\), donc \(\frac{1}{4} \le f(x) \le \frac{1}{3}\). Ainsi \(f([0, 1]) \subset [\frac{1}{4}, \frac{1}{3}] \subset [0, 1]\) : le segment \([0, 1]\) est stable par \(f\), et \(u_0 = 0\) lui appartient.
Une contraction. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) par la Proposition « Règle du quotient ». Pour \(x \in [0, 1]\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \frac{2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) et \(x \ge 0\))} \\ &\le \frac{1}{8}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((x^2 + 3)^2 - 16x = (x - 1)^2\,(x^2 + 2x + 9) \ge 0\), ce qui donne \(16x \le (x^2 + 3)^2\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(\frac{1}{8}\)-lipschitzienne sur \([0, 1]\) : elle est \(\frac{1}{8}\)-contractante.
Le point fixe et la vitesse. Par la Proposition « Principe de contraction », \(f\) a exactement un point fixe \(\rho\) dans \([0, 1]\), et \(\lvert u_n - \rho \rvert \le 8^{-n}\,\lvert u_0 - \rho \rvert \le 8^{-n}\), puisque \(\lvert u_0 - \rho \rvert = \rho \le 1\).
Une seule racine réelle. Le polynôme \(P\) est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\), comme somme des fonctions strictement croissantes \(x \mapsto x^3\) et \(x \mapsto 3x - 1\) (Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire). Une fonction strictement croissante est injective (Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité »), donc \(P\) a au plus une racine réelle. Par la première étape \(\rho\) est une racine de \(P\) : c'est la seule.
L'approximation. Les premiers termes sont \(u_1 = \frac{1}{3}\) et \(u_2 = \frac{9}{28}\), et \(0{,}3214285 \le u_2 \le 0{,}3214286\). Sur \([0 \,;\, 1]\) l'application \(f\) est décroissante, car \(x \mapsto x^2 + 3\) y est positive et croissante. Donc \(u_n \in [a_n \,;\, b_n] \subset [0 \,;\, 1]\) donne \(u_{n+1} \in \left[\frac{1}{b_n^2 + 3} \,;\, \frac{1}{a_n^2 + 3}\right]\), et chaque borne est arrondie vers l'extérieur à \(7\) décimales. À partir de \(u_2 \in [0{,}3214285 \,;\, 0{,}3214286]\), $$ \begin{aligned} u_3 &\in \left[\frac{1}{0{,}3214286^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3214285^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3222359 \,;\, 0{,}3222360] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_4 &\in \left[\frac{1}{0{,}3222360^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3222359^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221819 \,;\, 0{,}3221820] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_5 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221820^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221819^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221855 \,;\, 0{,}3221856] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_6 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221856^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221855^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221853 \,;\, 0{,}3221854]. \end{aligned} $$ Comme \(8^6 = 262144\), on a \(8^{-6} < 3{,}9 \times 10^{-6}\), et \(\lvert u_6 - \rho \rvert \le 8^{-6}\) donne $$0{,}3221853 - 0{,}0000039 \le \rho \le 0{,}3221854 + 0{,}0000039, \quad \text{c'est-à-dire} \quad 0{,}3221814 \le \rho \le 0{,}3221893.$$ Donc \(\rho \in [0{,}32218 \,;\, 0{,}32219]\) : le nombre \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près.
Un segment stable. Pour \(x \in [0, 1]\), \(0 \le x^2 \le 1\) donne \(3 \le x^2 + 3 \le 4\), donc \(\frac{1}{4} \le f(x) \le \frac{1}{3}\). Ainsi \(f([0, 1]) \subset [\frac{1}{4}, \frac{1}{3}] \subset [0, 1]\) : le segment \([0, 1]\) est stable par \(f\), et \(u_0 = 0\) lui appartient.
Une contraction. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) par la Proposition « Règle du quotient ». Pour \(x \in [0, 1]\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \frac{2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) et \(x \ge 0\))} \\ &\le \frac{1}{8}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((x^2 + 3)^2 - 16x = (x - 1)^2\,(x^2 + 2x + 9) \ge 0\), ce qui donne \(16x \le (x^2 + 3)^2\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(\frac{1}{8}\)-lipschitzienne sur \([0, 1]\) : elle est \(\frac{1}{8}\)-contractante.
Le point fixe et la vitesse. Par la Proposition « Principe de contraction », \(f\) a exactement un point fixe \(\rho\) dans \([0, 1]\), et \(\lvert u_n - \rho \rvert \le 8^{-n}\,\lvert u_0 - \rho \rvert \le 8^{-n}\), puisque \(\lvert u_0 - \rho \rvert = \rho \le 1\).
Une seule racine réelle. Le polynôme \(P\) est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\), comme somme des fonctions strictement croissantes \(x \mapsto x^3\) et \(x \mapsto 3x - 1\) (Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire). Une fonction strictement croissante est injective (Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité »), donc \(P\) a au plus une racine réelle. Par la première étape \(\rho\) est une racine de \(P\) : c'est la seule.
L'approximation. Les premiers termes sont \(u_1 = \frac{1}{3}\) et \(u_2 = \frac{9}{28}\), et \(0{,}3214285 \le u_2 \le 0{,}3214286\). Sur \([0 \,;\, 1]\) l'application \(f\) est décroissante, car \(x \mapsto x^2 + 3\) y est positive et croissante. Donc \(u_n \in [a_n \,;\, b_n] \subset [0 \,;\, 1]\) donne \(u_{n+1} \in \left[\frac{1}{b_n^2 + 3} \,;\, \frac{1}{a_n^2 + 3}\right]\), et chaque borne est arrondie vers l'extérieur à \(7\) décimales. À partir de \(u_2 \in [0{,}3214285 \,;\, 0{,}3214286]\), $$ \begin{aligned} u_3 &\in \left[\frac{1}{0{,}3214286^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3214285^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3222359 \,;\, 0{,}3222360] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_4 &\in \left[\frac{1}{0{,}3222360^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3222359^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221819 \,;\, 0{,}3221820] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_5 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221820^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221819^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221855 \,;\, 0{,}3221856] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_6 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221856^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221855^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221853 \,;\, 0{,}3221854]. \end{aligned} $$ Comme \(8^6 = 262144\), on a \(8^{-6} < 3{,}9 \times 10^{-6}\), et \(\lvert u_6 - \rho \rvert \le 8^{-6}\) donne $$0{,}3221853 - 0{,}0000039 \le \rho \le 0{,}3221854 + 0{,}0000039, \quad \text{c'est-à-dire} \quad 0{,}3221814 \le \rho \le 0{,}3221893.$$ Donc \(\rho \in [0{,}32218 \,;\, 0{,}32219]\) : le nombre \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près.
Figure — l'escalier d'une suite contractante
Compétences à pratiquer
- Calculer le point fixe d'une fonction ★
- Trouver le nombre d'itérations ★
- Démontrer la convergence par contraction ★★
- Étudier une suite récurrente avec une idée ★★★
VI
Monotonie et variations
Le signe de la dérivée
Le lien entre le signe de \(f'\) et la monotonie de \(f\) est le moteur pratique de l'étude d'une fonction : il donne les variations, les extrema, les inégalités et le nombre de solutions d'une équation. Le lycée l'admettait. Ici il est démontré à partir du théorème des accroissements finis, et sa forme exacte est énoncée. Il vaut sur un intervalle ; sur une réunion d'intervalles il faut l'appliquer morceau par morceau, et l'exemple de \(x \mapsto \frac{1}{x}\) montre qu'il est faux autrement.
VI.1
Signe de la dérivée
Du signe de la dérivée au sens de variation
Le lycée lisait le sens de variation de \(f\) sur le signe de \(f'\) sans le démontrer. Les deux implications sont vraies et les deux sont démontrées ici. Une fonction dérivable monotone a une dérivée de signe constant, parce que ses taux d'accroissement ont un signe constant. Réciproquement une dérivée de signe constant donne des accroissements de \(f\) de signe constant, par le théorème des accroissements finis. La version stricte demande plus que \(f' > 0\) lu comme une règle : elle vaut quand \(f'\) s'annule en des points isolés, et même quand \(f\) n'est pas dérivable en un nombre fini de points.
Proposition — Signe de \(f'\) et monotonie
Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\). Alors : - \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\) ;
- \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) \ge 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\) ;
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) \le 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\).
On traite le cas croissant, puis le cas décroissant, puis le cas constant.
- Croissante, (\(\Rightarrow\)). Supposons \(f\) croissante sur \(I\), et soit \(a \in \mathring{I}\). Pour tout \(h > 0\) assez petit pour que \(a + h \in I\), on a \(f(a + h) \ge f(a)\), donc $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le numérateur est \(\ge 0\) et \(h > 0\). Comme \(a\) est un point intérieur, \(f'(a)\) est la dérivée à droite \(f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \tau_a(h)\) (Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales »), et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité donne \(f'(a) \ge 0\).
- Croissante, (\(\Leftarrow\)). Supposons \(f'(t) \ge 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), et soient \(x < y\) dans \(I\). Comme \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\), donc \(f\) est continue sur \([x, y]\), et \(]x, y[ \,\subset \mathring{I}\), donc \(f\) est dérivable sur \(]x, y[\). Le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c \in \,]x, y[\) avec $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= f'(c)\,(y - x) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([x, y]\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f'(c) \ge 0\) et \(y - x > 0\). Donc \(f(x) \le f(y)\) : \(f\) est croissante sur \(I\).
- Décroissante. La fonction \(-f\) est continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) avec \((-f)' = -f'\), par la Proposition « Linéarité ». Or \(f\) est décroissante si et seulement si \(-f\) est croissante, et \(-f' \ge 0\) si et seulement si \(f' \le 0\) : le cas décroissant est le cas croissant appliqué à \(-f\).
- Constante, (\(\Rightarrow\)). Si \(f\) est constante, tout taux d'accroissement est nul, donc \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\).
- Constante, (\(\Leftarrow\)). Supposons \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\). Alors \(f' \ge 0\) et \(f' \le 0\) sur \(\mathring{I}\), donc \(f\) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\). Pour \(x \le y\) dans \(I\), cela donne \(f(x) \le f(y)\) et \(f(x) \ge f(y)\), donc \(f(x) = f(y)\) : \(f\) est constante.
Proposition — Monotonie stricte
Sous les hypothèses de la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si et seulement si \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et \(f'\) n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\). En particulier, \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et si \(f'\) ne s'annule qu'en un nombre fini de points de \(\mathring{I}\), donc si \(f' > 0\) sur \(\mathring{I}\). Le cas décroissant est symétrique, avec \(f' \le 0\).
Un intervalle est non trivial s'il contient deux points distincts.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) strictement croissante sur \(I\). Alors \(f\) est croissante, donc \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Supposons par l'absurde que \(f' = 0\) sur un intervalle non trivial \(J \subset \mathring{I}\). La fonction \(f\) est continue sur \(J\) et dérivable sur \(\mathring{J}\) avec \(f' = 0\), donc \(f\) est constante sur \(J\) par la même proposition. Prendre \(x < y\) dans \(J\) donne \(f(x) = f(y)\), ce qui contredit la stricte monotonie. Donc \(f'\) n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et \(f'\) identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est croissante sur \(I\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = f(y)\) pour certains \(x < y\) dans \(I\). Pour tout \(t \in [x, y]\), $$ \begin{aligned} f(x) &\le f(t) && \text{(\(f\) est croissante et \(x \le t\))} \\ &\le f(y) && \text{(\(f\) est croissante et \(t \le y\))} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse \(f(y) = f(x)\). Donc \(f(t) = f(x)\) pour tout \(t \in [x, y]\) : \(f\) est constante sur \([x, y]\). Cette fonction est continue sur \([x, y]\) et dérivable sur \(]x, y[\), donc \(f' = 0\) sur \(]x, y[\) par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Mais \(]x, y[\) est un intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\), ce qui contredit l'hypothèse. Donc \(f(x) < f(y)\) pour tous \(x < y\) : \(f\) est strictement croissante.
- Le cas particulier. Un intervalle non trivial contient une infinité de points. Si \(f'\) ne s'annule qu'en un nombre fini de points de \(\mathring{I}\), elle n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\), et l'équivalence s'applique. Si \(f' > 0\) sur \(\mathring{I}\), elle ne s'annule nulle part.
Proposition — Stricte monotonie sauf en un nombre fini de points
Soient \(I\) un intervalle, \(A \subset I\) une partie finie et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable en tout point de \(I \setminus A\). Si \(f'(t) > 0\) pour tout \(t \in I \setminus A\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Le cas décroissant est symétrique, avec \(f' < 0\).
Soient \(x < y\) dans \(I\). Le segment \([x, y]\) est contenu dans \(I\), puisque \(I\) est un intervalle, et \(A\) a un nombre fini de points dans \(]x, y[\) : notons-les \(t_1 < \dots < t_{m-1}\), et posons \(t_0 = x\) et \(t_m = y\) (avec \(m = 1\) s'il n'y en a aucun). Pour \(0 \le j \le m - 1\), \(f\) est continue sur \([t_j, t_{j+1}]\) et dérivable sur \(]t_j, t_{j+1}[\), qui ne contient aucun point de \(A\) : le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c_j \in \,]t_j, t_{j+1}[\) avec \(f(t_{j+1}) - f(t_j) = f'(c_j)\,(t_{j+1} - t_j)\), et \(f'(c_j) > 0\) parce que \(c_j \notin A\). Donc $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= \sum_{j=0}^{m-1} \big(f(t_{j+1}) - f(t_j)\big) && \text{(somme télescopique)} \\
&= \sum_{j=0}^{m-1} f'(c_j)\,(t_{j+1} - t_j) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([t_j, t_{j+1}]\))} \\
&> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que chaque terme est strictement positif et que \(m \ge 1\). Donc \(f(x) < f(y)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\) : \(f\) est strictement croissante. Le cas décroissant est le cas croissant appliqué à \(-f\).
Remarque — \(I\) doit être un intervalle
L'hypothèse « \(I\) est un intervalle » est essentielle dans la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Soit \(D = \,]-\infty, 0[ \,\cup\, ]0, +\infty[ \,= \mathbb{R}^*\), qui n'est pas un intervalle, et soit \(f \colon D \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 0\) pour \(x < 0\) et \(f(x) = 1\) pour \(x > 0\). Alors \(f'(x) = 0\) en tout point de \(D\), puisque \(f\) est constante près de chaque point, et pourtant \(f\) n'est pas constante sur \(D\). Il en va de même pour le signe : la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) de l'Exemple « Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire a \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\) en tout point de \(\mathbb{R}^*\), et elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\), puisque \(f(-1) = -1 < 1 = f(1)\). Sur une réunion d'intervalles, appliquer la proposition sur chaque intervalle séparément.
Exemple — Les variations de \(\frac{x}{1 + x^2}\)
Étudier les variations de \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), comme quotient dont le dénominateur \(1 + x^2 \ge 1\) ne s'annule pas (Proposition « Règle du quotient »), et pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} && \text{(règle du quotient)} \\
&= \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} && \text{(développement et termes semblables)} \\
&= \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la différence de deux carrés. Comme \((1 + x^2)^2 > 0\), \(f'(x)\) a le signe de \((1 - x)(1 + x)\) : elle est négative sur \(]-\infty, -1[\), positive sur \(]-1, 1[\), négative sur \(]1, +\infty[\), et nulle en \(-1\) et \(1\) seulement. La Proposition « Monotonie stricte » sur chacun des trois intervalles \(]-\infty, -1]\), \([-1, 1]\) et \([1, +\infty[\) montre que \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -1]\), strictement croissante sur \([-1, 1]\) et strictement décroissante sur \([1, +\infty[\), avec \(f(-1) = -\frac{1}{2}\) et \(f(1) = \frac{1}{2}\).
Vérification. Pour tout \(x\), \(\frac{1}{2} - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\) et \(f(x) + \frac{1}{2} = \frac{(x + 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\), donc \(-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -1\) et en \(x = 1\).
Vérification. Pour tout \(x\), \(\frac{1}{2} - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\) et \(f(x) + \frac{1}{2} = \frac{(x + 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\), donc \(-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -1\) et en \(x = 1\).
Compétences à pratiquer
- Lire la monotonie à partir de la dérivée ★
- Déterminer des intervalles de monotonie d'une fonction à partir de sa dérivée ★
- Étudier les variations d'une fonction ★
- Démontrer la stricte monotonie par la dérivée ★★
- Démontrer qu'une fonction est constante ★★
- Utiliser le signe de la dérivée avec une idée ★★★
VI.2
Tableaux de variations et extrema
Du tableau de signes au tableau de variations
Lire les variations d'une fonction sur un tableau est l'usage quotidien des Propositions « Signe de \(f'\) et monotonie » et « Monotonie stricte ». On calcule la dérivée et on la factorise pour en lire le signe, le signe décide le sens de variation sur chaque intervalle, et les limites aux extrémités des intervalles ferment le tableau. Le tableau donne alors les extrema et l'ensemble image, et avec le théorème des valeurs intermédiaires le nombre de solutions d'une équation. Un point où \(f'\) change de signe et où \(f\) est continue est un extremum, même si \(f\) n'y est pas dérivable.
Méthode — Factoriser \(f'\) pour lire son signe
Quand \(f\) est un quotient, la règle du quotient donne \(f' = \frac{u'g - ug'}{g^2}\). Le dénominateur \(g^2\) est positif ou nul, et strictement positif là où \(g \ne 0\), donc le signe de \(f'\) est celui du numérateur \(u'g - ug'\). Toujours factoriser ce numérateur avant de lire les signes : une forme factorisée donne le signe d'un coup d'œil, une forme développée en général non. - Appliquer la règle du quotient et écrire \(f'\) sur le dénominateur \(g^2\).
- Développer le numérateur seulement autant qu'il faut pour regrouper les termes semblables.
- Factoriser le numérateur : chercher un facteur commun, une identité remarquable, ou les racines d'un trinôme données par son discriminant.
- Lire les signes : le signe de chaque facteur sur l'intervalle, puis le signe du produit, dans un tableau de signes.
Exemple — Une dérivée à factoriser
Calculer \(f'\) pour \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) sur \(\mathbb{R}\), puis la factoriser.
La fonction \(f\) est un quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur \(x^2 + 3 \ge 3 > 0\) ne s'annule pas, donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(règle du quotient avec \(u = x + 1\) et \(g = x^2 + 3\))} \\
&= \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(développement du numérateur)} \\
&= \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} && \text{(termes semblables)} \\
&= \frac{-(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le trinôme \(-x^2 - 2x + 3\) a pour racines \(1\) et \(-3\), de sorte que \(-x^2 - 2x + 3 = -(x - 1)(x + 3)\).
Méthode — Dresser un tableau de variations
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction \(f\) : - Domaine. Déterminer le domaine \(D_f\). Si \(D_f\) n'est pas un intervalle, le scinder en intervalles et étudier chacun : les propositions sur le signe de \(f'\) valent sur un intervalle seulement.
- Réduction. Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité quand elles s'appliquent (Méthode « Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire).
- Dérivée. Vérifier que \(f\) est dérivable sur l'intérieur de chaque intervalle et y calculer \(f'\).
- Signe. Factoriser \(f'\) (Méthode « Factoriser \(f'\) pour lire son signe ») et dresser son tableau de signes sur chaque intervalle.
- Monotonie. En déduire le sens de variation sur chaque intervalle, par les Propositions « Signe de \(f'\) et monotonie » et « Monotonie stricte », les morceaux étant fermés aux points où \(f'\) s'annule ou change de signe. En un point où \(f\) est continue, deux morceaux adjacents de même sens se recollent en un seul (Proposition « Recoller des morceaux monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire) ; deux morceaux de sens opposés donnent un extremum.
- Limites. Calculer les limites de \(f\) aux extrémités de chaque intervalle qui ne lui appartiennent pas, avec les opérations sur les limites.
- Tableau. Écrire la ligne de \(x\), la ligne du signe de \(f'\), et la ligne des variations de \(f\) avec des flèches, les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule et les limites aux extrémités.
Exemple — Un tableau de variations
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) sur \(\mathbb{R}\).
Le domaine \(\mathbb{R}\) est un intervalle. L'Exemple « Une dérivée à factoriser » donne \(f'(x) = \frac{-(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\). Comme \((x^2 + 3)^2 > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-(x - 1)(x + 3)\), qui est positif entre les racines \(-3\) et \(1\) et négatif à l'extérieur. Les valeurs aux racines sont \(f(-3) = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}\) et \(f(1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Le numérateur est de degré \(1\) et le dénominateur de degré \(2\), donc \(f(x) \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\) (Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini » du chapitre Limites et continuité). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, -3]\), \([-3, 1]\) et \([1, +\infty[\), la dérivée ne s'annule qu'à une extrémité, donc la Proposition « Monotonie stricte » donne le sens de variation : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\
\hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline f(x) & 0 & \searrow & -\frac{1}{6} & \nearrow & \frac{1}{2} & \searrow & 0 \end{array} $$ Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -3]\), strictement croissante sur \([-3, 1]\) et strictement décroissante sur \([1, +\infty[\).
Exemple — L'ensemble image lu sur le tableau
Déduire du tableau de variations de \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) que l'ensemble image de \(f\) est \(f(\mathbb{R}) = \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]\), et que \(-\frac{1}{6} \le \frac{x + 1}{x^2 + 3} \le \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et strictement monotone sur chacun des trois intervalles du tableau. Sur chacun d'eux, l'image est l'intervalle dont les extrémités sont les valeurs ou les limites du tableau (Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone » du chapitre Limites et continuité) :
Seconde méthode : l'algèbre. C'est celle de la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} - f(x) &= \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{x^2 + 3} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{(x^2 + 3) - 2(x + 1)}{2(x^2 + 3)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 3)}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 + 3 - 2x - 2 = x^2 - 2x + 1\). De même \(f(x) + \frac{1}{6} = \frac{(x + 3)^2}{6(x^2 + 3)}\). Les deux quotients sont \(\ge 0\), donc \(-\frac{1}{6} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -3\) et en \(x = 1\). Le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) étant continue, donne alors toutes les valeurs comprises entre les deux bornes.
- \(f\big(]-\infty, -3]\big) = \left[-\frac{1}{6}, 0\right[\), puisque \(f\) y est décroissante, de la limite \(0\) en \(-\infty\) à \(f(-3) = -\frac{1}{6}\) ;
- \(f\big([-3, 1]\big) = \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]\), puisque \(f\) y est croissante, de \(f(-3) = -\frac{1}{6}\) à \(f(1) = \frac{1}{2}\) ;
- \(f\big([1, +\infty[\big) = \left]0, \frac{1}{2}\right]\), puisque \(f\) y est décroissante, de \(f(1) = \frac{1}{2}\) à la limite \(0\) en \(+\infty\).
Seconde méthode : l'algèbre. C'est celle de la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} - f(x) &= \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{x^2 + 3} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{(x^2 + 3) - 2(x + 1)}{2(x^2 + 3)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 3)}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 + 3 - 2x - 2 = x^2 - 2x + 1\). De même \(f(x) + \frac{1}{6} = \frac{(x + 3)^2}{6(x^2 + 3)}\). Les deux quotients sont \(\ge 0\), donc \(-\frac{1}{6} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -3\) et en \(x = 1\). Le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) étant continue, donne alors toutes les valeurs comprises entre les deux bornes.
Proposition — Extremum local et changement de signe de \(f'\)
Soient \(I\) un intervalle, \(a \in \mathring{I}\) et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue en \(a\). Supposons qu'il existe \(\eta > 0\) avec \(]a - \eta, a + \eta[ \,\subset I\), tel que \(f\) soit dérivable en tout point de \(]a - \eta, a[ \,\cup\, ]a, a + \eta[\), avec \(f' \le 0\) sur \(]a - \eta, a[\) et \(f' \ge 0\) sur \(]a, a + \eta[\). Alors \(f\) a un minimum local en \(a\), strict si \(f' < 0\) sur \(]a - \eta, a[\) et \(f' > 0\) sur \(]a, a + \eta[\). Le même énoncé avec les signes de \(f'\) échangés donne un maximum local. La fonction \(f\) n'est pas forcément dérivable en \(a\) : la valeur absolue en \(0\) a \(f' = -1\) à gauche et \(f' = 1\) à droite.
Soit \(J = \,]a - \eta, a + \eta[\). La fonction \(f\) est continue sur \(J\) : en \(a\) par hypothèse, et en tout autre point parce qu'elle y est dérivable (Proposition « Dérivable implique continue »).
- À gauche de \(a\). La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(]a - \eta, a]\) et dérivable sur son intérieur \(]a - \eta, a[\) avec \(f' \le 0\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est décroissante sur \(]a - \eta, a]\), donc \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in \,]a - \eta, a]\).
- À droite de \(a\). La fonction \(f\) est continue sur \([a, a + \eta[\) et dérivable sur \(]a, a + \eta[\) avec \(f' \ge 0\). Par la même proposition, \(f\) est croissante sur \([a, a + \eta[\), donc \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in [a, a + \eta[\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la valeur d'un extremum ★
- Dresser un tableau de variations ★
- Dresser un tableau de variations avec limites et plusieurs intervalles ★★
- Appliquer le critère de changement de signe ★★
VI.3
Inégalités et équations
Deux usages des variations
Les variations d'une fonction règlent deux questions classiques. Une inégalité \(\varphi(x) \ge 0\) devient l'étude des variations de \(\varphi\), partie d'un point où sa valeur est connue : si \(\varphi\) est croissante à partir d'un point où elle vaut \(0\), elle est positive ou nulle après ce point. Le nombre de solutions d'une équation \(f(x) = k\) devient un dénombrement : sur chaque intervalle de stricte monotonie, \(f\) prend la valeur \(k\) au plus une fois, et exactement une fois quand \(k\) est compris entre les valeurs ou les limites aux extrémités de l'intervalle.
Méthode — Démontrer une inégalité par étude de fonction
Pour démontrer une inégalité \(g(x) \le h(x)\) pour \(x\) dans un intervalle \(I\) : - Tout passer d'un côté. Poser \(\varphi = h - g\) : l'inégalité à démontrer est \(\varphi(x) \ge 0\) sur \(I\).
- Trouver un point d'ancrage. Chercher un point \(a \in I\), en général une borne de \(I\), où \(\varphi(a) = 0\), ou où la valeur ou la limite de \(\varphi\) est connue et positive ou nulle.
- Étudier le signe de \(\varphi'\). Calculer et factoriser \(\varphi'\), et en déduire les variations de \(\varphi\) à partir de \(a\). Si \(a\) est la borne gauche de \(I\) et \(\varphi' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\), alors \(\varphi\) est croissante, donc \(\varphi(x) \ge \varphi(a) = 0\) pour tout \(x \in I\) ; si \(\varphi' \le 0\) sur \(\mathring{I}\) et \(a\) est la borne droite, la conclusion est la même.
- Si le signe de \(\varphi'\) ne se lit pas, dériver encore : le signe de \(\varphi''\) donne les variations de \(\varphi'\), et une valeur connue de \(\varphi'\) en donne alors le signe.
- Conclure, et garder l'inégalité stricte quand la dérivée a le signe de la Proposition « Monotonie stricte ».
Exemple — Deux encadrements de la racine carrée
Montrer que, pour tout \(x \ge 0\) : - \(\sqrt{1 + x} \le 1 + \frac{x}{2}\) ;
- \(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} \le \sqrt{1 + x}\).
Première inégalité. Soit \(\varphi(x) = 1 + \frac{x}{2} - \sqrt{1 + x}\) sur \([0, +\infty[\) : l'inégalité est \(\varphi \ge 0\), et \(\varphi(0) = 1 + 0 - 1 = 0\). La fonction \(\varphi\) est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), avec $$ \begin{aligned} \varphi'(x) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\
&= \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{2\sqrt{1 + x}} && \text{(dénominateur commun)} \\
&\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(1 + x \ge 1\) donne \(\sqrt{1 + x} \ge 1\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(\varphi\) est croissante sur \([0, +\infty[\), donc \(\varphi(x) \ge \varphi(0) = 0\) pour tout \(x \ge 0\) : \(\sqrt{1 + x} \le 1 + \frac{x}{2}\).
Seconde inégalité. Soit \(\psi(x) = \sqrt{1 + x} - 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8}\) sur \([0, +\infty[\) : l'inégalité est \(\psi \ge 0\), et \(\psi(0) = 1 - 1 = 0\). La fonction \(\psi\) est dérivable sur \([0, +\infty[\) et $$\psi'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} - \frac{1}{2} + \frac{x}{4},$$ par la Proposition « Linéarité » et, pour \(\sqrt{1 + x}\), la Proposition « Formes composées usuelles ». Le signe de \(\psi'\) ne se lit pas d'emblée, donc on dérive encore. La fonction \(\psi'\) est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), avec $$ \begin{aligned} \psi''(x) &= -\frac{1}{4(1 + x)\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{4} && \text{(dérivée de \(\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}\) par la règle du quotient, et de \(\frac{x}{4}\))} \\ &= \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{(1 + x)\sqrt{1 + x}}\right) && \text{(mise en facteur de \(\frac{1}{4}\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((1 + x)\sqrt{1 + x} \ge 1\) pour \(x \ge 0\), de sorte que \(\frac{1}{(1 + x)\sqrt{1 + x}} \le 1\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(\psi'\) est croissante sur \([0, +\infty[\), donc \(\psi'(x) \ge \psi'(0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0\) pour tout \(x \ge 0\). En appliquant la même proposition à \(\psi\), qui est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\) avec \(\psi' \ge 0\), \(\psi\) est croissante, donc \(\psi(x) \ge \psi(0) = 0\) : \(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} \le \sqrt{1 + x}\).
Seconde inégalité. Soit \(\psi(x) = \sqrt{1 + x} - 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8}\) sur \([0, +\infty[\) : l'inégalité est \(\psi \ge 0\), et \(\psi(0) = 1 - 1 = 0\). La fonction \(\psi\) est dérivable sur \([0, +\infty[\) et $$\psi'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} - \frac{1}{2} + \frac{x}{4},$$ par la Proposition « Linéarité » et, pour \(\sqrt{1 + x}\), la Proposition « Formes composées usuelles ». Le signe de \(\psi'\) ne se lit pas d'emblée, donc on dérive encore. La fonction \(\psi'\) est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), avec $$ \begin{aligned} \psi''(x) &= -\frac{1}{4(1 + x)\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{4} && \text{(dérivée de \(\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}\) par la règle du quotient, et de \(\frac{x}{4}\))} \\ &= \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{(1 + x)\sqrt{1 + x}}\right) && \text{(mise en facteur de \(\frac{1}{4}\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((1 + x)\sqrt{1 + x} \ge 1\) pour \(x \ge 0\), de sorte que \(\frac{1}{(1 + x)\sqrt{1 + x}} \le 1\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(\psi'\) est croissante sur \([0, +\infty[\), donc \(\psi'(x) \ge \psi'(0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0\) pour tout \(x \ge 0\). En appliquant la même proposition à \(\psi\), qui est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\) avec \(\psi' \ge 0\), \(\psi\) est croissante, donc \(\psi(x) \ge \psi(0) = 0\) : \(1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} \le \sqrt{1 + x}\).
Méthode — Compter les solutions d'une équation
Pour compter les solutions de \(f(x) = k\) sur un intervalle, où \(k\) peut dépendre d'un paramètre : - Tableau de variations. Dresser le tableau de variations de \(f\) (Méthode « Dresser un tableau de variations »), qui découpe l'intervalle en intervalles sur chacun desquels \(f\) est continue et strictement monotone.
- Image de chaque morceau. Sur chacun de ces intervalles \(J\), l'image \(f(J)\) est l'intervalle dont les extrémités sont les valeurs ou les limites du tableau (Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone » du chapitre Limites et continuité).
- Au plus une solution par morceau. Une fonction strictement monotone est injective (Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire) : sur \(J\) l'équation a une solution si \(k \in f(J)\) et aucune sinon.
- Compter sans répéter. Une solution en un point commun à deux morceaux est comptée une fois. Faire le décompte pour chaque valeur de \(k\) entre les valeurs critiques, et pour chaque valeur critique.
Exemple — Les solutions de \(x^3 - 3x \equal m\)
Déterminer, selon le nombre réel \(m\), le nombre de solutions réelles de l'équation \(x^3 - 3x = m\).
Soit \(\varphi(x) = x^3 - 3x\) : les solutions sont les réels \(x\) tels que \(\varphi(x) = m\). La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et $$ \begin{aligned} \varphi'(x) &= 3x^2 - 3 && \text{(dérivée de \(x^3\) et linéarité)} \\
&= 3(x - 1)(x + 1), \end{aligned} $$ la dernière étape en mettant \(3\) en facteur et avec \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Donc \(\varphi'\) est positive sur \(]-\infty, -1[\) et sur \(]1, +\infty[\), négative sur \(]-1, 1[\), et nulle en \(-1\) et \(1\) seulement. Par les Propositions « Signe de \(f'\) et monotonie » et « Monotonie stricte », \(\varphi\) est strictement croissante sur \(]-\infty, -1]\), strictement décroissante sur \([-1, 1]\) et strictement croissante sur \([1, +\infty[\). Les valeurs sont \(\varphi(-1) = -1 + 3 = 2\) et \(\varphi(1) = 1 - 3 = -2\), et comme \(\varphi(x) = x^3\left(1 - \frac{3}{x^2}\right)\) pour \(x \ne 0\), \(\varphi(x) \to -\infty\) quand \(x \to -\infty\) et \(\varphi(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\) : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\
\hline \varphi'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline \varphi(x) & -\infty & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow & +\infty \end{array} $$ Par la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone », \(\varphi(]-\infty, -1]) = \,]-\infty, 2]\), \(\varphi([-1, 1]) = [-2, 2]\) et \(\varphi([1, +\infty[) = [-2, +\infty[\). Sur chacun des trois intervalles \(\varphi\) est injective, donc l'équation \(\varphi(x) = m\) y a au plus une solution, et exactement une si \(m\) appartient à son image. On compte, les solutions en \(-1\) et en \(1\) étant communes à deux intervalles et comptées une fois.
- \(m > 2\). Seul \([-2, +\infty[\) contient \(m\) : une solution, dans \(]1, +\infty[\).
- \(m = 2\). La solution \(x = -1\) est commune aux deux premiers intervalles, et le troisième donne une solution dans \(]1, +\infty[\), à savoir \(x = 2\) puisque \(\varphi(2) = 8 - 6 = 2\) : deux solutions.
- \(-2 < m < 2\). Les trois images contiennent \(m\), et \(m\) diffère de \(\varphi(-1)\) et de \(\varphi(1)\), donc les trois solutions sont dans les intervalles ouverts \(]-\infty, -1[\), \(]-1, 1[\) et \(]1, +\infty[\) : trois solutions.
- \(m = -2\). Le premier intervalle donne une solution dans \(]-\infty, -1[\), à savoir \(x = -2\) puisque \(\varphi(-2) = -8 + 6 = -2\), et la solution \(x = 1\) est commune aux deux derniers intervalles : deux solutions.
- \(m < -2\). Seul \(]-\infty, 2]\) contient \(m\) : une solution, dans \(]-\infty, -1[\).
Compétences à pratiquer
- Compter les solutions d'une équation ★
- Démontrer une inégalité par étude de fonction ★
- Démontrer une inégalité par plusieurs dérivations ★★
- Compter les racines réelles d'une équation ★★
VII
Limite de la dérivée
Prolonger \(f'\) n'est pas dériver \(f\)
Deux limites se confondent facilement. La limite du taux d'accroissement \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) est la dérivée de \(f\) en \(a\), et elle exprime que \(f\) est dérivable en \(a\). La limite de \(f'(x)\) quand \(x \to a\) exprime que \(f'\), définie près de \(a\), se prolonge par continuité en \(a\). Prolonger \(f'\) par continuité en \(a\) n'est pas montrer que \(f\) est dérivable en \(a\) : la fonction \(\mathbb{1}_{\mathbb{R}_+}\) a pour dérivée \(0\) en tout point de \(\mathbb{R}^*\), dérivée qui se prolonge par continuité en \(0\), et pourtant \(\mathbb{1}_{\mathbb{R}_+}\) n'est même pas continue en \(0\), donc pas dérivable en ce point. Le théorème de la limite de la dérivée dit que la première limite découle de la seconde quand \(f\) est continue en \(a\).
VII.1
Le théorème
Le taux d'accroissement est une valeur de la dérivée
Le théorème des accroissements finis écrit le taux d'accroissement \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) comme une valeur \(f'(c)\) de la dérivée en un point \(c\) compris entre \(a\) et \(x\). Quand \(x\) tend vers \(a\), \(c\) aussi, et si \(f'\) a une limite en \(a\), le taux d'accroissement a la même limite. L'hypothèse que \(f\) est continue en \(a\) est ce qui permet d'appliquer le théorème des accroissements finis sur le segment d'extrémités \(a\) et \(x\).
Théorème — Théorème de la limite de la dérivée
Soient \(I\) un intervalle, \(a \in I\), et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(I \setminus \{a\}\). Supposons que \(f'(x) \to \ell \in \overline{\mathbb{R}}\) quand \(x \to a\) avec \(x \in I \setminus \{a\}\). - Si \(\ell \in \mathbb{R}\), alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\), et \(f'\) est continue en \(a\). Si de plus \(f'\) est continue sur \(I \setminus \{a\}\), alors \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\).
- Si \(\ell = \pm\infty\), alors \(\tau_a(h) \to \pm\infty\) quand \(h \to 0\) : le graphe de \(f\) a une tangente verticale en \(a\), et \(f\) n'est pas dérivable en \(a\).
Soit \(x \in I \setminus \{a\}\). Le segment d'extrémités \(a\) et \(x\) est contenu dans \(I\), puisque \(I\) est un intervalle : \(f\) y est continue, et dérivable sur son intérieur, qui ne contient pas \(a\). Le Théorème « Théorème des accroissements finis » sur ce segment donne un point \(c_x\) strictement compris entre \(a\) et \(x\) avec $$ \begin{aligned} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} &= f'(c_x) && \text{(théorème des accroissements finis sur le segment d'extrémités \(a\) et \(x\))} \\
&\xrightarrow[x \to a]{} \ell, \end{aligned} $$ la limite étant justifiée comme suit. Comme \(\lvert c_x - a \rvert < \lvert x - a \rvert\), le théorème d'encadrement donne \(c_x \to a\) quand \(x \to a\), et \(c_x \in I \setminus \{a\}\). La fonction \(f'\) a la limite \(\ell\) en \(a\) le long de \(I \setminus \{a\}\), donc la composition de limites donne \(f'(c_x) \to \ell\) quand \(x \to a\) (Proposition « Composition de limites » du chapitre Limites et continuité). Donc \(\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) tend vers \(\ell\) quand \(h \to 0\), par la substitution \(x = a + h\). Deux cas.
- \(\ell \in \mathbb{R}\). Le taux d'accroissement a la limite finie \(\ell\), donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\). Alors \(f'\) est définie en \(a\) et \(f'(x) \to f'(a)\) quand \(x \to a\) avec \(x \ne a\), donc quand \(x \to a\) (Proposition « Limite et limite épointée » du chapitre Limites et continuité) : \(f'\) est continue en \(a\). Si \(f'\) est aussi continue sur \(I \setminus \{a\}\), alors \(f'\) est continue sur \(I\), et \(f\) est dérivable sur \(I\) : \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) (Définition « Classes \(C^k\) et \(C^\infty\) »).
- \(\ell = \pm\infty\). Le taux d'accroissement tend vers \(\pm\infty\) : par définition de la tangente, le graphe de \(f\) a une tangente verticale en \(a\) (Définition « Tangente »), et \(f\) n'est pas dérivable en \(a\), puisque la limite n'est pas finie.
Remarque — la continuité de \(f\) est essentielle
L'hypothèse « \(f\) est continue en \(a\) » ne peut pas être supprimée dans le Théorème « Théorème de la limite de la dérivée ». Soit \(H(x) = 0\) pour \(x < 0\) et \(H(x) = 1\) pour \(x \ge 0\), la fonction \(\mathbb{1}_{\mathbb{R}_+}\). Alors \(H' = 0\) en tout point de \(\mathbb{R}^*\), donc \(H'(x) \to 0\) quand \(x \to 0\). Le raisonnement « \(H'(x) \to 0\), donc \(H\) est dérivable en \(0\) avec \(H'(0) = 0\) » est faux : \(H(x) \to 0 \ne 1 = H(0)\) quand \(x \to 0^-\), donc \(H\) n'est pas continue en \(0\), et par conséquent pas dérivable en \(0\) (Proposition « Dérivable implique continue »). Directement, \(\tau_0(h) = \frac{H(h) - 1}{h}\) vaut \(0\) pour \(h > 0\) et \(-\frac{1}{h}\) pour \(h < 0\), qui tend vers \(+\infty\) quand \(h \to 0^-\). Toujours vérifier la continuité de \(f\) en \(a\) avant d'utiliser le théorème.
Compétences à pratiquer
- Lire les hypothèses du théorème de la limite de la dérivée ★
- Appliquer le théorème de la limite de la dérivée ★
VII.2
Applications
Montrer qu'une fonction est de classe \(C^1\)
Le théorème de la limite de la dérivée est l'outil pour une fonction définie par plusieurs formules, ou prolongée en un point où sa formule n'a pas de sens. Le taux d'accroissement au point de raccord est souvent pénible, et la dérivée de chaque côté est facile à calculer. La recette est de vérifier la continuité au raccord, de calculer \(f'\) de chaque côté, et d'en lire la limite. La recette est une condition suffisante et non nécessaire : une fonction peut être dérivable en \(a\) avec une dérivée qui n'a pas de limite en \(a\).
Méthode — Démontrer le caractère \(C^1\) en un point par la limite de la dérivée
Pour montrer qu'une fonction \(f\) est dérivable en un point \(a\) et de classe \(C^1\) près de ce point, quand le taux d'accroissement en \(a\) est pénible : - D'abord la continuité en \(a\). Vérifier que \(f\) est continue en \(a\), avec les limites à gauche et à droite quand la formule change (Proposition « Continuité et limites latérales » du chapitre Limites et continuité). Sans elle le théorème ne s'applique pas.
- Dérivabilité hors de \(a\). Vérifier que \(f\) est dérivable sur \(I \setminus \{a\}\) et y calculer \(f'\), avec les règles de calcul.
- Limite de \(f'\). Calculer la limite de \(f'(x)\) quand \(x \to a\), de chaque côté si besoin. Si elle est finie et égale à \(\ell\), le théorème donne que \(f\) est dérivable en \(a\) avec \(f'(a) = \ell\) et que \(f'\) est continue en \(a\) ; si \(f'\) est aussi continue sur \(I \setminus \{a\}\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\). Si la limite est \(\pm\infty\), le graphe a une tangente verticale.
- Si \(f'\) n'a pas de limite en \(a\), le théorème ne dit rien : calculer directement le taux d'accroissement \(\tau_a(h)\).
Exemple — Une fonction à deux formules
Montrer que \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), définie par \(f(x) = x^2\) pour \(x \le 0\) et \(f(x) = x^3\) pour \(x > 0\), est dérivable en \(0\) et de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), par la Méthode « Démontrer le caractère \(C^1\) en un point par la limite de la dérivée ».
Continuité en \(0\). La limite à gauche est \(\lim_{x \to 0^-} x^2 = 0\), la limite à droite est \(\lim_{x \to 0^+} x^3 = 0\), et \(f(0) = 0\). Par la Proposition « Continuité et limites latérales », \(f\) est continue en \(0\).
Dérivabilité sur \(\mathbb{R}^*\). Sur \(]-\infty, 0[\), \(f(x) = x^2\) et \(f'(x) = 2x\) ; sur \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^3\) et \(f'(x) = 3x^2\). La fonction \(f\) est polynomiale sur chaque demi-droite ouverte, donc continue et dérivable sur chacune, et \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\). Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Limite de \(f'\) en \(0\). \(\lim_{x \to 0^-} 2x = 0\) et \(\lim_{x \to 0^+} 3x^2 = 0\), donc \(f'(x) \to 0\) quand \(x \to 0\), une limite finie.
Conclusion. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), et \(f'\) a la limite finie \(0\) en \(0\). Par le Théorème « Théorème de la limite de la dérivée », \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 0\), et \(f'\) est continue en \(0\). Comme \(f'\) est aussi continue sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Dérivabilité sur \(\mathbb{R}^*\). Sur \(]-\infty, 0[\), \(f(x) = x^2\) et \(f'(x) = 2x\) ; sur \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^3\) et \(f'(x) = 3x^2\). La fonction \(f\) est polynomiale sur chaque demi-droite ouverte, donc continue et dérivable sur chacune, et \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\). Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Limite de \(f'\) en \(0\). \(\lim_{x \to 0^-} 2x = 0\) et \(\lim_{x \to 0^+} 3x^2 = 0\), donc \(f'(x) \to 0\) quand \(x \to 0\), une limite finie.
Conclusion. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), et \(f'\) a la limite finie \(0\) en \(0\). Par le Théorème « Théorème de la limite de la dérivée », \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 0\), et \(f'\) est continue en \(0\). Comme \(f'\) est aussi continue sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Exemple — \(x^3 \sin\frac{1}{x}\) prolongée par \(0\)
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^3 \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \ne 0\) et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Continuité en \(0\). Pour \(x \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) \rvert &= \lvert x \rvert^3 \left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(définition de \(f\))} \\
&\le \lvert x \rvert^3, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert \le 1\). Comme \(\lvert x \rvert^3 \to 0\), le théorème d'encadrement donne \(f(x) \to 0 = f(0)\) : \(f\) est continue en \(0\).
Dérivabilité sur \(\mathbb{R}^*\). Sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et $$ \begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \sin\frac{1}{x} + x^3 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivation en chaîne)} \\ &= 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}^*\).
Limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(x \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \left\lvert 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x \cos\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\le 3x^2 + \lvert x \rvert, \end{aligned} $$ par l'inégalité triangulaire et \(\lvert \sin \rvert \le 1\), \(\lvert \cos \rvert \le 1\). Comme \(3x^2 + \lvert x \rvert \to 0\), le théorème d'encadrement donne \(f'(x) \to 0\) quand \(x \to 0\).
Conclusion. Par le Théorème « Théorème de la limite de la dérivée », \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 0\), et \(f'\) est continue en \(0\). Comme \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Dérivabilité sur \(\mathbb{R}^*\). Sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et $$ \begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 \sin\frac{1}{x} + x^3 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivation en chaîne)} \\ &= 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}^*\).
Limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(x \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \left\lvert 3x^2 \sin\frac{1}{x} - x \cos\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\le 3x^2 + \lvert x \rvert, \end{aligned} $$ par l'inégalité triangulaire et \(\lvert \sin \rvert \le 1\), \(\lvert \cos \rvert \le 1\). Comme \(3x^2 + \lvert x \rvert \to 0\), le théorème d'encadrement donne \(f'(x) \to 0\) quand \(x \to 0\).
Conclusion. Par le Théorème « Théorème de la limite de la dérivée », \(f\) est dérivable en \(0\) avec \(f'(0) = 0\), et \(f'\) est continue en \(0\). Comme \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Pour aller plus loin
La méthode de Newton. La suite récurrente \(u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)}\) remplace, à chaque pas, le graphe de \(f\) par sa tangente et prend le zéro de la tangente. Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur un intervalle autour d'un zéro \(\ell\), avec \(f'(\ell) \ne 0\). Si le départ \(u_0\) est assez proche de \(\ell\), la suite converge vers \(\ell\), et il existe une constante \(C > 0\) telle que \(\lvert u_{n+1} - \ell \rvert \le C\,\lvert u_n - \ell \rvert^2\) : l'erreur est, à un facteur constant près, élevée au carré à chaque pas, ce qui double le nombre de décimales exactes. Cette vitesse quadratique se démontre avec les développements d'une fonction, et la démonstration n'est pas donnée ici. Le principe de contraction ne donne qu'une vitesse géométrique.
La méthode d'Euler. Remplacer la dérivée par un taux d'accroissement transforme une équation différentielle en une suite récurrente, \(y_{n+1} = y_n + h\,F(t_n, y_n)\) : cette discrétisation est l'objet de l'étude des équations différentielles et de sa programmation.
Le théorème de Darboux. Une dérivée n'est pas forcément continue, mais elle a la propriété des valeurs intermédiaires : si \(f\) est dérivable sur un intervalle, \(f'\) prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs. En particulier une dérivée n'a pas de discontinuité à saut, et l'exemple \(x^2 \sin\frac{1}{x}\) montre une dérivée oscillante sans limite.
Le théorème des accroissements finis généralisé et la règle de L'Hôpital. Pour deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\) et dérivables sur \(]a, b[\), il existe \(c \in \,]a, b[\) avec \(\big(f(b) - f(a)\big)g'(c) = \big(g(b) - g(a)\big)f'(c)\) ; il donne la règle de L'Hôpital pour la limite d'un quotient.
Une fonction continue nulle part dérivable. La continuité ne donne la dérivabilité nulle part : il existe des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) qui n'ont de dérivée en aucun point, construites comme sommes de séries de fonctions oscillantes.
Fonctions à valeurs complexes. La dérivée d'une fonction à valeurs dans \(\mathbb{C}\) se définit avec le même taux d'accroissement, et les règles de calcul sont les mêmes. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis y sont faux, mais l'inégalité des accroissements finis subsiste, et l'une de ses démonstrations utilise une intégrale.
Convexité, Taylor et dérivées partielles. Le signe de \(f''\) donne la position d'un graphe par rapport à ses tangentes, la convexité. Les développements d'une fonction près d'un point, à un ordre supérieur au premier, sont les formules de Taylor et les développements limités, qui donnent aussi la condition suffisante du second ordre pour un extremum. Pour une fonction de deux variables, les dérivées partielles remplacent la dérivée.
La méthode d'Euler. Remplacer la dérivée par un taux d'accroissement transforme une équation différentielle en une suite récurrente, \(y_{n+1} = y_n + h\,F(t_n, y_n)\) : cette discrétisation est l'objet de l'étude des équations différentielles et de sa programmation.
Le théorème de Darboux. Une dérivée n'est pas forcément continue, mais elle a la propriété des valeurs intermédiaires : si \(f\) est dérivable sur un intervalle, \(f'\) prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs. En particulier une dérivée n'a pas de discontinuité à saut, et l'exemple \(x^2 \sin\frac{1}{x}\) montre une dérivée oscillante sans limite.
Le théorème des accroissements finis généralisé et la règle de L'Hôpital. Pour deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\) et dérivables sur \(]a, b[\), il existe \(c \in \,]a, b[\) avec \(\big(f(b) - f(a)\big)g'(c) = \big(g(b) - g(a)\big)f'(c)\) ; il donne la règle de L'Hôpital pour la limite d'un quotient.
Une fonction continue nulle part dérivable. La continuité ne donne la dérivabilité nulle part : il existe des fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) qui n'ont de dérivée en aucun point, construites comme sommes de séries de fonctions oscillantes.
Fonctions à valeurs complexes. La dérivée d'une fonction à valeurs dans \(\mathbb{C}\) se définit avec le même taux d'accroissement, et les règles de calcul sont les mêmes. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis y sont faux, mais l'inégalité des accroissements finis subsiste, et l'une de ses démonstrations utilise une intégrale.
Convexité, Taylor et dérivées partielles. Le signe de \(f''\) donne la position d'un graphe par rapport à ses tangentes, la convexité. Les développements d'une fonction près d'un point, à un ordre supérieur au premier, sont les formules de Taylor et les développements limités, qui donnent aussi la condition suffisante du second ordre pour un extremum. Pour une fonction de deux variables, les dérivées partielles remplacent la dérivée.
Compétences à pratiquer
- Décider la dérivabilité quand la limite de la dérivée échoue ou est infinie ★★
- Établir la régularité d'une fonction en un point avec une idée ★★★
VIII
Dérivées d'ordre supérieur
Itérer la dérivation
Itérer la dérivation donne les dérivées d'ordre supérieur, et les classes \(C^k\) mesurent la régularité d'une fonction : combien de fois elle peut être dérivée, et si la dernière dérivée est continue. La stabilité des classes par les opérations de calcul est démontrée, composée et réciproque comprises, et la formule de Leibniz pour la dérivée d'un produit, un calcul direct, en est le modèle pour les ordres supérieurs.
VIII.1
Dérivées successives et classes \(C^k\)
Dériver encore
La dérivée \(f'\) d'une fonction dérivable est une fonction, et elle peut elle-même être dérivable : sa dérivée est la dérivée seconde, et ainsi de suite. Une fonction peut être dérivable une fois sans l'être deux fois, et sa dérivée peut exister sans être continue. Les classes \(C^k\) notent jusqu'où l'on peut aller ; l'Exemple « Dérivable mais pas de classe \(C^1\) » montre que « dérivable » et « de classe \(C^1\) » sont des propriétés différentes.
Définition — Dérivée \(n\)-ième
Définition récursive : \(f^{(0)} = f\). Si \(f^{(n)}\) est définie et dérivable sur \(I\), alors \(f^{(n+1)} = (f^{(n)})'\). \(f\) est dite \(n\) fois dérivable sur \(I\) si \(f^{(n)}\) existe sur \(I\). Définition — Classes \(C^k\) et \(C^\infty\)
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(k \in \mathbb{N}\). La fonction \(f\) est de classe \(C^k\) sur \(I\) si \(f\) est \(k\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(k)}\) est continue sur \(I\) ; la classe \(C^0\) est l'ensemble des fonctions continues. Elle est de classe \(C^\infty\) si elle est de classe \(C^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Ces ensembles sont notés \(\textcolor{colordef}{C^k(I, \mathbb{R})}\) et \(\textcolor{colordef}{C^\infty(I, \mathbb{R})}\), et \(k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}\) nomme une classe.Par la Proposition « Dérivable implique continue », \(f^{(k)}\) est continue dès qu'elle est dérivable : une fonction \(k + 1\) fois dérivable est de classe \(C^k\). D'où la chaîne d'inclusions $$C^\infty(I, \mathbb{R}) \subset \dots \subset C^2(I, \mathbb{R}) \subset C^1(I, \mathbb{R}) \subset C^0(I, \mathbb{R}).$$ Une fonction de classe \(C^1\) est une fonction dérivable dont la dérivée est continue.
Proposition — Classe \(C^{p+q}\)
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(p, q \in \mathbb{N}\). Alors $$\textcolor{colorprop}{f \in C^{p+q}(I, \mathbb{R}) \iff f \text{ est } p \text{ fois dérivable et } f^{(p)} \in C^q(I, \mathbb{R})},$$ et alors \(f^{(p+q)} = \big(f^{(p)}\big)^{(q)}\).
Fixons \(p \in \mathbb{N}\). Pour \(q \in \mathbb{N}\), soit \(Q_q\) la propriété « pour toute fonction \(f \colon I \to \mathbb{R}\), \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable, et alors \(f^{(p+q)} = (f^{(p)})^{(q)}\) ». On démontre \(Q_q\) par récurrence sur \(q\).
- Initialisation. Pour \(q = 0\), « \(f^{(p)}\) est \(0\) fois dérivable » n'impose aucune condition, et \(f^{(p)} = (f^{(p)})^{(0)}\) : \(Q_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(q \in \mathbb{N}\). Supposons \(Q_q\). Montrons \(Q_{q+1}\). Par la Définition « Dérivée \(n\)-ième », \(f\) est \((p + q + 1)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable et \(f^{(p+q)}\) est dérivable. Par hypothèse de récurrence, « \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable » signifie « \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable », et alors \(f^{(p+q)} = (f^{(p)})^{(q)}\). Donc \(f\) est \((p + q + 1)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable, \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable et \((f^{(p)})^{(q)}\) est dérivable, c'est-à-dire si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \((q + 1)\) fois dérivable. Dans ce cas $$ \begin{aligned} f^{(p+q+1)} &= \big(f^{(p+q)}\big)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième)} \\ &= \Big(\big(f^{(p)}\big)^{(q)}\Big)' && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \big(f^{(p)}\big)^{(q+1)}. \end{aligned} $$ C'est \(Q_{q+1}\).
- Conclusion. Puisque \(Q_0\) est vraie et que \(Q_q \Rightarrow Q_{q+1}\) pour tout \(q\), par récurrence \(Q_q\) est vraie pour tout \(q \in \mathbb{N}\).
Exemple — Les polynômes sont de classe \(C^\infty\)
Montrer que toute fonction polynomiale est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), et calculer les dérivées successives de \(x \mapsto x^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\).
Les dérivées de \(x^m\). Soit \(m \in \mathbb{N}\). Pour \(0 \le k \le m\), soit \(P_k\) la propriété « \((x^m)^{(k)} = \frac{m!}{(m - k)!}\,x^{m-k}\) ».
- Initialisation. \((x^m)^{(0)} = x^m = \frac{m!}{m!}\,x^m\), donc \(P_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(0 \le k < m\). Supposons \(P_k\). Montrons \(P_{k+1}\). $$ \begin{aligned} (x^m)^{(k+1)} &= \left(\frac{m!}{(m - k)!}\,x^{m-k}\right)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième et hypothèse de récurrence)} \\ &= \frac{m!}{(m - k)!}\,(m - k)\,x^{m-k-1} && \text{(dérivée de \(x^{m-k}\), \(m - k \ge 1\))} \\ &= \frac{m!}{(m - k - 1)!}\,x^{m-k-1}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(\frac{m - k}{(m - k)!} = \frac{1}{(m - k - 1)!}\). Donc \(P_{k+1}\).
- Conclusion. \(P_k\) est vraie pour \(0 \le k \le m\). En particulier \((x^m)^{(m)} = m!\) est constante, donc \((x^m)^{(k)} = 0\) pour tout \(k > m\).
Exemple — Les dérivées successives de \(\frac{1}{x - 1}\)
Calculer les dérivées successives de \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1}\) sur \(I = {]}1, +\infty{[}\).
Une règle sert à chaque étape : pour \(m \in \mathbb{N}^*\) et \(u(x) = x - 1\), de dérivée \(1\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{u^m}\right)' &= -\frac{(u^m)'}{u^{2m}} && \text{(règle du quotient)} \\
&= -\frac{m\,u^{m-1}}{u^{2m}} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles » avec \(u' = 1\))} \\
&= -\frac{m}{u^{m+1}}. \end{aligned} $$ Pour \(k \in \mathbb{N}\), soit \(P_k\) la propriété « \(f^{(k)}(x) = \dfrac{(-1)^k\,k!}{(x - 1)^{k+1}}\) pour tout \(x \in I\) ».
- Initialisation. \(f^{(0)}(x) = \frac{1}{x - 1} = \frac{(-1)^0\,0!}{(x - 1)^1}\), donc \(P_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(P_k\). Montrons \(P_{k+1}\). $$ \begin{aligned} f^{(k+1)}(x) &= \left(\frac{(-1)^k\,k!}{(x - 1)^{k+1}}\right)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième et hypothèse de récurrence)} \\ &= (-1)^k\,k!\,\cdot\left(-\frac{k + 1}{(x - 1)^{k+2}}\right) && \text{(la règle ci-dessus avec \(m = k + 1\))} \\ &= \frac{(-1)^{k+1}\,(k + 1)!}{(x - 1)^{k+2}}. \end{aligned} $$ La dernière étape regroupe les signes et \(k!\,(k + 1) = (k + 1)!\). Donc \(P_{k+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_0\) est vraie et que \(P_k \Rightarrow P_{k+1}\) pour tout \(k\), par récurrence \(P_k\) est vraie pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
Exemple — Une fonction de classe \(C^1\) mais pas \(C^2\)
Montrer que \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\,\lvert x \rvert\), est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) mais pas de classe \(C^2\).
La dérivée en tout point. La dérivée se calcule directement par le taux d'accroissement, en un point \(a \ne 0\) et en \(0\).
Soit \(a \ne 0\), et soit \(s = 1\) si \(a > 0\) et \(s = -1\) si \(a < 0\). Pour \(x\) du signe de \(a\), \(\lvert x \rvert = s\,x\), donc \(f(x) = s\,x^2\). Pour \(0 < \lvert h \rvert < \lvert a \rvert\), le nombre \(a + h\) a le signe de \(a\), et $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= s\,\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(a + h\) et \(a\) ont le signe \(s\))} \\ &= s\,(2a + h) && \text{(développement et simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} 2sa. \end{aligned} $$ En \(a = 0\), pour tout \(h \ne 0\), \(\tau_0(h) = \frac{h\lvert h \rvert - 0}{h} = \lvert h \rvert \to 0\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 2\lvert x \rvert\) pour tout \(x\) : \(2sa = 2\lvert a \rvert\) pour \(a \ne 0\), puisque \(s\,a = \lvert a \rvert\), et \(0 = 2\lvert 0 \rvert\).
Classe \(C^1\). La fonction \(f' = 2\lvert \cdot \rvert\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Pas de classe \(C^2\). Si \(f'\) était dérivable en \(0\), alors \(\lvert x \rvert = \frac{1}{2}f'(x)\) le serait, par la Proposition « Linéarité ». Or \(\lvert \cdot \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\), d'après l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) ». Donc \(f''(0)\) n'existe pas : \(f\) n'est pas deux fois dérivable, et \(f \notin C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Soit \(a \ne 0\), et soit \(s = 1\) si \(a > 0\) et \(s = -1\) si \(a < 0\). Pour \(x\) du signe de \(a\), \(\lvert x \rvert = s\,x\), donc \(f(x) = s\,x^2\). Pour \(0 < \lvert h \rvert < \lvert a \rvert\), le nombre \(a + h\) a le signe de \(a\), et $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= s\,\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(a + h\) et \(a\) ont le signe \(s\))} \\ &= s\,(2a + h) && \text{(développement et simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} 2sa. \end{aligned} $$ En \(a = 0\), pour tout \(h \ne 0\), \(\tau_0(h) = \frac{h\lvert h \rvert - 0}{h} = \lvert h \rvert \to 0\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 2\lvert x \rvert\) pour tout \(x\) : \(2sa = 2\lvert a \rvert\) pour \(a \ne 0\), puisque \(s\,a = \lvert a \rvert\), et \(0 = 2\lvert 0 \rvert\).
Classe \(C^1\). La fonction \(f' = 2\lvert \cdot \rvert\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Pas de classe \(C^2\). Si \(f'\) était dérivable en \(0\), alors \(\lvert x \rvert = \frac{1}{2}f'(x)\) le serait, par la Proposition « Linéarité ». Or \(\lvert \cdot \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\), d'après l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) ». Donc \(f''(0)\) n'existe pas : \(f\) n'est pas deux fois dérivable, et \(f \notin C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Exemple — Dérivable mais pas de classe \(C^1\)
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \ne 0\) et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(f'(0) = 0\), mais que \(f'\) n'a pas de limite en \(0\) : \(f\) n'est pas de classe \(C^1\).
En \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert \tau_0(h) \rvert &= \left\lvert \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} \right\rvert && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \lvert h \rvert \left\lvert \sin\frac{1}{h} \right\rvert && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\le \lvert h \rvert && \text{(\(\lvert \sin t \rvert \le 1\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} 0. \end{aligned} $$ Par le Théorème « Théorème d'encadrement » du chapitre Limites et continuité, \(\tau_0(h) \to 0\) : \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
En \(x \ne 0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, 0[\) et \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et la dérivabilité en un point est locale. Avec \(u(x) = \frac{1}{x}\), de dérivée \(-\frac{1}{x^2}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2\,(\sin u)'(x) && \text{(règle du produit)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cdot u'(x) \cos\frac{1}{x} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -1\).
Pas de limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(n \ge 1\), posons \(x_n = \frac{1}{2n\pi}\) et \(y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la périodicité de \(\sin\) et de \(\cos\) et leurs valeurs en \(0\) et en \(\pi\), $$ \begin{aligned} f'(x_n) &= 2x_n \sin(2n\pi) - \cos(2n\pi) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{x_n} = 2n\pi\))} \\ &= 2x_n \cdot 0 - 1 && \text{(périodicité, \(\sin 0 = 0\) et \(\cos 0 = 1\))} \\ &= -1, \\ f'(y_n) &= 2y_n \sin\big((2n + 1)\pi\big) - \cos\big((2n + 1)\pi\big) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{y_n} = (2n + 1)\pi\))} \\ &= 2y_n \cdot 0 - (-1) && \text{(périodicité, \(\sin \pi = 0\) et \(\cos \pi = -1\))} \\ &= 1. \end{aligned} $$ Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(f'\) n'a pas de limite en \(0\). En particulier \(f'\) n'est pas continue en \(0\), quelle que soit la valeur \(f'(0) = 0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) mais n'est pas de classe \(C^1\).
En \(x \ne 0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, 0[\) et \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et la dérivabilité en un point est locale. Avec \(u(x) = \frac{1}{x}\), de dérivée \(-\frac{1}{x^2}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2\,(\sin u)'(x) && \text{(règle du produit)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cdot u'(x) \cos\frac{1}{x} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -1\).
Pas de limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(n \ge 1\), posons \(x_n = \frac{1}{2n\pi}\) et \(y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la périodicité de \(\sin\) et de \(\cos\) et leurs valeurs en \(0\) et en \(\pi\), $$ \begin{aligned} f'(x_n) &= 2x_n \sin(2n\pi) - \cos(2n\pi) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{x_n} = 2n\pi\))} \\ &= 2x_n \cdot 0 - 1 && \text{(périodicité, \(\sin 0 = 0\) et \(\cos 0 = 1\))} \\ &= -1, \\ f'(y_n) &= 2y_n \sin\big((2n + 1)\pi\big) - \cos\big((2n + 1)\pi\big) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{y_n} = (2n + 1)\pi\))} \\ &= 2y_n \cdot 0 - (-1) && \text{(périodicité, \(\sin \pi = 0\) et \(\cos \pi = -1\))} \\ &= 1. \end{aligned} $$ Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(f'\) n'a pas de limite en \(0\). En particulier \(f'\) n'est pas continue en \(0\), quelle que soit la valeur \(f'(0) = 0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) mais n'est pas de classe \(C^1\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la classe d'une fonction ★
- Calculer des dérivées successives d'un polynôme ★
- Déterminer la classe d'une fonction définie par morceaux ★★
- Exhiber une fonction dérivable mais pas de classe \(C^1\) ★★★
VIII.2
Stabilité des classes \(C^k\)
Les classes sont stables par les opérations
Les opérations de calcul n'abaissent pas la régularité : la somme, le produit, le quotient, la composée et la réciproque de fonctions de classe \(C^k\) sont de classe \(C^k\), avec les hypothèses naturelles. Les démonstrations sont des récurrences sur \(k\), et chaque règle ramène la dérivée d'ordre \(k + 1\) du résultat à des dérivées d'ordre \(k\) des données, par la formule de la dérivée de l'opération.
Proposition — Stabilité de la classe \(C^k\)
Soient \(I\) et \(J\) des intervalles non réduits à un point, \(k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}\), \(f, g \in C^k(I, \mathbb{R})\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors : - \(\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{f g \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- si \(g\) ne s'annule pas sur \(I\), \(\textcolor{colorprop}{\frac{f}{g} \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- si \(\varphi \colon J \to \mathbb{R}\) est de classe \(C^k\) avec \(\varphi(J) \subset I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f \circ \varphi \in C^k(J, \mathbb{R})}\) ;
- si \(k \ge 1\) et si \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) dont la dérivée \(f'\) ne s'annule pas sur \(I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f^{-1} \in C^k(f(I), \mathbb{R})}\).
Comme \(C^\infty(I, \mathbb{R})\) est l'intersection des classes \(C^k(I, \mathbb{R})\), le cas \(k = \infty\) résulte des cas finis : prenons \(k \in \mathbb{N}\). Chaque point se démontre par récurrence sur \(k\), dans l'ordre de l'énoncé, un point utilisant les précédents au rang \(k\). On utilise la Proposition « Classe \(C^{p+q}\) » avec \(p = 1\) et \(q = k\) : une fonction est de classe \(C^{k+1}\) si et seulement si elle est dérivable et sa dérivée est de classe \(C^k\).
- Combinaison linéaire. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(\lambda f + \mu g\) est continue par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Hérédité. Soient \(f, g \in C^{k+1}\). Elles sont dérivables avec \(f', g' \in C^k\), et \(\lambda f + \mu g\) est dérivable avec \((\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'\) par la Proposition « Linéarité ». Par hypothèse de récurrence, \(\lambda f' + \mu g' \in C^k\), donc \(\lambda f + \mu g \in C^{k+1}\).
- Produit. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(fg\) est continue. Hérédité. Soient \(f, g \in C^{k+1}\). Le produit \(fg\) est dérivable avec \((fg)' = f'g + fg'\), par la Proposition « Règle du produit ». Les fonctions \(f\) et \(g\) sont dans \(C^k\) et \(f'\) et \(g'\) sont dans \(C^k\), donc \(f'g\) et \(fg'\) sont dans \(C^k\) par hypothèse de récurrence, et leur somme aussi par le point précédent : \((fg)' \in C^k\) et \(fg \in C^{k+1}\).
- Quotient. On montre d'abord par récurrence sur \(k\) que \(\frac{1}{g} \in C^k\) quand \(g \in C^k\) ne s'annule pas. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(\frac{1}{g}\) est continue car \(g\) est continue et ne s'annule pas. Hérédité. Soit \(g \in C^{k+1}\) ne s'annulant pas. Par la Proposition « Règle du quotient », \(\frac{1}{g}\) est dérivable avec \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -g' \cdot \frac{1}{g^2}\). La fonction \(g^2\) est dans \(C^k\) par le point du produit, et ne s'annule pas, donc \(\frac{1}{g^2} \in C^k\) par hypothèse de récurrence ; avec \(g' \in C^k\), le point du produit donne \(\left(\frac{1}{g}\right)' \in C^k\), donc \(\frac{1}{g} \in C^{k+1}\). Alors \(\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}\) est un produit de deux fonctions de classe \(C^k\), donc de classe \(C^k\).
- Composition. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(f \circ \varphi\) est continue par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Hérédité. Soient \(f \in C^{k+1}(I, \mathbb{R})\) et \(\varphi \in C^{k+1}(J, \mathbb{R})\) avec \(\varphi(J) \subset I\). Par la Proposition « Dérivation en chaîne », \(f \circ \varphi\) est dérivable avec \((f \circ \varphi)' = (f' \circ \varphi)\,\varphi'\). Or \(f' \in C^k(I, \mathbb{R})\) et \(\varphi \in C^k(J, \mathbb{R})\), donc \(f' \circ \varphi \in C^k(J, \mathbb{R})\) par hypothèse de récurrence, et \(\varphi' \in C^k(J, \mathbb{R})\). Par le point du produit, \((f \circ \varphi)' \in C^k\), donc \(f \circ \varphi \in C^{k+1}\).
- Réciproque. Soit \(J = f(I)\). Initialisation \(k = 1\). La fonction \(f\) est continue et injective sur l'intervalle \(I\), donc strictement monotone par le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone » ; par le Théorème « Théorème de la bijection », \(J\) est un intervalle et \(f^{-1}\) est continue. Par la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) avec \((f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}\). Comme \(f'\) et \(f^{-1}\) sont continues, \(f' \circ f^{-1}\) est continue, et elle ne s'annule pas, donc \((f^{-1})'\) est continue : \(f^{-1} \in C^1\). Hérédité. Soient \(k \ge 1\) et \(f \in C^{k+1}\). Par l'initialisation, \(f^{-1}\) est dérivable avec \((f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}\), et \(f^{-1} \in C^k(J, \mathbb{R})\) par hypothèse de récurrence, puisque \(f \in C^k\). Comme \(f' \in C^k(I, \mathbb{R})\), le point de la composition donne \(f' \circ f^{-1} \in C^k(J, \mathbb{R})\), qui ne s'annule pas ; par le point du quotient, \((f^{-1})' \in C^k(J, \mathbb{R})\), donc \(f^{-1} \in C^{k+1}\).
Compétences à pratiquer
- Justifier la classe d'une fonction par les règles de stabilité ★
- Démontrer qu'une fonction est de classe \(C^k\) ou \(C^\infty\) ★★
VIII.3
Formule de Leibniz et dérivées itérées
La dérivée d'un produit à tout ordre
La formule de Leibniz donne la dérivée d'ordre \(n\) d'un produit, comme la formule du binôme donne la puissance d'une somme : les coefficients binomiaux apparaissent parce que dériver un produit reprend la combinatoire de son développement. Utilisée avec un facteur dont les dérivées s'annulent à partir d'un certain ordre, comme un polynôme, elle réduit le calcul à quelques termes ; les dérivées itérées des fonctions usuelles sont le second outil.
Théorème — Formule de Leibniz
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) \(n\) fois dérivables sur \(I\). Alors \(fg\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et $$\textcolor{colorprop}{(fg)^{(n)} = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}\,f^{(p)}\,g^{(n-p)}}.$$
On démontre par récurrence sur \(n\) la propriété \(P_n\) : « pour toutes fonctions \(f, g\) \(n\) fois dérivables sur \(I\), \(fg\) est \(n\) fois dérivable et la formule est vraie ».
- Initialisation. Pour \(n = 0\), \((fg)^{(0)} = fg = \binom{0}{0}\,f^{(0)}\,g^{(0)}\) : \(P_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(P_n\). Montrons \(P_{n+1}\). Soient \(f, g\) \((n + 1)\) fois dérivables. Elles sont \(n\) fois dérivables, donc par \(P_n\) le produit \(fg\) est \(n\) fois dérivable et \((fg)^{(n)} = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n-p)}\). Pour \(0 \le p \le n\), les fonctions \(f^{(p)}\) et \(g^{(n-p)}\) sont dérivables, donc par les Propositions « Règle du produit » et « Linéarité », \((fg)^{(n)}\) est dérivable : \(fg\) est \((n + 1)\) fois dérivable, et $$ \begin{aligned} (fg)^{(n+1)} &= \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}\Big(f^{(p+1)}\,g^{(n-p)} + f^{(p)}\,g^{(n+1-p)}\Big) && \text{(linéarité et règle du produit)} \\ &= \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p+1)} g^{(n-p)} + \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n+1-p)} && \text{(séparation de la somme)} \\ &= \sum_{p=1}^{n+1} \binom{n}{p-1} f^{(p)} g^{(n+1-p)} + \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n+1-p)} && \text{(décalage dans la première somme)} \\ &= f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{p=1}^{n} \left[\binom{n}{p-1} + \binom{n}{p}\right] f^{(p)} g^{(n+1-p)} + f^{(0)} g^{(n+1)} && \text{(termes extrêmes à part)} \\ &= f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{p=1}^{n} \binom{n+1}{p} f^{(p)} g^{(n+1-p)} + f^{(0)} g^{(n+1)} && \text{(relation de Pascal)} \\ &= \sum_{p=0}^{n+1} \binom{n+1}{p}\,f^{(p)}\,g^{(n+1-p)}. \end{aligned} $$ À la quatrième ligne, les termes extrêmes ont pour coefficients \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = 1\) ; la dernière étape les remet, leurs coefficients valant \(1 = \binom{n+1}{n+1} = \binom{n+1}{0}\). C'est \(P_{n+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_0\) est vraie et que \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\) pour tout \(n\), par récurrence \(P_n\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Proposition — Dérivées itérées usuelles
Soit \(n \in \mathbb{N}\). - Pour \(m \in \mathbb{N}\) : \(\textcolor{colorprop}{(x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m - n)!}\,x^{m-n}}\) si \(n \le m\), et \((x^m)^{(n)} = 0\) si \(n > m\).
- Pour \(a \in \mathbb{R}\) : \(\textcolor{colorprop}{(e^{ax})^{(n)} = a^n\,e^{ax}}\).
- Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) : \(\textcolor{colorprop}{\big(\sin(ax + b)\big)^{(n)} = a^n \sin\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)}\) et \(\textcolor{colorprop}{\big(\cos(ax + b)\big)^{(n)} = a^n \cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)}\).
- Pour \(a \in \mathbb{R}\), sur chacun des intervalles \(]-\infty, a[\) et \(]a, +\infty[\) : \(\textcolor{colorprop}{\left(\frac{1}{x - a}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n\,n!}{(x - a)^{n+1}}}\).
La formule des puissances est démontrée dans l'Exemple « Les polynômes sont de classe \(C^\infty\) » : une récurrence donne \((x^m)^{(n)} = \frac{m!}{(m - n)!}\,x^{m-n}\) pour \(n \le m\), et la constante \((x^m)^{(m)} = m!\) a toutes ses dérivées nulles, donc \((x^m)^{(n)} = 0\) pour \(n > m\). Chacune des trois autres formules se démontre par récurrence sur \(n\) ; l'initialisation \(n = 0\) est la formule elle-même, la dérivée d'ordre \(0\) étant la fonction.
- Exponentielle. Si \((e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}\), alors $$ \begin{aligned} (e^{ax})^{(n+1)} &= \big(a^n e^{ax}\big)' && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= a^n \cdot a\,e^{ax} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles » avec \(u(x) = ax\))} \\ &= a^{n+1}\,e^{ax}. \end{aligned} $$
- Sinus et cosinus. L'identité \(\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t\) transforme une dérivée du sinus en un décalage de l'argument. Si \(\big(\sin(ax + b)\big)^{(n)} = a^n \sin\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)\), alors $$ \begin{aligned} \big(\sin(ax + b)\big)^{(n+1)} &= \Big(a^n \sin\left(ax + b + \tfrac{n\pi}{2}\right)\Big)' && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= a^n \cdot a \cos\left(ax + b + \tfrac{n\pi}{2}\right) && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\ &= a^{n+1} \sin\left(ax + b + \tfrac{n\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\cos t = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\))} \\ &= a^{n+1} \sin\left(ax + b + \tfrac{(n+1)\pi}{2}\right). \end{aligned} $$ Pour le cosinus, \(\cos(ax + b) = \sin\left(ax + b + \frac{\pi}{2}\right)\), donc par la formule du sinus avec \(b + \frac{\pi}{2}\) à la place de \(b\), \(\big(\cos(ax + b)\big)^{(n)} = a^n \sin\left(\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right) = a^n \cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)\).
- Inverse d'une fonction affine. Sur un intervalle où \(x - a \ne 0\), la règle \(\left(\frac{1}{u^m}\right)' = -\frac{m}{u^{m+1}}\) pour \(u(x) = x - a\) est vraie, par les Propositions « Règle du quotient » et « Formes composées usuelles », puisque \(u' = 1\). Si \(\left(\frac{1}{x - a}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x - a)^{n+1}}\), alors $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{x - a}\right)^{(n+1)} &= \left(\frac{(-1)^n n!}{(x - a)^{n+1}}\right)' && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= (-1)^n n! \cdot \left(-\frac{n + 1}{(x - a)^{n+2}}\right) && \text{(la règle ci-dessus avec \(m = n + 1\))} \\ &= \frac{(-1)^{n+1}\,(n + 1)!}{(x - a)^{n+2}}. \end{aligned} $$
Méthode — Calculer une dérivée d'ordre supérieur
Pour calculer la dérivée d'ordre \(n\) d'une fonction \(f\) : - Un produit avec un polynôme. Pour \(f = P\,g\) avec \(P\) un polynôme de degré \(d\), appliquer le Théorème « Formule de Leibniz » : comme \(P^{(p)} = 0\) pour \(p > d\), seuls les termes \(p \le d\) subsistent, quel que soit \(n\). Les dérivées de \(g\) sont connues quand \(g\) est \(e^{ax}\), un sinus ou un cosinus, par la Proposition « Dérivées itérées usuelles ».
- Une somme d'inverses de facteurs affines. Écrire la fraction comme une combinaison des fonctions \(\frac{1}{x - a}\), et vérifier l'identité en mettant le second membre sur un dénominateur commun — par exemple \(\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{a - b}\left(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b}\right)\) pour \(a \ne b\). Puis dériver chaque terme avec la formule de \(\left(\frac{1}{x - a}\right)^{(n)}\) et la Proposition « Linéarité ».
- Une puissance d'un sinus ou d'un cosinus. La linéariser d'abord, avec les formules du lycée — par exemple \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) — puis dériver terme à terme la somme de sinus et de cosinus obtenue.
- Aucun motif. Calculer les premières dérivées, conjecturer la formule de \(f^{(n)}\), et la démontrer par récurrence sur \(n\) : l'hérédité dérive une fois la formule conjecturée.
Exemple — Une fraction à deux facteurs affines
Calculer \(\left(\dfrac{1}{x^2 - 1}\right)^{(n)}\) sur chacun des intervalles de \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).
La décomposition. Pour \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), $$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} && \text{(dénominateur commun)} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2 - 1} && \text{(\((x + 1) - (x - 1) = 2\) et \((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\))} \\
&= \frac{1}{x^2 - 1}. \end{aligned} $$ La dérivée d'ordre \(n\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, -1[\), \(]-1, 1[\) et \(]1, +\infty[\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{x^2 - 1}\right)^{(n)} &= \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{x - 1}\right)^{(n)} - \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{(n)}\right) && \text{(décomposition et linéarité)} \\
&= \frac{(-1)^n\,n!}{2}\left(\frac{1}{(x - 1)^{n+1}} - \frac{1}{(x + 1)^{n+1}}\right). \end{aligned} $$ La dernière étape est la Proposition « Dérivées itérées usuelles » avec \(a = 1\) et avec \(a = -1\), puisque \(\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x - (-1)}\).
Exemple — Un polynôme fois une exponentielle
Calculer \(\big((x^2 - 1)\,e^x\big)^{(5)}\).
Soient \(f(x) = x^2 - 1\) et \(g(x) = e^x\). Alors \(f' = 2x\), \(f'' = 2\) et \(f^{(p)} = 0\) pour \(p \ge 3\), tandis que \(g^{(p)} = e^x\) pour tout \(p\), par la Proposition « Dérivées itérées usuelles ». Par le Théorème « Formule de Leibniz » avec \(n = 5\), $$ \begin{aligned} (fg)^{(5)} &= \sum_{p=0}^{5} \binom{5}{p}\,f^{(p)}\,g^{(5-p)} && \text{(formule de Leibniz)} \\
&= \binom{5}{0}\,f\,g^{(5)} + \binom{5}{1}\,f'\,g^{(4)} + \binom{5}{2}\,f''\,g^{(3)} && \text{(\(f^{(p)} = 0\) pour \(p \ge 3\))} \\
&= \Big((x^2 - 1) + 5 \cdot 2x + 10 \cdot 2\Big)\,e^x && \text{(\(g^{(p)} = e^x\), \(\binom{5}{1} = 5\), \(\binom{5}{2} = 10\))} \\
&= (x^2 + 10x + 19)\,e^x. \end{aligned} $$ La dernière étape regroupe les termes.
Compétences à pratiquer
- Choisir la méthode pour une dérivée d'ordre supérieur ★
- Appliquer Leibniz à un polynôme fois une exponentielle ★
- Calculer des dérivées itérées de fonctions usuelles ★
- Calculer la dérivée \(n\)-ième d'une fraction rationnelle ★★
- Calculer la dérivée \(n\)-ième d'un produit ★★
- Conjecturer et démontrer une formule par récurrence ★★
- Établir la structure des dérivées itérées ★★★
IX
Brève extension aux fonctions à valeurs complexes
La dérivabilité s'étend aux fonctions \(f : I \to \mathbb{C}\) par dérivabilité composante par composante. La boîte à outils algébrique passe quasi à l'identique. Obstruction cruciale : Rolle et TAF égalité sont faux sur \(\mathbb{C}\). En revanche l'IAF pour fonctions \(C^1\) subsiste — admise ici, preuve reportée à Intégration sur un segment.
Définition — Dérivabilité complexe
\(f : I \to \mathbb{C}\), \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux d'accroissement $$ \tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ admet une limite finie dans \(\mathbb{C}\) quand \(h \to 0\) avec \(a + h \in I\). On note la limite \(\textcolor{colordef}{f'(a)}\). Proposition — Caractérisation par composantes
\(f : I \to \mathbb{C}\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(\mathrm{Re}\,f\) et \(\mathrm{Im}\,f\) sont dérivables en \(a\). Dans ce cas, $$ \textcolor{colorprop}{f'(a) = (\mathrm{Re}\,f)'(a) + i \, (\mathrm{Im}\,f)'(a)}. $$
Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \tau_a^f(h) = \tau_a^{\mathrm{Re}\,f}(h) + i \, \tau_a^{\mathrm{Im}\,f}(h) $$ par \(\mathbb{R}\)-linéarité de \(\mathrm{Re}\) et \(\mathrm{Im}\). Par la caractérisation par composantes des limites de fonctions à valeurs complexes (Limites et continuité, section fonctions à valeurs complexes), \(\tau_a^f(h)\) admet une limite finie dans \(\mathbb{C}\) quand \(h \to 0\) ssi \(\tau_a^{\mathrm{Re}\,f}\) et \(\tau_a^{\mathrm{Im}\,f}\) admettent des limites finies dans \(\mathbb{R}\), avec décomposition \((\mathrm{Re}\,f)'(a) + i (\mathrm{Im}\,f)'(a)\).
Exemple
Calculer la dérivée de \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\), \(f(t) = \exp(i t)\).
\(\mathrm{Re}\,f(t) = \cos t\), \(\mathrm{Im}\,f(t) = \sin t\), dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec \((\cos)' = -\sin\) et \((\sin)' = \cos\) (admises depuis Fonctions réelles). Par la proposition « Caractérisation par composantes », $$ f'(t) = -\sin t + i \cos t = i \exp(i t). $$
Proposition — Ce qui ne change pas
Soient \(f, g : I \to \mathbb{C}\) dérivables sur \(I\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\). Alors : - \(\lambda f + \mu g\) dérivable sur \(I\) avec \(\textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'}\) ;
- \(f g\) dérivable sur \(I\) avec \(\textcolor{colorprop}{(f g)' = f' g + f g'}\) ;
- si \(g\) ne s'annule pas, \(f/g\) dérivable avec \(\textcolor{colorprop}{(f/g)' = (f' g - f g')/g^2}\) ;
- si \(\varphi : J \to I\) est dérivable à valeurs réelles, \(f \circ \varphi\) dérivable avec \(\textcolor{colorprop}{(f \circ \varphi)' = (f' \circ \varphi) \cdot \varphi'}\).
Proposition — Ce qui change
Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis (égalité) sont faux pour les fonctions à valeurs complexes.
Contre-exemple
La fonction \(f : [0, 2 \pi] \to \mathbb{C}\), \(f(t) = \exp(i t)\), vérifie \(f(0) = f(2 \pi) = 1\), est \(C^\infty\) sur \([0, 2 \pi]\) avec \(f'(t) = i \exp(i t)\). Mais \(|f'(t)| = 1\) partout, donc \(f'\) ne s'annule jamais — Rolle est en défaut. Par suite, aucun \(c\) ne vérifie \(f(2\pi) - f(0) = f'(c) \cdot 2 \pi\) (membre gauche \(0\), membre droit de module \(2 \pi\)), donc TAF égalité est en défaut.
Théorème — IAF complexe pour les fonctions \(C^1\)
Soit \(f : I \to \mathbb{C}\) de classe \(C^1\) sur \(I\) avec \(|f'(x)| \le K\) pour tout \(x \in I\). Alors pour tout \((x, y) \in I^2\), $$ \textcolor{colorprop}{|f(y) - f(x)| \le K |y - x|}. $$
Remarque — admis ici
le théorème « IAF complexe pour les fonctions \(C^1\) » est admise dans ce chapitre. L'inégalité résulte d'une simple majoration d'intégrale, justifiée ultérieurement dans la section Intégration. La preuve complète sera donnée dans Intégration sur un segment. D'ici là, le théorème « IAF complexe pour les fonctions \(C^1\) » s'utilise comme boîte noire.
Exemple
Utiliser le théorème « IAF complexe pour les fonctions \(C^1\) » pour montrer \(|\exp(i t) - 1| \le |t|\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
Posons \(f(t) = \exp(i t)\) sur \(\mathbb{R}\). Alors \(f\) est \(C^1\) avec \(f'(t) = i \exp(i t)\), donc \(|f'(t)| = 1\). Par le théorème « IAF complexe pour les fonctions \(C^1\) » avec \(K = 1\), \(|f(t) - f(0)| \le |t|\), soit \(|\exp(i t) - 1| \le |t|\).
Compétences à pratiquer
- Dériver une fonction à valeurs complexes par composantes
- Appliquer l'IAF complexe
X
Exercices de colle
Compétences à pratiquer
- Travailler un exercice de colle ★
- Travailler un exercice de colle ★★
- Travailler un exercice de colle ★★★
- Travailler un exercice de colle ★★★★
XI
Problèmes d'écrit
Compétences à pratiquer
- Travailler un problème d'écrit ★
- Travailler un problème d'écrit ★★
- Travailler un problème d'écrit ★★★
- Travailler un problème d'écrit ★★★★
- Quiz
Devoir facile : une fonction et une suite récurrente
2 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
Devoir difficile : encadrer une fonction par sa dérivée seconde
3 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 3 h.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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