Topologie d'un espace normé

L'ensemble \(\emptyset\) est ouvert : la condition « \(\forall x \in \emptyset, \dots\) » est vraie de manière vide. L'ensemble \(E\) est ouvert : pour tout \(x \in E\) et tout \(r > 0\), \(B(x,r) \subset E\).
Soit maintenant \(B(a,r)\) une boule ouverte et \(x \in B(a,r)\), donc \(\norme{x-a} < r\). Posons \(\rho = r - \norme{x-a} > 0\). Pour tout \(y \in B(x,\rho)\), $$ \begin{aligned} \norme{y-a} &\le \norme{y-x} + \norme{x-a} && \text{(inégalité triangulaire)}\\ &< \rho + \norme{x-a} && \text{(car \(y \in B(x,\rho)\))}\\ &= r && \text{(définition de \(\rho\)),} \end{aligned} $$ donc \(y \in B(a,r)\). Ainsi \(B(x,\rho) \subset B(a,r)\), et \(B(a,r)\) est un voisinage de \(x\). Comme \(x\) était quelconque, \(B(a,r)\) est ouverte.

Les complémentaires de \(\emptyset\) et \(E\) sont \(E\) et \(\emptyset\), tous deux ouverts, donc \(\emptyset\) et \(E\) sont fermés.
La boule fermée. Soit \(x \in B_f(a,r)^c\), donc \(\norme{x-a} > r\). Posons \(\rho = \norme{x-a} - r > 0\). Pour \(y \in B(x,\rho)\), l'inégalité triangulaire renversée donne \(\norme{y-a} \ge \norme{x-a} - \norme{y-x} > \norme{x-a} - \rho = r\), donc \(y \in B_f(a,r)^c\). Ainsi \(B(x,\rho) \subset B_f(a,r)^c\), le complémentaire est ouvert, et \(B_f(a,r)\) est fermée.
La sphère. Soit \(x \in S(a,r)^c\), donc \(\norme{x-a} \ne r\). Posons \(\rho = \bigl|\,\norme{x-a} - r\,\bigr| > 0\). Pour \(y \in B(x,\rho)\), l'inégalité triangulaire renversée donne \(\bigl|\,\norme{y-a} - \norme{x-a}\,\bigr| \le \norme{y-x} < \rho\). Si \(\norme{x-a} > r\) alors \(\norme{y-a} > \norme{x-a} - \rho = r\) ; si \(\norme{x-a} < r\) alors \(\norme{y-a} < \norme{x-a} + \rho = r\). Dans les deux cas \(\norme{y-a} \ne r\), donc \(B(x,\rho) \subset S(a,r)^c\) : la sphère est fermée. (C'est un argument direct — la stabilité du sous-section 1.3 n'est pas encore disponible.)
Enfin un singleton \(\{a\} = B_f(a,0)\) est la boule fermée de rayon \(0\), donc fermé.

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(A\) fermée. Soit \((a_n)\) une suite de \(A\) convergeant vers une limite \(x \in E\). Si \(x \notin A\), alors \(x \in A^c\), qui est ouvert, donc il existe \(r > 0\) tel que \(B(x,r) \subset A^c\). Comme \(a_n \to x\), il existe un rang \(N\) tel que \(\norme{a_n - x} < r\) pour \(n \ge N\) ; alors \(a_n \in B(x,r) \subset A^c\), ce qui contredit \(a_n \in A\). Donc \(x \in A\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons que toute suite convergente de \(A\) ait sa limite dans \(A\) ; montrons que \(A^c\) est ouvert. Par contraposition, supposons \(A^c\) non ouvert. Alors un point \(x \in A^c\) n'admet aucune boule \(B(x,r) \subset A^c\), c'est-à-dire \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\). Pour chaque \(n \ge 1\), choisissons \(a_n \in B(x,1/n) \cap A\). Alors \(\norme{a_n - x} < 1/n \to 0\), donc \((a_n)\) est une suite de \(A\) convergeant vers \(x\) ; par hypothèse \(x \in A\), ce qui contredit \(x \in A^c\). Donc \(A^c\) est ouvert et \(A\) est fermée.

• Réunion d'ouverts. Soit \((O_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts et \(x \in \bigcup_{i \in I} O_i\). Alors \(x\) appartient à un certain \(O_{i_0}\) ; comme \(O_{i_0}\) est ouvert, il existe \(r > 0\) avec \(B(x,r) \subset O_{i_0} \subset \bigcup_{i \in I} O_i\). Donc la réunion est ouverte.
• Intersection finie d'ouverts. Soit \(O_1, \dots, O_n\) des ouverts et \(x \in \bigcap_{i=1}^n O_i\). Pour chaque \(i\) il existe \(r_i > 0\) avec \(B(x,r_i) \subset O_i\). Posons \(r = \min(r_1, \dots, r_n) > 0\) — le minimum d'un nombre fini de réels strictement positifs est strictement positif. Alors \(B(x,r) \subset B(x,r_i) \subset O_i\) pour tout \(i\), donc \(B(x,r) \subset \bigcap_{i=1}^n O_i\), et l'intersection est ouverte. (L'intersection vide vaut \(E\) et la réunion vide vaut \(\emptyset\), toutes deux ouvertes : ces cas dégénérés sont donc également couverts.)
• Côté fermé. En passant aux complémentaires, \(\bigl(\bigcap_i F_i\bigr)^c = \bigcup_i F_i^{\,c}\) et \(\bigl(\bigcup_i F_i\bigr)^c = \bigcap_i F_i^{\,c}\). Si chaque \(F_i\) est fermé, chaque \(F_i^{\,c}\) est ouvert ; toute intersection des \(F_i\) a pour complémentaire une réunion d'ouverts, donc est fermée, et une réunion finie des \(F_i\) a pour complémentaire une intersection finie d'ouverts, donc est fermée.

Rappelons d'Espaces vectoriels normés que, \(N\) et \(N'\) étant équivalentes, il existe des réels \(\alpha > 0\) et \(\beta > 0\) tels que \(\alpha\, N(x) \le N'(x) \le \beta\, N(x)\) pour tout \(x \in E\). Notons \(B_N(x,r)\) et \(B_{N'}(x,r)\) les boules ouvertes des deux normes.

• Inclusion des boules. Pour tout \(x \in E\) et tout \(\delta > 0\), $$ \begin{aligned} y \in B_{N'}(x, \alpha\delta) &\implies N'(y-x) < \alpha\delta && \text{(définition de la boule \(N'\))}\\ &\implies \alpha\, N(y-x) \le N'(y-x) < \alpha\delta && \text{(inégalité gauche de l'équivalence)}\\ &\implies N(y-x) < \delta && \text{(division par \(\alpha > 0\))}, \end{aligned} $$ donc \(B_{N'}(x, \alpha\delta) \subset B_N(x, \delta)\).
• Un ouvert pour \(N\) est ouvert pour \(N'\). Soit \(U\) ouvert pour \(N\) et \(x \in U\). Il existe \(\delta > 0\) avec \(B_N(x,\delta) \subset U\), d'où \(B_{N'}(x, \alpha\delta) \subset B_N(x,\delta) \subset U\). Donc \(U\) est un voisinage de chacun de ses points pour \(N'\) : il est ouvert pour \(N'\).
• Réciproque et conclusion. La relation « \(N\) équivalente à \(N'\) » est symétrique, donc le même argument avec \(N\) et \(N'\) échangées montre qu'un ouvert pour \(N'\) est ouvert pour \(N\). Les deux normes ont ainsi exactement les mêmes ouverts ; en passant aux complémentaires, les mêmes fermés. Toute notion définie uniquement à partir des ouverts ou des fermés — voisinage, intérieur, adhérence, frontière — est donc la même pour \(N\) et pour \(N'\).

L'intérieur. Si \(x \in \mathring{A}\), une boule \(B(x,r) \subset A\). Tout \(y \in B(x,r)\) est alors un point intérieur de \(A\), car la boule ouverte \(B(x,r)\) est ouverte et contient donc une boule autour de \(y\) ; ainsi \(B(x,r) \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A}\) est ouvert. Chaque point intérieur de \(A\) appartient à \(A\), donc \(\mathring{A} \subset A\). Enfin, si \(O\) est un ouvert avec \(O \subset A\), alors tout \(x \in O\) porte une boule \(B(x,r) \subset O \subset A\), donc \(x \in \mathring{A}\) ; ainsi \(O \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A}\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A\).
L'adhérence. Établissons d'abord l'identité $$ \overline{A} = E \setminus \mathring{\,(A^c)\,}. $$ En effet, \(x \in \overline{A}\) signifie \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\), c'est-à-dire : aucune boule \(B(x,r)\) n'est incluse dans \(A^c\), ce qui est exactement \(x \notin \mathring{\,(A^c)\,}\). Comme \(\mathring{\,(A^c)\,}\) est ouvert, \(\overline{A}\) est fermé ; et \(A \subset \overline{A}\), car un point de \(A\) est adhérent à \(A\) (toute boule autour de lui contient le point lui-même). Pour le caractère « plus petit », soit \(F\) un fermé avec \(A \subset F\). Alors \(F^c\) est ouvert et \(F^c \subset A^c\), donc \(F^c \subset \mathring{\,(A^c)\,}\) par la partie sur l'intérieur ; en passant aux complémentaires, \(\overline{A} = E \setminus \mathring{\,(A^c)\,} \subset E \setminus F^c = F\). Donc \(\overline{A}\) est le plus petit fermé contenant \(A\).
Les deux équivalences en découlent : \(A\) ouverte \(\Rightarrow\) \(A\) est un ouvert inclus dans \(A\), donc \(A \subset \mathring{A}\), et \(\mathring{A} \subset A\) toujours, d'où \(A = \mathring{A}\) ; réciproquement \(A = \mathring{A}\) est ouvert. De même \(A\) fermée \(\iff A = \overline{A}\).

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(x \in \overline{A}\). Pour chaque \(n \ge 1\), la boule \(B(x,1/n)\) rencontre \(A\), on peut donc choisir \(a_n \in B(x,1/n) \cap A\). Alors \(\norme{a_n - x} < 1/n \to 0\), donc la suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) converge vers \(x\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons que \((a_n)\) soit une suite de \(A\) avec \(a_n \to x\). Soit \(r > 0\). Il existe un rang \(N\) avec \(\norme{a_N - x} < r\), donc \(a_N \in B(x,r) \cap A\) ; ainsi \(B(x,r) \cap A \ne \emptyset\). Comme \(r\) était quelconque, \(x \in \overline{A}\).

Écrivons \(\mathrm{Fr}(A) = \overline{A} \setminus \mathring{A} = \overline{A} \cap \bigl(\mathring{A}\bigr)^c\). Or \(\overline{A}\) est fermé et \(\mathring{A}\) est ouvert, donc \(\bigl(\mathring{A}\bigr)^c\) est fermé ; la frontière est une intersection de deux fermés, donc un fermé par la proposition de stabilité du sous-section 1.3.
Pour l'égalité \(\mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Fr}(A^c)\), appliquons l'identité \(\overline{A} = E \setminus \mathring{\,(A^c)\,}\) du sous-section 2.1, à \(A\) et à \(A^c\) : elle donne \(\overline{A^c} = E \setminus \mathring{A}\) et \(\mathring{\,(A^c)\,} = E \setminus \overline{A}\) — passer à \(A^c\) échange intérieur et adhérence. Donc $$ \begin{aligned} \mathrm{Fr}(A^c) = \overline{A^c} \setminus \mathring{\,(A^c)\,} &= \bigl(E \setminus \mathring{A}\bigr) \setminus \bigl(E \setminus \overline{A}\bigr) && \text{(les deux identités ci-dessus)}\\ &= \overline{A} \setminus \mathring{A} = \mathrm{Fr}(A). \end{aligned} $$ Pour la partition, rappelons \(\mathring{A} \subset \overline{A}\). Les trois parties sont deux à deux disjointes : \(\mathring{A} \cap \mathrm{Fr}(A) = \emptyset\) puisque \(\mathrm{Fr}(A) = \overline{A} \setminus \mathring{A}\) ; et \(\mathring{A}\) et \(\mathrm{Fr}(A)\) sont toutes deux incluses dans \(\overline{A}\), donc disjointes de \(E \setminus \overline{A}\). Leur réunion est \(\bigl(\mathring{A} \cup \mathrm{Fr}(A)\bigr) \cup (E \setminus \overline{A}) = \overline{A} \cup (E \setminus \overline{A}) = E\), en utilisant \(\mathring{A} \cup \mathrm{Fr}(A) = \overline{A}\) (de nouveau parce que \(\mathring{A} \subset \overline{A}\)).

Chaque énoncé dit « tout point de \(A\) est adhérent à \(D\) », décliné de trois façons. En effet \(A \subset \overline{D}\) signifie précisément que tout \(a \in A\) appartient à \(\overline{D}\). Par la définition même de l'adhérence, \(a \in \overline{D}\) équivaut à \(B(a,r) \cap D \ne \emptyset\) pour tout \(r > 0\) — c'est le deuxième énoncé, quantifié sur \(a \in A\). Par la caractérisation séquentielle des points adhérents (sous-section 2.1), \(a \in \overline{D}\) équivaut aussi à ce que \(a\) soit limite d'une suite de \(D\) — c'est le troisième énoncé, quantifié sur \(a \in A\). Les trois énoncés sont donc équivalents.

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(V = A \cap W\) avec \(W\) un voisinage de \(a\) dans \(E\). Il existe \(r > 0\) avec \(B(a,r) \subset W\), donc \(A \cap B(a,r) \subset A \cap W = V\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons \(A \cap B(a,r) \subset V\) pour un certain \(r > 0\). Posons \(W = V \cup B(a,r)\). Alors \(W\) contient \(B(a,r)\), donc \(W\) est un voisinage de \(a\) dans \(E\), et $$ A \cap W = (A \cap V) \cup \bigl(A \cap B(a,r)\bigr) = V \cup \bigl(A \cap B(a,r)\bigr) = V, $$ en utilisant \(V \subset A\) (donc \(A \cap V = V\)) et \(A \cap B(a,r) \subset V\). Ainsi \(V = A \cap W\) est un voisinage relatif de \(a\) dans \(A\).

Ouverts relatifs.

• \((\Rightarrow)\) Supposons \(U = A \cap O\) avec \(O\) ouvert dans \(E\). Pour \(x \in U\), \(x \in O\), donc il existe \(r > 0\) avec \(B(x,r) \subset O\), d'où \(A \cap B(x,r) \subset A \cap O = U\).
• \((\Leftarrow)\) Supposons donné, pour chaque \(x \in U\), un rayon \(r_x > 0\) avec \(A \cap B(x,r_x) \subset U\). Posons \(O = \bigcup_{x \in U} B(x,r_x)\), une réunion de boules ouvertes, donc un ouvert de \(E\) par le sous-section 1.3. Alors \(A \cap O = \bigcup_{x \in U}\bigl(A \cap B(x,r_x)\bigr) \subset U\) ; réciproquement chaque \(x \in U\) appartient à \(B(x,r_x) \subset O\) et à \(A\), donc \(x \in A \cap O\). Ainsi \(U = A \cap O\) est un ouvert relatif.

Fermés relatifs. Si \(F = A \cap C\) avec \(C\) fermé dans \(E\), alors \(A \setminus F = A \cap C^c\) avec \(C^c\) ouvert, donc \(A \setminus F\) est un ouvert relatif. Réciproquement, si \(A \setminus F = A \cap O\) avec \(O\) ouvert, alors \(F = A \setminus (A \cap O) = A \cap O^c\) avec \(O^c\) fermé, donc \(F\) est un fermé relatif.