Éducation Nationale Française · MP2I

Convexité

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 27 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivabilité, Fonctions réelles

La convexité capture, en une seule inégalité, l'idée géométrique d'une courbe située en-dessous de toutes ses cordes. De cette unique définition découle une boîte à outils : caractérisation par croissance des pentes, inégalité de Jensen, test par la dérivée ($f'$ croissante ou $f'' \ge 0$), et énoncé dual « graphe au-dessus de ses tangentes » qui produit des inégalités classiques comme $e^x \ge 1 + x$, $\ln(1+x) \le x$ et $\sin x \ge 2x/\pi$ sur $[0, \pi/2]$. Le chapitre se clôt sur un traitement bref et balisé des points d'inflexion.
On note $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ (éventuellement non borné, ouvert ou fermé). La dualité « concave $\iff$ $-f$ convexe » est énoncée une fois au début et utilisée implicitement ensuite ; les inégalités concaves sont inversées. L'inégalité de Jensen est énoncée et démontrée pour les combinaisons convexes finies ; les inégalités de Hölder et Minkowski relèvent de l'intégration et des espaces normés ultérieurs. Les points d'inflexion sont introduits dans la section finale comme critère suffisant pratique.

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I Fonctions convexes — définition et caractérisation par les pentes

L'idée géométrique : une fonction est convexe si son graphe reste en-dessous de toute corde tracée entre deux de ses points. On traduit cela par l'inégalité de la corde, puis on démontre deux caractérisations : monotonie des pentes et inégalité de Jensen pour les combinaisons convexes finies.

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Définition — Fonction convexe et concave

Soit $f : I \to \mathbb{R}$. On dit que $f$ est convexe sur $I$ si $$ \textcolor{colordef}{\forall x, y \in I, \ \forall \lambda \in [0, 1], \quad f((1 - \lambda) x + \lambda y) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)}. $$ On dit que $f$ est concave sur $I$ si $-f$ est convexe sur $I$, ce qui équivaut à $$ \forall x, y \in I, \ \forall \lambda \in [0, 1], \quad f((1 - \lambda) x + \lambda y) \ge (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y). $$

Définition — Corde et sécante

Pour $x, y \in I$ avec $x < y$, la corde de $f$ sur $[x, y]$ est le segment joignant $(x, f(x))$ et $(y, f(y))$ dans le plan. La sécante passant par ces deux points est la droite (complète) contenant cette corde.

Figure — graphes convexe et concave

Côte à côte : une parabole $y = \tfrac{1}{2} x^2$ (convexe, graphe sous la corde entre deux de ses points) et un logarithme translaté $y = \ln x + 0{,}3$ (concave, graphe au-dessus de la corde). Le facteur d'échelle et le décalage sont cosmétiques — la convexité/concavité est préservée.

Le graphe convexe est sous la corde $AB$ ; le graphe concave est au-dessus de la corde $AB$.

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Exemple

La fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$, est convexe sur $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ et $\lambda \in [0, 1]$, l'inégalité triangulaire donne $$ |(1 - \lambda) x + \lambda y| \le |(1 - \lambda) x| + |\lambda y| = (1 - \lambda) |x| + \lambda |y|, $$ en utilisant $1 - \lambda \ge 0$ et $\lambda \ge 0$ pour ôter les valeurs absolues sur les scalaires. D'où $f((1 - \lambda) x + \lambda y) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Proposition — Position du graphe par rapport à une sécante

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ convexe sur $I$, et soient $x, y \in I$ avec $x < y$. Alors :

le graphe de $f$ est en-dessous de la sécante passant par $(x, f(x))$ et $(y, f(y))$ sur le segment $[x, y]$ ;
le graphe de $f$ est au-dessus de cette même sécante sur $I \setminus [x, y]$.

Preuve

La sécante a pour équation $L(t) = f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y - x} (t - x)$.

En-dessous sur $[x, y]$. Pour $t \in [x, y]$, écrivons $t = (1 - \lambda) x + \lambda y$ avec $\lambda = (t - x)/(y - x) \in [0, 1]$. Par convexité (Définition « Fonction convexe et concave ») : $$ f(t) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y) = L(t). $$
Au-dessus sur $I \setminus [x, y]$. Soit $t \in I$ avec $t > y$ (le cas $t < x$ est analogue). Posons $\theta = (y - x)/(t - x) \in \,]0, 1[$. Alors $$ y = (1 - \theta) x + \theta t, $$ combinaison convexe de $x$ et $t$. Par convexité de $f$, $$ f(y) \le (1 - \theta) f(x) + \theta f(t). $$ D'où $$ f(t) \ge \frac{f(y) - (1 - \theta) f(x)}{\theta}. $$ En substituant $\theta = (y - x)/(t - x)$ et $1 - \theta = (t - y)/(t - x)$ puis en réorganisant : \begin{align*} f(t) &\ge \frac{(t - x) f(y) - (t - y) f(x)}{y - x} && \text{(substitution de $\theta$, $1-\theta$)}
&= f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y - x} (t - x) && \text{(réécriture en forme sécante)}
&= L(t). \end{align*}

Figure — graphe sous/au-dessus de sa sécante

Le graphe d'une fonction convexe est sous sa sécante sur $[x, y]$ et au-dessus de la sécante en dehors de $[x, y]$.

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Proposition — Caractérisation par la croissance des pentes

Soit $f : I \to \mathbb{R}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
pour tout $a \in I$ et tous $u, v \in I \setminus \{a\}$ avec $u < v$, $$ \textcolor{colorprop}{\frac{f(u) - f(a)}{u - a} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}}. $$

En particulier dans (ii), $t \mapsto (f(t) - f(a))/(t - a)$ est croissante (au sens large) sur $I \setminus \{a\}$ pour tout $a \in I$.

Preuve

$(i) \Rightarrow (ii)$. Soit $a \in I$ et $u < v$ dans $I \setminus \{a\}$.
- Cas $a < u < v$. Écrivons $u = (1 - \lambda) a + \lambda v$ avec $\lambda = (u - a)/(v - a) \in \,]0, 1[$. La convexité donne $$ f(u) \le (1 - \lambda) f(a) + \lambda f(v), $$ soit $f(u) - f(a) \le \lambda (f(v) - f(a))$. En divisant par $u - a = \lambda (v - a) > 0$, on obtient l'inégalité voulue.
- Cas $u < v < a$. Symétrique : écrivons $v = (1 - \mu) u + \mu a$ avec $\mu = (v - u)/(a - u) \in \,]0, 1[$. La convexité donne $f(v) \le (1 - \mu) f(u) + \mu f(a)$, équivalent à $f(v) - f(a) \le (1 - \mu)(f(u) - f(a))$. En divisant par $v - a = -(1 - \mu)(a - u) < 0$, l'inégalité s'inverse et donne le résultat.
- Cas $u < a < v$. Écrivons $$ a = (1 - \theta) u + \theta v, \qquad \theta = \frac{a - u}{v - u} \in \,]0, 1[. $$ Par convexité, $$ f(a) \le (1 - \theta) f(u) + \theta f(v). $$ Comme $1 - \theta = (v - a)/(v - u)$ et $\theta = (a - u)/(v - u)$, en multipliant par $v - u > 0$ : $$ (v - u) f(a) \le (v - a) f(u) + (a - u) f(v). $$ En réarrangeant, $$ (v - a) (f(a) - f(u)) \le (a - u) (f(v) - f(a)). $$ En divisant par le réel strictement positif $(a - u)(v - a) > 0$ : $$ \frac{f(a) - f(u)}{a - u} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}. $$ Comme $(f(a) - f(u))/(a - u) = (f(u) - f(a))/(u - a)$, on conclut : $$ \frac{f(u) - f(a)}{u - a} \le \frac{f(v) - f(a)}{v - a}. $$
$(ii) \Rightarrow (i)$. Soient $x < y$ dans $I$ et $\lambda \in \,]0, 1[$ ; posons $t = (1 - \lambda) x + \lambda y$, donc $x < t < y$. Appliquons (ii) au point d'ancrage $a = x$ sur la paire $(t, y)$ (tous deux dans $I \setminus \{x\}$, $t < y$) : $$ \frac{f(t) - f(x)}{t - x} \le \frac{f(y) - f(x)}{y - x}. $$ Comme $t - x = \lambda (y - x) > 0$, en multipliant par $t - x$ : $$ f(t) - f(x) \le \lambda (f(y) - f(x)), $$ soit $f(t) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$. Les cas $\lambda \in \{0, 1\}$ sont immédiats. Donc $f$ est convexe.

Proposition — Inégalité des pentes

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ convexe sur $I$, et soient $a, b, c \in I$ avec $a < b < c$. Alors $$ \textcolor{colorprop}{\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \le \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \le \frac{f(c) - f(b)}{c - b}}. $$

Preuve

L'inégalité de gauche est la Proposition « Caractérisation par la croissance des pentes » appliquée au point d'ancrage $a$ avec $u = b < c = v$. L'inégalité de droite est la proposition « Caractérisation par la croissance des pentes » appliquée au point d'ancrage $c$ avec $u = a < b = v$ (pentes orientées depuis $c$) : $$ \frac{f(a) - f(c)}{a - c} \le \frac{f(b) - f(c)}{b - c}, $$ ce qui équivaut à l'inégalité voulue après multiplication de chaque côté par $-1$ au numérateur et au dénominateur.

L'inégalité de Jensen est la version « plusieurs points » de la convexité : elle étend l'inégalité de la corde de la définition « Fonction convexe et concave » à toute combinaison convexe finie. On reste strictement dans le cas de combinaisons finies — tout développement général sur les barycentres est hors programme.

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Théorème — Inégalité de Jensen (cas fini)

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ convexe. Pour tout entier $n \ge 1$, tous $x_1, \dots, x_n \in I$, et tous $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in [0, 1]$ avec $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1$, $$ \textcolor{colorprop}{f\!\left( \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k \right) \le \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k)}. $$

Preuve

Par récurrence sur $n$.

Base $n = 1$. La somme se réduit à $f(x_1) \le f(x_1)$, trivial.
Base $n = 2$. L'inégalité est exactement la Définition « Fonction convexe et concave ».
Hérédité. Supposons l'inégalité au rang $n \ge 2$ et démontrons-la au rang $n + 1$. Fixons $x_1, \dots, x_{n+1} \in I$ et $\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1} \in [0, 1]$ avec $\lambda_1 + \dots + \lambda_{n+1} = 1$.
- Si $\lambda_{n+1} = 1$, alors $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ et les deux membres valent $f(x_{n+1})$.
- Sinon $\mu := 1 - \lambda_{n+1} = \lambda_1 + \dots + \lambda_n > 0$. Posons $$ z := \frac{1}{\mu} \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k. $$ Les coefficients $\lambda_k / \mu$ ($k = 1, \dots, n$) sont positifs ou nuls et de somme $1$, donc $z$ est une combinaison convexe de $x_1, \dots, x_n \in I$. Comme $I$ est un intervalle (et donc convexe dans $\mathbb{R}$), $z \in I$. Maintenant $\sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k = \mu z + \lambda_{n+1} x_{n+1}$, avec $\mu + \lambda_{n+1} = 1$, $\mu, \lambda_{n+1} \in [0, 1]$. En appliquant la définition « Fonction convexe et concave » (cas à deux points) à $z, x_{n+1}$ avec poids $\mu, \lambda_{n+1}$ : $$ f\!\left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right) = f(\mu z + \lambda_{n+1} x_{n+1}) \le \mu f(z) + \lambda_{n+1} f(x_{n+1}). $$ Par l'hypothèse de récurrence appliquée à $z = \sum (\lambda_k/\mu) x_k$, $$ f(z) \le \sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{\mu} f(x_k). $$ D'où $$ \mu f(z) \le \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k), $$ et en ajoutant $\lambda_{n+1} f(x_{n+1})$ : $$ f\!\left( \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k \right) \le \sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k f(x_k). $$

Exemple

Pour tout $n \ge 1$ et tous $x_1, \dots, x_n > 0$, $$ \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \cdots x_n)^{1/n} \qquad \text{(inégalité arithmético-géométrique)}. $$

Correction

Appliquons Jensen (le théorème « Inégalité de Jensen (cas fini) ») à la fonction concave $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$ (concavité admise ici ; démontrée à la section suivante sur la caractérisation par $f''$, via $(\ln)'' = -1/x^2 < 0$) avec poids égaux $\lambda_k = 1/n$ et points $x_k > 0$. Jensen pour les concaves inverse l'inégalité : $$ \ln\!\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} x_k \right) \ge \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \ln x_k = \ln\!\left( (x_1 \cdots x_n)^{1/n} \right). $$ En appliquant $\exp$ (strictement croissante), on obtient le résultat.

Remarque — continuité sur un intervalle ouvert

Une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue. Ce théorème utile est admis ici.
(La preuve s'appuie sur la proposition « Caractérisation par la croissance des pentes » et le théorème de la limite monotone de Limites et continuité.)

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Compétences à pratiquer

Établir la convexité à partir de la définition par cordes
Utiliser la caractérisation par les pentes
Appliquer l'inégalité de Jensen

II Fonctions convexes dérivables

Lorsque $f$ est (deux fois) dérivable, la convexité admet des caractérisations « au niveau de la dérivée » : $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante (au sens large) $\iff$ graphe au-dessus de ses tangentes. La version $C^2$ — $f$ convexe $\iff$ $f'' \ge 0$ — donne le test opérationnel utilisé partout. L'inégalité de la tangente est le moteur des bornes classiques $e^x \ge 1 + x$, $\ln(1+x) \le x$, $\sin x \le x$ et $\sqrt{x} \le (x+1)/2$.
Convention de dérivation. Dans les énoncés faisant intervenir les dérivées ci-dessous, soit $I$ est ouvert, soit les assertions contenant $f'(a)$ sont lues pour les points intérieurs $a \in \mathring{I}$. Lorsqu'un point de bord est utilisé dans un exemple, la fonction est vue comme la restriction d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert plus grand.

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Théorème — Caractérisation des fonctions convexes dérivables

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ dérivable sur $I$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante (au sens large) sur $I$ ;
pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$, $\textcolor{colorprop}{f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a)}$ (le graphe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes).

Preuve

Démonstration cyclique $(i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)$.

$(i) \Rightarrow (ii)$. Soient $u < v$ dans $I$. Pour tout $w \in \,]u, v[$, la proposition « Inégalité des pentes » appliquée à $u < w < v$ donne $$ \frac{f(w) - f(u)}{w - u} \le \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \le \frac{f(v) - f(w)}{v - w}. $$ Quand $w \to u^+$, l'inégalité de gauche donne $$ f'(u) \le \frac{f(v) - f(u)}{v - u}. $$ Quand $w \to v^-$, l'inégalité de droite donne $$ \frac{f(v) - f(u)}{v - u} \le f'(v). $$ En chaînant : $f'(u) \le f'(v)$. Donc $f'$ est croissante au sens large.
$(ii) \Rightarrow (iii)$. Soit $a \in I$ et $x \in I$. Posons $\varphi(t) := f(t) - f(a) - f'(a)(t - a)$ pour $t \in I$. Alors $\varphi$ est dérivable sur $I$ avec $\varphi'(t) = f'(t) - f'(a)$. Comme $f'$ est croissante (hypothèse ii), $\varphi'(t) \le 0$ pour $t \le a$ et $\varphi'(t) \ge 0$ pour $t \ge a$. Par le théorème signe de $f'$ $\iff$ monotonie de Dérivabilité « Signe de $f'$ et monotonie », $\varphi$ est décroissante sur $I \cap \,]-\infty, a]$ et croissante sur $I \cap [a, +\infty[$. Avec $\varphi(a) = 0$, on obtient $\varphi(t) \ge 0$ pour tout $t \in I$, soit $f(t) \ge f(a) + f'(a)(t - a)$.
$(iii) \Rightarrow (i)$. Soient $x, y \in I$ et $\lambda \in [0, 1]$ ; posons $a := (1 - \lambda) x + \lambda y \in I$. Par (iii) appliquée en $a$ aux points $t = x$ et $t = y$ : $$ f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a), \qquad f(y) \ge f(a) + f'(a)(y - a). $$ Multiplions la première par $1 - \lambda \ge 0$, la seconde par $\lambda \ge 0$, et sommons. Les coefficients de $f'(a)$ donnent $$ (1 - \lambda)(x - a) + \lambda (y - a) = (1 - \lambda) x + \lambda y - a = 0, $$ donc $f'(a)$ disparaît. On obtient $$ (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y) \ge f(a) = f((1 - \lambda) x + \lambda y), $$ qui est l'inégalité de convexité de la définition « Fonction convexe et concave ». Donc $f$ est convexe.

Figure — graphe au-dessus de ses tangentes

Une fonction convexe dérivable : en tout point, la tangente est sous la courbe.

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Remarque — énoncé dual pour les concaves

Pour $f$ concave dérivable, les inégalités s'inversent. En particulier, le graphe de $f$ est sous chacune de ses tangentes : $$ \forall a, x \in I, \qquad f(x) \le f(a) + f'(a)(x - a). $$ C'est le moteur des bornes $\ln(1+x) \le x$, $\sqrt{x} \le (x+1)/2$ et $\sin x \le x$ démontrées plus bas.

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Proposition — Caractérisation $C^2$ de la convexité

Soit $f \in C^2(I, \mathbb{R})$. Alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $$ \textcolor{colorprop}{\forall x \in I, \quad f''(x) \ge 0}. $$ Par dualité, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \le 0$ pour tout $x \in I$.

Preuve

Par le Théorème « Caractérisation des fonctions convexes dérivables », $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante sur $I$. Par le théorème signe de $f'$ $\iff$ monotonie appliqué à $g = f'$ (dérivable car $f \in C^2$) : $g = f'$ croissante sur $I$ $\iff$ $g' = f'' \ge 0$ sur $I$ (Dérivabilité, « Signe de $f'$ et monotonie »). En composant les deux équivalences, on obtient le résultat. Le cas concave en découle en remplaçant $f$ par $-f$.

Méthode — Montrer que $f$ est convexe (ou concave) à partir de $f''$

Soit $f$ de classe au moins $C^2$ sur $I$ :

Calculer $f''$ explicitement.
Étudier le signe de $f''$ sur $I$ (factorisation, signes connus, monotonie).
Conclure par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité » : $f''(x) \ge 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ convexe ; $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ concave.

Attention. La conclusion exige un signe qui tient sur tout l'intervalle $I$. Si $f''$ change de signe, $f$ est convexe sur le sous-intervalle où $f'' \ge 0$ et concave sur le sous-intervalle où $f'' \le 0$ — elle n'est ni l'une ni l'autre sur $I$ tout entier.

Exemple

$\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$. En déduire que $e^x \ge 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Correction

$\exp$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}$ avec $(\exp)''(x) = e^x > 0$, donc par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité », $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$. La tangente de $\exp$ en $a = 0$ est la droite $y = 1 + x$. Par le théorème « Caractérisation des fonctions convexes dérivables »(iii) en $a = 0$ : $$ e^x \ge e^0 + e^0 (x - 0) = 1 + x \qquad (x \in \mathbb{R}). $$

Exemple

$\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. En déduire $\ln(1 + x) \le x$ pour $x > -1$, et $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$.

Correction

$\ln$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec $(\ln)''(x) = -1/x^2 < 0$, donc par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité » (cas concave), $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. Appliquons l'inégalité de la tangente côté concave :

En $a = 1$ : $(\ln)(1) = 0$, $(\ln)'(1) = 1$, donc la tangente est $y = x - 1$. D'où $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$.
En posant $u = 1 + x$ (donc $u > 0$ ssi $x > -1$) dans le précédent : $\ln(1 + x) \le (1 + x) - 1 = x$ pour $x > -1$.

Exemple

$\sin$ est concave sur $[0, \pi/2]$. En déduire les deux inégalités $\sin x \ge \dfrac{2 x}{\pi}$ et $\sin x \le x$, valides pour $x \in [0, \pi/2]$.

Correction

$\sin$ est $C^2$ sur $[0, \pi/2]$ avec $(\sin)''(x) = -\sin x \le 0$ sur cet intervalle, donc par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité » (cas concave), $\sin$ est concave sur $[0, \pi/2]$. Les deux inégalités proviennent de deux faits géométriques distincts :

Règle au-dessus de la corde (version concave de la proposition « Position du graphe par rapport à une sécante »). Sur $[0, \pi/2]$, le graphe de $\sin$ est au-dessus de sa corde entre $(0, 0)$ et $(\pi/2, 1)$. Cette corde a pour équation $y = (2/\pi) x$, d'où $$ \sin x \ge \frac{2 x}{\pi} \qquad (x \in [0, \pi/2]). $$
Règle sous la tangente (dual concave du théorème « Caractérisation des fonctions convexes dérivables »(iii)). La tangente en $a = 0$ est $y = (\sin)(0) + (\sin)'(0) (x - 0) = x$. Donc $$ \sin x \le x \qquad (x \in [0, \pi/2]). $$

L'inégalité $\sin x \le x$ vaut en fait pour tout $x \ge 0$ : la fonction $h(x) = x - \sin x$ vérifie $h(0) = 0$ et $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $h$ est croissante (au sens large) sur $\mathbb{R}_+$, d'où $h(x) \ge h(0) = 0$ pour tout $x \ge 0$.

Méthode — Borner une expression numérique par une inégalité de convexité

Pour démontrer une borne de la forme $f(x) \ge L(x)$ (ou $\le$, dans le cas concave) où $L$ est affine :

Identifier une fonction $f$ pour laquelle la borne est l'inégalité de la tangente (ou de la corde) en un point précis $a$.
Vérifier que $f$ est convexe (ou concave) sur l'intervalle pertinent par le signe de $f''$ via la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité ».
Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ ; vérifier que $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ est bien la borne affine cible.
Conclure par le théorème « Caractérisation des fonctions convexes dérivables »(iii) pour le cas tangente, ou par la proposition « Position du graphe par rapport à une sécante » / règle de la corde pour le cas corde.

Reconnaître l'ancrage. Le point d'ancrage $a$ est celui où la borne est exacte (égalité). Pour $e^x \ge 1 + x$ : $a = 0$ ; pour $\ln x \le x - 1$ : $a = 1$ ; pour $\sqrt{x} \le (x+1)/2$ : $a = 1$.

Exemple

Montrer que $\sqrt{x} \le \dfrac{x + 1}{2}$ pour tout $x \ge 0$.

Correction

La fonction $g(x) = \sqrt{x}$ est $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec $g''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} < 0$. Par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité » (cas concave), $g$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. Appliquons l'inégalité de la tangente côté concave en $a = 1$ : $g(1) = 1$, $g'(1) = 1/2$, donc la tangente est $y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1) = (x + 1)/2$. D'où $$ \sqrt{x} \le \frac{x + 1}{2} \qquad (x > 0). $$ En $x = 0$, l'inégalité devient $0 \le 1/2$, vraie. Par continuité de $g$ en $0$ (ou par calcul direct), l'inégalité s'étend à $x \ge 0$.

Remarque — convexité stricte

Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est strictement convexe sur $I$ si, pour tout $x \ne y$ dans $I$ et tout $\lambda \in \,]0, 1[$, $f((1 - \lambda) x + \lambda y) < (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y)$ (inégalité stricte). Pour les fonctions dérivables, $f'$ strictement croissante sur $I$ entraîne $f$ strictement convexe. Pour $f \in C^2$, la condition $f'' > 0$ sur $I$ est suffisante mais non nécessaire — la fonction $x \mapsto x^4$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ mais $f''(0) = 0$.

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Compétences à pratiquer

Montrer la convexité à partir de $f''$
Borner une expression numérique par convexité
Étudier la position du graphe par rapport à une tangente

III Points d'inflexion

Les points d'inflexion ne sont pas explicitement listés au programme, mais ils sont conventionnels et découlent naturellement de la caractérisation $C^2$ vue à la section précédente sur la caractérisation par $f''$. On se restreint à un critère suffisant pratique sûr : un changement de signe de $f''$ garantit une inflexion. La réciproque (« $f''(a) = 0$ suffit ») est fausse — piège signalé plus bas.

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Définition — Point d'inflexion

Soient $f : I \to \mathbb{R}$ et $a$ un point intérieur de $I$. On dit que $f$ admet un point d'inflexion en $a$ s'il existe $\eta > 0$ tel que $[a - \eta, a + \eta] \subset I$, $f$ n'est affine sur aucun voisinage de $a$, et l'une des deux situations suivantes a lieu :

$f$ est convexe sur $[a - \eta, a]$ et concave sur $[a, a + \eta]$, ou
$f$ est concave sur $[a - \eta, a]$ et convexe sur $[a, a + \eta]$.

La condition de non-affinité force le caractère convexe/concave de $f$ à changer effectivement en $a$ : sans elle, tout point d'une fonction affine serait qualifié (une fonction affine étant à la fois convexe et concave sur tout intervalle).

Proposition — Critère suffisant pratique

Soient $f \in C^2(I, \mathbb{R})$ et $a$ un point intérieur de $I$. Si $f''$ change de signe en $a$ (c'est-à-dire qu'il existe $\eta > 0$ tel que $f''(x)$ ait un signe sur $[a - \eta, a]$ et le signe opposé sur $[a, a + \eta]$), alors $f$ admet un point d'inflexion en $a$. En particulier, par continuité de $f''$, $\textcolor{colorprop}{f''(a) = 0}$.

Preuve

Par la proposition « Caractérisation $C^2$ de la convexité », $f$ est convexe sur le sous-intervalle où $f'' \ge 0$ et concave sur le sous-intervalle où $f'' \le 0$. Comme $f''$ change de signe au passage de $a$, on retrouve exactement l'un des deux scénarios de la Définition « Point d'inflexion ». La continuité de $f''$ en $a$ (car $f \in C^2$) impose $f''(a) = 0$ au passage.

Piège — $f''(a) \equal 0$ ne suffit pas

Pour une fonction $C^2$ vérifiant la définition par transition convexe/concave ci-dessus, $f''(a) = 0$ est nécessaire mais non suffisante. Le contre-exemple standard est $f(x) = x^4$ en $a = 0$ : $f''(x) = 12 x^2$ s'annule en $0$ mais reste positif partout, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier — pas de transition convexe/concave, donc pas de point d'inflexion. La fiche d'exercices reprend ce piège explicitement.

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Méthode — Trouver les points d'inflexion d'une fonction

Soit $f$ de classe au moins $C^2$ sur $I$ :

Calculer $f''$ explicitement sur $I$.
Résoudre $f''(x) = 0$ pour obtenir l'ensemble des candidats $\{a_1, a_2, \dots\}$.
Pour chaque candidat $a_i$, étudier le signe de $f''$ au voisinage de $a_i$ et vérifier s'il change de signe en $a_i$.
Conclure par la proposition « Critère suffisant pratique » : tout candidat où $f''$ change de signe donne un point d'inflexion ; les candidats où le signe ne change pas sont éliminés dans le cadre usuel $C^2$.

Éliminer les candidats sans changement de signe. Un zéro de $f''$ où le signe ne change pas (par exemple un zéro double de $f''$) n'est pas un point d'inflexion. L'exemple $x^4$ ci-dessus en est l'illustration canonique.

Exemple

Trouver tous les points d'inflexion de la cubique $f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$ avec $a \ne 0$.

Correction

$f$ est polynomiale, donc $C^\infty(\mathbb{R})$. Calculons : $$ \begin{aligned} f'(x) &= 3 a x^2 + 2 b x + c, \\ f''(x) &= 6 a x + 2 b. \end{aligned} $$ $f''$ est affine de pente $6 a \ne 0$, donc s'annule en un unique point : $$ f''(x) = 0 \iff x = -\frac{b}{3 a}. $$ De part et d'autre de $-b/(3a)$, $f''$ prend des signes opposés (une fonction affine de pente non nulle change de signe à son unique zéro). Par la proposition « Critère suffisant pratique », $f$ admet un unique point d'inflexion en $x = -b/(3a)$.

Figure — cubique et son point d'inflexion

La cubique $f(x) = x^3 - 3 x$ vérifie $f''(x) = 6 x$, donc l'unique point d'inflexion est en $x = 0$. Le graphe est concave sur $]-\infty, 0]$ et convexe sur $[0, +\infty[$.

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Compétences à pratiquer

Trouver les points d'inflexion
Étudier la courbe à l'aide de $f''$
Contre-exemples aux conditions suffisantes trop fortes