Éducation Nationale Française · MPSI
Familles sommables
Vue d'ensemble du chapitre
Ce chapitre étend la notion de somme d'un ensemble d'indices fini ou de \(\mathbb{N}\) (séries numériques) à un ensemble d'indices arbitraire \(I\). La construction procède en trois temps : on définit d'abord \(\sum_{i \in I} x_i\) pour \(x_i \in [0, +\infty]\) (comme borne supérieure des sommes finies extraites) ; ensuite, on transporte la construction au cas complexe via le test « module » \(\sum_I |x_i| < +\infty\), ce qui définit \(\ell^1(I)\) ; enfin, on obtient le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes et son application phare \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\). L'outil calculatoire central est le théorème de sommation par paquets : si \(I = \bigsqcup_k I_k\), alors \(\sum_I x_i = \sum_k \sum_{I_k} x_i\) — qui sous-tend Fubini pour les sommes doubles, le changement d'indice, l'invariance par permutation et l'argument de partition diagonale pour le produit de Cauchy.
Convention sur \(K\). Dans tout le chapitre, \(K\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Les énoncés impliquant l'ordre (\(\le\), positivité, croissance) sont à valeurs réelles et signalés explicitement.
Convention sur \(K\). Dans tout le chapitre, \(K\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Les énoncés impliquant l'ordre (\(\le\), positivité, croissance) sont à valeurs réelles et signalés explicitement.
I
Sommes de familles à valeurs dans \([0 ; +\infty]\)
Pourquoi commencer par les sommes positives ?
Le cas positif est autonome : pas de question de convergence, pas d'annulation de signe, seulement la borne supérieure des sommes finies. Une fois construite une théorie positive solide (avec sommation par paquets et Fubini), le cas complexe (deuxième section) suivra par décomposition \(x_i = x_i^+ - x_i^-\) pour les réels et \(x_i = \operatorname{Re}(x_i) + i\, \operatorname{Im}(x_i)\) pour les complexes — chaque composante étant une somme réelle, donc deux sommes positives.
I.1
La droite achevée \([0 ; +\infty]\) et la borne supérieure
Avant de définir la somme d'une famille, rappelons quelques conventions arithmétiques sur l'ensemble \([0, +\infty] := \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}\) obtenu en adjoignant un élément maximum à \(\mathbb{R}_+\).
Définition — La droite achevée
On pose \([0, +\infty] := \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}\), muni de l'ordre total prolongeant celui de \(\mathbb{R}_+\) par \(a \le +\infty\) pour tout \(a \in [0, +\infty]\). On étend l'addition et la multiplication par les conventions $$ \textcolor{colordef}{a + (+\infty) = (+\infty) + a = +\infty \ \text{pour tout } a \in [0, +\infty]}, $$ $$ \textcolor{colordef}{a \cdot (+\infty) = (+\infty) \cdot a = +\infty \ \text{pour tout } a \in \,]0, +\infty]}, \qquad \textcolor{colordef}{0 \cdot (+\infty) = (+\infty) \cdot 0 = 0}. $$ Avec ces conventions, \([0, +\infty]\) est stable par addition et multiplication, ces opérations restant commutatives, associatives et distributives (tant qu'aucune ambiguïté \(0 \cdot \infty\) ne survient avec la soustraction — il n'y a pas de soustraction ici). Proposition — Borne supérieure dans la droite achevée
Toute partie \(A\) de \([0, +\infty]\) admet un plus petit majorant (borne supérieure) dans \([0, +\infty]\), notée \(\sup A\). Par convention, \(\textcolor{colorprop}{\sup \emptyset = 0}\). De plus, pour \(A, B \subset [0, +\infty]\) non vides et \(\lambda \in [0, +\infty]\) : - \(A \subset B \Rightarrow \sup A \le \sup B\) (croissance) ;
- \(\sup (\lambda A) = \lambda \sup A\) où \(\lambda A := \{\lambda a : a \in A\}\) ;
- \(\sup (A + B) = \sup A + \sup B\) où \(A + B := \{a + b : a \in A, b \in B\}\).
Pour l'existence de \(\sup A\) : si \(A\) contient \(+\infty\), alors \(\sup A = +\infty\). Sinon \(A \subset \mathbb{R}_+\). Si \(A\) est majorée dans \(\mathbb{R}\), alors \(\sup A\) dans \(\mathbb{R}\) existe par l'axiome de la borne supérieure et coïncide avec \(\sup A\) dans \([0, +\infty]\) ; si \(A\) n'est pas majorée dans \(\mathbb{R}\), alors \(\sup A = +\infty\) dans \([0, +\infty]\). La convention \(\sup \emptyset = 0\) se justifie : l'ensemble des majorants de \(\emptyset\) dans \([0, +\infty]\) est tout \([0, +\infty]\), dont le plus petit élément est \(0\).
Les propriétés de croissance, multiplication scalaire et somme prolongent celles de \(\mathbb{R}_+\) (établies au chapitre sur \(\mathbb{R}\)) en traitant directement le cas \(+\infty\) : si \(\sup A = +\infty\) ou \(\sup B = +\infty\), les deux membres valent \(+\infty\) (avec \(\lambda \cdot (+\infty) = +\infty\) pour \(\lambda > 0\), et \(\sup(0 \cdot A) = 0 = 0 \cdot \sup A\) par les conventions).
Les propriétés de croissance, multiplication scalaire et somme prolongent celles de \(\mathbb{R}_+\) (établies au chapitre sur \(\mathbb{R}\)) en traitant directement le cas \(+\infty\) : si \(\sup A = +\infty\) ou \(\sup B = +\infty\), les deux membres valent \(+\infty\) (avec \(\lambda \cdot (+\infty) = +\infty\) pour \(\lambda > 0\), et \(\sup(0 \cdot A) = 0 = 0 \cdot \sup A\) par les conventions).
Exemple
\(\sup \mathbb{N} = +\infty\) dans \([0, +\infty]\) (\(\mathbb{N}\) n'est pas majoré dans \(\mathbb{R}\)). Pour \(A = \{1 - 1/n : n \ge 1\} \subset \mathbb{R}_+\), \(\sup A = 1\) (dans \(\mathbb{R}\), donc dans \([0, +\infty]\)). Compétences à pratiquer
- Calculer des bornes supérieures dans \([0 ; +\infty]\)
I.2
Définition de la somme \(\sum_{i \in I} x_i\) pour \(x_i\) positifs
Étant donnés un ensemble arbitraire \(I\) (ensemble d'indices) et une famille \((x_i)_{i \in I}\) d'éléments de \([0, +\infty]\), on définit \(\sum_I x_i\) comme la borne supérieure de toutes les sommes extraites sur les parties finies de \(I\). L'intuition : chaque somme finie extraite donne une estimation par défaut du total ; le total est le plus petit majorant de ces estimations.
Définition — Somme d'une famille positive
Pour une famille \((x_i)_{i \in I}\) d'éléments de \([0, +\infty]\), la somme de la famille est l'élément de \([0, +\infty]\) défini par $$ \textcolor{colordef}{\sum_{i \in I} x_i \ := \ \sup_{J \in \mathcal{P}_f(I)} \sum_{j \in J} x_j} \in [0, +\infty], $$ où \(\mathcal{P}_f(I)\) désigne l'ensemble des parties finies de \(I\), et où \(\sum_{j \in J} x_j\) est la somme classique (finie) sur \(J\). La famille est dite sommable si \(\sum_I x_i < +\infty\). Proposition — Cohérence avec les sommes finies et les séries
Soit \((x_i)_{i \in I}\) une famille d'éléments de \([0, +\infty]\). - Si \(I\) est fini, \(\sum_I x_i\) coïncide avec la somme finie usuelle.
- Si \(I = \mathbb{N}\) et \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de \(\mathbb{R}_+\) : $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n \ = \ \begin{cases} \sum_{n=0}^{+\infty} u_n & \text{si la série } \textstyle\sum u_n \text{ converge,} \\ +\infty & \text{si la série diverge.} \end{cases}} $$
- Si l'un des \(x_{i_0} = +\infty\), alors \(\sum_I x_i = +\infty\).
- Pour \(I\) fini, \(J = I\) est admissible et donne la plus grande valeur possible : pour toute \(J \subset I\), la positivité donne \(\sum_{j \in J} x_j \le \sum_{i \in I} x_i\) (donc \(J = I\) est un maximum, pas nécessairement unique — si \(x_{i_0} = 0\), l'ensemble \(I \setminus \{i_0\}\) l'atteint aussi). D'où \(\sup_{J \in \mathcal{P}_f(I)} \sum_J x_j = \sum_I x_i\).
- Si \(\sum u_n\) converge vers \(S \in \mathbb{R}_+\) : pour toute \(J \in \mathcal{P}_f(\mathbb{N})\), si \(J = \emptyset\) alors \(\sum_J u_n = 0 \le S\) ; sinon, en posant \(N = \max J\), \(\sum_{n \in J} u_n \le \sum_{n=0}^N u_n \le S\) par positivité. Donc \(\sum_{\mathbb{N}} u_n \le S\). Réciproquement, en prenant \(J_N = \{0, 1, \dots, N\}\), \(\sum_{n \in J_N} u_n = \sum_{n=0}^N u_n \to S\), donc \(\sum_{\mathbb{N}} u_n \ge S\). D'où l'égalité. Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum_{n=0}^N u_n \to +\infty\) (suite positive monotone non majorée), donc \(\sup_{J} \sum_J u_n = +\infty\).
- Le singleton \(\{i_0\}\) est dans \(\mathcal{P}_f(I)\) et \(x_{i_0} = +\infty\), donc \(\sum_I x_i \ge x_{i_0} = +\infty\).
Exemple
La série harmonique donne \(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} 1/n = +\infty\) (la famille n'est pas sommable). La famille géométrique \((q^n)_{n \in \mathbb{N}}\) pour \(0 \le q < 1\) est sommable avec \(\sum_{n \in \mathbb{N}} q^n = 1/(1-q)\). Exemple
\(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} 1/n^2 = \pi^2/6 < +\infty\) (convergence par le critère de Riemann du chapitre Séries numériques ; la valeur \(\pi^2/6\) est le résultat classique de Bâle, admise — elle est prouvée en seconde année). La famille est sommable. Exemple
Pour la famille doublement indexée \((1/(p^2 q^2))_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) : toute partie finie \(J \subset (\mathbb{N}^*)^2\) se projette sur des parties finies \(J_1 = \pi_1(J), J_2 = \pi_2(J)\) de \(\mathbb{N}^*\), et \(\sum_{(p,q) \in J} 1/(p^2 q^2) \le \big(\sum_{p \in J_1} 1/p^2\big) \big(\sum_{q \in J_2} 1/q^2\big) \le (\pi^2/6)^2\). D'où \(\sum_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2} 1/(p^2 q^2) \le \pi^4/36 < +\infty\) : la famille est sommable. Nous verrons dans la sous-section Fubini et la famille produit (cas positif) que l'inégalité est en fait une égalité. Compétences à pratiquer
- Calculer une somme positive via la borne sup sur les parties finies
I.3
Règles de calcul : linéarité, croissance, restriction
La somme d'une famille positive obéit aux mêmes règles algébriques qu'une somme finie, dès lors qu'on restreint les scalaires à \(\mathbb{R}_+\). Ces règles se transmettent proprement par la définition « sup des sommes finies ».
Proposition — Linéarité
Pour \((x_i)_{i \in I}\), \((y_i)_{i \in I}\) familles d'éléments de \([0, +\infty]\) et \(\lambda \in \mathbb{R}_+\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} (\lambda x_i + y_i) = \lambda \sum_{i \in I} x_i + \sum_{i \in I} y_i}. $$
Posons \(A = \{\sum_{j \in J} x_j : J \in \mathcal{P}_f(I)\}\) et \(B = \{\sum_{j \in J} y_j : J \in \mathcal{P}_f(I)\}\). La démonstration se décompose en l'identité scalaire et l'identité additive (majorant / minorant).
Le programme verbatim ne requiert que la multiplication par un scalaire réel positif ou nul ; on énonce donc la règle algébrique pour \(\lambda \in \mathbb{R}_+\).
- Identité scalaire. La chaîne découle de la propriété de scalaire sur les bornes sup : $$ \begin{aligned} \sum_I \lambda x_i &= \sup_{J \in \mathcal{P}_f(I)} \sum_{j \in J} \lambda x_j && \text{(définition de \(\sum_I\) comme borne sup)} \\ &= \sup (\lambda A) && \text{(extraction scalaire de la somme finie, \(\lambda \in \mathbb{R}_+\))} \\ &= \lambda \sup A && \text{(scalaire sur le sup)} \\ &= \lambda \sum_I x_i && \text{(définition de \(\sum_I\) comme borne sup)}. \end{aligned} $$
- Identité additive, majorant : \(\sum_I (\lambda x + y) \le \lambda \sum_I x + \sum_I y\). Pour toute \(J \in \mathcal{P}_f(I)\), $$ \begin{aligned} \sum_{j \in J} (\lambda x_j + y_j) &= \lambda \sum_{j \in J} x_j + \sum_{j \in J} y_j && \text{(linéarité finie)} \\ &\le \lambda \sup A + \sup B && \text{(définition de \(\sup A, \sup B\))} \\ &= \lambda \sum_I x_i + \sum_I y_i && \text{(définition de \(\sum_I\))}. \end{aligned} $$ En prenant le sup à gauche sur \(J\), on obtient \(\sum_I (\lambda x + y) \le \lambda \sum_I x + \sum_I y\).
- Identité additive, minorant : \(\sum_I (\lambda x + y) \ge \lambda \sum_I x + \sum_I y\). Pour toute \(J, J' \in \mathcal{P}_f(I)\), la réunion \(J \cup J' \in \mathcal{P}_f(I)\) et $$ \begin{aligned} \lambda \sum_J x_j + \sum_{J'} y_j &\le \lambda \sum_{J \cup J'} x_j + \sum_{J \cup J'} y_j && \text{(croissance de la somme finie positive : \(J \subset J \cup J'\), \(J' \subset J \cup J'\))} \\ &= \sum_{J \cup J'} (\lambda x_j + y_j) && \text{(linéarité finie)} \\ &\le \sum_I (\lambda x_i + y_i) && \text{(\(J \cup J' \in \mathcal{P}_f(I)\))}. \end{aligned} $$ En prenant le sup à gauche sur \(J, J'\) séparément, on obtient \(\lambda \sum_I x + \sum_I y \le \sum_I (\lambda x + y)\).
Le programme verbatim ne requiert que la multiplication par un scalaire réel positif ou nul ; on énonce donc la règle algébrique pour \(\lambda \in \mathbb{R}_+\).
Proposition — Croissance
Pour \((x_i)_{i \in I}, (y_i)_{i \in I}\) familles de \([0, +\infty]\) telles que \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in I\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i \ \le \ \sum_{i \in I} y_i}. $$
Pour toute \(J \in \mathcal{P}_f(I)\), \(\sum_J x_j \le \sum_J y_j\) par croissance de la somme finie (chaque \(x_j \le y_j\)). En prenant la borne sup sur \(J\) : \(\sum_I x_i = \sup_J \sum_J x_j \le \sup_J \sum_J y_j = \sum_I y_i\).
Proposition — Restriction
Pour \((x_i)_{i \in I}\) famille de \([0, +\infty]\) et \(I' \subset I\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I'} x_i \ \le \ \sum_{i \in I} x_i}. $$
Toute \(J \in \mathcal{P}_f(I')\) est aussi dans \(\mathcal{P}_f(I)\), et la somme partielle \(\sum_{j \in J} x_j\) a la même valeur dans les deux définitions. Donc \(\{\sum_J x_j : J \in \mathcal{P}_f(I')\} \subset \{\sum_J x_j : J \in \mathcal{P}_f(I)\}\), et par croissance de la borne supérieure, \(\sum_{I'} x_i \le \sum_I x_i\).
Exemple
Combiner les trois règles sur un cas concret : pour \(\lambda \in \mathbb{R}_+\) et \(c \in \mathbb{R}_+\), considérons la famille positive \((\lambda/n^2 + c)_{n \in \mathbb{N}^*}\) sur \(I = \mathbb{N}^*\) et la restriction \(I' = \{n \in \mathbb{N}^* : n \le N\}\) pour \(N \in \mathbb{N}^*\). - Par linéarité : \(\sum_{\mathbb{N}^*} (\lambda/n^2 + c) = \lambda \sum_{\mathbb{N}^*} 1/n^2 + c \sum_{\mathbb{N}^*} 1\). Comme \(\sum_{\mathbb{N}^*} 1 = +\infty\) (c'est « le cardinal de \(\mathbb{N}^*\) »), et \(c \cdot (+\infty) = +\infty\) pour tout \(c > 0\), le total est \(+\infty\) dès que \(c > 0\). La famille est sommable seulement si \(c = 0\), de somme \(\lambda \pi^2/6\).
- Par croissance (lorsque \(c = 0\)) : pour \(\lambda \le \mu\), \(\lambda/n^2 \le \mu/n^2\) terme à terme, donc \(\sum_{\mathbb{N}^*} \lambda/n^2 = \lambda \pi^2/6 \le \mu \pi^2/6 = \sum_{\mathbb{N}^*} \mu/n^2\).
- Par restriction : la somme partielle sur \(I' = \{1, \dots, N\}\) vérifie \(\sum_{n=1}^N \lambda/n^2 \le \lambda \pi^2/6\) (avec égalité seulement à la limite \(N \to +\infty\)).
Compétences à pratiquer
- Appliquer linéarité, croissance, restriction
I.4
Sommation par paquets (cas positif) et changement d'indice
L'outil conceptuel clé
Le théorème de sommation par paquets est le moteur de tous les résultats ultérieurs du chapitre. Il dit : la valeur d'une somme ne dépend ni de l'ordre ni du regroupement de la sommation, tant que chaque terme est compté exactement une fois. Concrètement, partitionner \(I\) en « paquets » disjoints \(I_k\) et sommer d'abord à l'intérieur de chaque paquet, puis sur les paquets, donne le même total que sommer directement sur \(I\).
Théorème — Sommation par paquets, cas positif
Pour tout recouvrement disjoint \(I = \bigsqcup_{k \in K} I_k\) et toute famille \((x_i)_{i \in I}\) d'éléments de \([0, +\infty]\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i \ = \ \sum_{k \in K} \Big( \sum_{i \in I_k} x_i \Big)}. $$
Remarque sur la démonstration
La démonstration de ce théorème est hors programme. L'argument est une double inclusion de bornes supérieures : toute somme finie sur \(I\) est majorée par une somme finie de sommes-paquets (inclusion directe) ; toute somme finie de sommes-paquets finies est majorée par une somme finie unique sur \(I\) (inclusion réciproque). L'étudiant doit en connaître l'énoncé et savoir l'utiliser librement ; nous le faisons dans tout le chapitre sans justification supplémentaire.
Méthode — Décompositions classiques
Pour calculer ou estimer une somme positive, on partitionne couramment l'ensemble d'indices selon une réunion disjointe familière. Les schémas standard sont : - \(\mathbb{N} = (2\mathbb{N}) \sqcup (2\mathbb{N}+1)\) — partition pairs / impairs.
- \(\mathbb{Z} = \mathbb{N} \sqcup (-\mathbb{N}^*)\) — partition positifs / strictement négatifs.
- \(\mathbb{N}^2 = \bigsqcup_{i \in \mathbb{N}} (\{i\} \times \mathbb{N})\) — partition par lignes.
- \(\mathbb{N}^2 = \bigsqcup_{j \in \mathbb{N}} (\mathbb{N} \times \{j\})\) — partition par colonnes.
- \(\mathbb{N}^2 = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \{(k, n-k) : 0 \le k \le n\}\) — partition par antidiagonales (diagonale \(i + j = n\)).
Proposition — Changement d'indice, cas positif
Pour \((x_i)_{i \in I}\) famille de \([0, +\infty]\) et \(\varphi : J \to I\) une bijection, $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} x_{\varphi(j)}}. $$ En particulier (en prenant \(I = J = \mathbb{N}\)), la somme d'une suite positive est invariante par permutation.
On applique le théorème de sommation par paquets avec la partition \(I = \bigsqcup_{j \in J} \{\varphi(j)\}\) de \(I\) en singletons. Chaque paquet \(\{\varphi(j)\}\) contribue \(\sum_{i \in \{\varphi(j)\}} x_i = x_{\varphi(j)}\) (somme singleton). D'où \(\sum_I x_i = \sum_J x_{\varphi(j)}\).
Exemple
Par partition pairs / impairs de \(\mathbb{N}^*\) : $$ \begin{aligned} \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2} &= \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{(2n-1)^2} && \text{(sommation par paquets)} \\
&= \frac{1}{4} \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2} + \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{(2n-1)^2} && \text{(linéarité, facteur \(1/4\))}. \end{aligned} $$ En substituant \(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} 1/n^2 = \pi^2/6\), on obtient \(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} 1/(2n-1)^2 = \pi^2/8\) (somme des carrés impairs). Compétences à pratiquer
- Appliquer la sommation par paquets et Fubini (cas positif)
I.5
Fubini et la famille produit (cas positif)
Deux conséquences de la sommation par paquets sont particulièrement utiles : Fubini (interversion de l'ordre de sommation pour une famille doublement indexée) et la formule de la famille produit. Les deux sont essentiellement le même énoncé appliqué aux partitions en lignes / colonnes de \(I \times J\).
Théorème — Fubini, cas positif
Pour toute famille \((u_{i,j})_{(i,j) \in I \times J}\) d'éléments de \([0, +\infty]\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} \ = \ \sum_{i \in I} \Big( \sum_{j \in J} u_{i,j} \Big) \ = \ \sum_{j \in J} \Big( \sum_{i \in I} u_{i,j} \Big)}. $$
Cette démonstration repose sur le théorème de sommation par paquets, dont la démonstration propre est hors programme. On l'applique à deux partitions de \(I \times J\) :
- Partition par lignes \(I \times J = \bigsqcup_{i \in I} (\{i\} \times J)\). Le paquet \(\{i\} \times J\) contribue \(\sum_{(i,j) \in \{i\} \times J} u_{i,j} = \sum_{j \in J} u_{i,j}\), donc \(\sum_{I \times J} u_{i,j} = \sum_i \sum_j u_{i,j}\).
- Partition par colonnes \(I \times J = \bigsqcup_{j \in J} (I \times \{j\})\). Symétriquement, \(\sum_{I \times J} u_{i,j} = \sum_j \sum_i u_{i,j}\).
Théorème — Famille produit, cas positif
Pour \((a_i)_{i \in I}\) famille de \([0, +\infty]\) et \((b_j)_{j \in J}\) famille de \([0, +\infty]\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j \ = \ \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big)}. $$
Par Fubini appliqué à \(u_{i,j} = a_i b_j\). Pour la partition par lignes, \(a_i\) est un scalaire constant dans \([0, +\infty]\) pour la somme intérieure sur \(j\) ; la propriété de scalaire \(\sup (\lambda A) = \lambda \sup A\) pour \(\lambda \in [0, +\infty]\) (Proposition sur la borne supérieure de la sous-section La droite achevée \([0, +\infty]\) et la borne supérieure) extrait \(a_i\) : $$ \begin{aligned} \sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j &= \sum_{i \in I} \Big( \sum_{j \in J} a_i b_j \Big) && \text{(Fubini, partition par lignes)} \\
&= \sum_{i \in I} \Big( a_i \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(scalaire : \(\sum_J a_i b_j = a_i \sum_J b_j\) dans \([0, +\infty]\))} \\
&= \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big) \sum_{i \in I} a_i && \text{(scalaire : \(\sum_J b_j\) est une constante dans \([0, +\infty]\), extraite de la somme externe)} \\
&= \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(commutativité de la multiplication dans \([0, +\infty]\))}. \end{aligned} $$ Les étapes de scalaire restent valides même si \(a_i = +\infty\) ou \(\sum_J b_j = +\infty\), par les conventions de la sous-section La droite achevée \([0, +\infty]\) et la borne supérieure.
Méthode — Calculer une somme double positive
Pour calculer \(\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j}\) pour \(u_{i,j} \in [0, +\infty]\) : par Fubini, on peut sommer à \(i\) fixé d'abord (\(j\) varie) ou à \(j\) fixé d'abord (\(i\) varie). Les deux ordres donnent la même valeur ; choisir l'ordre qui rend la somme intérieure la plus simple. Le choix compte dès que la famille n'est pas symétrique en \((i, j)\). Exemple : pour \(\sum_{(i, j) \in \mathbb{N}^2,\ j \le i} \frac{1}{2^i \cdot (j+1)}\), sommer \(j\) d'abord (intérieure sur \(\{0, \dots, i\}\), donnant \(H_{i+1}/2^i\)) est intractable ; sommer \(i\) d'abord (intérieure sur \(\{j, j+1, \dots\}\), donnant \(\sum_{i \ge j} 1/2^i = 2/2^j\)) se réduit à \(\sum_j \frac{2}{2^j (j+1)}\) — une somme unidimensionnelle propre. Si \(u_{i,j}\) se factorise sous la forme \(a_i b_j\), la formule de la famille produit ramène le calcul à deux sommes unidimensionnelles. Exemple
Pour \(0 \le x < 1\) et \(0 \le y < 1\), par la famille produit appliquée aux familles géométriques \((x^i)_{i \in \mathbb{N}}\) et \((y^j)_{j \in \mathbb{N}}\) : $$ \begin{aligned} \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} x^i y^j &= \Big( \sum_{i \in \mathbb{N}} x^i \Big) \Big( \sum_{j \in \mathbb{N}} y^j \Big) && \text{(famille produit)} \\
&= \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-y} && \text{(sommes géométriques)}. \end{aligned} $$ Exemple
\(\sum_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2} 1/(p^2 q^2) = \big(\sum 1/p^2\big)\big(\sum 1/q^2\big) = (\pi^2/6)^2 = \pi^4/36\) par la famille produit (l'inégalité de la sous-section Définition de la somme \(\sum_{i \in I} x_i\) pour \(x_i\) positifs est en fait une égalité). Compétences à pratiquer
- Calculer une famille produit positive
II
Familles sommables complexes
On étend maintenant la théorie aux familles \((x_i)_{i \in I}\) à valeurs dans \(K = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Le test de sommabilité porte sur le module : \(\sum_I |x_i| < +\infty\). Une fois la sommabilité vérifiée, toutes les manipulations algébriques (linéarité, sommation par paquets, Fubini) se transmettent proprement du cas positif par décomposition en parties positives.
II.1
Définition de \(\ell^1(I)\) et lien avec la convergence absolue
On définit la sommabilité d'une famille complexe en se ramenant au cas positif appliqué au module. La notation \(\ell^1(I)\) pour l'ensemble des familles sommables est désormais standard.
Définition — Famille sommable complexe, \(\ell^1(I)\)
Une famille \((x_i)_{i \in I}\) d'éléments de \(\mathbb{C}\) est dite sommable si $$ \textcolor{colordef}{\sum_{i \in I} |x_i| < +\infty} $$ (le membre de gauche étant la somme positive définie dans la sous-section Définition de la somme \(\sum_{i \in I} x_i\) pour \(x_i\) positifs). L'ensemble des familles sommables de \(\mathbb{C}^I\) est noté \(\textcolor{colordef}{\ell^1(I)}\), ou \(\ell^1(I, K)\) pour préciser le corps des scalaires \(K \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\). Proposition — Lien avec la convergence absolue
Pour \(I = \mathbb{N}\), une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de nombres complexes est sommable (i.e. \((u_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\)) si et seulement si la série \(\textstyle\sum u_n\) est absolument convergente.
Par définition \((u_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\) ssi \(\sum_{n \in \mathbb{N}} |u_n| < +\infty\). Par la Proposition de cohérence (cas positif pour \(I = \mathbb{N}\)), c'est équivalent à : la série \(\textstyle\sum |u_n|\) converge dans \(\mathbb{R}_+\) — soit exactement la définition de l'absolue convergence de \(\textstyle\sum u_n\).
Proposition — Sommabilité d'une sous-famille
Si \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) et \(I' \subset I\), alors \((x_i)_{i \in I'} \in \ell^1(I')\).
On applique la Restriction du cas positif (Règles de calcul) à la famille des modules : \(\sum_{i \in I'} |x_i| \le \sum_{i \in I} |x_i| < +\infty\).
Proposition — Critère de comparaison
Si \((u_i)_{i \in I}\) est une famille de \(\mathbb{C}\) et \((v_i)_{i \in I}\) une famille positive sommable avec \(|u_i| \le v_i\) pour tout \(i\), alors \((u_i) \in \ell^1(I)\).
On applique la Croissance du cas positif (Règles de calcul) à \(|u_i| \le v_i\) : \(\sum_I |u_i| \le \sum_I v_i < +\infty\). D'où \((u_i) \in \ell^1(I)\).
Méthode — Vérifier la sommabilité
Pour montrer \((u_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) : majorer \(|u_i|\) par \(v_i\), où \((v_i)\) est une famille positive sommable de référence — typiquement une famille géométrique, une famille de Riemann \((1/n^\alpha)\) avec \(\alpha > 1\), ou une famille produit obtenue à partir de deux telles. Le critère de comparaison (ci-dessus) conclut. Exemple
\((\sin(n)/n^2)_{n \in \mathbb{N}^*} \in \ell^1(\mathbb{N}^*)\) : majoration \(|\sin(n)/n^2| \le 1/n^2\), et \(\sum 1/n^2 = \pi^2/6 < +\infty\) (Riemann \(\alpha = 2\)). Exemple
\((\sin(p+q)/(p^2 q^2))_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2} \in \ell^1((\mathbb{N}^*)^2)\) : majoration \(|\sin(p+q)/(p^2 q^2)| \le 1/(p^2 q^2)\), et \(\sum 1/(p^2 q^2) = \pi^4/36 < +\infty\) (famille produit, cas positif). Compétences à pratiquer
- Vérifier la sommabilité par le module
II.2
Construction de la somme d'une famille sommable complexe
Une fois la famille sommable, on définit sa somme en deux étapes : d'abord pour les familles réelles (via parties positive / négative), puis pour les familles complexes (via parties réelle / imaginaire).
Définition — Somme d'une famille sommable réelle
Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(x^+ := \max(x, 0)\) et \(x^- := \max(-x, 0)\) (de sorte que \(x = x^+ - x^-\) et \(|x| = x^+ + x^-\), avec \(x^\pm \ge 0\)). Pour \((x_i)_{i \in I}\) famille réelle sommable, les familles \((x_i^+)\) et \((x_i^-)\) sont positives et majorées par \((|x_i|)\), donc (Croissance positive) elles-mêmes sommables positives. On pose $$ \textcolor{colordef}{\sum_{i \in I} x_i \ := \ \sum_{i \in I} x_i^+ \ - \ \sum_{i \in I} x_i^- \ \in \mathbb{R}}. $$ Exemple
Pour \(u_n = (-1)^n/n^2\) sur \(\mathbb{N}^*\) : la famille est réelle sommable (module \(1/n^2\), Riemann \(\alpha = 2\)). Décomposons en parties positive / négative : \(u_n^+ = 1/n^2\) si \(n\) est pair (nul sinon) ; \(u_n^- = 1/n^2\) si \(n\) est impair (nul sinon). Par partition pairs / impairs de \(\mathbb{N}^*\) (sommation par paquets, cas positif) : $$ \begin{aligned} \sum_{n \in \mathbb{N}^*} u_n^+ &= \sum_{n \in \mathbb{N}^*, n \text{ pair}} 1/n^2 = \sum_{k \in \mathbb{N}^*} 1/(2k)^2 = \pi^2/24 && \text{(extraction géométrique de \(\pi^2/6\))} \\
\sum_{n \in \mathbb{N}^*} u_n^- &= \sum_{n \in \mathbb{N}^*, n \text{ impair}} 1/n^2 = \sum_{k \in \mathbb{N}^*} 1/(2k-1)^2 = \pi^2/8 && \text{(complément)}. \end{aligned} $$ D'où \(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} u_n = \pi^2/24 - \pi^2/8 = \pi^2/24 - 3\pi^2/24 = -2\pi^2/24 = -\pi^2/12\). Ceci coïncide avec la formule classique \(\sum (-1)^n/n^2 = -\pi^2/12\). Définition — Somme d'une famille sommable complexe
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\), les familles \((\operatorname{Re}(x_i))\) et \((\operatorname{Im}(x_i))\) sont réelles et sommables (puisque \(|\operatorname{Re}(x_i)|, |\operatorname{Im}(x_i)| \le |x_i|\), donc par Comparaison leurs modules sont majorés par \(|x_i|\)). On pose $$ \textcolor{colordef}{\sum_{i \in I} x_i \ := \ \sum_{i \in I} \operatorname{Re}(x_i) \ + \ i \, \sum_{i \in I} \operatorname{Im}(x_i) \ \in \mathbb{C}}. $$ Proposition — Cohérence
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) : - Si \(I\) est fini, \(\sum_I x_i\) coïncide avec la somme complexe finie usuelle.
- Si \((x_i)\) est réelle avec \(x_i \ge 0\), \(\sum_I x_i\) coïncide avec la somme positive du cas positif.
- Si \(I = \mathbb{N}\) et \(\textstyle\sum u_n\) absolument convergente, \(\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) (somme de la série).
- Pour \(I\) fini réel : \(\sum_I x_i^+ - \sum_I x_i^-\) est la somme finie réelle \(\sum_I x_i\), puisque \(x^+ - x^- = x\). Pour \(I\) fini complexe : \(\sum_I \operatorname{Re}(x_i) + i \sum_I \operatorname{Im}(x_i)\) est la somme finie complexe \(\sum_I (\operatorname{Re}(x_i) + i \, \operatorname{Im}(x_i)) = \sum_I x_i\).
- Pour \((x_i)\) positive réelle : \(x_i^+ = x_i\) et \(x_i^- = 0\), donc \(\sum_I x_i = \sum_I x_i^+ - 0\), qui est la somme positive du cas positif par cohérence.
- Pour \(I = \mathbb{N}\) et \(\textstyle\sum u_n\) absolument convergente : écrivons \(u_n = \operatorname{Re}(u_n) + i \operatorname{Im}(u_n)\). Les deux suites réelles \((\operatorname{Re}(u_n))\) et \((\operatorname{Im}(u_n))\) sont absolument sommables (puisque \(|\operatorname{Re}(u_n)|, |\operatorname{Im}(u_n)| \le |u_n|\)), donc toutes deux sont des suites à séries absolument convergentes. On applique la Proposition de cohérence (ii) — cohérence positive pour \(I = \mathbb{N}\) — à chacune des quatre suites positives \((\operatorname{Re}(u_n))^\pm\), \((\operatorname{Im}(u_n))^\pm\) : $$ \sum_{\mathbb{N}} (\operatorname{Re}(u_n))^\pm = \sum_{n=0}^{+\infty} (\operatorname{Re}(u_n))^\pm, \quad \sum_{\mathbb{N}} (\operatorname{Im}(u_n))^\pm = \sum_{n=0}^{+\infty} (\operatorname{Im}(u_n))^\pm. $$ En combinant via les définitions de somme réelle et somme complexe de la sous-section Construction de la somme d'une famille sommable complexe : $$ \begin{aligned} \sum_{\mathbb{N}} u_n &= \sum_{\mathbb{N}} \operatorname{Re}(u_n) + i \sum_{\mathbb{N}} \operatorname{Im}(u_n) && \text{(somme complexe)} \\ &= \big( \sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{Re}(u_n) \big) + i \big( \sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{Im}(u_n) \big) && \text{(cohérence réelle appliquée aux suites Re, Im)} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} u_n && \text{(linéarité de la somme de la série)}. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer une somme via décomposition positive/négative ou Re/Im
II.3
Propriétés algébriques : linéarité, croissance, inégalité triangulaire
L'ensemble \(\ell^1(I)\) est un sous-espace vectoriel complexe de \(\mathbb{C}^I\) ; la somme est une forme linéaire dessus. La croissance vaut pour les familles réelles sommables. L'inégalité triangulaire \(|\sum x_i| \le \sum |x_i|\) vaut en toute généralité.
Proposition — Linéarité, \(\ell^1(I)\) est un sous-espace vectoriel
Pour \((x_i), (y_i) \in \ell^1(I)\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\), la famille \((\lambda x_i + y_i) \in \ell^1(I)\) et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} (\lambda x_i + y_i) = \lambda \sum_{i \in I} x_i + \sum_{i \in I} y_i}. $$
La sommabilité de \((\lambda x_i + y_i)\) vient de \(|\lambda x_i + y_i| \le |\lambda| |x_i| + |y_i|\) (inégalité triangulaire dans \(\mathbb{C}\)) et de la Linéarité positive (Règles de calcul) : $$ \sum_I |\lambda x_i + y_i| \le |\lambda| \sum_I |x_i| + \sum_I |y_i| < +\infty. $$ Pour l'égalité des sommes : il suffit de la prouver pour \((x_i)\) réelle avec \(y_i = 0\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), puis pour \((x_i), (y_i)\) réelles avec \(\lambda = 1\), puis de remonter au cas complexe via \(\operatorname{Re}, \operatorname{Im}\). Cas du multiple positif réel :
- Pour \(\lambda \ge 0\) et \((x_i)\) réelle sommable : \((\lambda x_i)^+ = \lambda x_i^+\) et \((\lambda x_i)^- = \lambda x_i^-\) terme à terme. Alors $$ \begin{aligned} \sum_I \lambda x_i &= \sum_I \lambda x_i^+ - \sum_I \lambda x_i^- && \text{(déf. somme réelle)} \\ &= \lambda \sum_I x_i^+ - \lambda \sum_I x_i^- && \text{(linéarité positive, deux fois)} \\ &= \lambda \big( \sum_I x_i^+ - \sum_I x_i^- \big) && \text{(factoriser \(\lambda\))} \\ &= \lambda \sum_I x_i && \text{(déf. somme réelle)}. \end{aligned} $$
- Pour \(\lambda = -1\) : \((-x_i)^+ = x_i^-\) et \((-x_i)^- = x_i^+\), donc \(\sum_I (-x_i) = \sum_I x_i^- - \sum_I x_i^+ = -\sum_I x_i\).
- En combinant : \(\sum_I \lambda x_i = \lambda \sum_I x_i\) pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\).
- Additivité réelle. L'identité algébrique terme à terme \((x_i + y_i)^+ + x_i^- + y_i^- = (x_i + y_i)^- + x_i^+ + y_i^+\) (vérifiée cas par cas selon les signes de \(x_i, y_i, x_i + y_i\)) implique : $$ \begin{aligned} \sum_I (x_i + y_i)^+ + \sum_I x_i^- + \sum_I y_i^- &= \sum_I (x_i + y_i)^- + \sum_I x_i^+ + \sum_I y_i^+ && \text{(linéarité positive)} \\ \sum_I (x_i + y_i)^+ - \sum_I (x_i + y_i)^- &= \sum_I x_i^+ - \sum_I x_i^- + \sum_I y_i^+ - \sum_I y_i^- && \text{(réarrangement)} \\ \sum_I (x_i + y_i) &= \sum_I x_i + \sum_I y_i && \text{(déf. somme réelle)}. \end{aligned} $$
- Extension complexe : \(\sum_I (\lambda x_i + y_i) = \sum_I \operatorname{Re}(\lambda x_i + y_i) + i \sum_I \operatorname{Im}(\lambda x_i + y_i)\) ; le développement \(\operatorname{Re}(\lambda x_i + y_i) = \operatorname{Re}(\lambda) \operatorname{Re}(x_i) - \operatorname{Im}(\lambda) \operatorname{Im}(x_i) + \operatorname{Re}(y_i)\) et la linéarité réelle donnent l'égalité complexe.
Proposition — Croissance, cas réel
Pour \((x_i), (y_i)\) familles réelles sommables avec \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in I\), $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i \ \le \ \sum_{i \in I} y_i}. $$
La famille \((y_i - x_i)\) est réelle sommable (linéarité) et positive (\(y_i - x_i \ge 0\)), donc sa somme est \(\ge 0\) (cohérence avec le cas positif). Par linéarité \(\sum_I y_i - \sum_I x_i = \sum_I (y_i - x_i) \ge 0\).
Proposition — Inégalité triangulaire
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\), $$ \textcolor{colorprop}{\Bigg| \sum_{i \in I} x_i \Bigg| \ \le \ \sum_{i \in I} |x_i|}. $$ - Cas réel. $$ \begin{aligned} \Bigg| \sum_{i \in I} x_i \Bigg| &= \Bigg| \sum_I x_i^+ - \sum_I x_i^- \Bigg| && \text{(déf. somme réelle)} \\ &\le \sum_I x_i^+ + \sum_I x_i^- && \text{(inégalité triangulaire dans \(\mathbb{R}\), puisque \(\sum_I x_i^\pm \ge 0\))} \\ &= \sum_I (x_i^+ + x_i^-) && \text{(linéarité positive)} \\ &= \sum_I |x_i| && \text{(\(|x_i| = x_i^+ + x_i^-\))}. \end{aligned} $$
- Cas complexe. Posons \(S = \sum_I x_i\). Si \(S = 0\), l'inégalité est triviale. Sinon, posons \(\alpha = \overline{S}/|S|\) (donc \(|\alpha| = 1\) et \(\alpha S = |S| \in \mathbb{R}_+\)). Par linéarité de la somme, \(\alpha S = \sum_I \alpha x_i\), et en prenant la partie réelle des deux membres : $$ |S| = \alpha S = \operatorname{Re}(\alpha S) = \sum_{i \in I} \operatorname{Re}(\alpha x_i). $$ Or \(\operatorname{Re}(\alpha x_i) \le |\alpha x_i| = |x_i|\) pour chaque \(i\). Comme \((\operatorname{Re}(\alpha x_i))\) est réelle sommable (Linéarité), la Croissance (cas réel) donne $$ |S| = \sum_{i \in I} \operatorname{Re}(\alpha x_i) \ \le \ \sum_{i \in I} |x_i|. $$
Méthode — Vérifier par module, manipuler sans module
La philosophie des familles sommables est en deux temps : (1) vérifier la sommabilité en calculant \(\sum_I |x_i|\) — c'est le seul test de sommabilité ; (2) une fois la sommabilité acquise, toutes les manipulations algébriques sur \(\sum_I x_i\) (linéarité, sommation par paquets, changement d'indice, Fubini) sont permises sans valeur absolue — le module devient inutile. Exemple
La famille \(\big( ((-1)^n + i)/n^2 \big)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est dans \(\ell^1(\mathbb{N}^*)\) : son module vaut \(|((-1)^n + i)/n^2| = \sqrt{2}/n^2\), et la famille positive \((\sqrt{2}/n^2)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est sommable (c'est \(\sqrt{2}\) fois la référence de Riemann \((1/n^2)\), sommable par Riemann avec \(\alpha = 2 > 1\)). Donc la famille est sommable par le critère de comparaison de la sous-section Définition de \(\ell^1(I)\) et lien avec la convergence absolue. Une fois la sommabilité acquise, la linéarité scinde la somme : $$ \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{(-1)^n + i}{n^2} = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{(-1)^n}{n^2} + i \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2}. $$ Les deux sommes individuelles à droite sont convergentes (la seconde vaut \(\pi^2/6\) ; la première vaut \(-\pi^2/12\) par le calcul de l'Exemple de la sous-section Construction de la somme d'une famille sommable complexe). Compétences à pratiquer
- Appliquer la linéarité et l'inégalité triangulaire
II.4
Sommation par paquets et Fubini (cas complexe)
Les versions complexes de la sommation par paquets et de Fubini s'obtiennent en appliquant les cas positifs à \(x_i^\pm\) et \(\operatorname{Re}, \operatorname{Im}\). Le programme marque également ces démonstrations hors programme ; nous les énonçons et les utilisons.
Théorème — Sommation par paquets, cas complexe
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) et tout recouvrement disjoint \(I = \bigsqcup_{k \in K} I_k\), chaque sous-famille \((x_i)_{i \in I_k}\) est sommable, la famille des sommes-paquets \(\big( \sum_{i \in I_k} x_i \big)_{k \in K}\) est sommable dans \(\ell^1(K)\), et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i \ = \ \sum_{k \in K} \Big( \sum_{i \in I_k} x_i \Big)}. $$
Remarque sur la démonstration
Comme dans le cas positif, la démonstration est hors programme. L'argument applique la sommation par paquets positive à \((x_i^\pm)\) pour les familles réelles, puis à \((\operatorname{Re}(x_i)^\pm)\) et \((\operatorname{Im}(x_i)^\pm)\) pour les familles complexes, et conclut par linéarité. La sommabilité de chaque sous-famille découle de la Restriction (Sommabilité d'une sous-famille, sous-section sur \(\ell^1(I)\)).
Proposition — Invariance par permutation
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) et \(\varphi : J \to I\) bijection, \((x_{\varphi(j)})_{j \in J} \in \ell^1(J)\) et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} x_{\varphi(j)}}. $$
Corollaire du Théorème précédent appliqué à la partition en singletons \(I = \bigsqcup_{j \in J} \{\varphi(j)\}\). Chaque paquet contribue \(x_{\varphi(j)}\).
Théorème — Fubini, cas complexe
Pour \((u_{i,j})_{(i,j) \in I \times J} \in \ell^1(I \times J)\), les familles \((u_{i,j})_{j \in J}\) à \(i\) fixé, et \((u_{i,j})_{i \in I}\) à \(j\) fixé, sont sommables, les familles \((\sum_{j \in J} u_{i,j})_{i \in I}\) et \((\sum_{i \in I} u_{i,j})_{j \in J}\) sont sommables, et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} = \sum_{i \in I} \Big( \sum_{j \in J} u_{i,j} \Big) = \sum_{j \in J} \Big( \sum_{i \in I} u_{i,j} \Big)}. $$
Cette démonstration repose sur le théorème de sommation par paquets complexe (dont la démonstration propre est hors programme). On l'applique aux deux partitions \(I \times J = \bigsqcup_i (\{i\} \times J)\) (lignes) et \(I \times J = \bigsqcup_j (I \times \{j\})\) (colonnes), exactement comme dans la démonstration du Fubini positif.
Méthode — Justifier Fubini en deux temps
Pour appliquer le Fubini complexe à \((u_{i,j})_{(i,j) \in I \times J}\) : - Vérification de la sommabilité. Calculer \(\sum_{(i,j)} |u_{i,j}|\) via le Fubini positif ou la famille produit : si elle est finie, \((u_{i,j}) \in \ell^1(I \times J)\).
- Réordonnancement libre. Une fois la sommabilité acquise, sommer ligne par ligne ou colonne par colonne, sans précaution ; les deux ordres donnent la même valeur \(\sum_{(i,j)} u_{i,j}\).
Exemple
Calculer \(\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} i^p/(2^p \cdot 3^q)\) (où \(i^2 = -1\)).
Sommabilité. \(|i^p/(2^p \cdot 3^q)| = 1/(2^p \cdot 3^q)\), et par la famille produit positive (Fubini et famille produit, cas positif) : $$ \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} \frac{1}{2^p \cdot 3^q} = \Big( \sum_p \frac{1}{2^p} \Big) \Big( \sum_q \frac{1}{3^q} \Big) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 < +\infty. $$ Donc \((i^p/(2^p \cdot 3^q)) \in \ell^1(\mathbb{N}^2)\).
Calcul. Par Fubini complexe (partition par lignes), et puisque \(i^p/2^p\) ne dépend pas de \(q\), il s'extrait comme un scalaire de la somme intérieure : $$ \begin{aligned} \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} \frac{i^p}{2^p \cdot 3^q} &= \sum_{p \in \mathbb{N}} \Big( \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{i^p}{2^p \cdot 3^q} \Big) && \text{(Fubini complexe)} \\ &= \sum_{p \in \mathbb{N}} \Big( \frac{i^p}{2^p} \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{1}{3^q} \Big) && \text{(linéarité, \(i^p/2^p\) hors intérieure)} \\ &= \frac{3}{2} \sum_{p \in \mathbb{N}} (i/2)^p && \text{(\(\sum 1/3^q = 3/2\), puis \(3/2\) hors extérieure)} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 - i/2} && \text{(géométrique complexe : \(|i/2| = 1/2 < 1\))} \\ &= \frac{3}{2 - i} && \text{(arithmétique)} \\ &= \frac{3(2 + i)}{(2-i)(2+i)} && \text{(multiplication par le conjugué)} \\ &= \frac{3(2 + i)}{5} && \text{(\(|2-i|^2 = 4 + 1 = 5\))}. \end{aligned} $$
Calcul. Par Fubini complexe (partition par lignes), et puisque \(i^p/2^p\) ne dépend pas de \(q\), il s'extrait comme un scalaire de la somme intérieure : $$ \begin{aligned} \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} \frac{i^p}{2^p \cdot 3^q} &= \sum_{p \in \mathbb{N}} \Big( \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{i^p}{2^p \cdot 3^q} \Big) && \text{(Fubini complexe)} \\ &= \sum_{p \in \mathbb{N}} \Big( \frac{i^p}{2^p} \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{1}{3^q} \Big) && \text{(linéarité, \(i^p/2^p\) hors intérieure)} \\ &= \frac{3}{2} \sum_{p \in \mathbb{N}} (i/2)^p && \text{(\(\sum 1/3^q = 3/2\), puis \(3/2\) hors extérieure)} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 - i/2} && \text{(géométrique complexe : \(|i/2| = 1/2 < 1\))} \\ &= \frac{3}{2 - i} && \text{(arithmétique)} \\ &= \frac{3(2 + i)}{(2-i)(2+i)} && \text{(multiplication par le conjugué)} \\ &= \frac{3(2 + i)}{5} && \text{(\(|2-i|^2 = 4 + 1 = 5\))}. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Appliquer la sommation par paquets et Fubini (cas complexe)
II.5
Approximation par sommes finies
La définition « sup des sommes finies » garantit qu'on peut toujours approcher \(\sum_I x_i\) par une somme finie extraite, à toute précision prescrite.
Proposition — Approximation par sommes finies
Pour \((x_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) et tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(F \in \mathcal{P}_f(I)\) tel que $$ \textcolor{colorprop}{\Bigg| \sum_{i \in I} x_i - \sum_{i \in F} x_i \Bigg| \ \le \ \varepsilon}. $$ - Cas positif. Par définition \(\sum_I |x_i| = \sup_{J \in \mathcal{P}_f(I)} \sum_J |x_i| < +\infty\). Par la caractérisation de la borne supérieure, il existe \(F_0 \in \mathcal{P}_f(I)\) avec \(\sum_I |x_i| - \sum_{F_0} |x_i| \le \varepsilon\). Comme \(\sum_I |x_i|\) est finie et \(F_0\) est finie, la somme partielle \(\sum_{F_0} |x_i|\) est finie, et la sommation par paquets appliquée à \(I = F_0 \sqcup (I \setminus F_0)\) donne \(\sum_I |x_i| = \sum_{F_0} |x_i| + \sum_{I \setminus F_0} |x_i|\). En réarrangeant : $$ \sum_{I \setminus F_0} |x_i| = \sum_I |x_i| - \sum_{F_0} |x_i| \le \varepsilon. $$
- Cas général. Prendre \(F = F_0\). Par inégalité triangulaire et sommation par paquets sur \(I = F \sqcup (I \setminus F)\), $$ \begin{aligned} \Bigg| \sum_I x_i - \sum_F x_i \Bigg| &= \Bigg| \sum_{I \setminus F} x_i \Bigg| && \text{(linéarité)} \\ &\le \sum_{I \setminus F} |x_i| && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \varepsilon && \text{(par l'étape précédente)}. \end{aligned} $$
Méthode — Approximation effective
La Proposition garantit, pour chaque \(\varepsilon > 0\), l'existence d'une partie finie \(F\) approchant la somme à \(\varepsilon\) près. En pratique, lorsque l'ensemble d'indices est naturellement dénombrable (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{N}^2\), etc.), on choisit une suite croissante naturelle de parties finies \(F_N\) (par exemple \(F_N = \{0, 1, \dots, N\}\) pour \(I = \mathbb{N}\), ou \(F_N = \{0, \dots, N\}^2\) pour \(I = \mathbb{N}^2\)) et on approche \(\sum_I x_i\) par \(\sum_{i \in F_N} x_i\) avec une erreur contrôlée. Pour un ensemble d'indices général (sans énumération canonique), la Proposition dit seulement qu'une partie finie \(F\) existe par \(\varepsilon\), sans énumération séquentielle. Compétences à pratiquer
- Approcher une somme par une queue finie
II.6
Famille produit (cas complexe)
Le théorème de la famille produit complexe dit : si les deux facteurs unidimensionnels \((a_i)\) et \((b_j)\) sont sommables, alors la famille produit \((a_i b_j)\) est sommable, et sa somme est le produit des deux sommes unidimensionnelles. (La réciproque demande des précautions : si l'un des facteurs est identiquement nul, \((a_i b_j)\) est sommable pour toute \((b_j)\).)
Théorème — Famille produit, cas complexe
Pour \((a_i)_{i \in I} \in \ell^1(I)\) et \((b_j)_{j \in J} \in \ell^1(J)\), la famille doublement indexée \((a_i b_j)_{(i,j) \in I \times J}\) est sommable, et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j \ = \ \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big)}. $$
Sommabilité. On applique la famille produit positive (Fubini et famille produit, cas positif) à \((|a_i|), (|b_j|)\) : $$ \sum_{(i,j) \in I \times J} |a_i b_j| = \sum_{(i,j)} |a_i| |b_j| = \Big( \sum_I |a_i| \Big) \Big( \sum_J |b_j| \Big) < +\infty. $$ Donc \((a_i b_j) \in \ell^1(I \times J)\).
Égalité. Par Fubini complexe puis linéarité (factorisation de \(a_i\) hors de la somme intérieure, puisque \(a_i\) ne dépend pas de \(j\)) : $$ \begin{aligned} \sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j &= \sum_{i \in I} \Big( \sum_{j \in J} a_i b_j \Big) && \text{(Fubini complexe)} \\ &= \sum_{i \in I} \Big( a_i \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(linéarité, \(a_i\) hors)} \\ &= \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(linéarité, \(\sum_J b_j\) hors)}. \end{aligned} $$
Égalité. Par Fubini complexe puis linéarité (factorisation de \(a_i\) hors de la somme intérieure, puisque \(a_i\) ne dépend pas de \(j\)) : $$ \begin{aligned} \sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j &= \sum_{i \in I} \Big( \sum_{j \in J} a_i b_j \Big) && \text{(Fubini complexe)} \\ &= \sum_{i \in I} \Big( a_i \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(linéarité, \(a_i\) hors)} \\ &= \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big) && \text{(linéarité, \(\sum_J b_j\) hors)}. \end{aligned} $$
Extension à un produit fini
L'extension à un produit de \(n\) familles est admise par le programme « sans rédaction de la démonstration » : pour \((a_i^{(1)})_{i \in I_1} \in \ell^1(I_1), \dots, (a_i^{(n)})_{i \in I_n} \in \ell^1(I_n)\), la famille \((a_{i_1}^{(1)} \cdots a_{i_n}^{(n)})_{(i_1, \dots, i_n) \in I_1 \times \cdots \times I_n}\) est sommable et $$ \sum_{(i_1, \dots, i_n)} a_{i_1}^{(1)} \cdots a_{i_n}^{(n)} = \prod_{k=1}^n \Big( \sum_{i_k \in I_k} a_{i_k}^{(k)} \Big). $$ La démonstration est par récurrence sur \(n\), en appliquant le cas à deux facteurs à chaque étape (associativité du produit).
Compétences à pratiquer
- Calculer ou prouver des identités de famille produit
III
Produit de Cauchy
Le produit de Cauchy spécialise le théorème de la famille produit à deux suites et à la partition antidiagonale de \(\mathbb{N}^2\). Son application canonique est la propriété de morphisme \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\) de l'exponentielle complexe — une identité qui ne devient démontrable que maintenant, avec les outils du présent chapitre.
III.1
Définition et théorème principal
Le produit de Cauchy spécialise le théorème de la famille produit (cas complexe) au cas \(I = J = \mathbb{N}\), combiné avec la partition antidiagonale \(\mathbb{N}^2 = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \{(i,j) : i + j = n\}\). Le paquet à l'indice \(n\) est l'ensemble fini des couples sommant à \(n\), donc la somme-paquet \(\sum_{i+j=n} u_i v_j\) est une somme finie — c'est le terme \(p_n\) du produit. La sommation par paquets convertit alors la somme doublement indexée \(\sum_{(i,j)} u_i v_j\) en la somme unidimensionnelle \(\sum_n p_n\), et le théorème de la famille produit l'identifie à \((\sum u_n)(\sum v_n)\).
Définition — Produit de Cauchy
Pour \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) deux suites dans \(\ell^1(\mathbb{N})\), le produit de Cauchy de \((u_n)\) et \((v_n)\) est la suite \((p_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par $$ \textcolor{colordef}{p_n \ := \ \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k} \ = \ \sum_{(i, j) \in \mathbb{N}^2,\ i + j = n} u_i v_j}. $$ Théorème — Produit de Cauchy
Pour \((u_n), (v_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\), le produit de Cauchy \((p_n)\) appartient à \(\ell^1(\mathbb{N})\) et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{n = 0}^{+\infty} p_n \ = \ \Big( \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n \Big) \Big( \sum_{n = 0}^{+\infty} v_n \Big)}. $$
Par la famille produit complexe (sous-section Famille produit (cas complexe)), la famille doublement indexée \((u_i v_j)_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}\) est sommable, et $$ \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} u_i v_j = \Big( \sum_i u_i \Big) \Big( \sum_j v_j \Big). $$ On applique la sommation par paquets complexe (sous-section Sommation par paquets et Fubini (cas complexe)) à la partition antidiagonale \(\mathbb{N}^2 = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} D_n\) où \(D_n = \{(i, j) \in \mathbb{N}^2 : i + j = n\} = \{(k, n-k) : 0 \le k \le n\}\) est finie pour chaque \(n\) : $$ \begin{aligned} \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} u_i v_j &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \Big( \sum_{(i,j) \in D_n} u_i v_j \Big) && \text{(sommation par paquets)} \\
&= \sum_{n \in \mathbb{N}} \Big( \sum_{k = 0}^n u_k v_{n-k} \Big) && \text{(paramétrisation de \(D_n\))} \\
&= \sum_{n \in \mathbb{N}} p_n && \text{(définition de \(p_n\))}. \end{aligned} $$ Chaque \(p_n\) est une somme finie, donc un nombre complexe ; la sommabilité de \((p_n)\) découle du même argument-paquets appliqué à \((|u_i v_j|)\), donnant \(\sum |p_n| \le \sum_{(i,j)} |u_i| |v_j| = (\sum |u_i|)(\sum |v_j|) < +\infty\). L'égalité \(\sum p_n = (\sum u_n)(\sum v_n)\) se lit alors dans la chaîne précédente.
Méthode — Calculer un produit de Cauchy
Étant donnés \((u_n), (v_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\) : - Calculer \(p_n = \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}\) explicitement (somme finie).
- Reconnaître / simplifier \(p_n\) (souvent une forme close suit d'une identité de type binomial).
- Par le théorème du produit de Cauchy, \(\sum p_n = (\sum u_n)(\sum v_n)\) — utiliser cette égalité pour calculer l'un à partir de l'autre.
Attention : la convergence absolue est essentielle
Le théorème du produit de Cauchy est faux sous la seule convergence simple. Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent mais pas absolument, le produit de Cauchy \(\sum p_n\) peut ne pas converger — même grossièrement.
Contre-exemple. Pour \(u_n = v_n = (-1)^n/\sqrt{n+1}\) : la série \(\sum u_n\) converge par le critère des séries alternées (chapitre Séries numériques, critère des séries alternées) mais \(\sum |u_n| = \sum 1/\sqrt{n+1}\) diverge (Riemann \(\alpha = 1/2 \le 1\)) ; donc \((u_n) \notin \ell^1(\mathbb{N})\). Calculons le produit de Cauchy : $$ p_n = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k (-1)^{n-k}}{\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}. $$ Pour chaque \(k \in \{0, \dots, n\}\), \((k+1)(n-k+1) \le ((n+2)/2)^2\) par AM-GM, donc \(1/\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \ge 2/(n+2)\) et $$ |p_n| \ge (n+1) \cdot \frac{2}{n+2} \ \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2. $$ En particulier \(|p_n| \not\to 0\), donc \(\sum p_n\) diverge grossièrement. La convergence simple de \(\sum u_n\) ne suffit pas ; la convergence absolue (i.e. \((u_n), (v_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\)) est réellement nécessaire pour le théorème du produit de Cauchy.
Contre-exemple. Pour \(u_n = v_n = (-1)^n/\sqrt{n+1}\) : la série \(\sum u_n\) converge par le critère des séries alternées (chapitre Séries numériques, critère des séries alternées) mais \(\sum |u_n| = \sum 1/\sqrt{n+1}\) diverge (Riemann \(\alpha = 1/2 \le 1\)) ; donc \((u_n) \notin \ell^1(\mathbb{N})\). Calculons le produit de Cauchy : $$ p_n = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k (-1)^{n-k}}{\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}. $$ Pour chaque \(k \in \{0, \dots, n\}\), \((k+1)(n-k+1) \le ((n+2)/2)^2\) par AM-GM, donc \(1/\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \ge 2/(n+2)\) et $$ |p_n| \ge (n+1) \cdot \frac{2}{n+2} \ \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2. $$ En particulier \(|p_n| \not\to 0\), donc \(\sum p_n\) diverge grossièrement. La convergence simple de \(\sum u_n\) ne suffit pas ; la convergence absolue (i.e. \((u_n), (v_n) \in \ell^1(\mathbb{N})\)) est réellement nécessaire pour le théorème du produit de Cauchy.
Compétences à pratiquer
- Calculer un produit de Cauchy
III.2
Application : propriété de morphisme de l'exponentielle complexe
Le produit de Cauchy, appliqué à la série exponentielle complexe \(e^z = \sum z^n/n!\) (introduite au chapitre Séries numériques), donne l'identité algébrique qui justifie le nom « exponentielle ».
Proposition — Propriété de morphisme : \(e^{a+b} \equal e^a e^b\)
Pour tous \(a, b \in \mathbb{C}\), $$ \textcolor{colorprop}{e^{a+b} \ = \ e^a \cdot e^b}. $$
Les suites \(u_n := a^n/n!\) et \(v_n := b^n/n!\) sont dans \(\ell^1(\mathbb{N})\) (chapitre Séries numériques : la série exponentielle converge absolument pour tout \(z \in \mathbb{C}\)). Calculons le produit de Cauchy : $$ \begin{aligned} p_n &= \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k} && \text{(définition)} \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} && \text{(substitution)} \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} && \text{(factoriser \(1/n!\), reconnaître \(\binom{n}{k} = n!/(k! (n-k)!)\))} \\
&= \frac{(a+b)^n}{n!} && \text{(formule du binôme de Newton, chapitre \textit{Calcul algébrique})}. \end{aligned} $$ Par le théorème du produit de Cauchy, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = \Big( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!} \Big) \Big( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{n!} \Big) = e^a \cdot e^b. $$ Le membre de gauche vaut par définition \(e^{a+b}\), d'où \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\).
Proposition — Conséquence : \(e^z \ne 0\)
Pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(\textcolor{colorprop}{e^z \cdot e^{-z} = 1}\). En particulier \(e^z \ne 0\) et \(1/e^z = e^{-z}\).
Par la propriété de morphisme : \(e^z \cdot e^{-z} = e^{z + (-z)} = e^0 = 1\).
Cela généralise la propriété de morphisme \(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\) pour \(x, y \in \mathbb{R}\) (chapitre Fonctions usuelles) à tout \(\mathbb{C}\), et confirme que \(z \mapsto e^z\) est un morphisme de groupes \((\mathbb{C}, +) \to (\mathbb{C}^*, \cdot)\).
Compétences à pratiquer
- Appliquer \(e^{a+b} \equal e^a \cdot e^b\)
III.3
Exemple traité : \(1/(1-x)^2\) via produit de Cauchy
Seconde illustration : appliquer le théorème du produit de Cauchy à la série géométrique avec elle-même donne une forme close pour \(1/(1-x)^2\). Le chapitre Séries numériques obtenait le même résultat par dérivation de la série géométrique ; on en donne ici une preuve algébrique alternative.
Exemple
Pour \(x \in \mathbb{C}\) avec \(|x| < 1\), montrer que $$ \frac{1}{(1-x)^2} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} n \, x^{n-1}. $$
La suite \((x^n)_{n \in \mathbb{N}}\) est dans \(\ell^1(\mathbb{N})\) (géométrique avec \(|x| < 1\)), de somme \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1-x)\). On applique le produit de Cauchy à \((u_n) = (v_n) = (x^n)\) : $$ \begin{aligned} p_n &= \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k} = \sum_{k=0}^n x^k \cdot x^{n-k} && \text{(définition)} \\
&= \sum_{k=0}^n x^n = (n + 1) x^n && \text{(constante en \(k\), somme de \(n+1\) termes)}. \end{aligned} $$ Par le théorème du produit de Cauchy, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n = \Big( \sum x^n \Big)^2 = \frac{1}{(1-x)^2}. $$ En réindiçant \(n \mapsto n - 1\) à gauche : $$ \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} n \, x^{n-1}, $$ d'où \(1/(1-x)^2 = \sum_{n=1}^{+\infty} n \, x^{n-1}\).
Remarque. Plus généralement, des produits de Cauchy itérés de la série géométrique produisent \(1/(1-x)^k = \sum_n \binom{n + k - 1}{k - 1} x^n\) (coefficients de combinaisons avec répétition) ; ceci n'est pas requis à ce niveau et nous ne le poursuivons pas.
Remarque. Plus généralement, des produits de Cauchy itérés de la série géométrique produisent \(1/(1-x)^k = \sum_n \binom{n + k - 1}{k - 1} x^n\) (coefficients de combinaisons avec répétition) ; ceci n'est pas requis à ce niveau et nous ne le poursuivons pas.
Compétences à pratiquer
- Itérer le produit de Cauchy géométrique
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