Éducation Nationale Française · MP2I
Déterminants
Le déterminant est le scalaire canonique attaché à une famille de \(n\) vecteurs dans une base choisie, obtenu comme l'unique forme \(n\)-linéaire alternée valant \(1\) sur cette base. Concrètement, \(\det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n) \ne 0\) si et seulement si \((x_1, \dots, x_n)\) est une base. Dans \(\mathbb{R}^2\), ce scalaire est l'aire orientée du parallélogramme engendré par \((x_1, x_2)\) ; dans \(\mathbb{R}^3\), c'est le volume orienté du parallélépipède engendré par \((x_1, x_2, x_3)\). Trois avatars du même objet apparaîtront ici : \(\det_\mathcal{B}\) pour une famille de vecteurs dans une base \(\mathcal{B}\), \(\det(u)\) pour un endomorphisme \(u \in \mathcal{L}(E)\), et \(\det(A)\) pour une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Ces trois avatars sont liés par le pont \(\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))\), et reposent tous sur un fait fondamental : l'espace des formes \(n\)-linéaires alternées sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) est une droite. Le chapitre se construit en six mouvements : une étude algébrique des formes multilinéaires alternées, ouverte par une motivation géométrique en termes d'aire orientée et de volume orienté ; le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base ; le déterminant d'un endomorphisme ; le déterminant d'une matrice carrée ; les techniques de calcul (pivot, développement par rapport à une ligne ou une colonne, Vandermonde) ; et enfin la comatrice et la formule d'inversion. Convention. Tous les énoncés algébriques valent sur un corps quelconque \(\mathbb{K}\) ; l'interprétation géométrique (aire orientée, volume orienté, orientation) est spécifique à \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\). Nous signalerons ces spécialisations explicitement à chaque fois qu'elles apparaissent. Tout au long, \(E\) désigne un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie avec \(\dim E = n \ge 1\), \(\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)\) est une base de \(E\), et \(\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)\) désigne une famille de \(n\) vecteurs de \(E\). La signature \(\varepsilon \colon \mathfrak{S}_n \to \{-1, +1\}\) et la convention de composition \(\sigma \tau = \sigma \circ \tau\) sont rappelées du chapitre Groupe symétrique. On note \(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\) la matrice dont la \(j\)-ème colonne est formée des coordonnées de \(x_j\) dans \(\mathcal{B}\). Les symboles \(\det_\mathcal{B}\), \(\det(u)\), et \(\det(A)\) sont trois usages surchargés de la même notation ; l'argument lève l'ambiguïté.
I
Formes multilinéaires alternées
Motivation géométrique : aires et volumes orientés
Définir rigoureusement l'aire d'une surface quelconque ou le volume d'un solide quelconque est difficile, mais pour les parallélogrammes du plan et les parallélépipèdes de l'espace le problème devient algébrique dès qu'une unité de référence est fixée. Prenons donc, comme brique élémentaire de notre investigation, la donnée d'une « unité d'aire orientée » dans le plan et d'une « unité de volume orienté » dans l'espace :
- Dans le plan, une unité d'aire orientée n'est jamais qu'un parallélogramme sur une base directe \(\mathcal{B} = (e_1, e_2)\).
- Dans l'espace, une unité de volume orienté est un parallélépipède sur une base directe \(\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)\).
- Homogénéité : multiplier une arête par \(2\) multiplie l'aire orientée par \(2\).
$$ \textcolor{colorprop}{\det_\mathcal{B}(2u, v)} = 2 \textcolor{colordef}{\det_\mathcal{B}(u, v)}. $$ - Additivité : décomposer une arête en \(u + u'\) décompose l'aire orientée de la même manière.
$$ \det_\mathcal{B}(u + u', v) = \textcolor{colordef}{\det_\mathcal{B}(u, v)} + \textcolor{colorprop}{\det_\mathcal{B}(u', v)}. $$
- Caractérisation des bases. \((u, v)\) est une base du plan \(\iff \det_\mathcal{B}(u, v) \ne 0\). De même dans l'espace : \((u, v, w)\) est une base de l'espace \(\iff \det_\mathcal{B}(u, v, w) \ne 0\). Autrement dit, la colinéarité de deux vecteurs du plan est caractérisée par le caractère aplati du parallélogramme qu'ils engendrent. Même principe dans l'espace.
- Antisymétrie. \(\det_\mathcal{B}\) change de signe à chaque permutation de deux vecteurs. En particulier, \(\det_\mathcal{B}(u, u) = 0\) dans le plan et \(\det_\mathcal{B}(u, v, w) = 0\) dans l'espace dès que deux des trois vecteurs \(u, v, w\) sont égaux. On dit que \(\det_\mathcal{B}\) est alternée.
- Multilinéarité. \(\det_\mathcal{B}\) est linéaire par rapport à chacune de ses variables. C'est le nom formel des deux règles suggérées par les deux figures ci-dessus : multiplier une entrée par \(\lambda\) multiplie le résultat par \(\lambda\), et scinder une entrée en \(u + u'\) scinde le résultat en conséquence.
- Caractérisation de l'orientation. \((u, v)\) est une base directe du plan \(\iff \det_\mathcal{B}(u, v) > 0\). De même dans l'espace : \((u, v, w)\) est une base directe de l'espace \(\iff \det_\mathcal{B}(u, v, w) > 0\).
I.1
Formes multilinéaires et alternées
On abstrait maintenant l'image géométrique : « multilinéaire » et « alternée » deviendront les propriétés algébriques fondatrices, et le lien géométrique sera rétabli plus loin dans ce chapitre lorsqu'on prouvera qu'il existe une unique telle forme prenant la valeur \(1\) sur une base choisie.
Définition — Application multilinéaire
Soient \(E_1, \dots, E_n, F\) des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. Une application \(f \colon E_1 \times \dots \times E_n \to F\) est dite \(n\)-linéaire si, pour tout \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\) et tout \((x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n)\) fixé, l'application partielle $$ x \longmapsto f(x_1, \dots, x_{k-1}, x, x_{k+1}, \dots, x_n) $$ est linéaire de \(E_k\) dans \(F\). Dans le cas \(E_1 = \dots = E_n = E\) et \(F = \mathbb{K}\), on dit que \(f\) est une forme \(n\)-linéaire sur \(E\). Les cas \(n = 2\) et \(n = 3\) sont qualifiés de bilinéaire et trilinéaire. Exemple
Le produit scalaire usuel \(((x_1, x_2), (y_1, y_2)) \mapsto x_1 y_1 + x_2 y_2\) est une forme bilinéaire sur \(\mathbb{R}^2\). L'application \((\lambda, x) \mapsto \lambda x\) est bilinéaire de \(\mathbb{K} \times E\) dans \(E\). Le produit matriciel \((A, B) \mapsto AB\) est bilinéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). La composition \((u, v) \mapsto u \circ v\) est bilinéaire de \(\mathcal{L}(E) \times \mathcal{L}(E)\) dans \(\mathcal{L}(E)\). Définition — Forme \(n\)-linéaire alternée
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une forme \(n\)-linéaire \(f\) sur \(E\) est dite alternée si elle s'annule sur toute famille de \(n\) vecteurs de \(E\) dont au moins deux arguments sont égaux : pour tout \((x_1, \dots, x_n) \in E^n\) et tout \(i \ne j\) avec \(x_i = x_j\), $$ f(x_1, \dots, x_n) = 0. $$ Exemple
L'application \(f \colon (\mathbb{R}^2)^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(f((u_1, u_2), (v_1, v_2)) = u_1 v_2 - u_2 v_1\) est une forme \(2\)-linéaire alternée sur \(\mathbb{R}^2\). En effet, \(f\) est bilinéaire par inspection directe, et \(f(u, u) = u_1 u_2 - u_2 u_1 = 0\). Numériquement, \(f((2, 1), (1, 3)) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5\) et \(f((1, 3), (2, 1)) = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -5\) — antisymétrique, comme le Théorème suivant le prévoit. Compétences à pratiquer
- Reconnaître formes multilinéaires et alternées, utiliser leurs conséquences de base
I.2
Propriétés et effet d'une permutation
Trois propriétés découlent immédiatement de « \(n\)-linéaire alternée » et structurent tout le chapitre : une telle forme s'annule sur toute famille liée, elle est invariante par l'opération « remplacer une variable par elle-même plus une combinaison linéaire des autres » (moteur algébrique du pivot de Gauss), et elle est antisymétrique — échanger deux arguments multiplie la valeur par \(-1\). Un quatrième Théorème, l'« effet d'une permutation », généralise l'antisymétrie à toute \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) et constitue le lemme technique clé pour la formule explicite établie à la section suivante.
Théorème — Propriétés des formes \(n\)-linéaires alternées
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel et \(f\) une forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E\). Alors : - (i) Annulation sur les familles liées. Pour toute famille liée \((x_1, \dots, x_n)\) de \(E\), \(f(x_1, \dots, x_n) = 0\).
- (ii) Invariance par combinaison linéaire. Pour tout \((x_1, \dots, x_n) \in E^n\), tout \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\) et tout \((\lambda_i)_{i \ne k}\) dans \(\mathbb{K}\), $$ f\big(\dots, x_k + \sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) = f(x_1, \dots, x_n). $$
- (iii) Antisymétrie. Pour tout \((x_1, \dots, x_n) \in E^n\) et tout \(i \ne j\), $$ f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) = - f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots), $$ où à gauche \(x_i\) et \(x_j\) ont été échangés dans les emplacements \(i\) et \(j\).
Les trois propriétés partagent un moteur commun : linéariser puis exploiter le caractère alterné pour tuer les termes contenant un argument répété.
- (i) Annulation sur les familles liées. La famille \((x_1, \dots, x_n)\) étant liée, un certain \(x_k\) s'écrit \(x_k = \sum_{i \ne k} \lambda_i x_i\). Par \(n\)-linéarité dans la \(k\)-ème variable, $$ \begin{aligned} f(x_1, \dots, x_n) &= f\big(\dots, \textstyle\sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) && \text{(substitution)} \\ &= \sum_{i \ne k} \lambda_i \, f(\dots, x_i, \dots) && \text{(linéarité dans la variable \(k\))} \\ &= 0 && \text{(chaque terme a \(x_i\) dans les variables \(i\) et \(k\), alterné).} \end{aligned} $$
- (ii) Invariance par combinaison linéaire. On développe par \(n\)-linéarité dans la \(k\)-ème variable : $$ \begin{aligned} f\big(\dots, x_k + \textstyle\sum_{i \ne k} \lambda_i x_i, \dots\big) &= f(\dots, x_k, \dots) + \sum_{i \ne k} \lambda_i \, f(\dots, x_i, \dots) && \text{(linéarité dans la variable \(k\))} \\ &= f(\dots, x_k, \dots) && \text{(chaque terme a \(x_i\) en double).} \end{aligned} $$
- (iii) Antisymétrie. Fixons \(i < j\) et les autres variables. Appliquons le caractère alterné à la famille obtenue en remplaçant les deux entrées des variables \(i\) et \(j\) par \(x_i + x_j\) : $$ \begin{aligned} 0 &= f(\dots, x_i + x_j, \dots, x_i + x_j, \dots) && \text{(alterné : arguments égaux)} \\ &= f(\dots, x_i, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) \\ &\quad + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_j, \dots) && \text{(bilinéarité dans les variables \(i, j\))} \\ &= 0 + f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) + f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) + 0 && \text{(alterné sur les deux termes à paire égale).} \end{aligned} $$ On isole : \(f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) = - f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots)\).
Théorème — Effet d'une permutation
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, \(f\) une forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E\), et \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\). Pour tout \((x_1, \dots, x_n) \in E^n\), $$ \textcolor{colorprop}{ f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) \, f(x_1, \dots, x_n). } $$
Le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\) est engendré par les transpositions (chapitre Groupe symétrique) : on écrit \(\sigma = \tau_1 \cdots \tau_p\) pour certaines transpositions \(\tau_1, \dots, \tau_p\). Par antisymétrie (Théorème ci-dessus, (iii)), appliquer une transposition aux arguments de \(f\) multiplie \(f\) par \(-1\). Appliquer \(p\) transpositions successives multiplie \(f\) par \((-1)^p\). Or \((-1)^p = \varepsilon(\sigma)\) par définition de la signature (qui mesure la parité de toute décomposition en transpositions, cf. Groupe symétrique). D'où $$ f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = (-1)^p f(x_1, \dots, x_n) = \varepsilon(\sigma) f(x_1, \dots, x_n). $$
Exemple
Prenons \(n = 3\) et la forme alternée \(\det\) sur \(\mathbb{R}^3\). La permutation cyclique \(\sigma = (1\ 2\ 3)\) a signature \(+1\) (c'est un \(3\)-cycle, signature \((-1)^{3-1} = 1\)), donc \(\det(v, w, u) = \det(u, v, w)\). La transposition \(\tau = (1\ 2)\) a signature \(-1\), donc \(\det(v, u, w) = -\det(u, v, w)\). Compétences à pratiquer
- Appliquer la formule de l'effet d'une permutation
II
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base
On établit maintenant le fait technique central du chapitre : en dimension \(n\), après fixation d'une base \(\mathcal{B}\), il existe une unique forme \(n\)-linéaire alternée \(f\) sur \(E^n\) vérifiant \(f(\mathcal{B}) = 1\). Cette forme unique est le déterminant dans la base \(\mathcal{B}\), noté \(\det_\mathcal{B}\). Sa valeur sur une famille \(\mathcal{X}\) admet une formule explicite faisant intervenir le groupe symétrique. Comme corollaire, l'espace des formes \(n\)-linéaires alternées sur \(E^n\) est de dimension \(1\) — c'est la droite engendrée par \(\det_\mathcal{B}\). De cette unidimensionnalité découle le reste du chapitre : caractérisation des bases par \(\det \ne 0\), déterminant intrinsèque d'un endomorphisme, déterminant d'une matrice carrée.
II.1
Définition et formule explicite
On admet l'existence de \(\det_\mathcal{B}\) sans démonstration à ce niveau (la démonstration de l'existence n'est pas exigible). Cependant, une fois l'existence admise (de manière abstraite), la formule des coordonnées est une dérivation par \(n\)-linéarité et le Théorème de l'effet d'une permutation établi plus haut ; l'unidimensionnalité de l'espace des formes \(n\)-linéaires alternées est la même dérivation rejouée pour un \(f\) général ; et l'unicité de \(\det_\mathcal{B}\) est un corollaire immédiat. Ces trois dérivations sont exigibles et constituent le pivot du chapitre. Un seul \(\det_\mathcal{B}\) tout du long : les points 2–4 du Théorème ci-dessous établissent des propriétés de la même forme dont l'existence est admise au point 1 — il n'y a pas de deuxième objet à suivre.
Théorème — Déterminant dans une base
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n \ge 1\) et \(\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)\) une base de \(E\). - (1) Existence (admise). Il existe une forme \(n\)-linéaire alternée \(\det_\mathcal{B} \colon E^n \to \mathbb{K}\) telle que \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1\).
- (2) Formule des coordonnées. Pour toute famille \(\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n) \in E^n\) de matrice \(A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = (a_{ij})\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i), i}. } $$
- (3) Unidimensionnalité. Toute forme \(n\)-linéaire alternée \(f\) sur \(E^n\) est un multiple scalaire de \(\det_\mathcal{B}\) : \(f = f(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}\).
- (4) Unicité. La forme \(\det_\mathcal{B}\) est l'unique forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E^n\) vérifiant \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = 1\).
On admet (1) ; on prouve (2), (3), (4) en chaîne.
- Démonstration de (2) — formule des coordonnées. Chaque \(x_j\) s'écrit \(x_j = \sum_{k=1}^{n} a_{k, j} e_k\) dans la base \(\mathcal{B}\). On développe \(\det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n)\) par \(n\)-linéarité, variable par variable : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n) &= \det_\mathcal{B}\Big(\sum_{k_1} a_{k_1, 1} e_{k_1}, \dots, \sum_{k_n} a_{k_n, n} e_{k_n}\Big) && \text{(décomposition dans \(\mathcal{B}\))} \\ &= \sum_{(k_1, \dots, k_n) \in \llbracket 1, n \rrbracket^n} a_{k_1, 1} \cdots a_{k_n, n} \, \det_\mathcal{B}(e_{k_1}, \dots, e_{k_n}) && \text{(\(n\)-linéarité).} \end{aligned} $$ Parmi les \(n^n\) tuples, ceux qui présentent un indice répété (\(k_i = k_j\) pour \(i \ne j\)) contribuent \(0\) car \(\det_\mathcal{B}\) est alternée. Les tuples survivants sont les permutations de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), notées \(k_i = \sigma(i)\) avec \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\). Par le Théorème d'effet d'une permutation, $$ \det_\mathcal{B}(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) \det_\mathcal{B}(e_1, \dots, e_n) = \varepsilon(\sigma) \cdot 1 = \varepsilon(\sigma). $$ En reportant, $$ \det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \cdot \varepsilon(\sigma) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i), i}. $$
- Démonstration de (3) — unidimensionnalité. On rejoue la même expansion avec une forme \(n\)-linéaire alternée générale \(f\) à la place de \(\det_\mathcal{B}\) : $$ \begin{aligned} f(x_1, \dots, x_n) &= \sum_{(k_1, \dots, k_n)} a_{k_1, 1} \cdots a_{k_n, n} \, f(e_{k_1}, \dots, e_{k_n}) && \text{(\(n\)-linéarité)} \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n} \, f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) && \text{(l'alterné tue les tuples répétés)} \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_i a_{\sigma(i), i} \cdot f(\mathcal{B}) && \text{(effet d'une permutation sur \(f\))} \\ &= f(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n) && \text{(formule des coordonnées (2)).} \end{aligned} $$ D'où \(f = f(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}\) comme formes.
- Démonstration de (4) — unicité. Supposons que \(g\) est une autre forme \(n\)-linéaire alternée sur \(E^n\) avec \(g(\mathcal{B}) = 1\). Par (3), \(g = g(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B} = 1 \cdot \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}\).
Proposition — Règle de Sarrus en dimensions \(2\) et \(3\)
Soit \(\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)\) une base de \(E\). - Si \(\dim E = 2\). Pour \(x, y \in E\) de coordonnées \((x_1, x_2)\) et \((y_1, y_2)\) dans \(\mathcal{B}\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(x, y) = x_1 y_2 - x_2 y_1. } $$
- Si \(\dim E = 3\). Pour \(x, y, z \in E\) de coordonnées \((x_1, x_2, x_3)\), \((y_1, y_2, y_3)\), \((z_1, z_2, z_3)\) dans \(\mathcal{B}\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(x, y, z) = \underbrace{x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2}_{\text{diagonales descendantes}} - \underbrace{x_3 y_2 z_1 + x_2 y_1 z_3 + x_1 y_3 z_2}_{\text{diagonales montantes}}. } $$
On applique la formule des coordonnées et on énumère le groupe symétrique dans chaque cas.
- Dimension \(2\). \(\mathfrak{S}_2 = \{\mathrm{Id}, \tau\}\) où \(\tau = (1\ 2)\). Signatures : \(\varepsilon(\mathrm{Id}) = 1\), \(\varepsilon(\tau) = -1\). D'où $$ \det_\mathcal{B}(x, y) = \varepsilon(\mathrm{Id}) \, x_{1} y_{2} + \varepsilon(\tau) \, x_{2} y_{1} = x_1 y_2 - x_2 y_1. $$
- Dimension \(3\). On énumère \(\mathfrak{S}_3\) avec les colonnes de \(A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(x, y, z)\) valant \((x_1, x_2, x_3)^T\), \((y_1, y_2, y_3)^T\), \((z_1, z_2, z_3)^T\). La formule explicite donne \(\det_\mathcal{B}(x, y, z) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon(\sigma) \, a_{\sigma(1), 1} a_{\sigma(2), 2} a_{\sigma(3), 3}\), où \(a_{i, 1} = x_i\), \(a_{i, 2} = y_i\), \(a_{i, 3} = z_i\). Les six permutations contribuent : $$ \begin{aligned} \sigma &= \mathrm{Id} = (1, 2, 3), & \varepsilon(\sigma) &= +1, & \text{terme} &= +x_1 y_2 z_3, \\ \sigma &= (1\ 2\ 3) = (2, 3, 1), & \varepsilon(\sigma) &= +1, & \text{terme} &= +x_2 y_3 z_1, \\ \sigma &= (1\ 3\ 2) = (3, 1, 2), & \varepsilon(\sigma) &= +1, & \text{terme} &= +x_3 y_1 z_2, \\ \sigma &= (2\ 3) = (1, 3, 2), & \varepsilon(\sigma) &= -1, & \text{terme} &= -x_1 y_3 z_2, \\ \sigma &= (1\ 2) = (2, 1, 3), & \varepsilon(\sigma) &= -1, & \text{terme} &= -x_2 y_1 z_3, \\ \sigma &= (1\ 3) = (3, 2, 1), & \varepsilon(\sigma) &= -1, & \text{terme} &= -x_3 y_2 z_1. \end{aligned} $$ Les trois permutations paires (\(\mathrm{Id}\) et les deux \(3\)-cycles, un \(3\)-cycle étant pair) ont signature \(+1\), les trois transpositions ont signature \(-1\). En sommant, $$ \det_\mathcal{B}(x, y, z) = x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1 - x_2 y_1 z_3 - x_1 y_3 z_2, $$ qui correspond au partage diagonales descendantes / diagonales montantes annoncé dans le Théorème.
Exemple
Calculer \(\det_\mathcal{B}\big((2, 1), (1, 3)\big)\) et \(\det_\mathcal{B}\big((1, 0, 2), (0, 3, -1), (4, 2, 1)\big)\) dans les bases canoniques de \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\).
$$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((2, 1), (1, 3)\big) &= 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 && \text{(Sarrus en dim \(2\))} \\
&= 5. \end{aligned} $$ Pour le Sarrus \(3 \times 3\) : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((1, 0, 2), (0, 3, -1), (4, 2, 1)\big) &= 1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 0 \cdot 2 && \text{(diagonales descendantes)} \\
&\quad - 2 \cdot 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \cdot 2 && \text{(diagonales montantes)} \\
&= 3 + 0 + 0 - 24 - 0 + 2 \\
&= -19. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer via la formule explicite (Sarrus et au-delà)
II.2
Caractérisation des bases et formule de changement de base
Deux conséquences du Théorème d'unidimensionnalité promeuvent \(\det_\mathcal{B}\) du statut de curiosité algébrique à celui de détecteur de base : une famille de \(n\) vecteurs est une base si et seulement si son déterminant est non nul, et changer de base multiplie tous les déterminants par un seul scalaire — le déterminant de la nouvelle base dans l'ancienne.
Proposition — Caractérisation des bases
Pour \(E\) de dimension \(n\), \(\mathcal{B}\) une base de \(E\), et \(\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\), $$ \textcolor{colorprop}{ \mathcal{X} \text{ est une base de } E \iff \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) \ne 0. } $$ - \((\Leftarrow)\) Contraposée. Si \(\mathcal{X}\) n'est pas une base, alors — dans un espace vectoriel de dimension \(n\) — une famille de \(n\) vecteurs n'est pas une base si et seulement si elle est liée. Donc \(\mathcal{X}\) est liée, et par le Théorème des propriétés (i) de la section précédente, \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 0\).
- \((\Rightarrow)\) Direct. Supposons \(\mathcal{X}\) base. Alors par Existence (admise, point (1) de la Définition-Théorème ci-dessus), la forme \(\det_\mathcal{X}\) existe ; elle est \(n\)-linéaire alternée, donc par unidimensionnalité (point (3) du même Théorème) c'est un multiple de \(\det_\mathcal{B}\) : il existe \(c \in \mathbb{K}\) tel que \(\det_\mathcal{X} = c \cdot \det_\mathcal{B}\). En évaluant en \(\mathcal{X}\) : $$ 1 = \det_\mathcal{X}(\mathcal{X}) = c \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}). $$ L'équation \(c \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 1\) force \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) \ne 0\).
Proposition — Formule de changement de base
Pour \(\mathcal{B}, \mathcal{B}'\) deux bases de \(E\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'} \qquad \text{et en particulier} \qquad \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) = 1. } $$
La forme \(\det_\mathcal{B}\) est \(n\)-linéaire alternée, donc par le Théorème d'unidimensionnalité ci-dessus c'est un multiple scalaire de \(\det_{\mathcal{B}'}\) : \(\det_\mathcal{B} = c \cdot \det_{\mathcal{B}'}\) pour un certain \(c \in \mathbb{K}\). On évalue en \(\mathcal{B}'\) : $$ \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') = c \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}') = c \cdot 1 = c. $$ D'où \(\det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}\). En échangeant les rôles de \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) on obtient l'identité symétrique \(\det_{\mathcal{B}'} = \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}\) comme formes. En substituant la seconde identité dans la première, $$ \det_\mathcal{B} = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) \cdot \det_\mathcal{B}. $$ Comme \(\det_\mathcal{B}\) n'est pas la forme nulle (elle vaut \(1\) en \(\mathcal{B}\)), le facteur scalaire doit valoir \(1\) : \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}) = 1\).
Méthode — Calculer le déterminant d'une famille dans une base
Deux voies sont disponibles : - Direct via la formule explicite. Pour \(n \le 3\), la règle de Sarrus s'applique : \(n = 2\) donne l'expression à deux termes \(x_1 y_2 - x_2 y_1\), \(n = 3\) donne l'expression à six termes. Pour \(n \ge 4\), la formule explicite a \(n! \ge 24\) termes — impraticable à la main.
- Via la matrice. Former \(A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\) et se ramener à \(\det(A)\), calculé par les techniques matricielles développées plus bas (méthode du pivot, développement par cofacteurs, déterminant triangulaire). C'est l'outil pratique de tous les jours.
Compétences à pratiquer
- Caractériser les bases et changer de base
III
Déterminant d'un endomorphisme
Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\) et une base \(\mathcal{B}\), le scalaire \(\det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\) mesure la manière dont \(u\) dilate les volumes orientés construits sur \(\mathcal{B}\). Remarquablement, ce scalaire ne dépend pas de la base \(\mathcal{B}\) choisie : c'est un invariant intrinsèque de \(u\), noté \(\det(u)\). On le démontre intrinsèquement, en utilisant uniquement l'unidimensionnalité et le changement de base établis plus haut dans ce chapitre — sans invoquer les matrices, qui n'apparaîtront qu'à la section suivante. De cette Définition intrinsèque découlent la multiplicativité (\(\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)\)), la caractérisation des automorphismes (\(u\) bijective si et seulement si \(\det(u) \ne 0\)), et l'identité scalaire \(\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)\).
III.1
Définition intrinsèque et indépendance de la base
On part du scalaire produit par un endomorphisme \(u\) dans une base fixée \(\mathcal{B}\), à savoir \(\det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\), et on montre que le même scalaire apparaît quelle que soit la base choisie. Ceci justifie la notation \(\det(u)\), invariant intrinsèque de \(u\).
Proposition — Effet d'un endomorphisme sur une famille
Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(\mathcal{B}\) une base de \(E\), il existe un unique scalaire \(\lambda_\mathcal{B}(u) \in \mathbb{K}\) tel que, pour toute famille \(\mathcal{X} = (x_1, \dots, x_n)\) de \(n\) vecteurs de \(E\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}\big(u(x_1), \dots, u(x_n)\big) = \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(x_1, \dots, x_n). } $$ De plus, \(\lambda_\mathcal{B}(u) = \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\).
On définit \(\varphi \colon E^n \to \mathbb{K}\) par \(\varphi(x_1, \dots, x_n) = \det_\mathcal{B}(u(x_1), \dots, u(x_n))\).
- \(\varphi\) est \(n\)-linéaire. Pour tout \(k\), \(u\) étant linéaire, l'application partielle \(x \mapsto u(x)\) est linéaire dans la variable \(k\) ; en composant avec \(\det_\mathcal{B}\) (\(n\)-linéaire), la partielle de la variable \(k\) reste linéaire.
- \(\varphi\) est alternée. Si \(x_i = x_j\) pour \(i \ne j\), alors \(u(x_i) = u(x_j)\), et \(\det_\mathcal{B}\) s'annule sur une famille à deux arguments égaux.
Théorème — Déterminant d'un endomorphisme
Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\), le scalaire \(\lambda_\mathcal{B}(u)\) de la Proposition précédente ne dépend pas de la base \(\mathcal{B}\). Ce scalaire est appelé déterminant de \(u\) et noté \(\det(u)\). Pour toute base \(\mathcal{B}\) et toute famille \(\mathcal{X} \in E^n\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{X})\big) = \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}). } $$
Soient \(\mathcal{B}, \mathcal{B}'\) deux bases de \(E\). On applique l'identité de la Proposition précédente dans chaque base, avec la famille \(\mathcal{X} = \mathcal{B}'\) : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{B}')\big) &= \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') && \text{(dans la base \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{X} = \mathcal{B}'\))} \\
\det_{\mathcal{B}'}\big(u(\mathcal{B}')\big) &= \lambda_{\mathcal{B}'}(u) \cdot \det_{\mathcal{B}'}(\mathcal{B}') = \lambda_{\mathcal{B}'}(u) && \text{(dans la base \(\mathcal{B}'\), \(\mathcal{X} = \mathcal{B}'\)).} \end{aligned} $$ Par la formule de changement de base établie plus haut, \(\det_\mathcal{B}\big(u(\mathcal{B}')\big) = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \det_{\mathcal{B}'}\big(u(\mathcal{B}')\big) = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \lambda_{\mathcal{B}'}(u)\). En égalant avec la première ligne : $$ \lambda_\mathcal{B}(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') = \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \cdot \lambda_{\mathcal{B}'}(u). $$ Or \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{B}') \ne 0\) puisque \(\mathcal{B}'\) est une base (Caractérisation des bases, établie plus haut), donc on peut simplifier : \(\lambda_\mathcal{B}(u) = \lambda_{\mathcal{B}'}(u)\).
Compétences à pratiquer
- Calculer le déterminant d'un endomorphisme
III.2
Multiplicativité et caractérisation des automorphismes
Une fois \(\det(u)\) établi comme scalaire bien défini attaché à \(u\), ses trois propriétés structurelles — identité, multiplicativité, exposant \(\lambda^n\) — découlent de l'identité de définition. La conséquence la plus utile est la caractérisation \(u \in \mathrm{GL}(E) \iff \det(u) \ne 0\), qui se transpose côté matriciel à la section suivante.
Proposition — Propriétés de \(\det\) sur \(\mathcal{L}(E)\)
Pour \(u, v \in \mathcal{L}(E)\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) : - (0) Identité. \(\det(\mathrm{Id}_E) = 1\).
- (i) Multiplicativité. \(\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)\).
- (ii) Caractérisation des automorphismes. \(u\) est un automorphisme de \(E\) si et seulement si \(\det(u) \ne 0\). Dans ce cas, \(\det(u^{-1}) = \det(u)^{-1}\).
- (iii) Scalaire. \(\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)\).
On travaille intrinsèquement (en appliquant la Définition-Théorème de \(\det\) deux fois ou une fois selon le cas).
- (0) Identité. Direct depuis la Définition-Théorème : $$ \det(\mathrm{Id}_E) = \det_\mathcal{B}(\mathrm{Id}_E(e_1), \dots, \mathrm{Id}_E(e_n)) = \det_\mathcal{B}(e_1, \dots, e_n) = 1. $$
- (i) Multiplicativité. On applique l'identité de définition à \(v(\mathcal{X})\), puis à \(u(v(\mathcal{X}))\) : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big) &= \det_\mathcal{B}\big(u(v(\mathcal{X}))\big) && \text{(définition de \(u \circ v\))} \\ &= \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(v(\mathcal{X})) && \text{(Déf-Théorème sur \(u\), \(v(\mathcal{X})\))} \\ &= \det(u) \cdot \det(v) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) && \text{(Déf-Théorème sur \(v\), \(\mathcal{X}\)).} \end{aligned} $$ La Déf-Théorème, appliquée directement à \(u \circ v\), donne aussi \(\det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big) = \det(u \circ v) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X})\). Les deux expressions de \(\det_\mathcal{B}\big((u \circ v)(\mathcal{X})\big)\) sont donc égales pour tout \(\mathcal{X} \in E^n\) ; en évaluant en \(\mathcal{X} = \mathcal{B}\) (de sorte que \(\det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = 1\)) on extrait l'égalité scalaire \(\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)\).
- (ii) Caractérisation des automorphismes. \((\Rightarrow)\) Si \(u\) est bijective, \(u \circ u^{-1} = \mathrm{Id}_E\). Par (0) et (i), \(\det(u) \det(u^{-1}) = \det(\mathrm{Id}_E) = 1\) ; en particulier \(\det(u)\) et \(\det(u^{-1})\) sont non nuls, et \(\det(u^{-1}) = \det(u)^{-1}\). \((\Leftarrow)\) Supposons \(\det(u) \ne 0\). Alors \(\det_\mathcal{B}(u(\mathcal{B})) = \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{B}) = \det(u) \ne 0\). Par la Caractérisation des bases établie plus haut, \(u(\mathcal{B}) = (u(e_1), \dots, u(e_n))\) est une base de \(E\), donc \(u\) est surjective. En dimension finie, un endomorphisme surjectif est bijectif.
- (iii) Scalaire. On applique l'identité de définition : $$ \begin{aligned} \det_\mathcal{B}\big((\lambda u)(\mathcal{X})\big) &= \det_\mathcal{B}\big(\lambda \cdot u(x_1), \dots, \lambda \cdot u(x_n)\big) && \text{(définition de \(\lambda u\))} \\ &= \lambda^n \det_\mathcal{B}\big(u(x_1), \dots, u(x_n)\big) && \text{(\(n\)-linéarité, on factorise \(\lambda\) de chaque variable)} \\ &= \lambda^n \cdot \det(u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) && \text{(Définition-Théorème).} \end{aligned} $$ En comparant avec \(\det_\mathcal{B}\big((\lambda u)(\mathcal{X})\big) = \det(\lambda u) \cdot \det_\mathcal{B}(\mathcal{X})\) en \(\mathcal{X} = \mathcal{B}\) : \(\det(\lambda u) = \lambda^n \det(u)\).
Exemple
Pour tout \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\), l'endomorphisme \(u_\sigma \in \mathcal{L}(E)\) défini par \(u_\sigma(e_i) = e_{\sigma(i)}\) vérifie $$ \det(u_\sigma) = \det_\mathcal{B}(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma), $$ par le Théorème d'effet d'une permutation établi plus haut. Ceci fait le pont avec le chapitre Groupe symétrique et préfigure l'analogue matriciel : le déterminant d'une matrice de permutation \(P_\sigma\) vaut \(\varepsilon(\sigma)\) (traité dans les exercices sur le déterminant matriciel). Concrètement, pour \(n = 2\) et la transposition \(\tau = (1\ 2)\), \(u_\tau\) échange \(e_1\) et \(e_2\) et \(\det(u_\tau) = -1\) ; pour \(n = 3\) et la permutation cyclique \(\sigma = (1\ 2\ 3)\), \(u_\sigma\) a \(\det(u_\sigma) = +1\). Exemple
Deux endomorphismes géométriques de \(E\) rendent concrète la lecture de \(\det(u)\) comme dilatation de volume. - Homothétie. Pour \(u = \lambda \, \mathrm{Id}_E\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}\), par (iii) de la Proposition des propriétés, \(\det(u) = \lambda^n\). Lecture géométrique dans \(\mathbb{R}^n\) : une homothétie de rapport \(\lambda\) dilate tout \(n\)-volume orienté par \(\lambda^n\).
- Projecteur sur un sous-espace propre. Si \(p \in \mathcal{L}(E)\) est un projecteur sur un sous-espace de dimension \(< n\), alors \(p\) n'est pas surjective, donc non bijective ; par (ii), \(\det(p) = 0\). Lecture géométrique : un projecteur écrase \(E\) sur un sous-espace de dimension strictement inférieure, et annule donc tout \(n\)-volume.
Compétences à pratiquer
- Utiliser la multiplicativité et la caractérisation des automorphismes
IV
Déterminant d'une matrice carrée
La face matricielle du déterminant. En identifiant une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec la famille de ses colonnes dans la base canonique \(\mathcal{B}_n\) de \(\mathbb{K}^n\), on définit \(\det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n)\). La formule explicite se transpose verbatim, et le lien avec le déterminant d'endomorphisme est le pont \(\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))\). Le Théorème principal de la section regroupe cinq propriétés : \(n\)-linéaire alterné par rapport aux colonnes, multiplicativité \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\), caractérisation de l'inversibilité \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \iff \det(A) \ne 0\), invariance par similitude \(\det(P^{-1} A P) = \det(A)\), et \(\det(A^T) = \det(A)\) (ce qui rend \(\det\) aussi \(n\)-linéaire alterné par rapport aux lignes). Dans \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\), ces propriétés portent la lecture géométrique directrice annoncée en ouverture du chapitre — \(|\det(A)|\) comme aire / volume absolu du parallélogramme / parallélépipède image.
IV.1
Définition et lien avec le déterminant dans une base
On importe la définition de \(\det_\mathcal{B}\) aux matrices en lisant \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) comme la famille de ses colonnes dans la base canonique \(\mathcal{B}_n\) de \(\mathbb{K}^n\). Deux Propositions de transition expriment le scalaire obtenu sous deux formes équivalentes : en termes de la famille des colonnes dans une base (Famille dans une base contre matrice), et en termes d'un endomorphisme via sa matrice représentante (Pont \(\det(u) = \det(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u))\)).
Définition — Déterminant d'une matrice carrée
Pour \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) de colonnes \((C_1, \dots, C_n)\) dans la base canonique \(\mathcal{B}_n = (E_1, \dots, E_n)\) de \(\mathbb{K}^n\), le déterminant de \(A\) est le scalaire $$ \det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i), i}. $$ Proposition — Famille dans une base contre matrice
Pour \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(\mathcal{B}\) une base de \(E\), et \(\mathcal{X}\) une famille de \(n\) vecteurs de \(E\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det_\mathcal{B}(\mathcal{X}) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\big). } $$ (Direct depuis les deux formules de coordonnées : les deux membres valent \(\sum_\sigma \varepsilon(\sigma) \prod_i a_{\sigma(i), i}\) où \(A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(\mathcal{X})\).) Proposition — Pont entre déterminant d'endomorphisme et de matrice
Pour tout \(u \in \mathcal{L}(E)\) et toute base \(\mathcal{B}\) de \(E\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det(u) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big). } $$
Par définition de \(\det(u)\) (Définition-Théorème de la section précédente), \(\det(u) = \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\). La matrice de la famille \((u(e_1), \dots, u(e_n))\) dans la base \(\mathcal{B}\) est exactement \(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\) — c'est la définition de la matrice d'un endomorphisme. Par la Proposition précédente (Famille dans une base contre matrice), $$ \det_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n)) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u(e_1), \dots, u(e_n))\big) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big). $$ D'où \(\det(u) = \det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big)\). Conséquence : \(\det\big(\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)\big)\) ne dépend pas de \(\mathcal{B}\) — de manière équivalente, deux matrices semblables ont le même déterminant (obtenu également via (iv) du Théorème principal ci-dessous).
Compétences à pratiquer
- Utiliser la multiplicativité et la transposition
IV.2
Multiplicativité, transposition et morphisme des permutations
Cette sous-section regroupe les propriétés structurelles du déterminant matriciel :
- \(n\)-linéaire et alterné par rapport aux colonnes (et donc aux lignes, via la transposition) ;
- multiplicatif sur les produits ;
- invariant par similitude ;
- la non-annulation caractérise l'inversibilité.
Théorème — Propriétés principales du déterminant matriciel
Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\), \(\lambda \in \mathbb{K}\) : - (i) Multilinéaire alterné par rapport aux colonnes. \(A \mapsto \det(A)\) est \(n\)-linéaire alterné par rapport aux colonnes de \(A\). En particulier, \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\).
- (ii) Multiplicativité. \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
- (iii) Caractérisation de l'inversibilité. \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) si et seulement si \(\det(A) \ne 0\). Dans ce cas, \(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\).
- (iv) Invariance par similitude. \(\det(P^{-1} A P) = \det(A)\).
- (v) Transposition. \(\det(A^T) = \det(A)\). En conséquence, \(\det\) est aussi \(n\)-linéaire alterné par rapport aux lignes de \(A\).
- (i) Multilinéaire alterné par rapport aux colonnes. Immédiat : par définition, \(\det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n)\), et \(\det_{\mathcal{B}_n}\) est \(n\)-linéaire alterné par sa Définition-Théorème. Pour \(\lambda A\), chacune des \(n\) colonnes est multipliée par \(\lambda\), donc par \(n\)-linéarité \(\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)\).
- (ii) Multiplicativité. On définit \(\varphi \colon (\mathbb{K}^n)^n \to \mathbb{K}\) par $$ \varphi(C_1, \dots, C_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(A C_1, \dots, A C_n). $$ \(\varphi\) est \(n\)-linéaire (chaque variable \(C_k \mapsto A C_k\) est linéaire, en composant avec \(\det_{\mathcal{B}_n}\) la multilinéarité est préservée) et alternée (si \(C_i = C_j\) pour \(i \ne j\), alors \(A C_i = A C_j\), et \(\det_{\mathcal{B}_n}\) s'annule sur une famille à deux arguments égaux). Par unidimensionnalité, \(\varphi = \varphi(\mathcal{B}_n) \cdot \det_{\mathcal{B}_n}\). La constante : en évaluant \(\varphi\) en \(\mathcal{B}_n = (E_1, \dots, E_n)\) et en remarquant que \(A E_i\) est la \(i\)-ème colonne de \(A\) (donc \(A E_i = C_i\) exactement), \(\varphi(\mathcal{B}_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(A E_1, \dots, A E_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n) = \det(A)\). Évaluons \(\varphi\) aux colonnes \((B_1, \dots, B_n)\) de \(B\) : $$ \varphi(B_1, \dots, B_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(A B_1, \dots, A B_n) = \det_{\mathcal{B}_n}(\text{colonnes de } AB) = \det(AB). $$ D'autre part, \(\varphi(B_1, \dots, B_n) = \det(A) \cdot \det_{\mathcal{B}_n}(B_1, \dots, B_n) = \det(A) \det(B)\). D'où \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
- (iii) Caractérisation de l'inversibilité. \((\Rightarrow)\) \(A A^{-1} = I_n\) donne \(\det(A) \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1\) (l'égalité \(\det(I_n) = 1\) vient de la formule explicite : seul \(\sigma = \mathrm{Id}\) contribue, avec \(\prod \delta_{i, i} = 1\)). Donc les deux scalaires sont non nuls et \(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\). \((\Leftarrow)\) Si \(\det(A) \ne 0\), les colonnes \(C_1, \dots, C_n\) de \(A\) forment une base de \(\mathbb{K}^n\) (Caractérisation des bases, établie plus haut). L'application linéaire \(X \mapsto A X\) de \(\mathbb{K}^n\) dans \(\mathbb{K}^n\) envoie \(E_i\) sur \(C_i\), donc son image contient la base \((C_1, \dots, C_n)\), donc est égale à \(\mathbb{K}^n\). L'application est surjective de \(\mathbb{K}^n\) dans lui-même de dimension finie, donc bijective, donc \(A\) est inversible.
- (iv) Invariance par similitude. On applique (ii) et (iii) : $$ \det(P^{-1} A P) = \det(P^{-1}) \det(A) \det(P) = \det(P)^{-1} \det(P) \det(A) = \det(A). $$
- (v) Transposition. On part de la formule explicite appliquée à \(A^T\) (dont le coefficient \((i, j)\) est \(a_{j, i}\)) : $$ \det(A^T) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}. $$ Posons \(\tau = \sigma^{-1}\). Le changement d'indice \(j = \sigma(i)\) (équivalent à \(i = \tau(j)\)) réécrit le produit : $$ \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)} = \prod_{j=1}^{n} a_{\tau(j), j}. $$ Comme \(\sigma \mapsto \sigma^{-1}\) est une bijection de \(\mathfrak{S}_n\) sur lui-même et \(\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma)\), $$ \det(A^T) = \sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau) \prod_{j=1}^{n} a_{\tau(j), j} = \det(A). $$ La multilinéarité par rapport aux lignes en découle : par (i) appliqué à \(A^T\), \(\det(A^T)\) est \(n\)-linéaire alterné par rapport aux colonnes de \(A^T\) — de manière équivalente, par rapport aux lignes de \(A\). Combiné avec \(\det(A) = \det(A^T)\), ceci dit que \(\det(A)\) est aussi \(n\)-linéaire alterné par rapport aux lignes de \(A\).
Proposition — \(\det \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*\) est un morphisme de groupes surjectif
La restriction \(\det \colon \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*\) est un morphisme de groupes surjectif. Concrètement : - Morphisme. \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) pour \(A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) ; \(\det(I_n) = 1\) ; \(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\).
- Surjectivité. Pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}^*\), la matrice \(\mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)\) appartient à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) et a déterminant \(\lambda\).
La partie morphisme est la restriction de (ii)+(iii) du Théorème principal à \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) : pour \(A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\), \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) ; \(\det(I_n) = 1\) ; \(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\). Le noyau est \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})\), sous-groupe en tant que noyau d'un morphisme.
Pour la surjectivité, fixons \(\lambda \in \mathbb{K}^*\) et posons \(D = \mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)\). Son inverse est \(D^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda^{-1}, 1, \dots, 1)\), donc \(D \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\). Son déterminant se calcule directement par la formule explicite : seul \(\sigma = \mathrm{Id}\) contribue (toute autre permutation produit un facteur hors-diagonal nul), et \(\det(D) = \lambda \cdot 1 \cdots 1 = \lambda\).
Pour la surjectivité, fixons \(\lambda \in \mathbb{K}^*\) et posons \(D = \mathrm{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)\). Son inverse est \(D^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda^{-1}, 1, \dots, 1)\), donc \(D \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\). Son déterminant se calcule directement par la formule explicite : seul \(\sigma = \mathrm{Id}\) contribue (toute autre permutation produit un facteur hors-diagonal nul), et \(\det(D) = \lambda \cdot 1 \cdots 1 = \lambda\).
Exemple
\(\det(I_n) = 1\). La matrice diagonale \(\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) a déterminant \(\lambda_1 \cdots \lambda_n\) (seul \(\sigma = \mathrm{Id}\) contribue à la formule explicite). Contre-exemple. \(\det\) n'est pas linéaire : en général \(\det(A + B) \ne \det(A) + \det(B)\). Contre-exemple en dim \(2\) : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). \(\det(A) = \det(B) = 0\), mais \(A + B = I_2\) et \(\det(A + B) = 1\). Compétences à pratiquer
- Calculer le déterminant d'une matrice de permutation et utiliser le morphisme \(\mathrm{GL}_n \to \mathbb{K}^*\)
V
Calcul des déterminants
On passe maintenant au calcul pratique. Quatre classes de techniques couvrent l'essentiel des déterminants rencontrés à ce niveau : opérations élémentaires sur les lignes / colonnes et méthode du pivot, exploitation d'une structure triangulaire ou triangulaire par blocs, développement par cofacteurs selon une ligne ou colonne bien choisie, et méthode polynomiale donnant la formule de Vandermonde. Les quatre techniques reposent sur les propriétés structurelles du déterminant matriciel établies plus haut — multilinéarité par lignes / colonnes, caractère alterné, et formule explicite.
V.1
Effet des opérations élémentaires
Trois opérations élémentaires sur les colonnes (ou symétriquement sur les lignes) de \(A\) modifient \(\det(A)\) de manière prévisible. En les combinant stratégiquement on amène la matrice sous forme triangulaire, et le déterminant se lit alors comme le produit des coefficients diagonaux.
Proposition — Déterminant et opérations élémentaires
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(i \ne j\), \(\lambda \in \mathbb{K}\) : - Transvection. L'opération \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) (ou \(C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j\)) ne change pas le déterminant.
- Dilatation. L'opération \(L_i \leftarrow \lambda L_i\) (ou \(C_i \leftarrow \lambda C_i\)) multiplie le déterminant par \(\lambda\).
- Échange. L'opération \(L_i \leftrightarrow L_j\) (ou \(C_i \leftrightarrow C_j\)) multiplie le déterminant par \(-1\).
Par invariance par transposition (point (v) du Théorème principal ci-dessus), il suffit de traiter les opérations sur les colonnes ; les identités pour les lignes en découlent en appliquant celles des colonnes à \(A^T\).
- Transvection. Par multilinéarité dans la colonne \(i\), $$ \begin{aligned} \det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots, C_j, \dots) &= \det(\dots, C_i, \dots, C_j, \dots) \\ &\quad + \lambda \det(\dots, C_j, \dots, C_j, \dots) && \text{(linéarité en colonne \(i\))} \\ &= \det(\dots, C_i, \dots, C_j, \dots) + 0 && \text{(alterné : \(C_j\) en double)} \\ &= \det(A). \end{aligned} $$
- Dilatation. Par linéarité dans la colonne \(i\), \(\det(\dots, \lambda C_i, \dots) = \lambda \det(\dots, C_i, \dots) = \lambda \det(A)\).
- Échange. Direct par antisymétrie de \(\det\) par rapport aux colonnes (Théorème des propriétés (iii) de la première section, héritée par \(\det\)).
Remarque (dilatation avec \(\lambda = 0\)). L'identité \(\det(\dots, \lambda C_i, \dots) = \lambda \det(A)\) vaut pour tout \(\lambda \in \mathbb{K}\), y compris \(\lambda = 0\) (les deux membres s'annulent). Lorsque la dilatation est utilisée comme opération élémentaire réversible dans l'algorithme du pivot de Gauss, en revanche, il faut imposer \(\lambda \ne 0\) — sinon l'opération annule une ligne et n'est plus inversible. L'identité est un énoncé de \(n\)-linéarité ; l'algorithme impose la contrainte d'inversibilité.
Méthode — Calculer un déterminant par la méthode du pivot
- Étape 1. Choisir une ligne ou une colonne avec un maximum de zéros si possible — ou créer des zéros par une suite de transvections \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) (qui ne changent pas \(\det\)).
- Étape 2. Itérer pour ramener la matrice sous forme triangulaire supérieure ou inférieure.
- Étape 3. Lire \(\det(A)\) comme le produit des coefficients diagonaux (Proposition du déterminant triangulaire de la sous-section suivante).
Exemple
Calculer \(\displaystyle\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix}\) par opérations sur les lignes.
$$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 10 \end{pmatrix} &= \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & -6 & -11 \end{pmatrix} && \text{(\(L_2 \leftarrow L_2 - 4 L_1\), \(L_3 \leftarrow L_3 - 7 L_1\))} \\
&= \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix} && \text{(\(L_3 \leftarrow L_3 - 2 L_2\))} \\
&= 1 \cdot (-3) \cdot 1 && \text{(triangulaire, produit des coefficients diagonaux)} \\
&= -3. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer par la méthode du pivot
V.2
Déterminants triangulaires et triangulaires par blocs
Pour une matrice triangulaire, le déterminant est simplement le produit des coefficients diagonaux. La démonstration montre que dans la formule explicite seul \(\sigma = \mathrm{Id}\) contribue d'un produit non nul. Le même type d'argument de permutation se généralise aux matrices triangulaires par blocs : \(\det\begin{pmatrix} A_1 & X \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} = \det(A_1) \det(A_2)\), le bloc hors-diagonal \(X\) ne contribue pas.
Proposition — Déterminant triangulaire
Pour \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) triangulaire supérieure (resp.\ triangulaire inférieure), $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}. } $$
On traite le cas triangulaire supérieur ; le cas inférieur s'en déduit par transposition. Par la formule explicite, \(\det(A) = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma) \prod_i a_{\sigma(i), i}\). Un terme est non nul si et seulement si \(a_{\sigma(i), i} \ne 0\) pour tout \(i\) ; l'hypothèse triangulaire supérieure dit \(a_{k, i} = 0\) pour \(k > i\), donc un terme non nul exige \(\sigma(i) \le i\) pour tout \(i\). On montre par récurrence forte sur \(i\) que ceci force \(\sigma = \mathrm{Id}\) :
- Initialisation \(i = 1\). \(\sigma(1) \le 1\) et \(\sigma(1) \in \llbracket 1, n \rrbracket\), donc \(\sigma(1) = 1\).
- Hérédité. Supposons \(\sigma(j) = j\) pour tout \(j \le i\). Alors \(\sigma(i+1) \le i+1\) et \(\sigma(i+1) \notin \{1, \dots, i\}\) (ces valeurs sont déjà prises par \(\sigma(1), \dots, \sigma(i)\), et \(\sigma\) est injective). D'où \(\sigma(i+1) = i+1\).
- Conclusion. \(\sigma(i) = i\) pour tout \(i\), donc \(\sigma = \mathrm{Id}\), avec \(\varepsilon(\mathrm{Id}) = 1\).
Proposition — Déterminant triangulaire par blocs
Pour \(A_1 \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\), \(A_2 \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})\), \(X \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{K})\), et \(p + q = n\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det\begin{pmatrix} A_1 & X \\
0 & A_2 \end{pmatrix} = \det(A_1) \det(A_2). } $$ L'identité se généralise à \(r\) blocs diagonaux par récurrence.
On applique la formule explicite à \(A = \begin{pmatrix} A_1 & X \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}\). Une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) contribue d'un produit non nul si et seulement si \(a_{\sigma(i), i} \ne 0\) pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\).
- Étape 1 : le bloc nul inférieur gauche fixe les \(p\) premières colonnes. Pour \(i \in \llbracket 1, p \rrbracket\), l'entrée \(a_{\sigma(i), i}\) se trouve en ligne \(\sigma(i)\), colonne \(i\). Si \(\sigma(i) > p\), alors \((\sigma(i), i)\) tombe dans le bloc nul inférieur gauche de \(A\), donc \(a_{\sigma(i), i} = 0\) et le produit s'annule. D'où, pour un produit non nul, \(\sigma(i) \le p\) pour tout \(i \in \llbracket 1, p \rrbracket\).
- Étape 2 : l'injectivité fixe les \(q\) dernières colonnes. L'étape 1 dit que \(\sigma\) envoie \(\llbracket 1, p \rrbracket\) dans \(\llbracket 1, p \rrbracket\) ; comme \(\sigma\) est une bijection de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), par injectivité elle doit envoyer \(\llbracket 1, p \rrbracket\) sur \(\llbracket 1, p \rrbracket\), et donc \(\llbracket p+1, n \rrbracket\) sur \(\llbracket p+1, n \rrbracket\) également. Le bloc supérieur droit \(X\) n'apparaît jamais dans le produit : pour \(i \in \llbracket p+1, n \rrbracket\), \(\sigma(i) > p\), donc \((\sigma(i), i)\) tombe dans le bloc inférieur droit \(A_2\), pas dans \(X\).
- Étape 3 : factorisation. Les étapes 1 et 2 montrent que toute permutation \(\sigma\) contribuant à un produit non nul est préservant les blocs : elle stabilise \(\llbracket 1, p \rrbracket\) et \(\llbracket p + 1, n \rrbracket\). On définit l'application $$ \Phi \colon \mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_q \to \mathfrak{S}_n, \qquad (\sigma_1, \sigma_2) \longmapsto \sigma, \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \sigma(i) = \sigma_1(i) & \text{pour } i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \\ \sigma(i) = p + \sigma_2(i - p) & \text{pour } i \in \llbracket p + 1, n \rrbracket. \end{cases} $$ \(\Phi\) est une bijection de \(\mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_q\) sur l'ensemble des permutations préservant les blocs de \(\llbracket 1, n \rrbracket\). Seules les permutations préservant les blocs contribuent à des termes non nuls dans la formule explicite (étapes 1 et 2) ; les permutations en dehors de l'image de \(\Phi\) contribuent \(0\) à gauche et n'apparaissent pas à droite. La signature se factorise en \(\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\sigma_1) \varepsilon(\sigma_2)\) : en écrivant \(\sigma = \hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_2\) avec \(\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2 \in \mathfrak{S}_n\) les copies plongées de \(\sigma_1, \sigma_2\), la propriété de morphisme de \(\varepsilon\) (chapitre Groupe symétrique) donne \(\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\hat{\sigma}_1)\, \varepsilon(\hat{\sigma}_2)\), et chaque copie plongée garde sa signature, une décomposition en transpositions de \(\sigma_i\) en étant aussi une de \(\hat{\sigma}_i\). En factorisant la somme : $$ \begin{aligned} \det(A) &= \sum_{(\sigma_1, \sigma_2) \in \mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_q} \varepsilon(\sigma_1) \varepsilon(\sigma_2) \prod_{i=1}^{p} (A_1)_{\sigma_1(i), i} \prod_{j=1}^{q} (A_2)_{\sigma_2(j), j} \\ &= \Big(\sum_{\sigma_1 \in \mathfrak{S}_p} \varepsilon(\sigma_1) \prod_{i=1}^{p} (A_1)_{\sigma_1(i), i}\Big) \Big(\sum_{\sigma_2 \in \mathfrak{S}_q} \varepsilon(\sigma_2) \prod_{j=1}^{q} (A_2)_{\sigma_2(j), j}\Big) \\ &= \det(A_1) \det(A_2). \end{aligned} $$
Exemple
Calculer \(\displaystyle \det\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).
La matrice est triangulaire supérieure par blocs avec \(A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\), \(A_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). D'où $$ \det\begin{pmatrix} A_1 & X \\
0 & A_2 \end{pmatrix} = \det(A_1) \det(A_2) = (2 \cdot (-1) - 4 \cdot 3)(4 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-14)(-1) = 14. $$
Compétences à pratiquer
- Calculer des déterminants triangulaires et triangulaires par blocs
V.3
Développement par rapport à une ligne ou une colonne
Un déterminant de taille \(n\) peut s'exprimer comme une combinaison linéaire signée de déterminants de taille \(n - 1\) (les mineurs), via un développement selon une ligne ou une colonne choisie. C'est le pendant matriciel de la structure inductive de la formule explicite, et la source de la comatrice exploitée plus loin dans ce chapitre pour écrire un inverse explicite.
Définition — Mineur, cofacteur, comatrice
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \ge 2\) et \(i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket\) : - le mineur de position \((i, j)\) est \(\Delta_{ij}(A) = \det A^{(i, j)}\), où \(A^{(i, j)} \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})\) est la matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\) ;
- le cofacteur de position \((i, j)\) est le scalaire \((-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A)\) ;
- la comatrice de \(A\) est la matrice des cofacteurs \(\mathrm{Com}(A) = \big((-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A)\big)_{1 \le i, j \le n}\).
Cas limite \(n = 1\). Pour \(n = 1\), \(A = (a_{11})\), \(\det(A) = a_{11}\), et il n'y a pas de mineur de taille \((n-1) \times (n-1)\) — la définition ci-dessus ne s'applique pas. Par convention \(\mathrm{Com}(A) = (1)\) pour que la formule d'inversion \(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T = \det(A) I_1\) dégénère en \(a_{11} \cdot 1 = a_{11}\) ; toutes les identités de développement ci-dessous supposent \(n \ge 2\).
Théorème — Développement par rapport à une ligne ou une colonne
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \ge 2\) : - Développement par rapport à la ligne \(i\). Pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \, \Delta_{ij}(A). } $$
- Développement par rapport à la colonne \(j\). Pour tout \(j \in \llbracket 1, n \rrbracket\), $$ \textcolor{colorprop}{ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \, \Delta_{ij}(A). } $$
On démontre le développement par rapport à une colonne ; celui par rapport à une ligne s'en déduit en l'appliquant à \(A^T\) et en utilisant \(\det(A^T) = \det(A)\). Fixons \(j\). La \(j\)-ème colonne de \(A\) s'écrit \(C_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} E_i\) dans la base canonique. Par multilinéarité de \(\det\) dans la colonne \(j\), $$ \det(A) = \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, C_n) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \det_{\mathcal{B}_n}(C_1, \dots, E_i, \dots, C_n), $$ où \(E_i\) est placé dans l'emplacement de la colonne \(j\). Notons \(M_{ij}\) la matrice avec \(E_i\) en colonne \(j\) et les autres colonnes inchangées ; elle a une seule entrée non nulle dans la colonne \(j\), à savoir un \(1\) en ligne \(i\). On amène ensuite la colonne \(j\) en position \(1\) par \((j - 1)\) échanges successifs de colonnes adjacentes (chacun multiplie le déterminant par \(-1\)), puis la ligne \(i\) en position \(1\) par \((i - 1)\) échanges successifs de lignes. Après ces \((i - 1) + (j - 1) = i + j - 2\) échanges, la matrice obtenue a un \(1\) en position \((1, 1)\), une colonne de \(0\) en dessous, et le bloc \((n - 1) \times (n - 1)\) trailing égal à \(A^{(i, j)}\). Cette matrice est triangulaire supérieure par blocs avec \(1\) en haut à gauche et \(A^{(i, j)}\) en bas à droite, donc son déterminant vaut \(1 \cdot \det A^{(i, j)} = \Delta_{ij}(A)\). Chaque échange a contribué un facteur \((-1)\). Signe total : \((-1)^{i + j - 2} = (-1)^{i + j}\). D'où \(\det M_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A)\). En reportant, $$ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i + j} \Delta_{ij}(A). $$
Méthode — Développer selon une ligne ou colonne bien choisie
- Étape 1. Choisir une ligne ou colonne avec un maximum de zéros — ceci réduit le nombre de cofacteurs non nuls à calculer.
- Étape 2. Si aucune ligne / colonne n'a de zéros d'entrée, utiliser la méthode du pivot décrite plus haut pour en créer d'abord.
- Étape 3. Pour \(n \le 4\), le développement est souvent plus rapide qu'une réduction complète par pivot ; pour \(n \ge 5\), on préfèrera le pivot.
Exemple
Calculer \(\det\begin{pmatrix} \textcolor{colordef}{1} & 4 & 7 \\ \textcolor{colordef}{2} & 5 & 8 \\ \textcolor{colordef}{3} & 6 & 9 \end{pmatrix}\) par développement selon la première colonne.
Les coefficients \(\textcolor{colordef}{1, 2, 3}\) de la première colonne sortent, chacun multipliant son mineur \(2 \times 2\) associé \(\textcolor{colorprop}{\det(\cdot)}\). Le schéma des signes pour la colonne \(1\) est \(+, -, +\) : $$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} \textcolor{colordef}{1} & 4 & 7 \\
\textcolor{colordef}{2} & 5 & 8 \\
\textcolor{colordef}{3} & 6 & 9 \end{pmatrix} &= \textcolor{colordef}{1} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 5 & 8 \\
6 & 9 \end{pmatrix}} - \textcolor{colordef}{2} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 4 & 7 \\
6 & 9 \end{pmatrix}} + \textcolor{colordef}{3} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 4 & 7 \\
5 & 8 \end{pmatrix}} && \text{(développement selon la colonne \(1\))} \\
&= \textcolor{colordef}{1} \cdot \textcolor{colorprop}{(45 - 48)} - \textcolor{colordef}{2} \cdot \textcolor{colorprop}{(36 - 42)} + \textcolor{colordef}{3} \cdot \textcolor{colorprop}{(32 - 35)} && \text{(Sarrus \(2 \times 2\) sur chaque mineur)} \\
&= -3 + 12 - 9 \\
&= 0. \end{aligned} $$ L'annulation reflète que les trois colonnes de la matrice de départ sont liées : \(C_3 = 2 C_2 - C_1\).
Exemple
Calculer le même déterminant \(\det\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{colordef}{4} & 7 \\ 2 & \textcolor{colordef}{5} & 8 \\ 3 & \textcolor{colordef}{6} & 9 \end{pmatrix}\) par développement selon la seconde colonne.
Les coefficients \(\textcolor{colordef}{4, 5, 6}\) de la seconde colonne sortent, chacun multipliant son mineur \(2 \times 2\) associé \(\textcolor{colorprop}{\det(\cdot)}\). Le schéma des signes pour la colonne \(2\) est \(-, +, -\) : $$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{colordef}{4} & 7 \\
2 & \textcolor{colordef}{5} & 8 \\
3 & \textcolor{colordef}{6} & 9 \end{pmatrix} &= -\textcolor{colordef}{4} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 2 & 8 \\
3 & 9 \end{pmatrix}} + \textcolor{colordef}{5} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 1 & 7 \\
3 & 9 \end{pmatrix}} - \textcolor{colordef}{6} \cdot \textcolor{colorprop}{\det\begin{pmatrix} 1 & 7 \\
2 & 8 \end{pmatrix}} && \text{(développement selon la colonne \(2\))} \\
&= -\textcolor{colordef}{4} \cdot \textcolor{colorprop}{(18 - 24)} + \textcolor{colordef}{5} \cdot \textcolor{colorprop}{(9 - 21)} - \textcolor{colordef}{6} \cdot \textcolor{colorprop}{(8 - 14)} && \text{(Sarrus \(2 \times 2\) sur chaque mineur)} \\
&= -4 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 6 \cdot (-6) \\
&= 24 - 60 + 36 \\
&= 0. \end{aligned} $$ Comme attendu, la valeur \(0\) est indépendante de la colonne choisie — les deux développements donnent la même réponse car la matrice est la même. Le choix de la colonne relève uniquement de la commodité de calcul.
Compétences à pratiquer
- Développer selon une ligne ou colonne
V.4
Déterminant de Vandermonde
Un déterminant \(n \times n\) classique dont la valeur est un produit propre de différences ; il sous-tend l'interpolation polynomiale de Lagrange et apparaît dans de nombreux exercices de synthèse.
Proposition — Déterminant de Vandermonde
Pour \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb{K}\), $$ \textcolor{colorprop}{ V_n(x_1, \dots, x_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
\vdots & & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i). } $$ En particulier, \(V_n \ne 0\) si et seulement si \(x_1, \dots, x_n\) sont deux à deux distincts. - Cas initiaux. \(V_1(x_1) = \det(1) = 1\) (produit vide par convention). \(V_2(x_1, x_2) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{pmatrix} = x_2 - x_1\). La récurrence ci-dessous s'arrête en \(V_2\).
- Cas racines confondues. Si deux des \(x_i\) sont égaux, alors la matrice de Vandermonde a deux colonnes égales, donc \(V_n = 0\). Le produit de droite contient un facteur \((x_j - x_i) = 0\) pour cette paire, donc l'identité s'écrit \(0 = 0\).
- Cas racines distinctes. Supposons \(x_1, \dots, x_n\) deux à deux distincts. On voit \(V_{n+1}(x_1, \dots, x_n, X)\) comme un polynôme en \(X\). Par développement selon la dernière colonne, \(V_{n+1}\) est de degré \(\le n\) en \(X\), de coefficient dominant (coefficient de \(X^n\)) égal à \(V_n(x_1, \dots, x_n)\) (le cofacteur en ligne \(n+1\), colonne \(n+1\) est \(V_n(x_1, \dots, x_n)\) avec signe \((-1)^{(n+1)+(n+1)} = 1\)). Pour \(X \in \{x_1, \dots, x_n\}\) la matrice a deux colonnes égales, donc \(V_{n+1} = 0\) — le polynôme \(V_{n+1}(\cdot, X)\) en \(X\) a \(n\) racines distinctes connues. Par le théorème de factorisation (un polynôme de degré \(\le n\) avec \(n\) racines distinctes est un multiple scalaire de \(\prod(X - x_k)\), le scalaire étant le coefficient dominant), $$ V_{n+1}(x_1, \dots, x_n, X) = V_n(x_1, \dots, x_n) \prod_{k=1}^{n} (X - x_k). $$ On itère jusqu'au cas initial \(V_2\) : \(V_2(x_1, x_2) = x_2 - x_1\), puis \(V_3(x_1, x_2, x_3) = V_2(x_1, x_2)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)\), etc. L'expression générale est \(V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)\).
Méthode — Reconnaître une structure de Vandermonde
Déclencheurs : lignes ou colonnes de la forme \((1, x_j, x_j^2, \dots, x_j^{n-1})\) ; un déterminant de matrice d'interpolation ; un exercice demandant « montrer que des \(x_1, \dots, x_n\) distincts rendent la matrice inversible » en interpolation polynomiale de degré \(\le n-1\). La formule de Vandermonde ramène le déterminant à un produit de différences — et le critère d'inversibilité à « deux à deux distincts ». Exemple
\(V_3(1, 2, 3) = (2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2\). Interpolation de Lagrange. Si \(x_1, \dots, x_n\) sont deux à deux distincts, le déterminant de Vandermonde est non nul, donc la matrice de Vandermonde est inversible ; pour toutes valeurs prescrites \(y_1, \dots, y_n \in \mathbb{K}\) il existe alors un unique polynôme \(P \in \mathbb{K}[X]\) de degré \(\le n - 1\) vérifiant \(P(x_i) = y_i\) pour \(i = 1, \dots, n\). C'est le cœur algébrique de l'interpolation de Lagrange, traitée au chapitre Polynômes. Compétences à pratiquer
- Calculer des déterminants de Vandermonde et applications
VI
Comatrice et formule d'inversion
En combinant le développement par cofacteurs de la section précédente avec l'identité alternée on obtient un inverse explicite : \(A^{-1} = \det(A)^{-1} \cdot \mathrm{Com}(A)^T\). Cette identité est principalement d'intérêt théorique — en pratique l'inversion par Gauss est plus rapide — mais elle est exigible à ce niveau, est la source des formules de Cramer pour les systèmes linéaires (traitées comme Application), et sous-tend plusieurs résultats classiques en pour-aller-plus-loin.
VI.1
Comatrice et formule d'inversion
Deux résultats intermédiaires : la comatrice commute avec la transposition, \(\mathrm{Com}(A^T) = \mathrm{Com}(A)^T\), et l'identité d'inversion \(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T = \det(A) I_n\) vaut pour toute matrice \(A\) (inversible ou non). Lorsque \(A\) est inversible, la seconde identité donne \(A^{-1} = \det(A)^{-1} \mathrm{Com}(A)^T\), inverse explicite via \(n^2\) mineurs de taille \(n - 1\).
Proposition — La comatrice commute avec la transposition
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \ge 2\), $$ \textcolor{colorprop}{ \mathrm{Com}(A^T) = \mathrm{Com}(A)^T. } $$
Supprimer la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A^T\) produit la transposée de la matrice obtenue en supprimant la ligne \(j\) et la colonne \(i\) de \(A\) : \((A^T)^{(i, j)} = (A^{(j, i)})^T\). Comme \(\det(M^T) = \det(M)\) pour toute matrice carrée \(M\) (Théorème principal (v) ci-dessus), \(\Delta_{ij}(A^T) = \det\big((A^{(j, i)})^T\big) = \det(A^{(j, i)}) = \Delta_{ji}(A)\). D'où $$ \mathrm{Com}(A^T)_{ij} = (-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A^T) = (-1)^{j+i} \Delta_{ji}(A) = \mathrm{Com}(A)_{ji} = \big(\mathrm{Com}(A)^T\big)_{ij}. $$
Théorème — Formule d'inversion
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(n \ge 2\), $$ \textcolor{colorprop}{ A \cdot \mathrm{Com}(A)^T = \mathrm{Com}(A)^T \cdot A = \det(A) \, I_n. } $$ En particulier, si \(A\) est inversible, $$ \textcolor{colorprop}{ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \, \mathrm{Com}(A)^T. } $$
On montre \(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T = \det(A) I_n\) entrée par entrée. L'autre identité s'obtient alors en appliquant la première identité à \(A^T\) : $$ A^T \cdot \mathrm{Com}(A^T)^T = \det(A^T) I_n. $$ Par la Proposition précédente \(\mathrm{Com}(A^T) = \mathrm{Com}(A)^T\), donc \(\mathrm{Com}(A^T)^T = \mathrm{Com}(A)\) ; et \(\det(A^T) = \det(A)\) (Théorème principal (v) de la section sur le déterminant matriciel). L'identité précédente s'écrit donc $$ A^T \cdot \mathrm{Com}(A) = \det(A) I_n. $$ En transposant cette égalité on obtient $$ \mathrm{Com}(A)^T \cdot A = \det(A) I_n. $$ Pour \(i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket\), le coefficient \((i, j)\) de \(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T\) est $$ \big(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T\big)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot \big(\mathrm{Com}(A)^T\big)_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot \mathrm{Com}(A)_{jk} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot (-1)^{j+k} \Delta_{jk}(A). $$
- Coefficient diagonal, \(i = j\). La somme \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} (-1)^{i+k} \Delta_{ik}(A)\) est exactement le développement de \(\det(A)\) selon la ligne \(i\) (Théorème de développement de la section précédente). D'où \(\big(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T\big)_{ii} = \det(A)\).
- Coefficient hors-diagonal, \(i \ne j\). La somme \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} (-1)^{j+k} \Delta_{jk}(A)\) est le développement selon la ligne \(j\) de la matrice \(A'\) obtenue à partir de \(A\) en remplaçant la ligne \(j\) par la ligne \(i\) (les mineurs \(\Delta_{jk}(A)\) ne dépendent que des lignes de \(A\) autres que la ligne \(j\), donc restent inchangés lorsqu'on remplace la ligne \(j\)). Mais \(A'\) a deux lignes égales (lignes \(i\) et \(j\) valent toutes deux la ligne \(i\) de \(A\)), donc \(\det(A') = 0\). D'où \(\big(A \cdot \mathrm{Com}(A)^T\big)_{ij} = 0\).
Méthode — Inverser une matrice de petite taille via la comatrice
Quand l'appliquer. La formule \(A^{-1} = \det(A)^{-1} \cdot \mathrm{Com}(A)^T\) est utile surtout pour \(n = 2\) et \(n = 3\), ou lorsqu'une réponse symbolique (paramétrée) est nécessaire. Mise en garde. Pour \(n \ge 4\), la formule ramène \(A^{-1}\) à un déterminant de taille \(n\) et \(n^2\) déterminants de taille \(n - 1\) — trop coûteux. Utiliser plutôt l'élimination de Gauss. Recette. - Calculer \(\det(A)\), vérifier \(\det(A) \ne 0\) ;
- calculer les \(n^2\) cofacteurs \((-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A)\), assembler \(\mathrm{Com}(A)\) ;
- transposer, diviser par \(\det(A)\).
Exemple
Inverse d'une matrice \(2 \times 2\) : pour \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) avec \(\det(A) = ad - bc \ne 0\), $$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\
-c & a \end{pmatrix}. $$ (La comatrice est \(\mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}\) ; sa transposée est la matrice de droite.) Vérification numérique sur \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) : \(\det(A) = 1\), donc \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) ; on vérifie \(A \cdot A^{-1} = I_2\). Compétences à pratiquer
- Calculer la comatrice et l'inverse
VI.2
Formules de Cramer
L'identité d'inversion se traduit immédiatement en une résolution explicite du système linéaire \(AX = B\) lorsque \(A\) est inversible : chaque coordonnée de \(X\) est un quotient de deux déterminants. Comme la formule d'inversion, c'est principalement un outil théorique — Gauss est plus rapide en pratique — mais elle donne des solutions paramétriques propres en petite dimension.
Proposition — Application : Formules de Cramer
Pour \(n \ge 2\), \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathbb{K}^n\), l'unique solution \(X = (x_1, \dots, x_n)^T\) du système linéaire \(AX = B\) est donnée par $$ \textcolor{colorprop}{ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \qquad \text{pour } j = 1, \dots, n, } $$ où \(A_j\) est la matrice obtenue à partir de \(A\) en remplaçant sa \(j\)-ème colonne par \(B\).
Le système \(AX = B\) avec \(A\) inversible a une unique solution \(X = A^{-1} B = \det(A)^{-1} \mathrm{Com}(A)^T B\) (Théorème d'inversion). Calculons la \(j\)-ème coordonnée de \(X\) : $$ \begin{aligned} x_j &= \det(A)^{-1} \sum_{i=1}^{n} \big(\mathrm{Com}(A)^T\big)_{ji} \cdot b_i && \text{(\(j\)-ème coordonnée)} \\
&= \det(A)^{-1} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Com}(A)_{ij} \cdot b_i && \text{(transposition)} \\
&= \det(A)^{-1} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A) \cdot b_i && \text{(définition de \(\mathrm{Com}\)).} \end{aligned} $$ La somme \(\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \Delta_{ij}(A) b_i\) est le développement selon la colonne \(j\) de \(A_j\) (la matrice \(A_j\) a \(B\) en colonne \(j\) et les autres colonnes de \(A\), donc les mineurs par rapport à la colonne \(j\) de \(A_j\) sont les mêmes que les mineurs \(\Delta_{ij}(A)\)). D'où \(x_j = \det(A_j) / \det(A)\).
Exemple
Résoudre le système \(2 \times 2\) \(\begin{cases} 2x + 5y = 7 \\ x + 3y = 4 \end{cases}\) par la règle de Cramer.
La matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) a \(\det(A) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 1 \ne 0\), donc Cramer s'applique. Avec \(B = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}\) : $$ A_1 = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\
4 & 3 \end{pmatrix}, \quad \det(A_1) = 7 \cdot 3 - 5 \cdot 4 = 1, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\
1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A_2) = 2 \cdot 4 - 7 \cdot 1 = 1. $$ D'où \(x = \det(A_1) / \det(A) = 1\) et \(y = \det(A_2) / \det(A) = 1\). Vérification : \(2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 7\) et \(1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 4\).
Pour aller plus loin
Le morphisme \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^*\) de la section sur le déterminant matriciel a pour noyau \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K}) = \{A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) : \det(A) = 1\}\), le groupe spécial linéaire des applications linéaires de dimension \(n\) qui préservent le volume et l'orientation de \(\mathbb{K}^n\) (la lecture géométrique est pertinente pour \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\)). Autre extension hors du programme mais préfigurée par la formule explicite : le polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(X I_n - A)\) d'une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est un polynôme unitaire de degré \(n\). Ses racines dans \(\mathbb{K}\), lorsqu'elles existent, sont les valeurs propres de \(A\) sur \(\mathbb{K}\) ; sur une clôture algébrique, toutes les \(n\) racines y sont alors comptées. Il constitue la porte d'entrée vers la théorie spectrale et sera étudié au programme de seconde année (MP). Les matrices de transvection \(T_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij}\) sont triangulaires supérieures ou inférieures avec des \(1\) sur la diagonale, donc de \(\det = 1\) — elles appartiennent à \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})\), et un théorème classique (hors programme, traité en MP) dit que pour \(n \ge 2\), \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})\) est engendré par elles.
Compétences à pratiquer
- Appliquer les formules de Cramer
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