Éducation Nationale Française · MPSI
Arithmétique des polynômes
L'arithmétique de \(\mathbb{K}[X]\) rejoue, presque pas à pas, l'arithmétique de \(\mathbb{Z}\) développée dans le chapitre Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) : divisibilité, algorithme d'Euclide, PGCD, PPCM, Bézout, Gauss. Ce chapitre est traité selon le plan déjà utilisé pour l'arithmétique de \(\mathbb{Z}\), ce qui autorise un exposé allégé : beaucoup de preuves données en détail dans le chapitre sur l'arithmétique de \(\mathbb{Z}\) sont maintenant énoncées « comme dans \(\mathbb{Z}\) » avec un renvoi à l'argument analogue ; cela laisse de la place pour les phénomènes spécifiquement polynomiaux (polynômes associés, convention du représentant unitaire, changement de base entre \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{C}[X]\)).
Le plan a cinq sections. La première rappelle la relation de divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\) vue au chapitre Polynômes et introduit la nouvelle notion-clé de polynômes associés (\(A\) et \(B\) associés ssi \(B = \lambda A\) pour un certain \(\lambda \in \mathbb{K}^*\)). La deuxième définit le PGCD, démontre son existence via l'algorithme d'Euclide, caractérise les diviseurs communs de \(A, B\) comme les diviseurs de \(A \wedge B\), et démontre l'identité de Bézout. La troisième introduit le PPCM et la relation PGCD-PPCM \((A \wedge B)(A \vee B) \sim AB\). La quatrième spécialise aux polynômes premiers entre eux et démontre le théorème de Bézout et le lemme de Gauss — les deux moteurs de tous les raisonnements de divisibilité par la suite ; une brève application relie coprimalité et racines complexes communes. La cinquième généralise tout à \(k\) polynômes et distingue « premiers entre eux dans leur ensemble » de « premiers entre eux deux à deux ».
Le chapitre est délibérément plus court que son pendant entier. On ne redéveloppe pas ici les analogues des nombres premiers et de l'unicité de la factorisation : ce sont précisément les polynômes irréductibles et le théorème d'unicité de la factorisation déjà traités dans le chapitre Polynômes, qu'on cite comme boîte noire deux fois (pour la relation PGCD-PPCM, et pour le critère de coprimalité par racines). Pas non plus de congruences modulo \(A\) dans \(\mathbb{K}[X]\) à ce niveau, ni de théorème de Fermat.
Convention permanente. Tout au long de ce chapitre, \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\), et un diviseur est toujours un polynôme non nul. Les notations \(A \wedge B\) (PGCD) et \(A \vee B\) (PPCM) désignent l'unique représentant unitaire de leur classe d'association — selon la convention standard « Tous les PGCD de \(A\) et \(B\) sont associés. Un seul est unitaire, on le note \(A \wedge B\) ». Le PGCD \(A \wedge B\) est défini lorsque \((A, B) \neq (0, 0)\) ; le PPCM \(A \vee B\) est défini pour tout \(A, B \in \mathbb{K}[X]\), avec la convention frontière \(A \vee B = 0\) dès que \(A = 0\) ou \(B = 0\).
Le plan a cinq sections. La première rappelle la relation de divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\) vue au chapitre Polynômes et introduit la nouvelle notion-clé de polynômes associés (\(A\) et \(B\) associés ssi \(B = \lambda A\) pour un certain \(\lambda \in \mathbb{K}^*\)). La deuxième définit le PGCD, démontre son existence via l'algorithme d'Euclide, caractérise les diviseurs communs de \(A, B\) comme les diviseurs de \(A \wedge B\), et démontre l'identité de Bézout. La troisième introduit le PPCM et la relation PGCD-PPCM \((A \wedge B)(A \vee B) \sim AB\). La quatrième spécialise aux polynômes premiers entre eux et démontre le théorème de Bézout et le lemme de Gauss — les deux moteurs de tous les raisonnements de divisibilité par la suite ; une brève application relie coprimalité et racines complexes communes. La cinquième généralise tout à \(k\) polynômes et distingue « premiers entre eux dans leur ensemble » de « premiers entre eux deux à deux ».
Le chapitre est délibérément plus court que son pendant entier. On ne redéveloppe pas ici les analogues des nombres premiers et de l'unicité de la factorisation : ce sont précisément les polynômes irréductibles et le théorème d'unicité de la factorisation déjà traités dans le chapitre Polynômes, qu'on cite comme boîte noire deux fois (pour la relation PGCD-PPCM, et pour le critère de coprimalité par racines). Pas non plus de congruences modulo \(A\) dans \(\mathbb{K}[X]\) à ce niveau, ni de théorème de Fermat.
Convention permanente. Tout au long de ce chapitre, \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\), et un diviseur est toujours un polynôme non nul. Les notations \(A \wedge B\) (PGCD) et \(A \vee B\) (PPCM) désignent l'unique représentant unitaire de leur classe d'association — selon la convention standard « Tous les PGCD de \(A\) et \(B\) sont associés. Un seul est unitaire, on le note \(A \wedge B\) ». Le PGCD \(A \wedge B\) est défini lorsque \((A, B) \neq (0, 0)\) ; le PPCM \(A \vee B\) est défini pour tout \(A, B \in \mathbb{K}[X]\), avec la convention frontière \(A \vee B = 0\) dès que \(A = 0\) ou \(B = 0\).
I
Divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\)
Deux rappels, une nouvelle définition. Les rappels viennent du chapitre Polynômes : la relation de divisibilité \(B \mid A\) et ses propriétés de base. La nouvelle notion est l'équivalence « polynômes associés » : deux polynômes non nuls sont associés quand chacun divise l'autre, ce qui équivaut à ce qu'ils diffèrent d'un facteur scalaire non nul. C'est cette relation qui fait du PGCD un objet bien défini seulement à un scalaire près ; la convention standard sélectionne le représentant unitaire comme représentant canonique.
I.1
Rappel : relation de divisibilité
La relation de divisibilité, la propriété de combinaison linéaire, la transitivité et la règle du produit sont toutes énoncées et démontrées dans le chapitre Polynômes. On les résume ici pour référence et on les applique tout au long du chapitre sans les redémontrer.
Rappel (depuis Polynômes)
Pour \(A \in \mathbb{K}[X]\) et \(B \in \mathbb{K}[X]^*\), \(B\) divise \(A\), noté \(B \mid A\), s'il existe \(Q \in \mathbb{K}[X]\) avec \(A = B Q\). L'ensemble des multiples de \(A\) est \(A \mathbb{K}[X] = \{A Q : Q \in \mathbb{K}[X]\}\) ; l'ensemble des diviseurs de \(A\) est \(\operatorname{div}(A) \subset \mathbb{K}[X]^*\).
La relation \(\mid\) sur \(\mathbb{K}[X]^*\) est réflexive et transitive (c'est un préordre). Elle vérifie :
La relation \(\mid\) sur \(\mathbb{K}[X]^*\) est réflexive et transitive (c'est un préordre). Elle vérifie :
- Combinaisons linéaires. Si \(D \mid A\) et \(D \mid B\), alors \(D \mid (A U + B V)\) pour tout \(U, V \in \mathbb{K}[X]\).
- Produit. Si \(A \mid B\) et \(C \mid D\), alors \(A C \mid B D\).
- Contrôle par le degré. Si \(B \mid A\) avec \(A, B \neq 0\), alors \(\deg B \leq \deg A\).
Compétences à pratiquer
- Appliquer les propriétés de divisibilité
I.2
Polynômes associés
La petite obstruction de la remarque précédente — la divisibilité n'est pas antisymétrique sur \(\mathbb{K}[X]^*\) — a un nom propre : les polynômes associés. Deux polynômes non nuls sont associés quand chacun divise l'autre ; de manière équivalente, ils diffèrent d'un facteur scalaire non nul. L'équivalence « polynômes associés » partitionne \(\mathbb{K}[X]^*\), et chaque classe contient exactement un polynôme unitaire — le représentant unitaire.
Définition — Polynômes associés
Deux polynômes non nuls \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\) sont dits associés, ce qu'on note \(A \sim B\), si \(A \mid B\) et \(B \mid A\). Proposition — Caractérisation des polynômes associés
Pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\), $$ \textcolor{colorprop}{A \sim B \iff \exists \lambda \in \mathbb{K}^*, \; B = \lambda A.} $$ La relation \(\sim\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbb{K}[X]^*\), et chaque classe d'équivalence contient un unique polynôme unitaire.
\((\Leftarrow)\) Si \(B = \lambda A\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}^*\), alors \(A = \lambda^{-1} B\), donc \(A \mid B\) et \(B \mid A\).
\((\Rightarrow)\) Supposons \(A \mid B\) et \(B \mid A\). Écrivons \(B = A Q\) et \(A = B R\) pour certains \(Q, R \in \mathbb{K}[X]\). Alors \(A = A Q R\), donc \(A (Q R - 1) = 0\). Comme \(A \neq 0\) et \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau intègre (par la formule du degré du produit du chapitre Polynômes), \(Q R = 1\). Comme \(Q R = 1\), \(Q\) et \(R\) sont tous deux non nuls, donc \(0 = \deg(1) = \deg(Q R) = \deg Q + \deg R\), ce qui donne \(\deg Q = \deg R = 0\) : \(Q, R \in \mathbb{K}^*\). En posant \(\lambda = Q\), on obtient \(B = \lambda A\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}^*\).
Relation d'équivalence. Réflexivité et symétrie évidentes. Transitivité : si \(B = \lambda A\) et \(C = \mu B\), alors \(C = \mu \lambda A\) avec \(\mu \lambda \in \mathbb{K}^*\).
Unicité du représentant unitaire. Étant donné \(A \in \mathbb{K}[X]^*\) de coefficient dominant \(a \in \mathbb{K}^*\), le polynôme \(a^{-1} A\) est unitaire et associé à \(A\). Réciproquement, deux polynômes unitaires associés \(A, B\) vérifient \(B = \lambda A\) avec coefficient dominant \(1\) pour les deux, donc \(\lambda = 1\), donc \(A = B\). L'unicité suit.
\((\Rightarrow)\) Supposons \(A \mid B\) et \(B \mid A\). Écrivons \(B = A Q\) et \(A = B R\) pour certains \(Q, R \in \mathbb{K}[X]\). Alors \(A = A Q R\), donc \(A (Q R - 1) = 0\). Comme \(A \neq 0\) et \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau intègre (par la formule du degré du produit du chapitre Polynômes), \(Q R = 1\). Comme \(Q R = 1\), \(Q\) et \(R\) sont tous deux non nuls, donc \(0 = \deg(1) = \deg(Q R) = \deg Q + \deg R\), ce qui donne \(\deg Q = \deg R = 0\) : \(Q, R \in \mathbb{K}^*\). En posant \(\lambda = Q\), on obtient \(B = \lambda A\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}^*\).
Relation d'équivalence. Réflexivité et symétrie évidentes. Transitivité : si \(B = \lambda A\) et \(C = \mu B\), alors \(C = \mu \lambda A\) avec \(\mu \lambda \in \mathbb{K}^*\).
Unicité du représentant unitaire. Étant donné \(A \in \mathbb{K}[X]^*\) de coefficient dominant \(a \in \mathbb{K}^*\), le polynôme \(a^{-1} A\) est unitaire et associé à \(A\). Réciproquement, deux polynômes unitaires associés \(A, B\) vérifient \(B = \lambda A\) avec coefficient dominant \(1\) pour les deux, donc \(\lambda = 1\), donc \(A = B\). L'unicité suit.
Exemple
\(X^2 + 1\) et \(2 X^2 + 2\) sont associés (avec \(\lambda = 2\)). \(X^2 + 1\) et \(X^2 + 2\) ne sont pas associés. En effet, si \(X^2 + 2 = \lambda (X^2 + 1)\), la comparaison des coefficients de \(X^2\) donne \(\lambda = 1\), mais la comparaison des termes constants donne alors \(2 = 1\), contradiction. Exemple
Le représentant unitaire de \(3 X^2 + 6 X = 3 (X^2 + 2 X)\) est \(X^2 + 2 X\) — diviser par le coefficient dominant \(3\). Le représentant unitaire de \(-X + 5 = -(X - 5)\) est \(X - 5\). Méthode — Réduire un polynôme à sa forme unitaire
Pour \(A \in \mathbb{K}[X]^*\) de coefficient dominant \(a\) (c'est-à-dire \(A = a X^n + (\text{termes de degré inférieur})\) avec \(a \neq 0\)) : le représentant unitaire de \(A\) est \(a^{-1} A\). Multiplier chaque coefficient de \(A\) par \(a^{-1}\).Cette étape est indispensable pour normaliser le PGCD et le PPCM dans la suite du chapitre.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les polynômes associés et utiliser la forme unitaire
II
PGCD et algorithme d'Euclide
Le PGCD de deux polynômes est, intuitivement, le plus grand polynôme divisant les deux. « Plus grand » signifie ici « de plus grand degré », pas « le plus grand en valeur absolue » comme dans \(\mathbb{Z}\). La construction est parallèle au cas entier pas à pas : l'outil central est la même idée fondamentale (le PGCD ne change pas quand un polynôme est réduit modulo l'autre par division euclidienne), et le même algorithme itératif d'Euclide produit le PGCD comme dernier reste non nul. On démontre ensuite l'identité de Bézout par récurrence sur la suite d'Euclide.
II.1
Définition du PGCD
La convention adoptée ici est « \(A \wedge B\) est l'unique diviseur commun unitaire de degré maximal ». Cela sélectionne un représentant canonique unique dans la classe d'équivalence des diviseurs communs associés de degré maximal.
Définition — Plus grand commun diviseur (PGCD)
Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \((A, B) \neq (0, 0)\). Un plus grand commun diviseur (PGCD) de \(A\) et \(B\) est un diviseur commun de \(A\) et \(B\) de degré maximal. On démontrera ci-dessous, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, l'existence de tels PGCD et le fait que deux PGCD quelconques sont associés ; l'ensemble des PGCD est donc une seule classe d'équivalence pour \(\sim\), qui contient un unique polynôme unitaire. Le PGCD unitaire de \(A\) et \(B\), noté \(A \wedge B\), est ce représentant unitaire unique.Cas frontière.
- Si \(A \neq 0\) et \(B = 0\) : tout diviseur de \(A\) est un diviseur commun de \(A\) et \(0\) (car tout polynôme non nul divise \(0\)), et les diviseurs de \(A\) de degré maximal sont les polynômes associés à \(A\). Donc \(A \wedge 0 = \) représentant unitaire de \(A\).
- Par symétrie, \(0 \wedge B = \) représentant unitaire de \(B\) quand \(B \neq 0\).
- Le cas \(A = B = 0\) est laissé indéfini (par convention : « dont l'un au moins est non nul »).
- En particulier, si \(A \in \mathbb{K}^*\) est une constante non nulle, alors \(A \wedge B = 1\) pour tout \(B \neq 0\).
Exemple
Soit \(A = (X - 1)^2 (X + 1)\) et \(B = (X - 1)(X + 1)^2\). Tous deux sont unitaires de degré \(3\). Les facteurs communs à exposant minimum sont \((X - 1)^1\) et \((X + 1)^1\), donc \(A \wedge B = (X - 1)(X + 1)\). (Justification par la factorisation irréductible du chapitre Polynômes ; on donnera une vérification algorithmique ci-après par Euclide.) Exemple — Cas frontière
\((3 X^2 + 6 X) \wedge 0 = \) représentant unitaire de \(3 X^2 + 6 X\), c'est-à-dire \(X^2 + 2 X\). Compétences à pratiquer
- Lire le PGCD unitaire à partir d'une factorisation
II.2
Idée fondamentale et algorithme d'Euclide
L'idée fondamentale est la même que dans \(\mathbb{Z}\) : un pas euclidien préserve l'ensemble des diviseurs communs. Itérée, elle donne l'algorithme d'Euclide, et le PGCD est le représentant unitaire du dernier reste non nul.
Proposition — Idée fondamentale
Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \(B \neq 0\), et \(A = B Q + R\) la division euclidienne de \(A\) par \(B\) (voir le chapitre Polynômes). Alors \(A\) et \(B\) ont le même ensemble de diviseurs communs que \(B\) et \(R\) : $$ \textcolor{colorprop}{\operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(B) \cap \operatorname{div}(R).} $$ Par conséquent \(A \wedge B = B \wedge R\) (comme représentants unitaires).
Même argument que dans \(\mathbb{Z}\) (voir le chapitre Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\)) :
- \((\subset)\) Si \(D \mid A\) et \(D \mid B\), alors par combinaison linéaire \(D \mid (A - B Q) = R\). Donc \(D\) divise \(B\) et \(R\).
- \((\supset)\) Si \(D \mid B\) et \(D \mid R\), alors \(D \mid (B Q + R) = A\). Donc \(D\) divise \(A\) et \(B\).
Théorème — Existence du PGCD par l'algorithme d'Euclide
Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\) avec \(\deg B \leq \deg A\). Définir une suite de restes par $$ R_0 = A, \quad R_1 = B, \quad R_{k+2} = \text{reste de la division euclidienne de } R_k \text{ par } R_{k+1} \quad \text{tant que } R_{k+1} \neq 0. $$ La suite s'arrête : il existe \(N \geq 1\) tel que \(R_N = 0\). Le représentant unitaire du dernier reste non nul \(R_{N-1}\) est le PGCD : $$ \textcolor{colorprop}{A \wedge B = \text{représentant unitaire de } R_{N-1}.} $$
Terminaison. Tant que \(R_{k+1} \neq 0\), la construction donne \(\deg R_{k+2} < \deg R_{k+1}\). Tant que les restes sont non nuls, leurs degrés forment une suite strictement décroissante d'entiers naturels ; une telle suite est finie, donc l'algorithme s'arrête : il existe \(N\) tel que \(R_N = 0\).
Correction. Par l'« idée fondamentale » appliquée à chaque étape (division euclidienne de \(R_k\) par \(R_{k+1}\) donnant \(R_k = R_{k+1} Q_k + R_{k+2}\)), on a \(R_k \wedge R_{k+1} = R_{k+1} \wedge R_{k+2}\) pour tout \(k \in \{0, \dots, N-2\}\). En enchaînant, $$ A \wedge B = R_0 \wedge R_1 = R_1 \wedge R_2 = \cdots = R_{N-1} \wedge R_N = R_{N-1} \wedge 0. $$ Par le cas frontière, \(R_{N-1} \wedge 0\) est le représentant unitaire de \(R_{N-1}\).
Correction. Par l'« idée fondamentale » appliquée à chaque étape (division euclidienne de \(R_k\) par \(R_{k+1}\) donnant \(R_k = R_{k+1} Q_k + R_{k+2}\)), on a \(R_k \wedge R_{k+1} = R_{k+1} \wedge R_{k+2}\) pour tout \(k \in \{0, \dots, N-2\}\). En enchaînant, $$ A \wedge B = R_0 \wedge R_1 = R_1 \wedge R_2 = \cdots = R_{N-1} \wedge R_N = R_{N-1} \wedge 0. $$ Par le cas frontière, \(R_{N-1} \wedge 0\) est le représentant unitaire de \(R_{N-1}\).
Méthode — Calculer \(A \wedge B\) par l'algorithme d'Euclide
Pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\) avec \(\deg B \leq \deg A\) : - Tabuler les divisions euclidiennes \(A = B Q_1 + R_2\), \(B = R_2 Q_2 + R_3\), \(R_2 = R_3 Q_3 + R_4\), …jusqu'à ce qu'un reste s'annule.
- Le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant, est \(A \wedge B\).
Exemple
Calculer \(A \wedge B\) pour \(A = X^3 - 1\) et \(B = X^2 - 1\).
On applique l'algorithme d'Euclide : $$ \begin{aligned} X^3 - 1 &= X \cdot (X^2 - 1) + (X - 1), \\
X^2 - 1 &= (X + 1)(X - 1) + 0. \end{aligned} $$ Le dernier reste non nul est \(X - 1\), déjà unitaire. Donc \(A \wedge B = X - 1\).
Vérification. \(X - 1\) divise \(X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)\) et \(X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)\). \(\checkmark\)
Vérification. \(X - 1\) divise \(X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)\) et \(X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)\). \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Calculer \(A \wedge B\) par l'algorithme d'Euclide
II.3
Diviseurs communs et PGCD
Une conséquence directe de l'algorithme d'Euclide : les diviseurs communs de \(A, B\) sont exactement les diviseurs de \(A \wedge B\). La démonstration itère l'« idée fondamentale » le long de la suite d'Euclide, sans besoin de Bézout.
Proposition — Les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD
Pour tout \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \((A, B) \neq (0, 0)\), $$ \textcolor{colorprop}{\operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(A \wedge B).} $$ De manière équivalente : un polynôme non nul divise à la fois \(A\) et \(B\) si et seulement s'il divise \(A \wedge B\).
Cas frontière. Si \(B = 0\) et \(A \neq 0\), alors \(A \wedge B\) est le représentant unitaire de \(A\), donc \(\operatorname{div}(A \wedge B) = \operatorname{div}(A)\). De plus \(\operatorname{div}(0) = \mathbb{K}[X]^*\) (tout polynôme non nul divise \(0\)), donc \(\operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(0) = \operatorname{div}(A) = \operatorname{div}(A \wedge B)\). Le cas \(A = 0, B \neq 0\) est symétrique.
Cas général (\(A, B \neq 0\)). On déroule l'algorithme d'Euclide sur \(A\) et \(B\) (après échange si besoin pour avoir \(\deg B \leq \deg A\)). À chaque pas euclidien \(R_k = R_{k+1} Q_k + R_{k+2}\), l'« idée fondamentale » donne \(\operatorname{div}(R_k) \cap \operatorname{div}(R_{k+1}) = \operatorname{div}(R_{k+1}) \cap \operatorname{div}(R_{k+2})\). En itérant de \(k = 0\) à \(k = N - 2\), $$ \operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(R_0) \cap \operatorname{div}(R_1) = \cdots = \operatorname{div}(R_{N-1}) \cap \operatorname{div}(R_N) = \operatorname{div}(R_{N-1}) $$ (la dernière égalité car \(R_N = 0\) et tout polynôme non nul divise \(0\), donc \(\operatorname{div}(R_{N-1}) \cap \operatorname{div}(0) = \operatorname{div}(R_{N-1})\)). Comme \(A \wedge B\) est le représentant unitaire de \(R_{N-1}\), les diviseurs de \(R_{N-1}\) et de \(A \wedge B\) coïncident (ils diffèrent d'un facteur scalaire non nul). Donc \(\operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(A \wedge B)\).
Cas général (\(A, B \neq 0\)). On déroule l'algorithme d'Euclide sur \(A\) et \(B\) (après échange si besoin pour avoir \(\deg B \leq \deg A\)). À chaque pas euclidien \(R_k = R_{k+1} Q_k + R_{k+2}\), l'« idée fondamentale » donne \(\operatorname{div}(R_k) \cap \operatorname{div}(R_{k+1}) = \operatorname{div}(R_{k+1}) \cap \operatorname{div}(R_{k+2})\). En itérant de \(k = 0\) à \(k = N - 2\), $$ \operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(R_0) \cap \operatorname{div}(R_1) = \cdots = \operatorname{div}(R_{N-1}) \cap \operatorname{div}(R_N) = \operatorname{div}(R_{N-1}) $$ (la dernière égalité car \(R_N = 0\) et tout polynôme non nul divise \(0\), donc \(\operatorname{div}(R_{N-1}) \cap \operatorname{div}(0) = \operatorname{div}(R_{N-1})\)). Comme \(A \wedge B\) est le représentant unitaire de \(R_{N-1}\), les diviseurs de \(R_{N-1}\) et de \(A \wedge B\) coïncident (ils diffèrent d'un facteur scalaire non nul). Donc \(\operatorname{div}(A) \cap \operatorname{div}(B) = \operatorname{div}(A \wedge B)\).
Compétences à pratiquer
- Lister les diviseurs communs de deux polynômes
II.4
Identité de Bézout
L'identité de Bézout dans \(\mathbb{K}[X]\) a le même énoncé que dans \(\mathbb{Z}\) : \(A \wedge B = A U + B V\) pour certains polynômes \(U, V\). La démonstration réutilise la suite d'Euclide (chaque reste \(R_k\) s'écrit comme combinaison \(\mathbb{K}[X]\)-linéaire de \(A\) et \(B\)). Deux contrastes importants avec \(\mathbb{Z}\) :
- \(U\) et \(V\) sont des polynômes (pas des nombres) et peuvent être de degré arbitraire ;
- ils ne sont pas uniques, loin de là (degrés de liberté polynomiaux).
Théorème — Identité de Bézout dans \(\mathbb{K}[X]\)
Pour tout \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \((A, B) \neq (0, 0)\), il existe des polynômes \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ \textcolor{colorprop}{A \wedge B = A U + B V.} $$ Un couple \((U, V)\) vérifiant cette identité est appelé un couple de coefficients de Bézout de \((A, B)\).Important. Contrairement au cas entier où les coefficients de Bézout sont des entiers, ici \(U, V\) sont des polynômes et peuvent être de degré arbitraire. Ils sont très fortement non uniques : si \((U, V)\) convient, alors \((U + B T, V - A T)\) aussi pour tout \(T \in \mathbb{K}[X]\).
Cas triviaux. Si \(B = 0\) et \(A \neq 0\), alors \(A \wedge 0\) est le représentant unitaire de \(A\). Avec \(a\) le coefficient dominant de \(A\), \(A \wedge 0 = a^{-1} A = A \cdot a^{-1} + 0 \cdot 0\), donc \((U, V) = (a^{-1}, 0)\). Symétrique pour \(A = 0\), \(B \neq 0\).
Cas général. Supposons \(A, B \neq 0\) et (sans perte de généralité) \(\deg B \leq \deg A\). On déroule l'algorithme d'Euclide : \(R_0 = A\), \(R_1 = B\), \(R_{k+2} = R_k - Q_k R_{k+1}\) pour \(k \in \{0, \dots, N-2\}\), avec \(R_N = 0\).
Démontrons par récurrence que pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, N\}\), \(R_k \in A \mathbb{K}[X] + B \mathbb{K}[X]\) (c'est-à-dire \(R_k = A U_k + B V_k\) pour certains \(U_k, V_k \in \mathbb{K}[X]\)).
Non-unicité. Si \((U, V)\) convient, alors \(A (U + B T) + B (V - A T) = A U + B V\) pour tout \(T \in \mathbb{K}[X]\).
Cas général. Supposons \(A, B \neq 0\) et (sans perte de généralité) \(\deg B \leq \deg A\). On déroule l'algorithme d'Euclide : \(R_0 = A\), \(R_1 = B\), \(R_{k+2} = R_k - Q_k R_{k+1}\) pour \(k \in \{0, \dots, N-2\}\), avec \(R_N = 0\).
Démontrons par récurrence que pour tout \(k \in \{0, 1, \dots, N\}\), \(R_k \in A \mathbb{K}[X] + B \mathbb{K}[X]\) (c'est-à-dire \(R_k = A U_k + B V_k\) pour certains \(U_k, V_k \in \mathbb{K}[X]\)).
- Initialisation \(k = 0, 1\). \(R_0 = A = A \cdot 1 + B \cdot 0\) et \(R_1 = B = A \cdot 0 + B \cdot 1\).
- Hérédité. Supposons \(R_k = A U_k + B V_k\) et \(R_{k+1} = A U_{k+1} + B V_{k+1}\). Alors $$ \begin{aligned} R_{k+2} = R_k - Q_k R_{k+1} &= A U_k + B V_k - Q_k (A U_{k+1} + B V_{k+1}) \\ &= A (U_k - Q_k U_{k+1}) + B (V_k - Q_k V_{k+1}), \end{aligned} $$ donc \(R_{k+2} \in A \mathbb{K}[X] + B \mathbb{K}[X]\).
Non-unicité. Si \((U, V)\) convient, alors \(A (U + B T) + B (V - A T) = A U + B V\) pour tout \(T \in \mathbb{K}[X]\).
Méthode — Algorithme d'Euclide étendu pour les polynômes
Pour calculer un couple de coefficients de Bézout \((U, V)\) pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \(\deg B \leq \deg A\) :Étape 1 (descente). Tabuler les divisions euclidiennes \(R_{k+2} = R_k - Q_k R_{k+1}\) jusqu'à ce qu'un \(R_N = 0\). Noter les quotients \(Q_k\) et restes \(R_{k+2}\). Le PGCD est le représentant unitaire de \(R_{N-1}\).
Étape 2 (remontée). En partant de l'équation définissant \(R_{N-1}\) en fonction de \(R_{N-3}\) et \(R_{N-2}\), substituer à plusieurs reprises l'équation euclidienne précédente pour exprimer \(R_{N-1}\) comme combinaison \(\mathbb{K}[X]\)-linéaire de \(R_0 = A\) et \(R_1 = B\). Multiplier par l'inverse du coefficient dominant de \(R_{N-1}\) pour obtenir une identité pour le PGCD unitaire \(A \wedge B\).
Exemple — Exemple court
Trouver un couple de Bézout pour \(A = X^2 - 1\) et \(B = X^2 + X\).
Descente Euclide. $$ \begin{aligned} A - B &= (X^2 - 1) - (X^2 + X) = -X - 1, \\
B &= X^2 + X = X \cdot (X + 1) = -X \cdot (-X - 1). \end{aligned} $$ Donc \(A = B \cdot 1 + (-X - 1)\) et \(B = (-X - 1) \cdot (-X) + 0\). Dernier reste non nul : \(-X - 1\), représentant unitaire \(X + 1\). Donc \(A \wedge B = X + 1\).
Remontée. De la première équation d'Euclide : \(-X - 1 = A - B\). Multiplier par \(-1\) pour obtenir la forme unitaire : \(X + 1 = -A + B\). Donc \((U, V) = (-1, 1)\).
Vérification. \(-A + B = -(X^2 - 1) + (X^2 + X) = X + 1\). \(\checkmark\)
Remontée. De la première équation d'Euclide : \(-X - 1 = A - B\). Multiplier par \(-1\) pour obtenir la forme unitaire : \(X + 1 = -A + B\). Donc \((U, V) = (-1, 1)\).
Vérification. \(-A + B = -(X^2 - 1) + (X^2 + X) = X + 1\). \(\checkmark\)
Exemple — Exemple long
Calculer \(A \wedge B\) et un couple de coefficients de Bézout pour \(A = 6 X^4 + 8 X^3 - 7 X^2 - 5 X - 2\) et \(B = 6 X^3 - 4 X^2 - X - 1\).
Descente Euclide. Les divisions successives donnent : $$ \begin{aligned} A &= (X + 2) \cdot B + (2 X^2 - 2 X), \\
B &= (3 X + 1) \cdot (2 X^2 - 2 X) + (X - 1), \\
2 X^2 - 2 X &= 2 X \cdot (X - 1) + 0. \end{aligned} $$ Dernier reste non nul : \(X - 1\), déjà unitaire. Donc \(A \wedge B = X - 1\).
Remontée. $$ \begin{aligned} X - 1 &= B - (3 X + 1)(2 X^2 - 2 X) \\ &= B - (3 X + 1) \bigl[A - (X + 2) B\bigr] \\ &= -(3 X + 1) A + \bigl[1 + (3 X + 1)(X + 2)\bigr] B \\ &= -(3 X + 1) A + (3 X^2 + 7 X + 3) B. \end{aligned} $$ Donc \((U, V) = (-(3 X + 1), 3 X^2 + 7 X + 3)\).
Vérification. $$ \begin{aligned} (3 X + 1) A &= 18 X^5 + 30 X^4 - 13 X^3 - 22 X^2 - 11 X - 2, \\ (3 X^2 + 7 X + 3) B &= 18 X^5 + 30 X^4 - 13 X^3 - 22 X^2 - 10 X - 3, \end{aligned} $$ donc \(-(3 X + 1) A + (3 X^2 + 7 X + 3) B = (-11 X - 2)\cdot(-1) + (-10 X - 3) = X - 1\) (tous les termes de degré \(\geq 2\) se compensent). \(\checkmark\)
Remontée. $$ \begin{aligned} X - 1 &= B - (3 X + 1)(2 X^2 - 2 X) \\ &= B - (3 X + 1) \bigl[A - (X + 2) B\bigr] \\ &= -(3 X + 1) A + \bigl[1 + (3 X + 1)(X + 2)\bigr] B \\ &= -(3 X + 1) A + (3 X^2 + 7 X + 3) B. \end{aligned} $$ Donc \((U, V) = (-(3 X + 1), 3 X^2 + 7 X + 3)\).
Vérification. $$ \begin{aligned} (3 X + 1) A &= 18 X^5 + 30 X^4 - 13 X^3 - 22 X^2 - 11 X - 2, \\ (3 X^2 + 7 X + 3) B &= 18 X^5 + 30 X^4 - 13 X^3 - 22 X^2 - 10 X - 3, \end{aligned} $$ donc \(-(3 X + 1) A + (3 X^2 + 7 X + 3) B = (-11 X - 2)\cdot(-1) + (-10 X - 3) = X - 1\) (tous les termes de degré \(\geq 2\) se compensent). \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Calculer un couple de Bézout dans \(\mathbb{K}[X]\)
III
Plus petit commun multiple
Le PPCM est dual du PGCD. La même convention « représentant unitaire » s'applique ; le cas frontière \(A \vee B = 0\) lorsque \(A = 0\) ou \(B = 0\) découle de la définition. Le résultat principal est l'identité PGCD-PPCM \((A \wedge B)(A \vee B) \sim A B\), dont la preuve la plus propre à ce niveau utilise la factorisation en irréductibles de \(A\) et \(B\) (chapitre Polynômes).
III.1
Définition
La propriété définissante d'un PPCM \(M\) est duale de celle du PGCD : \(M\) est un multiple commun, et tout autre multiple commun est un multiple de \(M\). Comme pour le PGCD, tous les PPCM de \(A, B\) sont associés entre eux, et on choisit l'unique représentant unitaire comme \(A \vee B\) canonique. Le PPCM est défini pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\) ; le cas frontière \(A = 0\) ou \(B = 0\) est traité par la convention \(A \vee B := 0\).
Définition — Plus petit commun multiple
Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\). Un plus petit commun multiple de \(A\) et \(B\) est un polynôme non nul \(M \in \mathbb{K}[X]^*\) tel que : - \(A \mid M\) et \(B \mid M\) (c'est un multiple commun) ;
- pour tout multiple commun \(N \in \mathbb{K}[X]^*\) de \(A\) et \(B\), on a \(M \mid N\).
Convention frontière. Lorsque \(A = 0\) ou \(B = 0\), le seul multiple commun est \(0\), donc la convention \(A \vee B := 0\) est naturelle.
Compétences à pratiquer
- Lire le PPCM unitaire à partir d'une factorisation
III.2
Multiples communs
De même que les diviseurs communs de \(A, B\) sont exactement les diviseurs de \(A \wedge B\), les multiples communs de \(A, B\) sont exactement les multiples de \(A \vee B\). La preuve découle directement de la propriété définissante du PPCM et de la transitivité de la divisibilité.
Proposition — Caractérisation des multiples communs
Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\). Pour tout \(M \in \mathbb{K}[X]\), $$ \textcolor{colorprop}{A \mid M \text{ et } B \mid M \iff (A \vee B) \mid M.} $$ De manière équivalente, l'ensemble des multiples communs de \(A\) et \(B\) est l'ensemble \((A \vee B) \mathbb{K}[X]\) des multiples de \(A \vee B\).
\((\Leftarrow)\) Si \((A \vee B) \mid M\), écrivons \(M = (A \vee B) Q\). Comme \(A \mid (A \vee B)\) et \((A \vee B) \mid M\), la transitivité donne \(A \mid M\). Idem pour \(B\).
\((\Rightarrow)\) Supposons \(A \mid M\) et \(B \mid M\). Si \(M = 0\), alors \((A \vee B) \mid 0\) trivialement. Si \(M \neq 0\), alors \(M\) est un multiple commun non nul, donc par la propriété définissante de \(A \vee B\) (qui est lui-même un multiple commun non nul par définition), \((A \vee B) \mid M\).
\((\Rightarrow)\) Supposons \(A \mid M\) et \(B \mid M\). Si \(M = 0\), alors \((A \vee B) \mid 0\) trivialement. Si \(M \neq 0\), alors \(M\) est un multiple commun non nul, donc par la propriété définissante de \(A \vee B\) (qui est lui-même un multiple commun non nul par définition), \((A \vee B) \mid M\).
Compétences à pratiquer
- Lister les multiples communs de deux polynômes
III.3
La relation PGCD-PPCM
La relation PGCD-PPCM dit que le produit du PGCD unitaire et du PPCM unitaire est associé au produit \(A B\). La preuve la plus propre à ce niveau s'appuie sur le théorème d'unicité de la factorisation dans \(\mathbb{K}[X]\) (chapitre Polynômes) : en écrivant \(A\) et \(B\) comme produits d'irréductibles unitaires avec multiplicités \(a_i, b_i\), le PGCD prend \(\min(a_i, b_i)\) et le PPCM prend \(\max(a_i, b_i)\) à chaque facteur ; l'identité \(\min + \max = a + b\) livre le résultat.
Proposition — Identité PGCD-PPCM
Pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]^*\), $$ \textcolor{colorprop}{(A \wedge B)(A \vee B) \sim A B,} $$ et donc les représentants unitaires vérifient $$ \textcolor{colorprop}{(A \wedge B)(A \vee B) = \frac{1}{\alpha \beta} \cdot A B,} $$ où \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}^*\) sont les coefficients dominants respectifs de \(A\) et \(B\).Cas frontière. Si l'un de \(A, B\) est nul et l'autre non nul, alors par les conventions frontières \(A \vee B = 0\), donc $$ (A \wedge B)(A \vee B) = 0 = A B $$ (égalité, pas association : la relation \(\sim\) n'est définie que pour des polynômes non nuls).
On utilise l'unicité de la factorisation dans \(\mathbb{K}[X]\) (chapitre Polynômes). Soient \(P_1, \dots, P_r\) les facteurs irréductibles unitaires distincts apparaissant dans \(A\) ou dans \(B\). Écrivons $$ A = \alpha \prod_{i=1}^r P_i^{a_i}, \qquad B = \beta \prod_{i=1}^r P_i^{b_i}, $$ où \(a_i, b_i \in \mathbb{N}\) sont les multiplicités (nulles si \(P_i\) n'apparaît pas) et \(\alpha, \beta \in \mathbb{K}^*\) les coefficients dominants.
Les diviseurs unitaires de \(A\) sont exactement les polynômes unitaires de la forme \(\prod_i P_i^{c_i}\) avec \(0 \leq c_i \leq a_i\) (idem pour \(B\)). Le PGCD unitaire est donc $$ A \wedge B = \prod_{i=1}^r P_i^{\min(a_i, b_i)}. $$ Symétriquement, les multiples unitaires de \(A\) sont exactement les polynômes unitaires \(\prod_i P_i^{c_i} \cdot Q\) avec \(c_i \geq a_i\) et \(Q\) produit d'irréductibles hors de \(\{P_1, \dots, P_r\}\), et de même pour \(B\). Le plus petit polynôme unitaire divisant tout multiple commun s'obtient donc en prenant, à chaque \(P_i\), le plus petit exposant qui dépasse à la fois \(a_i\) et \(b_i\) — c'est-à-dire \(\max(a_i, b_i)\) — sans facteur extérieur. Donc $$ A \vee B = \prod_{i=1}^r P_i^{\max(a_i, b_i)}. $$ En sommant les exposants et en utilisant \(\min(a_i, b_i) + \max(a_i, b_i) = a_i + b_i\) : $$ (A \wedge B)(A \vee B) = \prod_{i=1}^r P_i^{a_i + b_i} = \frac{1}{\alpha \beta} \cdot A B. $$ C'est l'identité annoncée, et elle montre que les deux membres sont associés.
Les diviseurs unitaires de \(A\) sont exactement les polynômes unitaires de la forme \(\prod_i P_i^{c_i}\) avec \(0 \leq c_i \leq a_i\) (idem pour \(B\)). Le PGCD unitaire est donc $$ A \wedge B = \prod_{i=1}^r P_i^{\min(a_i, b_i)}. $$ Symétriquement, les multiples unitaires de \(A\) sont exactement les polynômes unitaires \(\prod_i P_i^{c_i} \cdot Q\) avec \(c_i \geq a_i\) et \(Q\) produit d'irréductibles hors de \(\{P_1, \dots, P_r\}\), et de même pour \(B\). Le plus petit polynôme unitaire divisant tout multiple commun s'obtient donc en prenant, à chaque \(P_i\), le plus petit exposant qui dépasse à la fois \(a_i\) et \(b_i\) — c'est-à-dire \(\max(a_i, b_i)\) — sans facteur extérieur. Donc $$ A \vee B = \prod_{i=1}^r P_i^{\max(a_i, b_i)}. $$ En sommant les exposants et en utilisant \(\min(a_i, b_i) + \max(a_i, b_i) = a_i + b_i\) : $$ (A \wedge B)(A \vee B) = \prod_{i=1}^r P_i^{a_i + b_i} = \frac{1}{\alpha \beta} \cdot A B. $$ C'est l'identité annoncée, et elle montre que les deux membres sont associés.
Compétences à pratiquer
- Calculer \(A \vee B\) et utiliser la relation PGCD-PPCM
III.4
Exemple traité
Exemple — Calcul du PGCD et du PPCM par factorisation
Calculer \(A \wedge B\) et \(A \vee B\) pour $$ A = (X - 1)^2 (X + 2), \qquad B = (X - 1) (X + 2)^2. $$ Vérifier l'identité PGCD-PPCM.
Les deux polynômes sont déjà factorisés en irréductibles unitaires dans \(\mathbb{R}[X]\) (les facteurs \(X - 1\) et \(X + 2\) sont de degré 1, donc irréductibles). Les exposants sont $$ A : (X-1)^2 (X+2)^1, \qquad B : (X-1)^1 (X+2)^2. $$ En prenant le minimum et le maximum exposant à chaque facteur : $$ A \wedge B = (X - 1)^{\min(2,1)} (X + 2)^{\min(1,2)} = (X - 1)(X + 2), $$ $$ A \vee B = (X - 1)^{\max(2,1)} (X + 2)^{\max(1,2)} = (X - 1)^2 (X + 2)^2. $$ Vérification. \((A \wedge B)(A \vee B) = (X - 1)^3 (X + 2)^3\) et \(A B = (X - 1)^3 (X + 2)^3\). Les deux coefficients dominants valent \(1\), donc les deux membres sont égaux (et en particulier associés). \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Calculer le PGCD et le PPCM par factorisation
IV
Polynômes premiers entre eux
Les polynômes premiers entre eux sont l'analogue polynomial des entiers premiers entre eux. Deux polynômes sont premiers entre eux quand leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles — de manière équivalente, quand leur PGCD unitaire vaut \(1\). Les deux résultats principaux de cette section sont le théorème de Bézout (un polynôme est premier avec un autre ssi il existe un couple de Bézout \((U, V)\) vérifiant \(A U + B V = 1\)) et le lemme de Gauss (si \(A\) divise \(B C\) et \(A\) est premier avec \(B\), alors \(A\) divise \(C\)). Ensemble ils propagent la divisibilité à travers les produits, et ce sont les moteurs de tous les raisonnements de divisibilité dans \(\mathbb{K}[X]\) à partir d'ici. Une brève application relie la coprimalité de deux polynômes à l'absence d'une racine complexe commune.
IV.1
Définition et théorème de Bézout
Définition — Polynômes premiers entre eux
Deux polynômes \(A, B \in \mathbb{K}[X]\), non tous deux nuls, sont premiers entre eux si \(A \wedge B = 1\).De manière équivalente, les seuls diviseurs communs de \(A\) et \(B\) sont les constantes non nulles dans \(\mathbb{K}^*\).
Théorème — Théorème de Bézout
Pour \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) non tous deux nuls, $$ \textcolor{colorprop}{A \wedge B = 1 \iff \exists (U, V) \in \mathbb{K}[X]^2, \; A U + B V = 1.} $$
\((\Rightarrow)\) Si \(A \wedge B = 1\), l'identité de Bézout (démontrée plus haut) donne \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(A U + B V = A \wedge B = 1\).
\((\Leftarrow)\) Supposons \(A U + B V = 1\) pour certains \(U, V \in \mathbb{K}[X]\). Posons \(D = A \wedge B\). Alors \(D \mid A\) et \(D \mid B\), donc par combinaison linéaire \(D \mid (A U + B V) = 1\). Le seul polynôme unitaire divisant \(1\) est \(1\) lui-même, donc \(D = 1\).
\((\Leftarrow)\) Supposons \(A U + B V = 1\) pour certains \(U, V \in \mathbb{K}[X]\). Posons \(D = A \wedge B\). Alors \(D \mid A\) et \(D \mid B\), donc par combinaison linéaire \(D \mid (A U + B V) = 1\). Le seul polynôme unitaire divisant \(1\) est \(1\) lui-même, donc \(D = 1\).
Mise en garde : coprimalité et corps de base
La coprimalité est une propriété d'un couple de polynômes dans un \(\mathbb{K}[X]\) fixé. Les polynômes \(A = X^2 + 1\) et \(B = X - i\) ne sont pas premiers entre eux dans \(\mathbb{C}[X]\) (puisque \(X - i \mid X^2 + 1\)), mais la question ne se pose même pas dans \(\mathbb{R}[X]\) car \(B \notin \mathbb{R}[X]\). Même si la factorisation change en passant de \(\mathbb{R}[X]\) à \(\mathbb{C}[X]\), la coprimalité ne change pas : pour \(A, B \in \mathbb{R}[X]\), ils sont premiers entre eux dans \(\mathbb{R}[X]\) ssi ils le sont dans \(\mathbb{C}[X]\). On y reviendra dans la sous-section « coprimalité via les racines » ci-après.
Exemple — Deux polynômes premiers entre eux
Montrer que \(A = X^2 + 1\) et \(B = X^2 - 1\) sont premiers entre eux dans \(\mathbb{R}[X]\).
Le couple de Bézout est immédiat : $$ \frac{1}{2}(X^2 + 1) - \frac{1}{2}(X^2 - 1) = 1. $$ Donc \(A \cdot \frac{1}{2} + B \cdot \bigl(-\frac{1}{2}\bigr) = 1\) avec \(U = \frac{1}{2}, V = -\frac{1}{2} \in \mathbb{R}[X]\). Par le théorème de Bézout, \(A \wedge B = 1\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître les polynômes premiers entre eux
IV.2
Lemme de Gauss et conséquences
Le lemme de Gauss est le pendant polynomial du lemme de Gauss entier : si un polynôme \(A\) divise un produit \(B C\) et est premier avec \(B\), alors \(A\) divise déjà \(C\). On rappelle la convention permanente « un diviseur est non nul », donc l'énoncé s'applique à \(A \in \mathbb{K}[X]^*\). La preuve tient en une ligne à partir du théorème de Bézout (multiplier une identité de Bézout pour \(A, B\) par \(C\)). Le lemme livre trois conséquences utilisées dans le reste du chapitre et au-delà : premier-avec-un-produit, deux-diviseurs-premiers-entre-eux, réduction-par-le-PGCD.
Théorème — Lemme de Gauss
Soient \(A, B, C \in \mathbb{K}[X]\) (\(A\) non nul, par la convention permanente sur les diviseurs). Si \(A \mid B C\) et \(A \wedge B = 1\), alors \(A \mid C\).
Par le théorème de Bézout, \(A \wedge B = 1\) donne \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(A U + B V = 1\). On multiplie par \(C\) : $$ A U C + B V C = C, \qquad \text{c.-à-d.} \qquad A (U C) + (B C) V = C. $$ Or \(A \mid A (U C)\) trivialement, et \(A \mid B C\) par hypothèse, donc \(A \mid (B C) V\). Par combinaison linéaire, \(A\) divise le membre de droite, à savoir \(C\).
Proposition — Conséquences du lemme de Gauss
Soient \(A, B, C \in \mathbb{K}[X]^*\). - Premier avec un produit. Si \(A \wedge B = 1\) et \(A \wedge C = 1\), alors \(A \wedge (B C) = 1\).
- Deux diviseurs premiers entre eux. Si \(A \mid C\) et \(B \mid C\) et \(A \wedge B = 1\), alors \(A B \mid C\).
- Réduction par le PGCD. Si \(D = A \wedge B\), écrivons \(A = D A'\) et \(B = D B'\). Alors \(A' \wedge B' = 1\).
(1) Par Bézout, \(A U_1 + B V_1 = 1\) et \(A U_2 + C V_2 = 1\) pour certains \(U_1, V_1, U_2, V_2 \in \mathbb{K}[X]\). On multiplie : $$ 1 = (A U_1 + B V_1)(A U_2 + C V_2) = A \cdot \underbrace{(U_1 A U_2 + U_1 C V_2 + B V_1 U_2)}_{\in \mathbb{K}[X]} + (B C) \cdot V_1 V_2. $$ C'est une identité de Bézout pour \(A\) et \(B C\), donc \(A \wedge (B C) = 1\) par le théorème de Bézout.
(2) Écrivons \(C = A Q\) pour un certain \(Q \in \mathbb{K}[X]\) (possible car \(A \mid C\)). De \(B \mid C = A Q\) et \(B \wedge A = 1\), Gauss donne \(B \mid Q\), donc \(Q = B Q'\) pour un certain \(Q'\). Alors \(C = A Q = A B Q'\), c'est-à-dire \(A B \mid C\).
(3) Par l'identité de Bézout (démontrée plus haut), il existe \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(A U + B V = D\). En substituant \(A = D A'\) et \(B = D B'\), on obtient $$ D (A' U + B' V) = D. $$ Comme \(D \neq 0\) et que \(\mathbb{K}[X]\) est intègre, on simplifie par \(D\) : $$ A' U + B' V = 1. $$ Par le théorème de Bézout, \(A' \wedge B' = 1\).
(2) Écrivons \(C = A Q\) pour un certain \(Q \in \mathbb{K}[X]\) (possible car \(A \mid C\)). De \(B \mid C = A Q\) et \(B \wedge A = 1\), Gauss donne \(B \mid Q\), donc \(Q = B Q'\) pour un certain \(Q'\). Alors \(C = A Q = A B Q'\), c'est-à-dire \(A B \mid C\).
(3) Par l'identité de Bézout (démontrée plus haut), il existe \(U, V \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(A U + B V = D\). En substituant \(A = D A'\) et \(B = D B'\), on obtient $$ D (A' U + B' V) = D. $$ Comme \(D \neq 0\) et que \(\mathbb{K}[X]\) est intègre, on simplifie par \(D\) : $$ A' U + B' V = 1. $$ Par le théorème de Bézout, \(A' \wedge B' = 1\).
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème de Bézout et le lemme de Gauss
IV.3
Application : coprimalité via les racines complexes communes
Le théorème de factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\) (chapitre Polynômes : tout polynôme non constant sur \(\mathbb{C}\) se factorise uniquement en facteurs unitaires de degré \(1\)) donne un critère particulièrement propre de coprimalité pour deux polynômes de \(\mathbb{C}[X]\) : ils sont premiers entre eux ssi ils n'ont aucune racine complexe commune. Le critère s'étend à \(\mathbb{R}[X]\) à condition de tester l'existence de racines communes dans \(\mathbb{C}\), pas dans \(\mathbb{R}\) seul — c'est une subtilité classique et une source fréquente de confusion.
Proposition — Coprimalité via les racines
Soient \(A, B \in \mathbb{C}[X]\), tous deux non nuls. Alors $$ \textcolor{colorprop}{A \wedge B = 1 \iff A \text{ et } B \text{ n'ont aucune racine complexe commune.}} $$ Pour \(A, B \in \mathbb{R}[X]\), tous deux non nuls, $$ \textcolor{colorprop}{A \wedge B = 1 \text{ dans } \mathbb{R}[X] \iff A \text{ et } B \text{ n'ont aucune racine commune dans } \mathbb{C}.} $$
Cas \(\mathbb{C}[X]\). Par le théorème de factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\), écrivons $$ A = \alpha \prod_{z \in Z(A)} (X - z)^{m_z(A)}, \qquad B = \beta \prod_{z \in Z(B)} (X - z)^{m_z(B)}, $$ où \(Z(A), Z(B) \subset \mathbb{C}\) sont les ensembles (finis) de racines et \(m_z(\cdot) \in \mathbb{N}^*\) les multiplicités. Le PGCD unitaire vaut alors $$ A \wedge B = \prod_{z \in Z(A) \cap Z(B)} (X - z)^{\min(m_z(A), m_z(B))}, $$ qui vaut \(1\) ssi \(Z(A) \cap Z(B) = \emptyset\).
Cas \(\mathbb{R}[X]\). Soient \(A, B \in \mathbb{R}[X]\), tous deux non nuls.
Cas \(\mathbb{R}[X]\). Soient \(A, B \in \mathbb{R}[X]\), tous deux non nuls.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(A \wedge B = 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\). Par le théorème de Bézout il existe \(U, V \in \mathbb{R}[X]\) tels que \(A U + B V = 1\). Le même couple est dans \(\mathbb{C}[X]^2\) (car \(\mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X]\)), donc témoigne de \(A \wedge B = 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\). Par le cas \(\mathbb{C}[X]\), \(A\) et \(B\) ne partagent aucune racine complexe commune.
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(A\) et \(B\) ne partagent aucune racine complexe commune. L'observation clé : l'algorithme d'Euclide appliqué à \(A, B\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\) produit la même suite de restes. En effet, chaque étape de division euclidienne est un unique couple (quotient, reste) dans \(\mathbb{R}[X]\) — et reste une division euclidienne dans \(\mathbb{C}[X]\) par la même unicité, donc les suites coïncident. Soit \(R \in \mathbb{R}[X]^*\) le dernier reste non nul. Alors :
- \(R\) est un PGCD de \(A, B\) dans \(\mathbb{R}[X]\) (Euclide dans \(\mathbb{R}[X]\)) ;
- \(R\) est aussi un PGCD de \(A, B\) dans \(\mathbb{C}[X]\) (même suite dans \(\mathbb{C}[X]\)) ;
- par hypothèse le PGCD unitaire dans \(\mathbb{C}[X]\) vaut \(1\), donc \(R\) est associé à \(1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), c'est-à-dire que \(R\) est une constante non nulle. Comme \(R \in \mathbb{R}[X]^*\), cette constante est dans \(\mathbb{R}^*\).
Mise en garde : racines réelles vs racines complexes
Le critère par racines communes dans \(\mathbb{R}[X]\) teste les racines communes dans \(\mathbb{C}\), pas dans \(\mathbb{R}\). Prenons $$ A = X^2 + 1, \qquad B = (X^2 + 1)(X + 1). $$ Les deux sont dans \(\mathbb{R}[X]\). Le polynôme \(A\) n'a pas de racine réelle ; \(B\) a une unique racine réelle en \(X = -1\). Ils ne partagent aucune racine réelle commune (l'unique racine réelle de \(B\) n'est pas racine de \(A\)). Pourtant \(A \mid B\), donc \(A \wedge B = X^2 + 1 \neq 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\) : ils ne sont pas premiers entre eux. La raison : dans \(\mathbb{C}\) ils partagent les deux racines \(\pm i\). L'heuristique naïve « pas de racine réelle commune » échoue — seule l'absence de racines complexes communes caractérise la coprimalité.
Exemple — Coprimalité via les racines
Montrer que \(A = X^2 + 1\) et \(B = X^2 + 2\) sont premiers entre eux dans \(\mathbb{R}[X]\) (et dans \(\mathbb{C}[X]\)).
Les racines complexes de \(A\) sont \(\{i, -i\}\) ; celles de \(B\) sont \(\{i \sqrt{2}, -i \sqrt{2}\}\). Les deux ensembles sont disjoints, donc \(A\) et \(B\) n'ont pas de racine complexe commune. Par la proposition, \(A \wedge B = 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), donc aussi dans \(\mathbb{R}[X]\).
(Vérification directe : \(B - A = 1\), donc le couple de Bézout \((U, V) = (-1, 1)\) donne \(A \cdot (-1) + B \cdot 1 = 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).) \(\checkmark\)
(Vérification directe : \(B - A = 1\), donc le couple de Bézout \((U, V) = (-1, 1)\) donne \(A \cdot (-1) + B \cdot 1 = 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).) \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Décider la coprimalité via les racines complexes
V
Arithmétique de plusieurs polynômes
Tout ce qui précède pour deux polynômes se généralise à \(k \geq 2\) polynômes. Le PGCD de \(A_1, \dots, A_k\) se calcule récursivement par \(A_1 \wedge A_2 \wedge \dots \wedge A_k = (A_1 \wedge A_2) \wedge A_3 \wedge \dots \wedge A_k\) grâce à l'associativité de \(\wedge\), et l'identité de Bézout devient une combinaison linéaire à \(k\) termes \(A_1 U_1 + \dots + A_k U_k = A_1 \wedge \dots \wedge A_k\). Le seul point réellement nouveau est la distinction entre « premiers entre eux dans leur ensemble » (\(\text{PGCD} = 1\)) et « premiers entre eux deux à deux » (chaque paire a un \(\text{PGCD} = 1\)) : « deux à deux » est strictement plus fort que « dans l'ensemble », comme un petit contre-exemple va le montrer.
V.1
Définition et calcul récursif
Le PGCD de \(k \geq 2\) polynômes est défini par la même propriété universelle que pour deux : l'unique polynôme unitaire qui divise tous les \(A_i\) et qui est divisé par tout diviseur commun. Le point crucial à ce stade est la formule récursive \(A_1 \wedge \dots \wedge A_k = (A_1 \wedge A_2) \wedge A_3 \wedge \dots \wedge A_k\) : elle montre que \(\wedge\) est associatif sur les polynômes unitaires, et ramène le PGCD de \(k\) polynômes à \(k - 1\) PGCD par paires — directement accessibles par l'algorithme d'Euclide.
Définition — PGCD de plusieurs polynômes
Soit \(k \geq 2\) et \(A_1, \dots, A_k \in \mathbb{K}[X]\), non tous nuls. Le PGCD de \(A_1, \dots, A_k\) est l'unique polynôme unitaire \(D\) tel que : - \(D \mid A_i\) pour tout \(i \in \{1, \dots, k\}\) ;
- si \(D' \in \mathbb{K}[X]^*\) vérifie \(D' \mid A_i\) pour tout \(i\), alors \(D' \mid D\).
Exemple — Trois polynômes avec un facteur commun
Calculer \(A_1 \wedge A_2 \wedge A_3\) pour $$ A_1 = X^2 - 1, \qquad A_2 = X^3 - 1, \qquad A_3 = X^4 - 1. $$
Chaque \(A_i\) admet \(X - 1\) comme racine commune, puisque \(A_i(1) = 0\) pour \(i = 1, 2, 3\) : \(A_1 = (X - 1)(X + 1)\), \(A_2 = (X - 1)(X^2 + X + 1)\), \(A_3 = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1)\). Le facteur \(X - 1\) divise les trois ; aucun polynôme de degré supérieur ne convient (les quotients \(X + 1\), \(X^2 + X + 1\), \((X + 1)(X^2 + 1)\) n'ont pas d'autre facteur commun dans \(\mathbb{R}[X]\)). Donc $$ A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 = X - 1. $$ Vérification par récurrence. \(A_1 \wedge A_2 = X - 1\) (Euclide : \(A_2 - X A_1 = X - 1\), puis \(A_1 = (X + 1)(X - 1) + 0\)) ; puis \((X - 1) \wedge A_3 = X - 1\) puisque \(X - 1 \mid A_3\). \(\checkmark\)
Proposition — Calcul récursif
Soit \(k \geq 2\) et \(A_1, \dots, A_k \in \mathbb{K}[X]\) non tous nuls. Retirer les polynômes nuls ne change pas l'ensemble des diviseurs communs, donc après réindexation on peut supposer \(A_1 \neq 0\). On définit $$ \textcolor{colorprop}{D_1 = A_1, \qquad D_j = D_{j-1} \wedge A_j \quad (2 \leq j \leq k).} $$ Chaque \(D_j\) est bien défini (car \(D_{j-1} \neq 0\)), et $$ \textcolor{colorprop}{D_k = A_1 \wedge A_2 \wedge \dots \wedge A_k.} $$ En particulier, le PGCD de \(k\) polynômes se ramène à \(k - 1\) calculs de PGCD par paire, et l'opération \(\wedge\) sur les polynômes unitaires est associative.
Après avoir retiré les polynômes nuls et réindexé, on suppose \(A_1 \neq 0\) — c'est licite car si \(A_i = 0\) alors tout polynôme non nul divise \(A_i\), donc l'ensemble des diviseurs communs de la famille est inchangé en retirant \(A_i\). On montre par récurrence sur \(j\) que \(D_j\) est bien défini et vaut \(A_1 \wedge \dots \wedge A_j\).
Initialisation \(j = 1\). \(D_1 = A_1 \neq 0\), le représentant unitaire de \(A_1\) coïncide trivialement avec \(A_1 \wedge \dots \wedge A_1\).
Hérédité \(j \to j + 1\). Par récurrence, \(D_j = A_1 \wedge \dots \wedge A_j\) est l'unique PGCD unitaire, donc non nul. Donc \(D_j \wedge A_{j+1}\) est bien défini.
\(D_{j+1} \mid (A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1})\). \(D_{j+1} = D_j \wedge A_{j+1}\) divise \(D_j\) et \(A_{j+1}\). Comme \(D_j\) divise \(A_1, \dots, A_j\), transitivement \(D_{j+1}\) divise \(A_1, \dots, A_{j+1}\). Donc \(D_{j+1}\) est un diviseur commun de \(A_1, \dots, A_{j+1}\), donc \(D_{j+1} \mid (A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1})\).
\((A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}) \mid D_{j+1}\). Soit \(E = A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}\). Alors \(E\) divise chacun de \(A_1, \dots, A_j\), donc par la caractérisation des diviseurs communs démontrée plus haut, \(E \mid D_j\). De plus \(E \mid A_{j+1}\) par définition. Donc \(E\) est un diviseur commun de \(D_j\) et \(A_{j+1}\), donc \(E \mid (D_j \wedge A_{j+1}) = D_{j+1}\).
Par antisymétrie sur les polynômes unitaires, \(D_{j+1} = A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}\).
Initialisation \(j = 1\). \(D_1 = A_1 \neq 0\), le représentant unitaire de \(A_1\) coïncide trivialement avec \(A_1 \wedge \dots \wedge A_1\).
Hérédité \(j \to j + 1\). Par récurrence, \(D_j = A_1 \wedge \dots \wedge A_j\) est l'unique PGCD unitaire, donc non nul. Donc \(D_j \wedge A_{j+1}\) est bien défini.
\(D_{j+1} \mid (A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1})\). \(D_{j+1} = D_j \wedge A_{j+1}\) divise \(D_j\) et \(A_{j+1}\). Comme \(D_j\) divise \(A_1, \dots, A_j\), transitivement \(D_{j+1}\) divise \(A_1, \dots, A_{j+1}\). Donc \(D_{j+1}\) est un diviseur commun de \(A_1, \dots, A_{j+1}\), donc \(D_{j+1} \mid (A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1})\).
\((A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}) \mid D_{j+1}\). Soit \(E = A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}\). Alors \(E\) divise chacun de \(A_1, \dots, A_j\), donc par la caractérisation des diviseurs communs démontrée plus haut, \(E \mid D_j\). De plus \(E \mid A_{j+1}\) par définition. Donc \(E\) est un diviseur commun de \(D_j\) et \(A_{j+1}\), donc \(E \mid (D_j \wedge A_{j+1}) = D_{j+1}\).
Par antisymétrie sur les polynômes unitaires, \(D_{j+1} = A_1 \wedge \dots \wedge A_{j+1}\).
Compétences à pratiquer
- Calculer le PGCD de plusieurs polynômes
V.2
Bézout pour plusieurs polynômes
L'identité de Bézout s'étend à \(k\) polynômes : il existe toujours des coefficients \(U_1, \dots, U_k \in \mathbb{K}[X]\) écrivant le PGCD comme combinaison linéaire \(A_1 U_1 + \dots + A_k U_k = A_1 \wedge \dots \wedge A_k\). La preuve est une récurrence propre sur \(k\) exploitant la formule récursive de la sous-section précédente. Le corollaire sur la coprimalité « dans l'ensemble » en découle immédiatement et c'est la version pratique utilisée dans les preuves.
Proposition — Identité de Bézout pour \(k\) polynômes
Soit \(k \geq 2\) et \(A_1, \dots, A_k \in \mathbb{K}[X]\) non tous nuls. Il existe \(U_1, \dots, U_k \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ \textcolor{colorprop}{A_1 U_1 + A_2 U_2 + \dots + A_k U_k = A_1 \wedge A_2 \wedge \dots \wedge A_k.} $$ En particulier, \(A_1, \dots, A_k\) sont premiers entre eux dans leur ensemble (\(A_1 \wedge \dots \wedge A_k = 1\)) ssi il existe \(U_1, \dots, U_k\) avec \(A_1 U_1 + \dots + A_k U_k = 1\).
On commence par retirer les polynômes nuls de la famille : ils ne changent pas l'ensemble des diviseurs communs, ni le PGCD. Après réindexation, supposons tous les \(A_i\) non nuls. On procède alors par récurrence sur \(k \geq 2\).
Initialisation \(k = 2\). C'est l'identité de Bézout pour deux polynômes, démontrée plus haut.
Hérédité. Supposons le résultat vrai pour \(k\) polynômes. Soient \(A_1, \dots, A_{k+1}\) tous non nuls, et \(D = A_1 \wedge \dots \wedge A_{k+1}\). Par la formule récursive, \(D = D' \wedge A_{k+1}\) où \(D' = A_1 \wedge \dots \wedge A_k\) (bien défini car \(A_1 \neq 0\)). Le cas de base appliqué à \((D', A_{k+1})\) donne \(V, U_{k+1} \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ D' \cdot V + A_{k+1} \cdot U_{k+1} = D. $$ Par l'hypothèse de récurrence appliquée à \(A_1, \dots, A_k\), il existe \(V_1, \dots, V_k \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ A_1 V_1 + \dots + A_k V_k = D'. $$ En substituant : $$ A_1 (V V_1) + \dots + A_k (V V_k) + A_{k+1} U_{k+1} = D, $$ qui est l'identité voulue avec \(U_i = V V_i\) pour \(i \leq k\).
L'énoncé « en particulier » suit : si \(A_1 U_1 + \dots + A_k U_k = 1\), alors tout diviseur commun \(D'\) de \(A_1, \dots, A_k\) divise \(1\), donc \(D' \in \mathbb{K}^*\), donc \(A_1 \wedge \dots \wedge A_k = 1\). La réciproque est l'identité de Bézout ci-dessus avec \(D = 1\).
Initialisation \(k = 2\). C'est l'identité de Bézout pour deux polynômes, démontrée plus haut.
Hérédité. Supposons le résultat vrai pour \(k\) polynômes. Soient \(A_1, \dots, A_{k+1}\) tous non nuls, et \(D = A_1 \wedge \dots \wedge A_{k+1}\). Par la formule récursive, \(D = D' \wedge A_{k+1}\) où \(D' = A_1 \wedge \dots \wedge A_k\) (bien défini car \(A_1 \neq 0\)). Le cas de base appliqué à \((D', A_{k+1})\) donne \(V, U_{k+1} \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ D' \cdot V + A_{k+1} \cdot U_{k+1} = D. $$ Par l'hypothèse de récurrence appliquée à \(A_1, \dots, A_k\), il existe \(V_1, \dots, V_k \in \mathbb{K}[X]\) tels que $$ A_1 V_1 + \dots + A_k V_k = D'. $$ En substituant : $$ A_1 (V V_1) + \dots + A_k (V V_k) + A_{k+1} U_{k+1} = D, $$ qui est l'identité voulue avec \(U_i = V V_i\) pour \(i \leq k\).
L'énoncé « en particulier » suit : si \(A_1 U_1 + \dots + A_k U_k = 1\), alors tout diviseur commun \(D'\) de \(A_1, \dots, A_k\) divise \(1\), donc \(D' \in \mathbb{K}^*\), donc \(A_1 \wedge \dots \wedge A_k = 1\). La réciproque est l'identité de Bézout ci-dessus avec \(D = 1\).
Compétences à pratiquer
- Calculer une combinaison de Bézout pour trois polynômes
V.3
Premiers entre eux dans leur ensemble vs.~deux à deux
Pour \(k \geq 3\) polynômes, deux notions distinctes de coprimalité coexistent : « premiers entre eux dans leur ensemble » signifie que le PGCD de tous les polynômes ensemble vaut \(1\), tandis que « premiers entre eux deux à deux » signifie que chaque paire a un PGCD \(1\). La condition « deux à deux » est strictement plus forte ; la réciproque est fausse pour \(k \geq 3\), comme un petit contre-exemple concret le montre. Dans les applications, la notion requise (« dans l'ensemble » vs « deux à deux ») dépend du contexte — Bézout pour \(k\) utilise « dans l'ensemble », tandis que l'argument du théorème chinois nécessite « deux à deux ».
Définition — Premiers entre eux dans leur ensemble ; deux à deux
Soit \(k \geq 2\) et \(A_1, \dots, A_k \in \mathbb{K}[X]^*\). - Ils sont premiers entre eux dans leur ensemble si \(A_1 \wedge A_2 \wedge \dots \wedge A_k = 1\).
- Ils sont premiers entre eux deux à deux si \(A_i \wedge A_j = 1\) pour tout \(i \neq j\).
Proposition — Deux à deux \(\Rightarrow\) dans l'ensemble
Si \(A_1, \dots, A_k\) sont premiers deux à deux, ils sont premiers dans leur ensemble. La réciproque est fausse en général pour \(k \geq 3\).
On suppose les polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors \(A_1 \wedge A_2 = 1\), donc \(A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 = 1 \wedge A_3 = 1\) (le PGCD de \(1\) et de tout polynôme vaut \(1\)). Par récurrence triviale sur \(k\), \(A_1 \wedge \dots \wedge A_k = 1\).
La réciproque échoue pour \(k \geq 3\) — voir l'Exemple suivant pour un contre-exemple explicite.
La réciproque échoue pour \(k \geq 3\) — voir l'Exemple suivant pour un contre-exemple explicite.
Exemple — Premiers dans l'ensemble mais pas deux à deux
Prenons, dans \(\mathbb{R}[X]\), $$ A_1 = (X - 1)(X - 2), \quad A_2 = (X - 2)(X - 3), \quad A_3 = (X - 3)(X - 1). $$ Montrer que \(A_1, A_2, A_3\) sont premiers entre eux dans leur ensemble mais pas deux à deux.
PGCD par paires. Chaque paire ne partage qu'une seule des trois racines : $$ A_1 \wedge A_2 = X - 2, \qquad A_2 \wedge A_3 = X - 3, \qquad A_1 \wedge A_3 = X - 1. $$ Aucun de ces PGCD ne vaut \(1\), donc aucune paire n'est première entre elle : la coprimalité deux à deux échoue.
Premiers entre eux dans l'ensemble. Tout diviseur commun \(D\) des trois divise chaque PGCD par paires, donc $$ D \mid (X - 1), \qquad D \mid (X - 2), \qquad D \mid (X - 3). $$ Les polynômes \(X - 1\), \(X - 2\), \(X - 3\) n'ont aucun diviseur commun autre que les constantes, donc \(D \in \mathbb{R}^*\) et le PGCD unitaire vaut \(1\). Donc $$ A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 = 1. $$ Aucune paire n'est première entre elle, mais aucun facteur non constant ne divise les trois.
Premiers entre eux dans l'ensemble. Tout diviseur commun \(D\) des trois divise chaque PGCD par paires, donc $$ D \mid (X - 1), \qquad D \mid (X - 2), \qquad D \mid (X - 3). $$ Les polynômes \(X - 1\), \(X - 2\), \(X - 3\) n'ont aucun diviseur commun autre que les constantes, donc \(D \in \mathbb{R}^*\) et le PGCD unitaire vaut \(1\). Donc $$ A_1 \wedge A_2 \wedge A_3 = 1. $$ Aucune paire n'est première entre elle, mais aucun facteur non constant ne divise les trois.
Compétences à pratiquer
- Distinguer premiers entre eux dans l'ensemble et deux à deux
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de synthèse
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